19535

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с

Русский

2013-07-12

487.85 KB

31 чел.

2

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула  обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что  . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл  равен 0 при  и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем =  =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим  

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью  различных устройств.

Система  осуществляет это преобразование: .. отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система   называется инвариантной, если  для любого .

Примеры.

  1.  Точечные системы: , где  произвольная функция ,- инвариантная система..
  2.   для произвольного фиксированного  - инвариантная система
  3.   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33104. Виды профессиональной деятельности на рынке ценных бумаг 32.5 KB
  Брокерская деятельность Брокерской деятельностью признается деятельность по совершению гражданскоправовых сделок с ценными бумагами от имени и за счет клиента в том числе эмитента эмиссионных ценных бумаг при их размещении или от своего имени и за счет клиента на основании возмездных договоров с клиентом. Профессиональный участник рынка ценных бумаг осуществляющий брокерскую деятельность именуется брокером. В случае оказания брокером услуг по размещению эмиссионных ценных бумаг брокер вправе приобрести за свой счет не размещенные в срок...
33105. Четыре типа хозяйственных операций 28.5 KB
  Это происходит вследствие того что всякая операция отражается на двух счетах учета записью то есть затрагивает две статьи баланса которые могут находиться как одновременно в активе и пассиве так обе в активе или обе в пассиве. Операции первого типа вносят изменения в состав имущества то есть операции затрагивают только актив баланса. При этом валюта баланса не изменяется.
33106. Четырехуровневая система нормативного регулирования бухгалтерского учета в России 35 KB
  Данный Закон определяет правовые основы бухгалтерского учета его содержание принципы организацию основные направления бухгалтерской деятельности и составления отчетности состав хозяйствующих субъектов обязанных вести бухгалтерский учет и предоставлять финансовую отчетность. № 283 Об утверждении программы реформирования бухгалтерского учета в соответствии с международными стандартами финансовой отчетности и др. Федеральный закон О бухгалтерском учете занимает центральное место в системе нормативного регулирования бухгалтерского учета...
33107. Членство в Институте профессиональных бухгалтеров России 28.5 KB
  Членами ИПБ являются физические и юридические лица чья заинтересованность в совместном решении задач ИПБ России и достижении его Уставных целей оформляется индивидуальными заявлениями и документами позволяющими учитывать количество членов ИПБ. Виды членства ИПБ России: 1. Ассоциированные Члены ИПБ России: претендент; преподаватель; бухгалтерэкономист. Действительные Члены ИПБ.
33108. Экономическое содержание инфляции. Причины, виды, последствия. Антиинфляционная политика 43.5 KB
  Но это не означает что в период инфляции растут все цены. Темп роста цен индекса цен является первым из трех критериев при определении вида инфляции. Третий критерий ожидаемость и предсказуемость инфляции.
33109. Элементы учетной политики 27 KB
  Анализ учетной политики позволяет определить следующие элементы учета: принятые в организации способы организации и ведения учета; соответствие принятых в организации приемов ведения учета действующей методологии; принятые в организации способы амортизации основных средств нематериальных активов; способы оценки производственных запасов товаров незавершенного производства; методы учета стоимости материальных затрат при списании в производство; способы учета завершенных и не сданных заказчику объемов работ; возможность и способы создания...
33110. Этапы развития систем автоматизации 25.5 KB
  Сегодня мы анализируем уже третье поколение российских автоматизированных бухгалтерских систем. Этот период характеризовался массовым ввозом в нашу страну персональных компьютеров что в значительной степени обусловило выбор последних в качестве основной аппаратной платформы для бухгалтерских разработок. Энтузиастоводиночек и временные трудовые коллективы сменили профессиональные группы специалистов объединившихся в собственные компании которые хотели получать прибыль с продаваемого тиража бухгалтерских программ.
33111. Этическое регулирование деятельности проф.бухгалтеров в России 33 KB
  Инвесторы кредиторы работодатели правительство и население в целом полагаются на профессиональных бухгалтеров в плане достоверного и полного финансового учета и отчетности эффективного финансового управления и компетентных рекомендаций по различным вопросам. Подход и поведение профессиональных бухгалтеров при предоставлении ими таких услуг влияют на экономическое благосостояние всей станы. Профессиональные бухгалтеры смогут оставаться в таком привилегированном положении только в том случае если они попрежнему будут...
33112. Федеральные правила аудиторской деятельности 28.5 KB
  Список заканчивается номером 34 но шестой тринадцатый четырнадцатый и пятнадцатый стандарты утратили силу Правило стандарт N 1. Цель и основные принципы аудита Правило стандарт N 2. Документирование аудита Правило стандарт N 3. Планирование аудита Правило стандарт N 4.