19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75462. Методы и способы защиты информации 26 KB
  Методы и способы защиты информации Методы защиты: Формальные методы: Препятствия метод физического преграждения пути к информации охранник сигнализация решетки. Управление доступом метод защиты информации путем использования программных и аппаратных средств компьютера: Идентификация пользователей пароль; Проверка полномочий пользователей; Регистрация обращений к защищенным ресурсам; Реагирование отключение системы в случаи неправильного ввода. Маскировка метод защиты информации путем ее криптографического закрытия....
75463. Работа с константами в ИС 1: Предприятие 30 KB
  Работа с константами в ИС 1: Предприятие Константы постоянные условнопостоянные величины. Константы хранят информацию которая не изменяется или изменяется достаточно редко: название организации ее почтовый адрес и так далее. Свойства констант редактируются при помощи палитры свойств Свойства Константы рис.2 которая вызывается из окна конфигурации при создании новой константы или редактировании уже существующей константы.
75464. Документальные системы. Консультант + 25.5 KB
  Массив данных документальной информационной системы представляет собой совокупность неструктурированных текстовых документов. Разобраться в этом потоке сведений и документов поможет правовая база данных. Специализированными фирмами распространяются как правовые базы данных общего назначения так и специализированные базы данных по хозяйственному банковскому таможенному законодательству региональному законодательству и т. Недорогие базы данных Энциклопедия российского права Консультантмини и др.
75465. Работа со справочниками в ИС 1С: Предприятие 45.5 KB
  Работа со справочниками в ИС 1С: Предприятие Справочники это списки однородных элементов данных. которые называются элементами справочника. Список элементов справочника может быть многоуровневым тогда все строки справочника делятся на элементы справочника и группы справочника. Группы позволяют переходить на нижележащие уровни многоуровневого справочника.
75466. Анализ проекта и основные инструменты анализа проекта в ИС Project Expert 26 KB
  Анализ проекта и основные инструменты анализа проекта в ИС Project Expert В процессе расчетов Project Expert автоматически генерирует стандартные отчетные бухгалтерские документы: отчет о прибылях и убытках; бухгалтерский баланс; отчет о движении денежных средств. После определения наиболее вероятного сценария проекта он принимается за базовый. На основе базового варианта проекта производится анализ чувствительности и определяются критические значения наиболее важных факторов влияющих на финансовый результат проекта. После завершения...
75467. Состав СУБД MS Access 24.5 KB
  Состав СУБД MS ccess Система управления базами данных это комплекс программных и языковых средств необходимых для создания обработки баз данных и поддержания их в актуальном состоянии . Почти все современные СУБД основаны на реляционной модели данных. При определении структуры данных в базе данных выделяют следующие основные понятия. ccess позволяет создавать сложные базы данных определяя структуру таблиц связи между ними.
75468. Состав пакета прикладных программ Project Expert 24.5 KB
  Состав пакета прикладных программ Project Expert Project Expert включает следующие разделы: Проект Компания Окружение Инвестиционный план Операционный план Финансирование Результаты Анализ проекта Актуализация. Раздел Проект является первым в содержании Project Expert и изначально доступен после открытия или создания проекта. Он предназначен для ввода общей информации о проекте настройки модулей расчета и отображения данных проекта. В разделе Компания можно осуществить ввод данных характеризующих финансовоэкономическое...
75469. Работа с документами в ИС 1С: Предприятие 45.5 KB
  Работа с документами в ИС 1С: Предприятие Документы служат для ввода информации о совершенных хозяйственных операциях. В Конфигураторе создается не сам документ а шаблон документа который является средством ввода документа. Конфигуратор позволяет описать структуру документа организовать диалог для ввода информации в документ и описать алгоритм построения печатной формы документа. В большинстве документов выделяются две части: заголовочная часть содержит реквизиты которые являются общими для всего документа; табличная или...
75470. Понятие формы, сложные иерархическик формы в СУБД Access 49.5 KB
  Понятие формы сложные иерархическик формы в СУБД ccess Формы являются основным средством организации интерфейса пользователя в приложениях ccess. Хорошо разработанные формы позволяют работать с приложением даже неподготовленному пользователю. Чаще всего формы создаются в следующих целях: ввод и редактирование данных это наиболее распространенный способ использования форм. Формы обеспечивают вывод на экран данных в удобном для пользователя виде.