19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7562. Основы финансовой политики предприятия 144 KB
  Тема 1. Основы финансовой политики предприятия Финансовая политика предприятия - совокупность мероприятий по целенаправленному формированию, организации и использованию финансов для достижения целей предприятия. Разработанная финансовая политик...
7563. Долгосрочная финансовая политика предприятия 159 KB
  Тема 2. Долгосрочная финансовая политика предприятия В этой теме: Классификация источников и форм долгосрочного финансирования деятельности предприятий. Содержание собственных источников финансирования предприятия...
7564. Финансовое планирование и прогнозирование 105.5 KB
  Тема 3. Финансовое планирование и прогнозирование В этой теме: 3.1. Сущность финансового планирования и прогнозирования. 3.2. Методы и модели, используемые в долгосрочном финансовом планировании. 3.3. Темпы роста организации: факторы, их определяющи...
7565. Бюджетирование как инструмент финансового планирования 93.5 KB
  Бюджетирование как инструмент финансового планирования В этой теме: Понятие бюджетирования. Технология бюджетирования. Организация бюджетирования. Понятие бюджетирования Процесс составления, принятия бю...
7566. Управление текущими издержками и ценовая политика предприятия 82.5 KB
  Управление текущими издержками и ценовая политика предприятия В этой теме: Затраты: их поведение, учет и классификация для управленческих решений и планирования. Методы дифференциации затрат. Методы планирования затрат н...
7567. Управление оборотными активами 139.5 KB
  Управление оборотными активами Понятие оборотные активы и их классификация. Основные этапы движения оборотных активов Политика управления оборотными активами, ее цели Оптимизация инвестиций предприятия в текущие активы...
7568. Политика управления денежными средствами 71 KB
  Политика управления денежными средствами Этапы управления денежными средствами предприятия Управление денежными потоками является одной из важнейшей составляющих финансовой политики предприятия. Во-первых, денежные средства полностью отвечают...
7569. Сущность дивидендной политики предприятия 62.5 KB
  Сущность дивидендной политики предприятия Стратегия выплаты дивидендных доходов - весьма важный раздел в области финансовой политики, так как их величина является для многих предприятий существенной статьей расходов. На первый взгляд, может пок...
7570. Политика управления оборотными активами 95 KB
  Политика управления оборотными активами Политика управления оборотными активами заключается в воздействии на объем и структуру оборотных активов, а также на источники его формирования с целью повышения эффективности использования. Главной целью упра...