19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6918. Электромагнитная совместимость радиоэлектронного оборудования 41.5 KB
  Электромагнитная совместимость радиоэлектронного оборудования Направление радиоэлектроники, призванное обеспечить одновременную и совместную работу различного радиотехнического, электронного и электротехнического оборудования - называется электромаг...
6919. Воздействие помех на РЭС 39 KB
  Воздействие помех на РЭС Зависит от: структуры спектрального состава энергии Необратимые и обратимые процессы Мощная помеха Отказы аппаратуры из-за изменения структуры полупроводниковых материалов вплоть до их разрушения. Может сущ...
6920. Характеристики РЭС вне основных полос частот излучения и приема радиосигналов 49.5 KB
  Характеристики РЭС вне основных полос частот излучения и приема радиосигналов Любое РЭС характеризуется совокупностью параметров: функциональные - отражают основные функции выполняемые РЭС влияющие на ЭМС Функциональные параметры...
6921. Внеполосное радиоизлучение 136 KB
  Внеполосное радиоизлучение Внеполосное радиоизлучение - нежелательное излучение в полосе частот примыкающей к необходимой полосе частот, является результатом модуляции сигнала. Причины появления: применение для передачи сигналов с большой...
6922. Антенные устройства и среда распространения 67 KB
  Антенные устройства и среда распространения Энергетические характеристики Степень воздействия ИП на РП зависит: от коэффициентов ослабления помех в фидерах...
6923. Характеристики среды распространения влияющих на ЭМС 70 KB
  Характеристики среды распространения влияющих на ЭМС Ослабление определяется: особенностями распространения радиоволн различных частотных диапазонов отражение и рассеяние в тропосфере образование тропосферных волноводов отраж...
6924. Излучающие свойства и связь экранов 44 KB
  Излучающие свойства и связь экранов. Из-за неполного экранирования на внешних поверхностях экранов и элементов фидеров протекают электрические токи. Связь элементов ИП с РП определяется: действие полей на антенны РП появление наведенных...
6925. Блокирование, перекрестные искажения и интермодуляция 64.5 KB
  Блокирование, перекрестные искажения и интермодуляция. Воздействие помехи, значительно превышающей по уровню полезный сигнал, возможно помимо основного и побочного каналов приема. Влияние проявляется в виде: блокирование - изменение уровн...
6926. Индустриальные помехи 44.5 KB
  Индустриальные помехи. - электромагнитные помехи создаваемые различными электронными и электротехническими устройствами используемые в технике и быту. Причины появления: в цепях устройств протекают переменные электрические токи и создание поме...