19536

Цифровые фильтры. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Определение. Система называется физически реализуемой если сигн...

Русский

2013-07-12

489.7 KB

9 чел.

2

Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия

Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.

Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени .

Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность . Пусть , а по определению . Для произвольной последовательности  справедливо разложение . В силу линейности  а в силу инвариантности . Окончательно, если  , то

  (1)

Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.

Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда

.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид .

Рекуррентные системы

Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность  обладает свойством: . Пусть

,

,        (2)

где  - натуральное, а  - любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и .Она будет линейной, если число  одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если . Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.

Фильтры

Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим

    (3).

Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция  называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой , то  будет периодической функцией с периодом . Если последовательность  - вещественная, то . Отсюда следует, функция  является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика.

Предположим, что в последовательности  лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что . Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

 (4)

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.

 

IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением  в виде ряда:  где ,  с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38782. Организация расследования незаконного оборота оружия 191 KB
  Нарушение правил оборота гражданского оружия . Особенности расследования преступлений связанных с незаконным оборотом оружия31 3. Особенности следственных действий по преступлениям связанных с незаконным оборотом оружия.
38783. Разработка приложения в среде DELPHI и MATHCAD для расчета шарнирного четырехзвенника 473.52 KB
  Компьютеризация инженерных задач — один из основных путей повышения производительности в сфере подготовки производства машиностроительного предприятия. Применение математических методов и ЭВМ при расчётах способствует повышению технического уровня и качества проектируемых объектов, сокращению сроков разработки и освоения их в производстве. Широкое использование вычислительной техники во всех этих сферах деятельности современного инженера предъявляет к его профессиональной квалификации ряд дополнительных требований
38784. Розробка конструкцій розточної силової головки 6.87 MB
  Глибина різання визначається за формулою: t=002D мм Визначаємо величину подачі З карти Т4 визначаємо швидкість різання φ =45 Визначаємо частоту обертання шпінделя Визначаємо мінімальну подачу Визначаємо силу різання з карти Т5 Визначаємо потужність різання з карти Т6 Визначаємо потужність електродвигуна 1. Визначаємо глибину різання Визначаємо подачу яка забезпечує шорсткість R = 25 мкм при радіусі закруглення різця r = 05 мм Визначаємо швидкість різання Визначаємо частоту обертання шпінделя Визначаємо мінімальну подачу...
38786. Техническая характеристика грузового автомобиля ЗИЛ-130 1.06 MB
  Для обеспечения длительной и безопасной работы автомобиля при проведении ТО сборочные единицы смазывают. Места агрегатов автомобиля требующие периодически пополнения или смены масла и смазок указаны в таблице смазывания таблица №7. Замену масла смазку сборочных единиц и их соединений выполняют при неработающем двигателе. При замене масла в картере двигателя и в других сборочных единицах сливают масло сразу после остановки автомобиля когда оно горячее.
38787. ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЁТА ПРОЧИХ ДОХОДОВ И РАСХОДОВ ООО «СТРОЙИНДУСТРИЯ» 263.5 KB
  Доходы и расходы: понятие их сущность значение виды 10 1. Проанализировать прочие доходы и расходы. Предметом исследования являются прочие доходы и расходы ООО Стройиндустрия.Доходы и расходы: понятие их сущность значения виды В соответствии с п.
38789. Конкурентоспособность и ее повышение ООО «Урал-инструмент-Пумори» 1.13 MB
  Продвижение товара с помощью интернеттехнологий. Повышение конкурентоспособности ООО УралинструментПумори на основе интернеттехнологий продвижения товара. Организационная структура управления ООО УралинструментПумори. Экспертная оценка конкурентоспособности ООО УралинструментПумори.
38790. ДИНАМИКА ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ МОЛОДЕЖИ В ОТНОШЕНИИ СЕМЬИ И БРАКА В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ РОССИЙСКОГО СОЦИУМА 758 KB
  Теоретикометодологические основы исследования и ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Некоторые теоретические подходы к изучению ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Факторы формирования и тенденции развития ценностных ориентаций современной российской молодежи в отношении семьи и брака.