19533

Преобразование Фурье и обобщенные функции

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...

Русский

2013-07-12

641.26 KB

8 чел.

2

Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции

Вспомогательные утверждения

Лемма. Справедлива формула

     (1)

Доказательство. Хотя формула (1) хорошо известна, мы приведем ее доказательство, поскольку она является основой многих дальнейших выкладок. Рассмотрим контур, изображенный на рис.1

               Рис. 1. Контур интегрирования

и интеграл по контуру в указанном направлении от аналитической функции . Имеем  , поскольку у функции нет особенностей внутри  области интегрирования. Здесь контур  - дуга окружности радиуса , а контур  - дуга окружности радиуса . Обе дуги имеют центр в начале координат. За исключением крайних точек, на контуре  выполнено неравенство , поэтому с ростом  интеграл по этому контуру стремится к 0. Интегралы по контурам  в сумме дают  . Найдем теперь интеграл по контуру  . Сделаем замену . В результате интеграл по этому контуру примет вид . Последняя оценка получена в результате разложения подынтегральной функции в ряд. Устремляя   к 0, завершаем доказательство.

Следствие 1.

  

при любом .

Доказательство проводится путем замены переменной

Следствие 2

.

Для любого

Доказательство. . Второе слагаемое стремится к 0 когда .

Из соображений симметрии вытекает формула

       (2)

Пример отыскания обобщенных функций

Под обобщенной функцией понимается непрерывный функционал. Примером такой функции является -функция.

Предложение 1. .

Доказательство. Очевидно, что обычное преобразование Фурье от 1 не существует. Положим . Не существует обычного предела у этой функции при . Найдем функционал . Если 0 не попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае, интеграл стремится к , где  произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу симметричности, и при  получаем, используя (2), конечный результат.

Следствие 3. . Доказательство. Формально утверждение есть следствие общего правила:, но фактически надо доказать, что это правило распространяется и на обобщенные функции. Проще всего, дать прямое доказательство.

Производные от обобщенных функций

Производная определяется путем формального применения интегрирования по частям с учетом компактности носителя функций из : . В качестве примера рассмотрим обобщенную функцию , заданную равенством:  и найдем производную от нее. Имеем . Это означает, что .

Замечание. Следует быть очень осторожным применяя к обобщенным функциям формулы, связывающие производную от функции и ее преобразование Фурье. В качестве примера рассмотрим отыскание преобразование Фурье от . Действуя формально, можем получить: , откуда . Теперь, исходя из определения, найдем правильный ответ. Положим  и подсчитаем . Если точка 0 не входит в интервал интегрирования, то интеграл стремится к , то есть ожидаемый результат. Если же точка 0 принадлежит интервалу интегрирования, то наряду с указанным слагаемым появится еще одно.

Второе слагаемое исчезает в силу симметрии, а из третьего слагаемого получаем -функцию. Окончательный результат выглядит так: . Отметим, что отсюда получается правильный результат для преобразования Фурье от функции, поскольку .

Замечание. Интеграл  существует в смысле главного значения для функции из . Это означает существование соответствующего функционала.

Задача 2. Дать строгое доказательство утверждения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29959. Творческое мышление как предмет исследования в психологии 43.5 KB
  Продуктивная умственная деятельность не обеспечивается только свойствами интеллекта она определяется качествами мышления и личной позицией занимаемой субъектом по отношению к своей деятельности. Проблема изучения продуктивного творческого мышления. На основе модели были сконструированы южнокалифорнийские тесты RP тесты творческого мышления Торренса. Выделил 4 особенности творческого мышления: оригинальность семантическая гибкость способность видеть новое спонтанная гибкость способность дальновидения.
29960. Учение о развитии интеллекта Ж.Пиаже и других представителей швейцарской школы 51 KB
  Развитие операционального интеллекта в концепции Пиаже. Позднее Пиаже при изучении детского мышления больше фокусируется на анализе самих действий основными для Пиаже становятся исследования систем операций интеллекта. Важнейшее открытие Пиаже открытие эгоцентризма ребенка как центральной особенности мышления скрытой умственной позиции и как следствие своеобразие детской логики детской речи детских представлений о мире. Феномены Пиаже: 1.
29961. Психологическая сущность и механизмы воображения 45.5 KB
  Воображение и его развитие в детском возрасте Рибо Т. В основе способности к предвосхищению лежит воображение. В старой психологии существовала точка зрения согласно которой воображение не рассматривается как самостоятельный психический процесс поскольку преобразование образа и открытие нового традиционно выделяемые в качестве основных признаков воображения являются необходимыми сторонами любого процесса чувственного отражения действительности и функциями всех психических процессов Вундт Т. Рибо: воспроизводящее воображение = памяти...
29962. Виды и функции речи 48 KB
  Рубинштейн Речь – это процесс материализации мысли. Леонтьев Речь – Это деятельность общения – выражения воздействия сообщения = посредством языка; речь – это язык в действии. Речь это форма существования сознания мыслей чувств переживаний для другого служащая средством общения с ним и форма обобщённого отражения действительности или форма существования мышления. Рубинштейн Важно отличать речь от языка.
29963. Теория поля Курта Левина 46.5 KB
  Теория поля Курта Левина 1.: категория гешт образ Левин мотив; у гештальтистов образ рассматривался в отрыве от мотивации а мотивация у Левина отрывается от предметносмыслового содержания ситуации т. Для Левина поле это структура в которой совершается поведение. Понятие поля у Левина охватывает внутренний человека и внешний окружающее факторы.
29964. Структура личности и различные методологические подходы к ее изучению 52.5 KB
  Структура личности и различные методологические подходы к ее изучению Понятие личности Л – внешн проявление индивидуальности – как чел воспринимается окружающими и как он на них воздействует в римском театре маска актера =личина лицо обращенное к аудрии. Общее представление о структуре личности. Структурный и динамический подходы к изучению личности Каждая теория личности тем или иным образом отвечает на вопрос: Каким образом определяются структурные единицы личности и взаимосвязи между ними....
29965. Роль индивидных свойств человека в развитии личности 48 KB
  Темперамент как форма интеграции первичных индивидных свойств. Темперамент характеристика индивида со стороны динамических особенностей его психической деятельности т. У темперамента нет единого содержания и единой системы внешних проявлений. Попытки такого анализа приводят к выделению трех главных ведущих компонентов темперамента относящихся к сферам общей активности индивида его моторики и его эмоциональности.
29966. Личность и характер 70.5 KB
  Современное состояние исследований характера. По Рубинштейну способ поведения является наиболее существенным и показательным выражением характера но характер определяет и сам способ поведения. Основные проблемы психологии характера К настоящему времени понятие характер признано дискуссионным. сомнения в возможности изучения характера как самостоятельного явления вообще.
29967. Личность и способности 44 KB
  Личность и способности. ПРОБЛЕМЫ что такое способности как способности соотносятся с основными психическими процессами соотношение наследственности и среды в развитии способностей соотношение общих способностей и интеллекта природа и взаимосвязь общих и специальных способностей возможности измерения способностей пути и методы эффективного развития способностей Ученые: В. Понятие о способностях Петровский: Способности это такие психологические особенности человека от которых зависит успешность приобретения ЗУНов это...