19535

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с

Русский

2013-07-12

487.85 KB

31 чел.

2

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула  обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что  . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл  равен 0 при  и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем =  =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим  

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью  различных устройств.

Система  осуществляет это преобразование: .. отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система   называется инвариантной, если  для любого .

Примеры.

  1.  Точечные системы: , где  произвольная функция ,- инвариантная система..
  2.   для произвольного фиксированного  - инвариантная система
  3.   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

427. Общепринятые теории происхождения жизни на планете Земля 83.5 KB
  Теории происхождения жизни на Земле. Абиогенная теория происхождения жизни на Земле. Поиск жизни во Вселенной. Вероятность самозарождения живого организма из неорганических веществ практически равняется нулю.
428. Вибір стратегічного профілю зовнішньоекономічної діяльності 132 KB
  Нині у практиці міжнародного бізнесу сформувалося чотири основних стратегічних профілі міжнародних компаній, з урахуванням яких доцільно виробляти основні стратегічні рішення. Процес формування, оцінювання і прийняття стратегій розвитку бізнесу.
429. Разработка программы Каталогизатор дисков 605.5 KB
  В данной пояснительной записке рассматривается описание программы Dark Catalog. В качестве основного инструмента разработки применяется Microsoft Visual Studio 2005. Язык программирования C#.
430. Нормирование труда и использование рабочего времени на предприятии 287.5 KB
  Изучение методов нормирования труда и использования рабочего времени и разработка рекомендаций по их совершенствованию. Анализ нормирования труда и использования рабочего времени на примере ОАО КЭМЗ. Методы определения экономической эффективности мероприятий по совершенствованию организации и нормированию труда.
431. ЭВМ в практических задачах 729.5 KB
  Основные сведения о компьютере и работе с ним. Коротко о некоторых других возможностях Microsoft Word. Основные понятия операционной системы Windows. Основные термины и понятия электронной таблицы. Некоторые специальные возможности Microsoft Excel.
432. Двенадцать нитей ДНК: История, теория и практика перекодирования ДНК 992 KB
  История и теория перекодирования ДНК. Очищение от токсинов как подготовка к перекодированию. Управление энергией двенадцати нитей. Удивительная история открытия этой системы, в которой не обошлось без внеземного разума и ченнелинга.
433. Механизм грузоподъемной машины 511.5 KB
  Правильный выбор подъемно-транспортного оборудования является решающим фактором нормальной работы и высокой продуктивности производства. Современные высокопроизводительные грузоподъемные и транспортирующие машины, работающие с большими скоростями и обладающие высокой грузоподъемностью.
434. Моделирование сети Хэмминга 604.5 KB
  Структурная схема сети Хэмминга. Разработка концептуальной объектной модели системы. Скриншот главного окна программы KR.exe. Основными алгоритмами программы являются алгоритм обучения нейронной сети и алгоритм Хэмминга.
435. Очисні споруди стічних вод 984.5 KB
  Визначення розрахункових витрат стічних вод. Розрахунок коефіцієнта змішання води водойми з стічними водами. Вибір методу очищення і складу споруд очисної станції. Розрахунок споруд для механічного очищення стічних вод.