19533

Преобразование Фурье и обобщенные функции

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...

Русский

2013-07-12

641.26 KB

10 чел.

2

Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции

Вспомогательные утверждения

Лемма. Справедлива формула

     (1)

Доказательство. Хотя формула (1) хорошо известна, мы приведем ее доказательство, поскольку она является основой многих дальнейших выкладок. Рассмотрим контур, изображенный на рис.1

               Рис. 1. Контур интегрирования

и интеграл по контуру в указанном направлении от аналитической функции . Имеем  , поскольку у функции нет особенностей внутри  области интегрирования. Здесь контур  - дуга окружности радиуса , а контур  - дуга окружности радиуса . Обе дуги имеют центр в начале координат. За исключением крайних точек, на контуре  выполнено неравенство , поэтому с ростом  интеграл по этому контуру стремится к 0. Интегралы по контурам  в сумме дают  . Найдем теперь интеграл по контуру  . Сделаем замену . В результате интеграл по этому контуру примет вид . Последняя оценка получена в результате разложения подынтегральной функции в ряд. Устремляя   к 0, завершаем доказательство.

Следствие 1.

  

при любом .

Доказательство проводится путем замены переменной

Следствие 2

.

Для любого

Доказательство. . Второе слагаемое стремится к 0 когда .

Из соображений симметрии вытекает формула

       (2)

Пример отыскания обобщенных функций

Под обобщенной функцией понимается непрерывный функционал. Примером такой функции является -функция.

Предложение 1. .

Доказательство. Очевидно, что обычное преобразование Фурье от 1 не существует. Положим . Не существует обычного предела у этой функции при . Найдем функционал . Если 0 не попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае, интеграл стремится к , где  произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу симметричности, и при  получаем, используя (2), конечный результат.

Следствие 3. . Доказательство. Формально утверждение есть следствие общего правила:, но фактически надо доказать, что это правило распространяется и на обобщенные функции. Проще всего, дать прямое доказательство.

Производные от обобщенных функций

Производная определяется путем формального применения интегрирования по частям с учетом компактности носителя функций из : . В качестве примера рассмотрим обобщенную функцию , заданную равенством:  и найдем производную от нее. Имеем . Это означает, что .

Замечание. Следует быть очень осторожным применяя к обобщенным функциям формулы, связывающие производную от функции и ее преобразование Фурье. В качестве примера рассмотрим отыскание преобразование Фурье от . Действуя формально, можем получить: , откуда . Теперь, исходя из определения, найдем правильный ответ. Положим  и подсчитаем . Если точка 0 не входит в интервал интегрирования, то интеграл стремится к , то есть ожидаемый результат. Если же точка 0 принадлежит интервалу интегрирования, то наряду с указанным слагаемым появится еще одно.

Второе слагаемое исчезает в силу симметрии, а из третьего слагаемого получаем -функцию. Окончательный результат выглядит так: . Отметим, что отсюда получается правильный результат для преобразования Фурье от функции, поскольку .

Замечание. Интеграл  существует в смысле главного значения для функции из . Это означает существование соответствующего функционала.

Задача 2. Дать строгое доказательство утверждения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34616. Реформистское движение при президентах Т. Рузвельте и В. Вильсоне. Американский империализм 18.72 KB
  В своей политике Рузвельт исходил из необходимости увеличения роли государства считая что огромной власти корпораций необходимо противопоставить еще большую власть правительства. Реформаторская деятельность Рузвельта была начата шумной кампанией против злоупотреблений трестов. За ним пришла очередь судебных процессов против треста скотобоен Чикаго табачного и сахарного трестов и других крупных монополистических объединений. Рузвельт добился ускорения судопроизводства по делам о нарушении антитрестовского законодательства и открытие дел...
34617. Ревущие двадцатые 19.76 KB
  Экономика: фермеры и горнорудная промышленность переживали трудные времена после войны но экономика США быстро перестроилась на мирное производство Америка стала самой богатой страной мира промышленность обеспечивала массовое производство общество привыкло к потребительству солдаты после войны получили жалованье за службу прекращение заказов поначалу вызвало в экономике депрессию но по мере возвращения демобилизованных солдат в мирную жизнь она прекратилась предложение превышало спрос низкие цены на товары стимуляция продаж...
34618. «Новый курс» Ф.Рузвельта 18.18 KB
  В принятом Чрезвычайном законе о банках предусматривалось возобновление функций и получение правительственных кредитов займов из федеральной резервной системы хотя это разрешалось только наиболее крупным банкам. был принят один из двух наиболее важных законов закон о восстановлении национальной промышленности НИРА. Закон о восстановлении промышленности вводил систему государственного регулирования этого подразделения экономики. Во втором и третьем разделах закона...
34619. Историко-литературная концепция Белинского и ее эволюция 32.5 KB
  Вся литература до Пушкина пересаженное иноземное растение. В слово натуральная он вкладывал понятие литература для народа а так же литература философствующая. Он понимал что есть литература как зеркало общества Гоголь НШ и литература как зеркало человека бытийственность.
34620. Мастерство полемического стиля Белинского 23 KB
  Приемы полемики: каждая статья носит прямой или скрытый полемический характер. прием интеллектуальной бури. прием иронической ремарки независимо от того о ком он пишет. прием притворного простодушия.
34621. Историко-литературная концепция Белинского и ее эволюция 45.5 KB
  Вся литература до Пушкина пересаженное иноземное растение. Сочинения Пушкина периоды: Ломоносовский карамзинский державинский пушкинский. Русская литра развивалась по двум направлениям которые слились в творчестве Пушкина. НШ как понимал ее Белинский никак не связана с творчеством Пушкина.
34622. Творчество Лермонтова в оценке критики 40-х гг 29 KB
  Его ждет душевная чахотка и гибель. Белинский: когда вышел роман Белинский пишет: дьявольский талант глубокий и могучий ум озлобленный рассудочный охлажденный взгляд Пушкин умер не без наследника лейтмотив статьи Белинского про Л. Белинский попал под магическое влияние и скучно и грустно назывет его рефлекторным следовательно вся поэзия Л рефлекторна. бел оправдывает рефлексию безверие.
34623. Споры вокруг творчества Гоголя в критике 30 – 40-х гг 27 KB
  Аксаков и Белинский. Бел в ЛМ 1834 г. В 1839 Бел пишет статью Горе от ума где большая часть посвящена Ревизору в которой пытается навязать читателю примирение с действительностью. МД Бел много сделал для того чтобы рукопись вышла в печать.
34624. Цикл статей Белинского «Сочинения Пушкина» 24.5 KB
  Цикл статей Белинского Сочинения Пушкина С 1843 г. В грусти наиболее национальная черта поэзии Пушкина. Пушкина сотворила натура и история 1 2 3 статьи монографический обзор литературы 19 века: Ломоносов Державин Жуковский. С 4 статьи в строго хронологическом порядке исследует творчество Пушкина.