19536

Цифровые фильтры. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Определение. Система называется физически реализуемой если сигн...

Русский

2013-07-12

489.7 KB

9 чел.

2

Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия

Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.

Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени .

Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность . Пусть , а по определению . Для произвольной последовательности  справедливо разложение . В силу линейности  а в силу инвариантности . Окончательно, если  , то

  (1)

Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.

Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда

.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид .

Рекуррентные системы

Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность  обладает свойством: . Пусть

,

,        (2)

где  - натуральное, а  - любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и .Она будет линейной, если число  одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если . Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.

Фильтры

Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим

    (3).

Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция  называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой , то  будет периодической функцией с периодом . Если последовательность  - вещественная, то . Отсюда следует, функция  является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика.

Предположим, что в последовательности  лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что . Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

 (4)

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.

 

IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением  в виде ряда:  где ,  с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24227. Игровые технологии в обучении иностранных языков 53 KB
  лексика фонетика развитие психических процессов развитие произвольного поведения Характеристики игры: мотивированность отсутствие принуждения индивидуализированная глубоко личная деятельность обучение и воспитание в коллективе но чрезмерно увлекаться игрой не нужно должна развитие определенных способностей память мышление учение с увлечением Игра – это технология совокупности приемов. Все игры делятся на 2 категории: ролевые подстановочные Ролевые: Она представляет собой разыгрывание определенной ситуации. Ролевые игры...
24229. Способы обучения монологу и диалогу по пути сверху вниз и снизу вверх 40.5 KB
  невербальные средства мальчик получил 5 = улыбается Диалог Говорение как вид речевой деятельности есть порождение устной речи чаще в коммуникативных целях. Диалог – основная форма устной речи наделенная общими характеристиками устной речи. Диалог как правило реализуется в устной речи письменная речь может зафиксировать диалог порожденный устно. Обучение диалогической речи – это ситуативное обучение репродуцированию воспроизведению.
24230. Цех железобетонных конструкций 458.5 KB
  Цех железобетонных конструкций входит в состав завода железобетонных конструкций. Цех предназначен для изготовления конструкций поточным и стендовым методами. Завоз арматуры и вывоз готовых изделий производится рельсовым транспортом. При термовлажностной обработке изделий возможны выделения тепла и пара.
24232. Лексика 23 KB
  – the Union Jack перевод толкование much many a lot перевод посмотри значение в словаре образная память 3 работа над формой звуковая pronounciation графическая spelling грамматическая значением употреблением коллокация – типичные сочетания слова; конатация – ассоциации соц. упражнения на уровне слова: из ряда слов убрать лишнее; сгруппировать сова по темам; назвать слова по картинкам; кроссворды; вставить пропущенную букву; из разбросанных букв составить слово. упражнения на уровне предложения: вставить...
24234. Упражнение, как элементарная единица обучения 33.5 KB
  Письменные упражнения не рекомендуется делать в классе. Связанно это с полной невозможностью устного общения вне уроков и следовательно тратить время на письменные упражнения не рекомендуется. Отдельно на аудирование проводить упражнения не целесообразно. 5 по коммуникативной направленности: языковые упражнения на отработку языковых навыков: фонетические лексические грамматические.
24235. Цель обучения иностранным языкам в отечественной методике 51 KB
  Развивающая развитие мышления воображения памяти внимания. нач школа формирование умения общаться на ия с учётом реч способностей и потребностей нач клговорение чтение аудирование письмо развитие ребёнка его реч способтей вниманияпамяти мотивации к дальнейшему изуч ия обеспечение коммуникативнопсих адаптации мл шк к нов языку для преодоления дальнейшего языкового барьера используя ия как срво общния освоение элемент лингвист освоений доступных мл шк и необход для освоения устн и пись речи на ия преобщение детей...