19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37331. Аналитическое и табличное представление булевой функции 315.5 KB
  Аналитическое и табличное представление булевой функции. Представление функции в ДНСФ. Минимизация функции по формулам склеивания. Минимизация функции методом Карно.
37332. КОНЦЕПЦИЯ МУЗЫКАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ШКОЛЬНИКОВ 452 KB
  Как известно музыкальная культура школьника это интегративное свойство личности главнейшими показателями которого являются: музыкальная развитость любовь к музыкальному искусству эмоциональное к нему отношение потребность в различных образцах музыки музыкальная наблюдательность в значении которое придавал этому понятию Б. В процессе школьных музыкальных занятий учащиеся знакомятся с музыкальными произ ведениями анализируют общий характер настроение музыки значение различных элементов музыкальной речи в их...
37334. Расчёт потребного количества оборудования 263.95 KB
  Степень занятости оборудования обработкой данной детали характеризуется коэффициентом занятости, на величину которого следует корректировать все расчеты для обеспечения их сопоставимости в базовом и проектируемом вариантах.
37335. ВВЕДЕНИЕ В ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ 6.59 MB
  Эти изменения стали возможными благодаря двум основным факторам: выделению в алгоритме программы некоторой универсальной части логического вывода и отделению ее от части зависящей от предметной области базы знанийрис. При этом производится преимущественно символьная обработка содержимого базы знаний. Экспертная система это компьютерная программа которая моделирует рассуждения человекаэксперта в некоторой определенной области и использует для этого базу знаний содержащую факты и правила об этой области и некоторую процедуру...
37336. Проблемы экономической безопасности России в условиях перехода к рынку 99 KB
  Общее понятие экономической безопасности и характеристики основных ее показателей. Экономика России с точки зрения экономической безопасности. Пути обеспечения экономической безопасности России.
37337. ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА 1.61 MB
  Частота колебаний напряжения Герц f [Hg] f [ Гц ] 9.Примеры выделения из третьей строки рабочего стола источника постоянного напряжения 12 V и элемента обозначающего соединение с корпусом. показан процесс выделения двух важнейших элементов любой электрической схемы: источника постоянного напряжения – 12V и знака заземления которые необходимы для построения делителя напряжения на резисторах. показан дальнейший процесс построения схемы...
37338. ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА 831.5 KB
  В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ СТУДЕНТ ДОЛЖЕН: ЗНАТЬ: теорию электромагнитных полей и электрических цепей; назначение и принцип действия трансформаторов; принципы построения автогенераторов и усилителей на транзисторах; принципы построения выпрямителей на полупроводниковых диодах; принципы построения электроприводов управляемых микроконтроллерами; принципы работы средства измерения электрических и неэлектрических параметров технологических процессов; назначение и особенности построения интегральных...
37339. Системы управления 2.98 MB
  Методология исследования систем управления Раздел 2. Концептуальные основы исследования систем управления Раздел 3. Система управления как объект исследования Раздел 4. Логический аппарат исследования систем управления Раздел 5.