19533

Преобразование Фурье и обобщенные функции

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...

Русский

2013-07-12

641.26 KB

10 чел.

2

Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции

Вспомогательные утверждения

Лемма. Справедлива формула

     (1)

Доказательство. Хотя формула (1) хорошо известна, мы приведем ее доказательство, поскольку она является основой многих дальнейших выкладок. Рассмотрим контур, изображенный на рис.1

               Рис. 1. Контур интегрирования

и интеграл по контуру в указанном направлении от аналитической функции . Имеем  , поскольку у функции нет особенностей внутри  области интегрирования. Здесь контур  - дуга окружности радиуса , а контур  - дуга окружности радиуса . Обе дуги имеют центр в начале координат. За исключением крайних точек, на контуре  выполнено неравенство , поэтому с ростом  интеграл по этому контуру стремится к 0. Интегралы по контурам  в сумме дают  . Найдем теперь интеграл по контуру  . Сделаем замену . В результате интеграл по этому контуру примет вид . Последняя оценка получена в результате разложения подынтегральной функции в ряд. Устремляя   к 0, завершаем доказательство.

Следствие 1.

  

при любом .

Доказательство проводится путем замены переменной

Следствие 2

.

Для любого

Доказательство. . Второе слагаемое стремится к 0 когда .

Из соображений симметрии вытекает формула

       (2)

Пример отыскания обобщенных функций

Под обобщенной функцией понимается непрерывный функционал. Примером такой функции является -функция.

Предложение 1. .

Доказательство. Очевидно, что обычное преобразование Фурье от 1 не существует. Положим . Не существует обычного предела у этой функции при . Найдем функционал . Если 0 не попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае, интеграл стремится к , где  произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу симметричности, и при  получаем, используя (2), конечный результат.

Следствие 3. . Доказательство. Формально утверждение есть следствие общего правила:, но фактически надо доказать, что это правило распространяется и на обобщенные функции. Проще всего, дать прямое доказательство.

Производные от обобщенных функций

Производная определяется путем формального применения интегрирования по частям с учетом компактности носителя функций из : . В качестве примера рассмотрим обобщенную функцию , заданную равенством:  и найдем производную от нее. Имеем . Это означает, что .

Замечание. Следует быть очень осторожным применяя к обобщенным функциям формулы, связывающие производную от функции и ее преобразование Фурье. В качестве примера рассмотрим отыскание преобразование Фурье от . Действуя формально, можем получить: , откуда . Теперь, исходя из определения, найдем правильный ответ. Положим  и подсчитаем . Если точка 0 не входит в интервал интегрирования, то интеграл стремится к , то есть ожидаемый результат. Если же точка 0 принадлежит интервалу интегрирования, то наряду с указанным слагаемым появится еще одно.

Второе слагаемое исчезает в силу симметрии, а из третьего слагаемого получаем -функцию. Окончательный результат выглядит так: . Отметим, что отсюда получается правильный результат для преобразования Фурье от функции, поскольку .

Замечание. Интеграл  существует в смысле главного значения для функции из . Это означает существование соответствующего функционала.

Задача 2. Дать строгое доказательство утверждения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76350. Технология УЗК и дефектоскопические средства 174.5 KB
  Для обнаружения дефектов пороговые УЗД. Для обнаружения дефектов измерения глубин их залегания и измерения отношения амплитуд сигналов от дефектов. Для обнаружения дефектов измерения глубин их залегания и измерения эквивалентной площади дефектов по их отражающей способности или условных размеров дефектов. Для обнаружения дефектов распознавания их форм или ориентации для измерения размеров дефектов или их условных размеров.
76351. Контроль изделий просвечиванием 439 KB
  Гаммаизлучение рентгеновское излучение и линейчатые характеристические спектры. В решении производственных задач имеют место разновидности ионизирующих излучений как корпускулярные потоки альфачастиц электронов бетачастиц нейтронов и фотонные тормозное рентгеновское и гаммаизлучение рис. Альфаизлучение представляет собой поток ядер гелия испускаемых главным образом естественным радионуклидом при радиоактивном распаде имеют массу 4 у. Бетаизлучение поток электронов или позитронов при радиоактивном распаде.
76352. РГД-контроль с использованием рентгеновского источника излучения 74 KB
  Источники излучения: рентгеновские аппараты гамма дефектоскопы линейные ускорители и микротроны. Выявление внутренних дефектов при просвечивании основано на способности ионизирующего излучения неодинаково проникать через различные материалы и поглощаться в них в зависимости от толщины рода плотности материалов и энергии излучения. Для выявления дефектов в изделиях с одной стороны устанавливают источник излучения с другой детектор регистрирующий информацию о внутреннем строении контролируемого объекта Рис.
76353. Гидравлические методы контроля герметичности 77.23 KB
  Область применения пробные и контрольные вещества. Контроль на герметичность = течеискание относится к виду НК качества изделий проникающими веществами ГОСТ 18353 79. Степень герметичности количественная характеристика герметичности которая характеризуется суммарным расходом вещества через течи. Натекание проникновение вещества извне внутрь герметизированного объекта под действием перепада общего или парциального давлений.
76354. Галоидные и другие методы контроля герметичности 546.5 KB
  Особенности массспектрометрического контроля герметичности. Общие критерии оценки герметичности сварных и паяных соединений Манометрический метод контроля герметичности изделий основан на регистрации изменения испытательного давления контрольного или пробного вещества в результате имеющихся в изделии неплотностей. В качестве контрольного вещества при манометрическом методе контроля в зависимости от требований к контролю могут быть применены рабочие жидкости вода а также газы воздух азот аммиак аргон а в ряде случаев гелий.