19533

Преобразование Фурье и обобщенные функции

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...

Русский

2013-07-12

641.26 KB

10 чел.

2

Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции

Вспомогательные утверждения

Лемма. Справедлива формула

     (1)

Доказательство. Хотя формула (1) хорошо известна, мы приведем ее доказательство, поскольку она является основой многих дальнейших выкладок. Рассмотрим контур, изображенный на рис.1

               Рис. 1. Контур интегрирования

и интеграл по контуру в указанном направлении от аналитической функции . Имеем  , поскольку у функции нет особенностей внутри  области интегрирования. Здесь контур  - дуга окружности радиуса , а контур  - дуга окружности радиуса . Обе дуги имеют центр в начале координат. За исключением крайних точек, на контуре  выполнено неравенство , поэтому с ростом  интеграл по этому контуру стремится к 0. Интегралы по контурам  в сумме дают  . Найдем теперь интеграл по контуру  . Сделаем замену . В результате интеграл по этому контуру примет вид . Последняя оценка получена в результате разложения подынтегральной функции в ряд. Устремляя   к 0, завершаем доказательство.

Следствие 1.

  

при любом .

Доказательство проводится путем замены переменной

Следствие 2

.

Для любого

Доказательство. . Второе слагаемое стремится к 0 когда .

Из соображений симметрии вытекает формула

       (2)

Пример отыскания обобщенных функций

Под обобщенной функцией понимается непрерывный функционал. Примером такой функции является -функция.

Предложение 1. .

Доказательство. Очевидно, что обычное преобразование Фурье от 1 не существует. Положим . Не существует обычного предела у этой функции при . Найдем функционал . Если 0 не попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае, интеграл стремится к , где  произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу симметричности, и при  получаем, используя (2), конечный результат.

Следствие 3. . Доказательство. Формально утверждение есть следствие общего правила:, но фактически надо доказать, что это правило распространяется и на обобщенные функции. Проще всего, дать прямое доказательство.

Производные от обобщенных функций

Производная определяется путем формального применения интегрирования по частям с учетом компактности носителя функций из : . В качестве примера рассмотрим обобщенную функцию , заданную равенством:  и найдем производную от нее. Имеем . Это означает, что .

Замечание. Следует быть очень осторожным применяя к обобщенным функциям формулы, связывающие производную от функции и ее преобразование Фурье. В качестве примера рассмотрим отыскание преобразование Фурье от . Действуя формально, можем получить: , откуда . Теперь, исходя из определения, найдем правильный ответ. Положим  и подсчитаем . Если точка 0 не входит в интервал интегрирования, то интеграл стремится к , то есть ожидаемый результат. Если же точка 0 принадлежит интервалу интегрирования, то наряду с указанным слагаемым появится еще одно.

Второе слагаемое исчезает в силу симметрии, а из третьего слагаемого получаем -функцию. Окончательный результат выглядит так: . Отметим, что отсюда получается правильный результат для преобразования Фурье от функции, поскольку .

Замечание. Интеграл  существует в смысле главного значения для функции из . Это означает существование соответствующего функционала.

Задача 2. Дать строгое доказательство утверждения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25059. Культурологія. Основні завдання культурології 34.5 KB
  Тому важливим завданням теорії культури є пізнання сутності культури і виявлення законів та механізмів функціонування конкретних форм і сторін культури. аналіз культури як системи культурних феноменів; 2. виявлення ментального змісту культури; 3.
25060. Функции искусства 34 KB
  социальная функция проявляется в том что искусство оказывает идейное воздействие на общество преобразуя тем самым социальную реальность; компенсаторная функции позволяет восстановить душевное равновесие решить психологические проблемы убежать на время из серой повседневности компенсировать недостаток красоты и гармонии в каждодневной жизни; прогностическая функция отражает способность искусства строить прогнозы и предугадывать будущее; познавательная функция позволяет познавать действительность и анализировать ее при помощи...
25061. Культура - це багатогранна проблема історичного розвитку 33 KB
  Уже в цьому змісті терміна мова виразила важливу особливість єдність культури людини її діяльності. Світ культури будьякий його предмет чи явище сприймаються не як наслідок природних сил а як результат зусиль самих людей спрямованих на удосконалення обробіток перетворення того що дано безпосередньо природою. Відомо багато визначень культури. Виділяють дві форми культури: матеріальну і духовну а в рамках духовної культури політичну наукову естетичну професійну та інші форми.
25063. Мистецтво 42.5 KB
  Розвиток мистецтва як елемента духовної культури обумовлюється як загальними закономірностями буття людини й людства так і естетичнохудожніми закономірностями естетичнохудожніми поглядами ідеалами й традиціями. Таким чином критерієм мистецтва є здатність викликати відгук у інших людей. Твори мистецтва почали створювати ще в доісторичні часи проте деякі автори схильні вважати мистецтвом тільки професійну діяльність людей мистецтва в сучасних країнах Заходу. Література про власне концепції мистецтва надзвичайно обширна.
25064. Спілкування як комунікація. 37 KB
  Суб'єктами спілкування можуть бути як індивід так і група. Ціль спілкування це те ради чого у людини виникає даний вид активності. Цілі спілкування є засобом задоволення багатьох різноманітних потреб: соціальних культурних пізнавальних творчих естетичних потреб інтелектуального зростання етичного розвитку і ряду інших.
25065. Що таке моральність 39.5 KB
  Вони насамперед виражені в поняттях добра і зла. Відповідність людських дій і вчинків категоріям добра і зла становить основу моральних відносин у суспільстві. Систему усвідомлених норм традицій правил поведінки почуттів та уявлень що віддзеркалюютіп:я через розуміння добра і зла які є наслідком усього суспільноісторичного досвіду людства ми й називаємо моральною культурою суспільства. Вона витворюється непомітно але завжди реалізується самим людським життям мірою в ньому добра і зла.
25066. Наука як феноменом культури 39.5 KB
  Поняття наука і культура не тотожні. Поняття культура значно ширше адже наука не враховує всіх сфер матеріальної і духовної культури наприклад таких як мистецтво моральні теорії і погляди. Наука є феноменом культури.
25067. Различие между Востоком и Западом 36 KB
  О чертах отличающих культуры Запада и Востока друг от друга можно говорить лишь с большей или меньшей долей условности. Вовторых восточная культура неоднородна в гораздо большей степени чем западная; она охватывает три разных культурных мира китайский индобуддийский арабомусульманский в которых доминируют различные религии тогда как культура Запада объединяется одной религией христианством. Причины обусловившие особенности культур Запада и Востока связаны с разницей климатических исторических и социальноэкономических...