19536

Цифровые фильтры. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Определение. Система называется физически реализуемой если сигн...

Русский

2013-07-12

489.7 KB

9 чел.

2

Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия

Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.

Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени .

Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность . Пусть , а по определению . Для произвольной последовательности  справедливо разложение . В силу линейности  а в силу инвариантности . Окончательно, если  , то

  (1)

Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.

Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда

.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид .

Рекуррентные системы

Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность  обладает свойством: . Пусть

,

,        (2)

где  - натуральное, а  - любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и .Она будет линейной, если число  одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если . Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.

Фильтры

Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим

    (3).

Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция  называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой , то  будет периодической функцией с периодом . Если последовательность  - вещественная, то . Отсюда следует, функция  является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика.

Предположим, что в последовательности  лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что . Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

 (4)

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.

 

IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением  в виде ряда:  где ,  с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37112. Россия в СНГ и мире: проблема взаимоотношений. Россия на рубеже XX-XXI вв 16.75 KB
  После распада СССР и провозглашения Содружества Независимых Государств для России сложилась новая внешнеполитическая ситуация. Обустройство этих войск в новых местах дислокации обернулось для России значительными финансовыми затратами. 30 мая 1997 года президентами России и республики Беларусь был подписан Устав нового союза однако противников объединения этих двух славянских государств остается немало как с одной так и с другой стороны. В отношении дальнего зарубежья внешняя политика России ставшей правопреемницей СССР характеризуется...
37113. Социально-экономическое развитие суверенной России: переход к рынку, приватизация 17.41 KB
  Приватизация. Осенью 1992 года началась приватизация. Решению этой задачи была подчинена и объявленная приватизация.
37114. Политические преобразования в РФ в 90-е годы. Октябрьский кризис 1993 г. Принятие Конституции, переход к парламентаризму 16.59 KB
  Принятие Конституции переход к парламентаризму. После октябрьских событий началась ликвидация системы Советов завершившаяся с принятием на всенародном референдуме 12 декабря 1993 новой Конституции Российской Федерации 3в 1990–1993 гг. Ельциным которая впервые занялась разработкой новой Конституции. Проект подготовленный этой комиссией не был принят ни на первом ни на втором обсуждении на съездах народных депутатов но одобрялась общая концепция Конституции что значительно затягивало переход к новому конституционному строю в...
37115. политических противоречий в Российской Империи в начале XX века. 15.04 KB
  Национальный вопрос в России в начале XX века. Национальный вопрос – одно из основных социальнополитических противоречий в Российской Империи в начале XX века. Рост недовольства на окраинах подпитывался как жесткой национальной политикой правительства в частности ограничениями в отношении поляков финнов армян и некоторых других народов так и экономическими неурядицами которые переживала Россия в первые годы XX века. К началу XX века российские этносы представляли собой чрезвычайно разнородную массу.
37116. Общенациональный кризис в стране осенью 1917 г 23.48 KB
  Приход к власти большевиков Осенью 1917 г. Бесспорно что если бы большевики промедлили с взятием власти и не упредили правые силы слабое правительство Керенского сменила бы военная диктатура. В нем объявлялось о низложении Временного правительства и переходе власти к Петроградскому ВРК. Тем самым шанс на спасение буржуазной власти был утрачен.
37117. Брестский мир 17.35 KB
  большевики связывали выход России из войны с мировой революцией. Согласно условиям Брестского мира: от России отторгалась Польша Прибалтика западная часть Белоруссии. Ни одна из стран Антанты союзников России в войне не ответила на эти мирные предложения однако страны германоавстрийского блока в конце ноября согласились вести переговоры о перемирии и мире с представителями Советской республики. Подписания мира в тот момент настоятельно требовали внутренняя и внешняя обстановка в Советской России.
37118. Гражданская война и интервенция: причины, ход и результаты 16.55 KB
  в Мурманске и Архангельске высадились английские американские и французские войска. Войска П. Признав свое поражение в Первой мировой войне Германия согласилась аннулировать Брестский мирный договор и вывела свои войска с территории Украины Белоруссии и Прибалтики. Антанта стала выводить свои войска оказывая белогвардейцам лишь материальную помощь.
37119. Истоки и сущность режима личной власти Сталина. Политические процессы и массовые репрессии 26.79 KB
  Истоки и сущность режима личной власти Сталина. Истоки сталинизмаЗарождавшийся сталинизм проявлялся в несогласии Сталина с линией Ленина в ряде программных стратегических и тактических вопросов социалистической революции и в попытках провести свою линию вопреки Ленину или нарушая линию Ленина. Сталина часто называют непоследовательным марксистом приписывают ему отступничество от идей Ленина но согласно трактовке социализма Сталин стремился выполнить ряд основных задач: сделать государство пролетарским уничтожить эксплуататорские классы...
37120. Международное положение и внешняя политика СССР в предвоенные годы. Соглашения и договоры с Германией 26.14 KB
  Международное положение и внешняя политика СССР в предвоенные годы. Следующий период в истории внешней политики СССР начался в марте 1939 г. Британские консерваторы не хотели подлинного союза с СССР не оставляли надежды подтолкнуть немецкую экспансию в восточном направлении то есть в направлении Советского Союза. В частности вопрос о дополнительном протоколе к пакту о ненападении был поставлен наркомом иностранных дел СССР В.