19536

Цифровые фильтры. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Определение. Система называется физически реализуемой если сигн...

Русский

2013-07-12

489.7 KB

10 чел.

2

Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия

Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.

Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени .

Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность . Пусть , а по определению . Для произвольной последовательности  справедливо разложение . В силу линейности  а в силу инвариантности . Окончательно, если  , то

  (1)

Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.

Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда

.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид .

Рекуррентные системы

Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность  обладает свойством: . Пусть

,

,        (2)

где  - натуральное, а  - любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и .Она будет линейной, если число  одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если . Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.

Фильтры

Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим

    (3).

Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция  называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой , то  будет периодической функцией с периодом . Если последовательность  - вещественная, то . Отсюда следует, функция  является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика.

Предположим, что в последовательности  лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что . Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

 (4)

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.

 

IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением  в виде ряда:  где ,  с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23312. Сравнительно-исторический метод в языкознании. Периодизация. Внешняя и внутренняя реконструкция 28 KB
  Сравнительноисторический метод метод классификации языков который служит для сравнительного изучения языкового материала. Принципы и методы сравнительноисторического метода: 1 Тщательный отбор языкового материала подлежащего сравнению. Сравниваемые языковые формы должны соотноситься по значению но подобная соотнесенность может быть лишь частичной. 3 Реконструкция праязыковых форм.
23313. Зависимость композиции произведения от художественного метода, рода и жанра 28.5 KB
  Зависимость композиции произведения от художественного метода рода и жанра. Главные особенности: исключительные обстоятельства действия исключительные герои Автор затушёвывает особые свойства героя для создания романтического образа Цыгане Пушкина культ свободы В романтических произведениях автор своё субъективное начало проявляет более широко и властно чем в классицистических. композиция лирического произведения см. ответ на вопрос №49 композиция драматического произведения см.
23318. Измерение параметров сигнала с помощью осциллографа 2.72 MB
  Определять параметры сигнала помощью осциллографа. Техническое описание осциллографа С165. Изучить повторить Теоретический материал об измерении параметров электрических сигналов с помощью осциллографа. Ознакомиться с устройством и особенностями осциллографа С165.
23319. СОСТАВ НЕЙТРОННОЙ ДОЗЫ В ВЕЩЕСТВЕ И ФАКТОР НАКОПЛЕНИЯЯ НЕЙТРОНОВ 144.5 KB
  Широко применяемые в реакторной технике активационные детекторы вносят минимальные возмущения в измеряемую величину плотности потока нейтронов и поэтому обладают наибольшей точностью по сравнению с другими методами. В частности последнее имеет важное значение при определении как общей так и парциальной дозы нейтронов в веществе. Целью работы является освоение основ методики экспериментального определения плотностей потоков быстрых резонансных и тепловых нейтронов с помощью индиевых детекторовфольг в водородсодержащей среде парафин и...
23320. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЙТРОННОЙ ЗАЩИТЫ РЕАКТОРА 134 KB
  От состава материалов защиты зависит также и разбиение спектра нейтронов на энергетические группы при расчётах. Чем тяжелее защита когда в ней преобладают тяжёлые материалы тем она более материалоёмка тем на большее число групп нейтронов разбивается спектр и сложнее расчёты. Целью работы является расчёт поглощения нейтронов по программе NEUTRON2 и исследование распределений быстрых и тепловых нейтронов по глубине однородных поглотителей из различных материалов. Рассматривается прохождение через защиту быстрых нейтронов источники...