19535

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с

Русский

2013-07-12

487.85 KB

31 чел.

2

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула  обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что  . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл  равен 0 при  и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем =  =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим  

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью  различных устройств.

Система  осуществляет это преобразование: .. отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система   называется инвариантной, если  для любого .

Примеры.

  1.  Точечные системы: , где  произвольная функция ,- инвариантная система..
  2.   для произвольного фиксированного  - инвариантная система
  3.   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42770. Розрахунок фізичних властивостей вільного та супутнього вуглеводневих газів одного з родовищ України за їх компонентним складом 1.97 MB
  Процес експлуатації нафтових і газових свердловин вимагає виконання низки розрахунків фізичних властивостей компонентів, що видобуваються, які істотно залежать від термобаричних умов, за яких вони знаходяться.
42771. Технология производства и характеристики качества стального гнутого швеллера 100x80x3,0мм из стали марки Ст3пс 391.61 KB
  В наибольшей степени этим требованиям соответствуют стальные конструкции выполненные из холодногнутых профилей ХГП так как данный вид профилей обладает широкими конструктивными достоинствами: высокая точность размеров хорошее качество поверхности повышенное сопротивление различного рода нагрузкам обеспечивают преимущества холодногнутых профилей перед горячекатаными. Одной из разновидностью сортовых гнутых профилей является швеллер. Механические свойства гнутых профилей определяют на заготовке в соответствии с ГОСТ 16523[10]. На...
42772. ТРАНСПОРТНЫЙ НАЛОГ: ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И ОСОБЕННОСТИ ИСЧИСЛЕНИЯ И ВЗИМАНИЯ С ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ НА ТЕРРИТОРИИ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ 881.15 KB
  Налогоплательщики транспортного налога Объект налогообложения транспортного налога Налоговые ставки транспортного налога Транспортный налог является основным источником финансирования дорожной отрасли, и от своевременности его поступления напрямую зависят сроки и качество исполнения строительных программ
42773. Социальная реабилитация инвалидов и методика её осуществления 441.99 KB
  Сущность и содержание социальной реабилитации Основные цели и задачи социальной реабилитации Принципы социальной реабилитации Инвалиды составляют особую категорию населения, численность которой постоянно увеличивается. Мировым сообществом социальная защита инвалидов рассматривается как проблема первостепенной важности.
42774. Проектирование системы теплоснабжения промышленного предприятия 219.1 KB
  Определение количества теплоты на подогрев воды для горячего водоснабжения Выбор основного и вспомогательного оборудования системы транспорта теплоты Выбор основного и вспомогательного оборудования источника теплоты.Определение потребности в топливе для производства теплоты.
42775. Организация работы коктейль-бара «Малибу» 804 KB
  Целью работы является рассмотрение вновь созданного коктейль - бара на 50 посадочных мест. Моему коктейль-бару я решил дать название «Малибу», так как моим основным спонсором является «Allied Distillers Limited»
42776. Компьютерная реализация решения инженерной задачи по решению дифференциальных уравнений в частных производных 1.38 MB
  Микроэлектроника является одной из наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей науки и техники. Элементы современных СБИС и микрооптикоэлектромеханических систем (МОЭМС) представляют собой сложные структуры, в основу функционирования которых положены разнообразные физические эффекты. Разработка подобных элементов практически невозможна без решения уравнений математической физики, представляющих
42777. Разработка технологического процесса механической обработки шкива в условиях ЗАО «МРК» 190.3 KB
  Технический прогресс в машиностроении характеризуется как улучшением конструкций машин, так и непрерывным технологии их производства. Развитие новых прогрессивных технологических процессов обработки способствует конструированию современных машин и снижению их себестоимости. Актуальной является задача повышения качества выпускаемых машин и, в первую очередь, их точности
42778. Особенности развития силовых способностей у школьников старшей возрастной группы 351.46 KB
  Динамика силовых качеств детей старшего школьного возраста под воздействием занятий физическими упражнениями. Данный режим работы мышц имеет место в силовых упражнениях с преодолением внешнего отягощения штанги гирь гантелей отягощений на блочном устройстве. Величина прикладываемой к снаряду силы при выполнении упражнения в изотоническом режиме изменяется по ходу траектории движения так как изменяются рычаги приложения силы в различных фазах движений. Упражнения со штангой или другим аналогичным снарядом с высокой скоростью...