19535

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с

Русский

2013-07-12

487.85 KB

27 чел.

2

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула  обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что  . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл  равен 0 при  и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем =  =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим  

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью  различных устройств.

Система  осуществляет это преобразование: .. отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система   называется инвариантной, если  для любого .

Примеры.

  1.  Точечные системы: , где  произвольная функция ,- инвариантная система..
  2.   для произвольного фиксированного  - инвариантная система
  3.   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25188. М.Шелер. Положення людини в космосі 30.5 KB
  Положення людини в космосі М. Причини: відсутність єдиної ідеї людини спеціальні науки психологія соціологія біологія і ін. зосереджуючись на окремих проявах людської життєдіяльності скоріше приховують сутність людини ніж розкривають. Двозначність поняття людини: 1.
25189. Сутність матеріалістичного розуміння історії 28 KB
  зору його внутрішньої структури; з т. зору процесу в якому задіяний: його історичних складових і звязків; з т. зору закономірностей його розвитку переходу одного його історичного стану в інший.
25190. Р.Рорті про походження ы засади теорії пізнання (Філософія і дзеркало природи) 37.5 KB
  Оба эти допущения по Рорти вовсе не являются неизбежными для философии; при этом первое из них берет своё начало ещё в античности прежде всего в платонизме а второе представляет собой специфический продукт философии Нового времени начиная с Декарта. Соответственно отказ от этого допущения позволяет Рорти деконструировать образ Зеркала Природы а это в свою очередь ведет к опровержению исходного взгляда на философию как на гарант добывания человеком объективной истины о себе и мире. Эпистемология теория познания с точки...
25191. Громадянське суспільство і держава 25.5 KB
  В основі ідеї громадянського суспільства лежить проблема відносин людини з політичною владою суспільства з державою. Вона є похідною від громадянського суспільства і її призначення полягає в тому щоб слугувати йому. Від ступеня розвиненості громадянського суспільства залежить ступінь демократизму держави. Етатизм навпаки всіляко перебільшує роль держави в житті суспільства.
25192. Філософське вчення Г. Сковороди 27.5 KB
  Сковорода 1722 1794 був всебічно освіченою для свого часу людиною досконало знав стародавні та нові європейські мови старогрецьку філософію і літературу. Сковорода стверджував що природа є безкінечна кількість світів . Сковорода пов'язував цю думку з концепцією двох натур двох природ лат. Сковорода намагався подолати дуалізм вчення про дві натури та знайти єдине начало€.
25193. Головні пункти критики спекулятивної диалектики з боку сучасників Гегеля (Шеллінг, Шопенгауер, Фейєрбах, Кіркегор) 29.5 KB
  Головні пункти критики спекулятивної диалектики з боку сучасників Гегеля Шеллінг Шопенгауер Фейєрбах Кіркегор. Фейєрбах: учень Гегеля незадоволений абстрактністю спекулятивної системи діалектикою €œчужістю€ системи конкретному людському індивідові. з гегелевською ідеєю абсолютного духа €œвідстороненої€ сили Кіркегор: субєктивна екзистенціальна діалектика Кіркегора виростає як протиставлення системі Гегеля де людина підвладна анонімному принципу історичного розвитку втрачає свою індивідуальність. Критикував Гегеля також за...
25194. Гадамер про герменевтичний досвід і природу філософської істини 24.5 KB
  Мета філософської герменевтики порятунок цілісного досвіду сприйняття світу. Більшість людських проблем повязані з збідненням досвіду ФГ. Вчить дотримуватися набутого досвіду. Герменевтичний досвід не може не залежити від наших упереджень попереднього досвіду.
25195. Знання як особлива форма освоєння світу 27.5 KB
  Пізнання це такий процес що спрямований на отримання знання. Пізнання має багато модусів оскільки людина відноситься до світу у різних площинах і пізнає його у різних ракурсах. Тому можна виділяти наукове пізнання етичне релігійне філософське мистецьке та інші. Пізнанням є таке відношення до світу в якому людина змінює себе за допомогою світу.
25196. Пізнання як особлива форма освоєння світу 25 KB
  Пізнання як особлива форма освоєння світу Якщо дуже просто то пізнання це процес взаємодії субєкта та обєкта що своїм результатом має знання. Існують різні способи пізнання а отже й різні види знання. Поряд із різноманітністю видів знань існує величезна кількість поглядів на саму природу пізнання. Говорять про абстрактне і конкретне пізнання повне і неповне наукове і філософське тощо.