19533

Преобразование Фурье и обобщенные функции

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...

Русский

2013-07-12

641.26 KB

10 чел.

2

Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции

Вспомогательные утверждения

Лемма. Справедлива формула

     (1)

Доказательство. Хотя формула (1) хорошо известна, мы приведем ее доказательство, поскольку она является основой многих дальнейших выкладок. Рассмотрим контур, изображенный на рис.1

               Рис. 1. Контур интегрирования

и интеграл по контуру в указанном направлении от аналитической функции . Имеем  , поскольку у функции нет особенностей внутри  области интегрирования. Здесь контур  - дуга окружности радиуса , а контур  - дуга окружности радиуса . Обе дуги имеют центр в начале координат. За исключением крайних точек, на контуре  выполнено неравенство , поэтому с ростом  интеграл по этому контуру стремится к 0. Интегралы по контурам  в сумме дают  . Найдем теперь интеграл по контуру  . Сделаем замену . В результате интеграл по этому контуру примет вид . Последняя оценка получена в результате разложения подынтегральной функции в ряд. Устремляя   к 0, завершаем доказательство.

Следствие 1.

  

при любом .

Доказательство проводится путем замены переменной

Следствие 2

.

Для любого

Доказательство. . Второе слагаемое стремится к 0 когда .

Из соображений симметрии вытекает формула

       (2)

Пример отыскания обобщенных функций

Под обобщенной функцией понимается непрерывный функционал. Примером такой функции является -функция.

Предложение 1. .

Доказательство. Очевидно, что обычное преобразование Фурье от 1 не существует. Положим . Не существует обычного предела у этой функции при . Найдем функционал . Если 0 не попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае, интеграл стремится к , где  произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу симметричности, и при  получаем, используя (2), конечный результат.

Следствие 3. . Доказательство. Формально утверждение есть следствие общего правила:, но фактически надо доказать, что это правило распространяется и на обобщенные функции. Проще всего, дать прямое доказательство.

Производные от обобщенных функций

Производная определяется путем формального применения интегрирования по частям с учетом компактности носителя функций из : . В качестве примера рассмотрим обобщенную функцию , заданную равенством:  и найдем производную от нее. Имеем . Это означает, что .

Замечание. Следует быть очень осторожным применяя к обобщенным функциям формулы, связывающие производную от функции и ее преобразование Фурье. В качестве примера рассмотрим отыскание преобразование Фурье от . Действуя формально, можем получить: , откуда . Теперь, исходя из определения, найдем правильный ответ. Положим  и подсчитаем . Если точка 0 не входит в интервал интегрирования, то интеграл стремится к , то есть ожидаемый результат. Если же точка 0 принадлежит интервалу интегрирования, то наряду с указанным слагаемым появится еще одно.

Второе слагаемое исчезает в силу симметрии, а из третьего слагаемого получаем -функцию. Окончательный результат выглядит так: . Отметим, что отсюда получается правильный результат для преобразования Фурье от функции, поскольку .

Замечание. Интеграл  существует в смысле главного значения для функции из . Это означает существование соответствующего функционала.

Задача 2. Дать строгое доказательство утверждения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24786. ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ 168 KB
  В изучаемом курсе нас будет интересовать общая теория управления. И Кнорринг считает что управление в широком понимании этого термина непрерывный процесс воздействия на объект управления личность коллектив технологический процесс предприятие государство для достижения оптимальных результатов при наименьших затратах времени и ресурсов[19]. Понятие управление используется в следующих значениях: 1 управление как наука система упорядоченных знаний в виде концепций теорий принципов способов и форм управления; 2 управление как...
24787. Направления административных реформ в странах Запада и в России: сравнительный анализ 75 KB
  Суть административной реформы АР в Российской Федерации в комплексной трансформации системы органов государственного управления с целью обеспечения их большей гибкости и эффективности. Концепция нового государственного управления: мировая практика. Стремление осуществить АР в РФ соответствует идеям и мировой практике совершенствования государственного управления. во многих странах Запада был реализован значительный объем широкомасштабных и комплексных программ реформирования системы государственного управления на основе концептуальных...
24788. ТЕОРИЯ ОРГАНИЗАЦИИ. Сущность системного подхода к организациям. Синергетический эффект в организациях 97.5 KB
  Системный подход стал фактически тем инструментом который позволил создать современную теорию организации. Можно сказать что теория организации как наука родилась именно в рамках этого подхода. Цели организации задаются извне или вырабатываются внутри нее с учетом этих целей выбираются форма и устройство организации.
24789. УПРАВЛЕНИЕ ПРСОНАЛОМ 147.5 KB
  Набор персонала заключается в комплектовании необходимого резерва кандидатов на все должности и специальности из которых организация отбирает подходящих для нее работников.; составление базы данных по кандидатам на вакантные должности; отбор персонала выявление различий между кандидатами и соответствующими требованиями будущей деятельности выбор лучших кандидатов; решение о приеме на работу; введение в должность адаптация работника. Это более тонкая по сравнению с отбором процедура идентификации характеристик человека и...
24790. РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 73 KB
  Требования предъявляемые к управленческим решениям Сущность и виды управленческих решений Решение это выбор альтернативы. Решения принимаемые в процессе управления могут быть классифицированы по различным признакам. По уровню управления различают решения принимаемые на разных уровнях: начальника цеха начальника отдела; заместителя директора; директора; министра.
24791. УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННЫМИ ОТНОШЕНИЯМИ 42 KB
  Организация связей с общественностью в системе государственного и муниципального управления: общее и особенное. управления можно отнести: участие в демократизации государственного управления содействие становлению гражданского общества. Существует прямая зависимость между уровнем управления и особенностями служб PR: в региональных и муниципальных органах власти широко реализуется коммуникативная функция и общение с гражданами постоянно и организованно. Возможности PR могут быть использованы в целях повышения открытости государственного...
24792. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ 59.5 KB
  наличие централизованных информационных центров генераторов баз данных 2. Например: Федеральная налоговая служба организовала Банк Данных глобальную базу данных. Локальные и распределенные базы данных системы управления базами данных. Информационные ресурсы представляют собой отдельные документы и отдельные массивы документов в информационных системах библиотеках архивах фондах банках данных других видах информационных систем.
24793. ИННОВАЦИОННЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ. Технологические уклады, основные периоды. Прогноз 73 KB
  Инновации и жизненный цикл товара. Этап внедрения начинается с момента появления товара на тынке. Цены на первом этапе могут быть низкими либо высокими в зависимости от специфики и особенностей товара и потребителя. Примером товара находящегося на первом этапе ЖЦТ может служить цифровая фотокамера.
24794. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ И МУНИЦИПАЛЬНЫЕ ФИНАНСЫ. Структура государственных финансов РФ 120 KB
  Структура государственных финансов РФ. Структура государственных финансов . Структуру государственных финансов можно определять с двух точек зрения. Государственные финансы могут быть рассмотрены с точки зрения преемственности к тем или иным органам государственной власти или с позиции разделения государственных финансов на бюджетные и не бюджетные фонды.