19536

Цифровые фильтры. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Определение. Система называется физически реализуемой если сигн...

Русский

2013-07-12

489.7 KB

13 чел.

2

Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия

Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.

Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени .

Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность . Пусть , а по определению . Для произвольной последовательности  справедливо разложение . В силу линейности  а в силу инвариантности . Окончательно, если  , то

  (1)

Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.

Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда

.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид .

Рекуррентные системы

Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность  обладает свойством: . Пусть

,

,        (2)

где  - натуральное, а  - любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и .Она будет линейной, если число  одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если . Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.

Фильтры

Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим

    (3).

Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция  называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой , то  будет периодической функцией с периодом . Если последовательность  - вещественная, то . Отсюда следует, функция  является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика.

Предположим, что в последовательности  лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что . Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

 (4)

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.

 

IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением  в виде ряда:  где ,  с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4920. Ввод и вывод чисел. Стандартные математические функции 67.5 KB
  Ввод и вывод чисел Числовые данные выводятся в выходной поток оператором вывода, определенным в заголовочном файле iostream.h. Этот оператор способен выводить данные любых стандартных типов, в том числе отдельные символы, строки. Приемником...
4921. Измерение емкости конденсатора 54.5 KB
  Цель работы Определить емкость конденсатора двумя способами экспериментальная проверка формул расчета емкости параллельного и последовательного соединения конденсаторов. Схема установки ИП – источник питания G– гальванометр...
4922. Освоение среды разработки Image, Label 57 KB
  Освоение среды разработки. Цель работы Овладеть навыками программирования с использованием Image, Label. Задание Создать проект типа Standard.EXE. Создание на форме элементов управления. Работа со свойствами. Для начала ...
4923. Создание процедуры в среде Visual Basic 113 KB
  Создание процедуры. Цель работы Овладеть навыками программирования с использованием Image, PictureBox, Timer, Button . Задание Создать анимацию бабочки для начала следует создать проект. Далее помещаем на форму Button(1 шт.), Image...
4924. Освоение элементов управления и файлов в среде Visual Basic 63.5 KB
  Освоение элементов управления и файлов в среде VB. Цель работы: овладеть навыками программирования с использованием стандартных элементов управления и файлов. Вариант №11 Задание: Считать матрицу 3*3 из текстового файла...
4925. Основные свойства элемента управления MSFIexGrid 553.5 KB
  Цель работы Изучить основные свойства элемента управления MSFIexGrid (сетки) и способы использования ее для вывода информации. Задание 1 1. Разработайте форму для ввода данных в выделенную ячейку и исследуйте свойства сетки MSFIexGrid. 2. Составьте ...
4926. Дополнительные элементы управления для разработки интерфейса пользователя 813.5 KB
  Цель работы Приобрести навыки в использовании дополнительных элементов управления для разработки интерфейса пользователя. Задание Разработайте форму для демонстрации графиков элементарных функций. Форма должна позволять выводить на экран графи...
4927. Работа с файлами в среде Visual Basic 211.5 KB
  Работа с файлами в VB. Цель работы Приобрести практические навыки в работе с файлами последовательного доступа и использовании стандартных окон Windows. Задание Разработайте и отладьте базу данных Склад с использованием файла последо...
4928. Товарищество собственников жилья как наиболее выгодный с экономической точки зрения способ управления домом. 206.66 KB
  Товарищество собственников жилья как наиболее выгодный с экономической точки зрения способ управления домом. Существует несколько форм управления многоквартирным домом, это: 1. прямое или непосредственное управление 2. управление управляющей организ...