19534

Восстановление дискретного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...

Русский

2013-07-12

146.5 KB

25 чел.

Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто  часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

       (1)

Отметим, что функция  является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

,          (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим  =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного  можем написать формулу

          (3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от  произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

       (4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать,  имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен:  для некоторого . Выберем   таким образом, чтобы выполнялось неравенство

         (5)

В этом случае функция  однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное .  Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

.  (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность  оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20200. Популяция, её структура и динамика 350 KB
  Стрелки – это каналы передачи вещества энергии и информации. Этот процесс идёт с поглощением энергии которая запасается в химических связях органического вещества. Понятие о трофической цепи Трофическая цепь – это цепь последовательной передачи вещества и эквивалентной ему энергии от одних организмов до других. упорядоченный поток передачи энергии солнца от продуцентов к консументам различного порядка.
20201. Круговорот веществ в биосфере 106.5 KB
  Он заключается в следующем: горные породы подвергаются разрушению и выветриванию продукты разрушения сносятся потоками воды в Мировой океан. Круговорот воды Нам знакомы 3 состояния воды: твёрдое лёд жидкое собственно вода газообразное водяной пар. Главный источник поступления воды атмосферные осадки а главный источник расхода испарение. Продолжительность кругооборота: океан 3000 лет подземные воды 5000 лет полярные ледники 8500 лет озера 17 лет реки 10 дней вода в живых организмах несколько часов.
20202. Промышленная экология. Промышленное производство и его воздействие на окружающую среду 47.5 KB
  Протяжённость тропосферы 710 километров на полюсах и 1618 километров по экватору. Протяжённость стратосферы примерно 40 километров. До высоты 30 километров температура стратосферы примерно –50оС а затем начинает расти и на высоте 50 километров составляет 10оС. Это связано с наличием в стратосфере озонового слоя расположенного на высоте 2540 километров.
20203. Загрязнение гидросферы 87 KB
  Пресная вода составляет только 25 от всех запасов воды. Примерно 70 пресной воды содержится в ледниках. Ежегодно люди расходуют около 3000 км3 воды из них 150 км3 безвозвратно. Больше всего воды потребляет сельское хозяйство.
20204. Стандартизация и охрана окружающей природной среды 31 KB
  ПДКрз – это концентрация которая при ежедневной работе в течение всего рабочего стажа не может вызвать заболевания или отклонения в состоянии здоровья в процессе работы или в отдаленные сроки жизни настоящего и последующего поколения. ПДКав – это максимальная концентрация примеси в атмосфере отнесенная к определению времени усреднено значение которой при периодическом воздействии или на протяжении всей жизни человека не оказывая на него вредного влияния включая отдаленные последствия. Это концентрация присутствие которой допустимо не...
20205. Расчёт предельно допустимого выброса вредного вещества в атмосферу 145 KB
  Нарисуем график зависимости концентрации загрязняющего вещества по оси факела выброса от расстояния до источника выброса. Расчёт предельно допустимого выброса состоит из нескольких частей и первая часть – расчёт максимальной приземной концентрации. Все формулы даются для двух вариантов: горячего выброса и холодного выброса.
20206. Контроль загрязнения почв 38 KB
  Кроме ПДК в номенклатуру санитарного состояния почв входят показатели: Общее количество аммонийного азота. Общее количество нитратного азота. Общее количество хлоридов. Общее количество пестицидов.
20207. ИССЛЕДОЛВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 96 KB
  Для получения равноплечной дифференциальной системы соединяются дужками гнезда 10 16 при этом коэффициенты трансформации равны: Для получения неравноплечной дифференциальной системы соединяются дужками гнезда 10 16 при этом коэффициент трансформации равны Резисторная дифференциальная схема состоит из четырех резистров по 600 Ом образующих равноплечный мост рис. Для этого соединить дужкой гнезда 11 16 а к гнездам ГЕН 23 27 подключить измерительный генератор с частотой...
20208. ИЗУЧЕНИЕ ОКОНЕЧНОЙ АППАРАТУРЫ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ К - 60П 148.5 KB
  Шестидесятиканальная система передачи на транзисторах К 60П предназначена для уплотнения симметричного кабеля диаметром жил 12мм в спектре частот 12 252 кГц. Работой устройств АРУ управляют токи контрольных частот: 16кГц наклонная 112 кГц криволинейная 248 кГц плоская. Индивидуальное преобразование спектра частот 03 34 кГц каждого из 12 каналов тональной частоты осуществляется соответственно с помощью одной из несущих частот: 108; 104; ; 64 кГц. В результате этого преобразования образуется спектр стандартной первичной...