19536

Цифровые фильтры. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Определение. Система называется физически реализуемой если сигн...

Русский

2013-07-12

489.7 KB

15 чел.

2

Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия

Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.

Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени .

Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность . Пусть , а по определению . Для произвольной последовательности  справедливо разложение . В силу линейности  а в силу инвариантности . Окончательно, если  , то

  (1)

Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.

Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда

.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид .

Рекуррентные системы

Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность  обладает свойством: . Пусть

,

,        (2)

где  - натуральное, а  - любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и .Она будет линейной, если число  одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если . Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.

Фильтры

Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим

    (3).

Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция  называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой , то  будет периодической функцией с периодом . Если последовательность  - вещественная, то . Отсюда следует, функция  является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика.

Предположим, что в последовательности  лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что . Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

 (4)

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.

 

IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением  в виде ряда:  где ,  с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53582. Тропинка к своему Я (уроки психологии в начальной школе) 531 KB
  Ребенок лучше всего запоминает информацию, когда не только слышит ее, но и видит ее наглядное отображение, имеет возможность потрогать изучаемый объект. Внимание и па мять пока еще в основном непроизвольны, то есть для концентрации ребенку требуется внешняя помощь (интересные картинки, звуковые сигналы, игровые ситуации)
53583. Афины при Перикле 87.5 KB
  Сформировать представление о деятельности народного собрания о причинах возвышения и расцвета Афин. А так же сформировать понимание у учащихся в чем проявилась особенность афинской демократии. Вождь афинской демократии Перикл.
53584. Настоящее и прошедшее время глагола 60.5 KB
  Задачи урока: 1. Привлечь внимание детей к значению в нашей речи глагола; Оборудование: учебник Форма проведения: традиционная Тип урока: комбинированный Структура урока: 1. Работа по теме урока 5.
53585. Изображение и реальность 1.42 MB
  Планируемые результаты урока: Предметные: в познавательной сфере в ценностно-эстетической сфере умения различать и передавать в художественно-творческой деятельности характер эмоциональное состояние и своё отношение к природе обществу; в коммуникативной сфере способность высказывать суждения о художественных особенностях произведений; в трудовой сфере умение использовать различные материалы и средства художественной выразительности для передачи замысла в собственной художественной деятельности.
53586. Базовые концепции финансового менеджмента: концепция временной стоимости денег, концепция денежного потока, компромисса между риском и доходностью, концепция стоимости капитала 26 KB
  Концепция временной ценности денежных ресурсов. Важнейшую роль играет фактор времени. В результате денежная единица, имеющаяся сегодня, и денежная единица, ожидаемая к получению через какое-то время, не равноценны (инфляция, риск неполучения ожидаемой суммы и оборачиваемость).
53588. А.П. Чехов «Ванька» 1019 KB
  Цель урока: познакомить учащихся с рассказом А. Чехова Ванька Задачи урока: Образовательные: систематизировать и обобщить знания по теме продолжить знакомство с творчеством А. Ребята а какое мужское имя на Руси было самое распространенное Иван Ваня Иван - это полное имя а неполное как звучит Ваня А рассказ который мы будем с вами изучать на уроке называется Ванька. Заметьте рассказ называется не Ваня не Ванечка и не Иван а Ванька.
53589. Пресмыкающиеся. Их разнообразие, строение тела, способы передвижения 42 KB
  Их разнообразие строение тела способы передвижения. Выявить их строение способы передвижения питание. Изучение нового материала Кто всех медленней ползетДомик на себе несетСпрятать голову от страхаМожет в панцирь . Постановка задач Как вы думаете что нам надо узнать сегодня о пресмыкающихся Их разнообразие строение тела способы передвижения.
53590. Правописание безударных личных окончаний глаголов в настоящем и будущем времени 60.5 KB
  Цели урока: Образовательные: формировать умение писать безударные личные окончания глаголов в настоящем и будущем времени развивать умение обосновывать правильное продолжить формирование умения писать слова на изученные ранее орфограммы развивать орфографическую зоркость и фонематический слух Развивающие: развивать память развивать внимание развивать мышление развивать мелкую моторику рук Воспитывающие: развивать интерес к русскому языку воспитывать коллективизм прилежание Оборудование учителя: Оборудование ученика:...