19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47480. Банківська справа. Методичні вказівки 350.5 KB
  Сутність грошей. Походження грошей. Роль держави у творенні грошей. Форми грошей та їх еволюція.
47481. Гроші та кредит. Методичні матеріали 456.5 KB
  Навчальна карта самостійної роботи студента з дисципліни âГроші та кредитâ При підсумковому контролі у формі іспиту Види самостійної роботи Планові терміни виконання Форми контролю та звітності Максимальна кількість балів Денна і вечірня форма навчання І. 5 Разом балів за обовязкові види СРС 45 ІІ. Пошук та аналіз статистичних даних за заданою проблематикою Протягом V та VІ...
47483. Бухгалтерський облік. Методичні матеріали 388 KB
  Методичні матеріали щодо змісту та організації самостійної роботи студентів поточного і підсумкового контролю їх знань з навчальної дисципліни âБухгалтерський облікâ для спеціальності 6402 Правознавство Укладачі к. Перелік питань що виносяться на поточний та підсумковий контроль Дати визначення господарського обліку його видів та їх характеристика. Визначити види господарського обліку їх особливості і взаємозвязок.
47484. ЦИВІЛЬНЕ ПРОЦЕСУАЛЬНЕ ПРАВО. МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ 313 KB
  Види цивільного судочинства: позовне провадження провадження окреме провадження наказне провадження. Суть та значення наказного провадження. Провадження у справі до судового розгляду. Завдання зміст і процесуальний порядок провадження до судового розгляду.
47485. ЕКОЛОГІЧНЕ ПРАВО. МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ 272 KB
  МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ ЩОДО ЗМІСТУ ТА ОРГАНІЗАЦІЇ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ ПОТОЧНОГО І ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЇХ ЗНАНЬ З ДИСЦИПЛІНИ ЕКОЛОГІЧНЕ ПРАВО УХВАЛЕНО: на засіданні кафедри цивільного та трудового права Протокол №9 від 23. Механізм формування екологічного права. Місце екологічного права в системі екологічних і правових наук.
47486. МІЖНАРОДНЕ ПРАВО. МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ 228.5 KB
  ВАДИМА ГЕТЬМАНА КАФЕДРА МІЖНАРОДНОГО ТА ЄВРОПЕЙСЬКОГО ПРАВА МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ ЩОДО ЗМІСТУ ТА ОРГАНІЗАЦІЇ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ ПОТОЧНОГО І ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЇХ ЗНАНЬ З ДИСЦИПЛІНИ МІЖНАРОДНЕ ПРАВО УХВАЛЕНО: на засіданні кафедри міжнародного та європейського права Протокол № 6 від 14. 28 ПИТАННЯ ЩО ВИНОСЯТЬСЯ НА ЕКЗАМЕН З ДИСЦИПЛІНИ Міжнародне право як особлива правова система Між владні відносини як обєкт міжнародного права jus inter gentes...
47487. ПРАВО СОЦІАЛЬНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ. МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ 251 KB
  МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ ЩОДО ЗМІСТУ ТА ОРГАНІЗАЦІЇ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ ПОТОЧНОГО І ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЇХ ЗНАНЬ З ДИСЦИПЛІНИ ПРАВО СОЦІАЛЬНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ УХВАЛЕНО: на засіданні кафедри цивільного та трудового права Протокол №7 від 10. Історія розвитку інституту соціального забезпечення. Організаційноправові форми соціального забезпечення. Надання соціальних послуг як організаційноправова форма соціального забезпечення.
47488. Методические рекомендации. Бухгалтерский учет, анализ и аудит 700.5 KB
  Методические рекомендации охватывают все этапы подготовки выполнения оформления и защиты выпускной квалификационной работы. Некрасова 2010 Содержание Назначение выпускной квалификационной работы общие требования к ее содержанию Выбор темы назначение руководителя выпускной квалификационной работы Контроль выполнения выпускной аттестационной работы