19535

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с

Русский

2013-07-12

487.85 KB

26 чел.

2

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула  обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что  . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл  равен 0 при  и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем =  =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим  

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью  различных устройств.

Система  осуществляет это преобразование: .. отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система   называется инвариантной, если  для любого .

Примеры.

  1.  Точечные системы: , где  произвольная функция ,- инвариантная система..
  2.   для произвольного фиксированного  - инвариантная система
  3.   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83395. Теорія і методика фізичного виховання дітей дошкільного віку 2.87 MB
  Навчальний посібник складено згідно з програмою для педагогічних університетів та училищ. У ньому розглянуто основи системи фізичного виховання, завдання та зміст фізичного виховання дітей раннього та дошкільного віку, методика проведення основних форм навчально-виховного процесу з фізичного виховання в дошкільному закладі.
83396. Стратегическое управление: учебебное пособие 819.5 KB
  В учебном пособии излагаются научные основы концепция и основные задачи стратегического менеджмента рассматриваются вопросы анализа внешней среды и внутренних возможностей предприятия подходы к разработке стратегических альтернатив проблемы реализации стратегических решений.
83397. Разработка программы научно-методического сопровождения ОЭР: Учебно-методическое пособие 101.6 KB
  Современный этап социально-экономического развития характеризуется изменением роли образования в жизни каждого человека и всего российского общества. Образование обретает статус особого механизма общественного, культурного развития регионов, становится пространством личностного развития всех субъектов...
83398. ДІЛОВОДСТВО НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК: ДІЛОВОДСТВО 599 KB
  У посібнику наведено вимоги до створення й оформлення організаційно-розпорядчих, інформаційних, фінансово-розпорядчих та кадрових документів. Запропоновано різноманітні зразки документів, які відображають особливості написання та оформлення реквізитів. За допомогою наведених тестів...
83399. Система задач и упражнений по языку программирования Pascal 780 KB
  В работе приведены задачи и упражнения по основным разделам курса изучения языка программирования Паскаль. К каждой лабораторной работе прилагаются тексты программ, необходимых для ее выполнения. Содержание подкреплено значительным количеством контрольных вопросов по всем изучаемым темам.
83400. Психологічна служба: Навчально-методичний посібник 491 KB
  До її змісту включено питання що стосуються вивчення методології практичної психології особистості у практичній психології особливостей реалізації особистісного підходу в роботі практичного психолога життєвої ситуації особистості специфіки роботи психологопедагогічний консиліум особливостей...
83401. СИСТЕМИ ТА ЗАСОБИ ВІДОБРАЖЕННЯ ІНФОРМАЦІЇ: НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК 2.55 MB
  За технічну допомогу в підготовці посібника до друку Зміст Вступ Роль та місце систем відображення інформації в АСУ. Варіанти побудови систем відображення інформації в комплексі АСУ. Основні характеристики системи відображення інформації і критерії їх оцінки.
83402. ГІГІЄНА І САНІТАРІЯ 1.1 MB
  У навчальному посібнику узагальнено відомості про основні задачі гігієни і санітарії, ведучу роль цих дисциплін у харчовій промисловості. Наведено принципи роботи з нормативною документацією. Розглянуто методи контролю та забезпечення належного санітарно-гігієнічного стану підприємств громадського харчування.
83403. Английский язык: Методические указания по составлению заявки на грант 592.5 KB
  Другие организации занимающиеся деятельностью сходной с Вашим проектом часто также могут предоставить подробную информацию об источниках финансирования в интересующей Вас области а лучший способ получить подробную информацию о конкретном фонде запросить из этого фонда ежегодный отчет и другие материалы...