19533

Преобразование Фурье и обобщенные функции

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...

Русский

2013-07-12

641.26 KB

10 чел.

2

Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции

Вспомогательные утверждения

Лемма. Справедлива формула

     (1)

Доказательство. Хотя формула (1) хорошо известна, мы приведем ее доказательство, поскольку она является основой многих дальнейших выкладок. Рассмотрим контур, изображенный на рис.1

               Рис. 1. Контур интегрирования

и интеграл по контуру в указанном направлении от аналитической функции . Имеем  , поскольку у функции нет особенностей внутри  области интегрирования. Здесь контур  - дуга окружности радиуса , а контур  - дуга окружности радиуса . Обе дуги имеют центр в начале координат. За исключением крайних точек, на контуре  выполнено неравенство , поэтому с ростом  интеграл по этому контуру стремится к 0. Интегралы по контурам  в сумме дают  . Найдем теперь интеграл по контуру  . Сделаем замену . В результате интеграл по этому контуру примет вид . Последняя оценка получена в результате разложения подынтегральной функции в ряд. Устремляя   к 0, завершаем доказательство.

Следствие 1.

  

при любом .

Доказательство проводится путем замены переменной

Следствие 2

.

Для любого

Доказательство. . Второе слагаемое стремится к 0 когда .

Из соображений симметрии вытекает формула

       (2)

Пример отыскания обобщенных функций

Под обобщенной функцией понимается непрерывный функционал. Примером такой функции является -функция.

Предложение 1. .

Доказательство. Очевидно, что обычное преобразование Фурье от 1 не существует. Положим . Не существует обычного предела у этой функции при . Найдем функционал . Если 0 не попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае, интеграл стремится к , где  произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу симметричности, и при  получаем, используя (2), конечный результат.

Следствие 3. . Доказательство. Формально утверждение есть следствие общего правила:, но фактически надо доказать, что это правило распространяется и на обобщенные функции. Проще всего, дать прямое доказательство.

Производные от обобщенных функций

Производная определяется путем формального применения интегрирования по частям с учетом компактности носителя функций из : . В качестве примера рассмотрим обобщенную функцию , заданную равенством:  и найдем производную от нее. Имеем . Это означает, что .

Замечание. Следует быть очень осторожным применяя к обобщенным функциям формулы, связывающие производную от функции и ее преобразование Фурье. В качестве примера рассмотрим отыскание преобразование Фурье от . Действуя формально, можем получить: , откуда . Теперь, исходя из определения, найдем правильный ответ. Положим  и подсчитаем . Если точка 0 не входит в интервал интегрирования, то интеграл стремится к , то есть ожидаемый результат. Если же точка 0 принадлежит интервалу интегрирования, то наряду с указанным слагаемым появится еще одно.

Второе слагаемое исчезает в силу симметрии, а из третьего слагаемого получаем -функцию. Окончательный результат выглядит так: . Отметим, что отсюда получается правильный результат для преобразования Фурье от функции, поскольку .

Замечание. Интеграл  существует в смысле главного значения для функции из . Это означает существование соответствующего функционала.

Задача 2. Дать строгое доказательство утверждения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32897. Декарт (1596-1650) 11.6 KB
  Первое правило метода гласит что истинным является все то что воспринимается в ясном и отчетливом виде и не дает повода к сомнениям то есть самоочевидно. Второе правило метода предлагает делить каждую сложную вещь ради успеха ее изучения на более простые составляющие. Третье правило метода утверждает: в познании мыслью следует идти от простейших то есть элементарных и наиболее доступных для нас вещей к вещам более сложным. Четвертое правило декартовского метода ориентирует на достижение полноты знания.
32899. Иммануил Кант(1724 – 1804) 12.28 KB
  Иммануил Кант1724 1804. В философском развитии Канта различают 2 периода:1. Разработка космогонической картины мира происхождение солнечной системы из первоначальной туманности теория КантаЛапласа. Всеобщая естественная история и теория неба 1755 в нем Кант практически исключает идею сотворения.
32900. НЕОКАНТИАНСТВО 11.82 KB
  В неокантианстве различают Марбургскую школу занимавшуюся преимущественно логикометодологической проблематикой естественных наук и Фрейбургскую Баденскую школу сосредоточившуюся на проблематике ценностей и методологии наук гуманитарного цикла. Разрабатывала в основном вопросы связанные с методологией гуманитарных наук. Различие между естествознанием и науками гуманитарного цикла представители этой школы видели не в разнице предмета исследования а в специфическом методе присущем историческому познанию.
32901. Философская система 11.94 KB
  Субъективный дух человеческое сознание постигая вещи обнаруживает в них проявление абсолютного духа божественного мышления. Порожденная духом природа не имеет независимого от него существования. Дух выходит из природы прерывая внешнюю кору материальности как чего то низшего.3 Философия духа делится на три части на учения о субъективном объективном и абсолютном духе.
32902. Становление марксистской философии 11.5 KB
  Во второй половине 50х и особенно в 60е годы происходит антропологический поворот : советская философия обращается к человеку человеческой проблематике. В современном буржуазном обществе она предстала по Марксу как проблема отчуждения : устройство общества разделение труда частная собственность таково что результаты человеческой деятельности продукты труда отчуждаются от человека и превращаются в господствующую над ним силу что ведет и к отчуждению людей друг от друга.
32903. Философия Жизни в19 в 12.41 KB
  Философия Жизни в19 в. В середине 19 века создается эволюционная концепция жизни. Именно в это время возникает иррационализм который к концу 19 века оформляется в отдельную школу Философию жизни. Этот целостный поток жизни необъясним в рамках рационализма позитивизма механицизма т.
32905. Фрейдизм 14.38 KB
  Первый: создание концепции бессознательного конец XIX века до 1920 года когда на основе экспериментальных данных он делает вывод о существовании в психике каждого человека достаточно четко выраженных структурных образований которые характеризуются как сознание предсознание и бессознательное. Наиболее существенная разработка этого периода динамическая концепция психики человека включающей такие структуры как Оно Я и сверхЯ. Оно кипящий котел инстинктов рождающий все последующие противоречия и трудности человека. Структура Я...