19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15096. Түркі халықтарының жазба ескерткіші және оның көздері 70.5 KB
  ТҮРКІ ХАЛЫҚТАРЫНЫҢ ЖАЗБА ЕСКЕРТКІШІ ЖӘНЕ ОНЫҢ КӨЗДЕРІ С. Тәжіғұлова Ғ. Мұратбаев атындағы № 17 орта мектеп Тараз қ. Әрбір дәуірдің елеулі кезеңді оқиғаларын заманының белгілі ақынжазушылары дастанжырларға ойшылдары тарихшежіреге айналдыры
15097. У.Шекспир және Д.Дефо шығармашылығы 50.5 KB
  Ағылшын әдебиеті Уильям Шекспир 1564 1616 Ағылшынның әлемге аты әйгілі драматургы әрі ақыны Уильям Шекспир 1564 жылы 23 сәуірде Эйвон өзенінің бойындағы Стратфорд деген кішкентай қалада дүниеге келген. Оның әкесі айтарлықтай ауқатты қала тұрғыны еді саудаг
15098. Ұлт-азаттық көтерілістері туралы Қытай қазақтарының тарихи жырлар 197 KB
  ӘОЖ 398.21/22943.42510 Қолжазба құқығында АЯЗБАЕВА ҰЛБОСЫН БАЗАРХАНҚЫЗЫ ҰЛТАЗАТТЫҚ КӨТЕРІЛІСІ ТУРАЛЫ ТАРИХИ ЖЫРЛАР Қытайдағы қазақтардың ХІХ ғасырдың екінші және ХХ ғасырдың бірінші жартысында туған тар...
15099. Файзолла ақын және Алаш қоғамдық саяси қозғалысы 72 KB
  Айбек ҚАЛИЕВ Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті қазақ әдебиеті кафедрасының аға оқытушысы филология ғылымдарының кандидаты ФАЙЗОЛЛА АҚЫН ЖӘНЕ АЛАШ ҚАЙРАТКЕРЛЕРІ Қазақ әдебиетінің тарихындағы ақтаңдақ беттердің бірі ХІХ ғасырдың соңы мен ХХ ғ
15100. Фолклористикадағы миф 38.5 KB
  ФОЛКЛОРИСТИКАДАҒЫ МИФ ОНДАҒЫ ФЕТИШИЗМ МЕН АНИМИЗМ ТАБУ НАНЫМСЕНІМ МӘСЕЛЕЛЕРІ М. Иманғазинов Б. Есімбекова І. Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті Талдықорған қ. Ы. Алтынсарин атындағы Қазақ білім академиясы Алматы қ. Мелеагр жөніндегі а...
15101. Француз романтизмі 50 KB
  ХІХ ғасырдағы шетел әдебиетінің тарихы Романтизм дәуірі Француз романтизмі Франциядағы романтизм тағдырының өзіндік ерекшелігі аталмыш жалпыеур
15103. ХІХ ғасырдағы Қазақ әдебиеті және оның зерттелуі 63 KB
  ХІХ ғасырдағы қазақ әдебиетінің тарихы зерттелуі. Қазақ әдебиеті тарихының төртінші томында ХІХ ғасырдың бірінші жартысындағы әдеби процестерге талдау жасалға ал бесінші томы осы ғасырдығ ІІ жартысына арналады. Сол кезеңдегі әдебиеттің даму ерекшеліктері сарапт
15104. ХХ ғасырдың ұлы жырауы 79 KB
  ХХ ғасырдың ұлы жырауы Жүз жыл өмірінің сексен бесін өлеңмен өткізген Жәкең екі ғасырдың куәсі ғана болған жоқ. Оның жүз жылғы өмірі шындап келгенде екі ғасырға тең еді. Өйткені Жамбыл тарихта сирек кездесетін мүлде қарамақарсы екі заманды көрді қайшылыққа толы ...