19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10866. Компонент Timer Создание простейшей анимации 294.5 KB
  Лабораторная работа № 4 Компонент Timer Создание простейшей анимации Вывод иллюстраций. Наиболее просто вывести иллюстрацию которая находится в файле с расширением bmp jpg или ico можно при помощи компонента image значок которого находится на вкладке Additional палитры рис....
10867. Мультимедиа-возможности Delphi. Компоненты Animate и MediaPlayer 381.5 KB
  Мультимедиа-возможности Delphi Большинство современных программ работающих в среде Windows являются мультимедийными. Такие программы обеспечивают просмотр видеороликов и мультипликации воспроизведение музыки речи звуковых эффектов. Типичными
10868. Разработка системы управления базой данных 58 KB
  Лабораторная работа № 1 Разработка системы управления базой данных Специализированная библиотека для работы с базами данных Базами данных называют хранилища информации. База данных создается для хранения и доступа к данным содержащим сведения об определе...
10869. Призначення та будова вимірювальних та розмічальних інстрментів 26 KB
  Дата: Клас: 5 Тема: Призначення та будова вимірювальних та розмічальних інстрментів Мета: сформувати уявлення про призначення та будову вимірювальних і розмічальних інструментів; навчити прийомам вимірювання та розмічання виробів плоскої форми; розвивати техні...
10870. ЗАВЕЩАНИЕ КАК СДЕЛКА В НАСЛЕДСТВЕННОМ ПРАВЕ РОССИИ 153.58 KB
  Предметом дипломного исследования являются нормы права, регулирующие отношения, возникающие в связи с осуществлением наследственного правопреемства по воле завещателя, правоприменительная практика, судебная практика, а также опубликованные научные работы по данной проблеме.
10871. Проблема прісної води 29.7 KB
  Це стало можливим завдяки впровадженню ресурсозберігальних, маловідходних і безвідходних технологічних процесів, завдяки зменшенню забруднення повітряного середовища й водойм. Охорона навколишнього середовища стала однією з найголовніших проблем.
10872. Виконання та захист графічних робіт. Виконання технічних рисунків та ескізів кількох заданих деталей 27 KB
  Тема 13: Виконання та захист графічних робіт. Виконання технічних рисунків та ескізів кількох заданих деталей. Мета: Навчальна: сформувати знання вміння та навички поданій темі. Виховна: виховувати в учнів культуру праці та акуратність. Розвиваюча: розвивати у шк