19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4948. Агентство по продаже животных - КОШКИ. Информационная система 2.55 MB
  Агентство по продаже животных - КОШКИ Введение. Данная база данных позволяет осуществлять продажу животных (кошек), и выступает посредником между владельцем животного и будущим хозяином. Для пользователя доступна следующая информация: Данные о...
4949. База данных Сеть кинотеатров и ее проектирование 785.58 KB
  Назначение БД Сеть кинотеатров Назначение.База данных Сеть кинотеатров предназначена как для работников справочной службы кинотеатров города так и для обычных пользователей. БД обеспечивает в режиме диалога доступ к информации об имеющихся г...
4950. Проектирование базы данных Прием в поликлинику 3.31 MB
  Назначение БД Прием в поликлинику Назначение. Данная база данных предназначена для оптимизации работы регистратуры в поликлиники. Она содержит: Данные о каждой приеме: дата приема, время приема, специалист, пациент, предварительный диагноз, ле...
4951. Проектирование информационной системы Склад сотовых телефонов 796 KB
  Назначение базы данных Склад сотовых телефонов База данных Склад предназначена: для клиента (покупателя) для работника склада Созданная база данных содержит информацию о: фирме производителя (адрес, контактный телефон, контактное л...
4952. Создание базы данных Турагенство 3.01 MB
  Назначение БД Турагентство Назначение. БД позволяет пользователю быстро найти интересующие сведения о странах, предлагаемых турагентством, а также ознакомиться с курортами, отелями, рейсами в этих странах. БД содержит информацию о клиентах и заказан...
4953. Урок - основная форма организации обучения 262 KB
  Введение Учитель, если он не урокодатель, а творец, создает урок как произведение педагогического мастерства, создает его для детей и вместе с детьми. Хороший урок имеет свое лицо, своеобразие, которое обеспечивается индивидуальным стилем уч...
4954. Навечно в памяти народной молодогвардейцев имена 259.5 KB
  Цель: Вспомнить имена героев-молодогвардейцев. Развитие познавательных интересов, уважительности к старшим поколениям, воспитание гражданина- патриота, формирование устойчивого интереса к истории родного края, приобщение к поисковой деятельност...
4955. Бази даних. Системи управління базами даних. Конспекти уроків 198.5 KB
  Бази даних. Системи управління базами даних Вступ Нині в багатьох сферах: торгівлі, в транспорті, в медицині, в усіх галузях науки та виробництва активно використовуються найрізноманітніші системи управління численними базами даних. Отже, будь...
4956. Освоение SQL и PL/SQL Oracle Лабораторные работы 1.76 MB
  Учебное пособие является руководством по выполнению лабораторных работ, целью которых является практическое освоение SQL и PL/SQLOracle. Запросы и другие команды SQL объединены в шесть тем, каждая из которых соответствует одной лабораторной ра...