19535

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с

Русский

2013-07-12

487.85 KB

26 чел.

2

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула  обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что  . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл  равен 0 при  и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем =  =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим  

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью  различных устройств.

Система  осуществляет это преобразование: .. отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система   называется инвариантной, если  для любого .

Примеры.

  1.  Точечные системы: , где  произвольная функция ,- инвариантная система..
  2.   для произвольного фиксированного  - инвариантная система
  3.   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77178. Рассмотрите причины конфликтных ситуаций, разработайте программу оптимизации социально-психологического климата в коллективе 316 KB
  Конфликты занимают особое место в жизни человека и общества. Управление ими в организации является одним из важнейших направлений в деятельности руководителя. Конфликт – явление, знакомое каждому человеку.
77179. Разработать систему материального стимулирования сотрудника для повышения эффективности работы предприятия 292.5 KB
  Истинные причины, побуждающие работника максимально прикладывать усилия в работе определить нелегко. Этими условиями являются его желание, возможности, квалификация и, конечно же, мотивация - то есть побуждение. Потребности – это внутренние побуждения к действию.
77180. Технологии проведения политических избирательных кампаний 274 KB
  Это позволяет говорить об избирательной кампании которую в наиболее общем виде можно определить как всю совокупность действий предпринимаемых партиями избирательными объединениями или кандидатами и их командами для достижения своих предвыборных целей.
77181. Product Placement: вчера, сегодня, завтра 263.5 KB
  Приведем пример одной из самых культовых фигур сегодняшнего общества - Санта Клауса. Его история веками передавалась из поколения в поколение в легендах и фольклоре. Но образ Санты, хотя и опирается на могучие традиции, очень многим обязан процессу коммерциализации, происходившему в обществе.
77182. Адаптация персонала 260.5 KB
  К сожалению важность мероприятий по адаптации работников в нашей стране не достаточно серьезно воспринимается кадровыми службами на протяжении долгого периода. До сих пор многие государственные предприятия и коммерческие организации не имеют даже базовых программ адаптации.
77183. Дискриминация в трудовых отношениях 259 KB
  Дискриминацией является ограничение или лишение прав определенной категории граждан по какому-либо признаку, не оговоренному в соответствующем нормативном акте. Дискриминацией является и предоставление необоснованных льгот, преимуществ отдельным лицам или категориям граждан.
77185. Планирование кадров предприятия и их подбор 233.5 KB
  Проблемы социально-экономических преобразований, происходящих в Российском обществе, позволили осознать и оценить задачи, стоящие перед работниками кадровых служб предприятий. Без людей нет организации. Без нужных людей ни одна организация не сможет достичь своих целей и выжить.
77186. Технологии управления персоналом 207 KB
  По своим свойствам люди существенно отличаются от любых других используемых организациями ресурсов, а следовательно, требуют особых методов управления. Специфика человеческих ресурсов состоит в следующем.