19535

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с

Русский

2013-07-12

487.85 KB

31 чел.

2

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула  обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что  . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл  равен 0 при  и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем =  =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим  

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью  различных устройств.

Система  осуществляет это преобразование: .. отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система   называется инвариантной, если  для любого .

Примеры.

  1.  Точечные системы: , где  произвольная функция ,- инвариантная система..
  2.   для произвольного фиксированного  - инвариантная система
  3.   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85837. Оптимизация бизнес-процесса ЗападноСибирского банка ОАО «Сбербанк России» 2.87 MB
  Переход компаний от стратегии, ориентированной на «изготовление» продуктов, к стратегии, направленной на удовлетворение потребностей клиентов, требует качественно иного подхода к управлению. Для того чтобы отвечать требованиям клиентов, необходима смена базовых принципов организации компании...
85838. Принципы и особенности функционирования АСУсвязь областного государственного предприятия электросвязи «Лугансктелеком» 1.45 MB
  Повышение эффективности производственно-хозяйственной деятельности предприятия в результате применения АСУП достигается за счет повышения качества решения планово-экономических задач и улучшения на его основе использования производственных ресурсов а также благодаря рационализации деятельности управленческого персонала.
85839. Рекомендации по совершенствованию работы персонала суши-бара «Эдем» 998 KB
  Квалификация персонала, его профессионализм приобретают все большее значение. Обучение и повышение квалификации, мотивация уже работающего персонала - необходимость каждого предприятия. Для обеспечения необходимого уровня качества нужна не только соответствующая материальная база и заинтересованный...
85840. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОЕКТНОГО МЕНЕДЖМЕНТА В ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ООО АН «ДИНАСТИЯ» 3.02 MB
  Целью дипломной работы является анализ эффективности применения проектного управления для повышения эффективности деятельности ООО АН «Династия» Цель данной работы определила следующие ее задачи: Рассмотреть общие понятия управления проектами; Составить обзор программных средств для управления проектами...
85841. РАЗРАБОТКА ПРЕДЛОЖЕНИЙ ПО ПОВЫШЕНИЮ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ГОСЗАКУПОК В ЭЛЕКТРОННОМ ФОРМАТЕ 1.47 MB
  Мировой опыт показывает что наиболее рациональным способом организации закупок для государственных нужд является осуществление закупок посредством проведения конкурсных торгов которые способствуют здоровой конкуренции и значит являясь чисто экономическим инструментом поддержки наиболее перспективных предприятий...
85842. Методика расследования преступлений террористической направленности 302 KB
  Террористический акт - это совершение взрыва поджога или любых иных действий создающих реальную опасность гибели людей хотя бы одного человека причинения значительного имущественного ущерба либо наступления иных общественно опасных последствий а также угроза совершения указанных действий.
85843. Разработка автоматизированной системы управления товарно-материальными ценностями в ГОАО “КУМТС” 636.5 KB
  В данной дипломной работе рассмотрены проблемы по обеспечению товарно-материальными ценностями предприятия в условиях рыночной конкуренции, сделан анализ хозяйственной деятельности предприятия и разработана автоматизированная система управления и учета сырья и материалов.
85844. Создание системы поддержки принятия решений в управлении складом на предприятии оптово-розничной торговли 954 KB
  Предприятие сотрудничает с семью поставщиками с которыми оно заключило договора о постоянных поставках определенного наименования товара не зависимо от объема заказа. К издержкам по закупкам относятся: издержки по оформлению заказа; издержки по оформлению договора о поставках и коммуникации с поставщиками...
85845. Управление запасами и закупками ООО Лесоторговая база 353 KB
  Первым шагом в управлении запасами является выделение целевых показателей для отдельных структурных подразделений или ответственных лиц: минимизация суммарных затрат связанных с запасами стоимость хранения стоимость выполнения заказа убытки связанные с отсутствием необходимых товаров; ускорение оборачиваемости; снижение риска возможных срывов планов по продажам. Поэтому при формировании заказа уместно рассмотреть политику фирм в области управления запасами. Предусматривается наличие нужного товара в соответствующем...