19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29018. Что называется грунтом, его составные элементы 25 KB
  Структурные связи между частицами грунта. Грунтами называют любые горные породы коры выветривания земли сыпучие или связные прочность связей у которых между частицами во много раз меньше чем прочность самих минеральных частиц или эти связи между частицами отсутствуют вовсе. Вода и газы находятся в порах между твердыми частицами минеральными и органическими. Газообразные включения пары газы всегда в том или ином количестве содержатся в грунтах и могут находиться в следующих состояниях: замкнутом или защемленном располагаясь в...
29019. Назовите виды давления грунта на подпорную стенку в зависимости от ее поступательного движения. Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения 31.5 KB
  Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения В зависимости от поступательного движения подпорной стенки на нее могут действовать следующие виды давления грунта: активное давление; пассивное давление; давление покоя. Активным называется минимальное из всех возможных для данной стенки давление на нее грунта проявляющееся в том случае если стенка имеет возможность переместиться в сторону от засыпки рис. Активное давление иногда называют распором. Пассивным называется максимальное из всех возможных...
29020. Напряжения, возникающие в массиве грунта от действия сооружения, накладываются на поле начальных напряжений, к которым относятся напряжения от собственного веса грунта 28 KB
  Напряжения возникающие в массиве грунта от действия сооружения накладываются на поле начальных напряжений к которым относятся напряжения от собственного веса грунта. Как вычислить вертикальные напряжения в массиве грунта от его собственного веса в следующих случаях: однородное основание; многослойное основание; при наличии в толще грунта уровня подземных вод; при наличии ниже уровня подземных вод водоупорного слоя. Вертикальное напряжение от собственного веса грунта σz представляют собой вес столба грунта над рассматриваемой точкой...
29021. От чего зависит глубина заложения фундамента 31.5 KB
  Глубина заложения фундаментов является одним из основных факторов обеспечивающих необходимую несущую способность и деформации основания не превышающие предельных по условиям нормальной эксплуатации здания или сооружения. От чего зависит глубина заложения фундамента Допускается ли закладывать подошвы соседних фундаментов на разных отметках Глубина заложения фундамента определяется: инженерногеологическими условиями площадки строительства физикомеханические свойства грунтов характер напластования и пр.; гидрогеологическими условиями...
29022. В чем заключается метод вытрамбовывания котлованов 32.5 KB
  В чем заключается метод вытрамбовывания котлованов Приведите несколько наиболее распространенных конструкций и способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Рекомендуемая область применения способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Применяется несколько конструкций и способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Фундаменты в вытрамбованных котлованах используются при строительстве каркасных и бескаркасных зданий в первом случае обычно располагают один фундамент под каждой колонной.
29023. Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. Применяемые материалы и их выбор 43 KB
  Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. К фундаментам мелкого заложения относятся фундаменты имеющие отношение их глубины заложения к ширине подошвы не превышающее 4 и передающие нагрузку на грунты основания преимущественно через подошву. Фундаменты мелкого заложения разделяются на следующие основные типы: отдельные ленточные сплошные и массивные см.2 Отдельные фундаменты устраивают под колонны опоры балок ферм и других элементов промышленных и гражданских зданий и сооружений.
29024. Отдельные фундаменты мелкого заложения. Основные конструктивные решения и применяемые материалы 48 KB
  Отдельные фундаменты мелкого заложения. Отдельные фундаменты устраивают под колонны опоры балок ферм и других элементов промышленных и гражданских зданий и сооружений. Отдельные фундаменты представляют собой кирпичные каменные бетонные или железобетонные столбы с уширенной опорной частью. Отдельные фундаменты могут выполняться в монолитном и сборном варианте.
29025. Ленточные фундаменты под стены. Конструктивные решения и применяемые материалы. Условия применения прерывистых ленточных фундаментов 36.5 KB
  Ленточные фундаменты под стены. Ленточные фундаменты под стены устраивают либо монолитными либо из сборных блоков. Монолитные ленточные фундаменты изготовляют из природного камня бетона или железобетона. Монолитные ленточные фундаменты из природного камня и бетона проектируются как жёсткие.
29026. Ленточные фундаменты под колонны и их конструктивные решения 26 KB
  Ленточные фундаменты под колонны и их конструктивные решения. Ленточные фундаменты под колонны устраивают в виде одиночных под ряд колонн или перекрёстных под сетку колонн лент рис. Ленточные фундаменты под колонны предают большую жёсткость сооружению и способствуют выравниванию его осадки.