19540

Осциллятор. FIR фильтры

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

3 Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот В предыдущей лекции было показано каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помо...

Русский

2013-07-12

500 KB

4 чел.

3

Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры

Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот

В предыдущей лекции было показано, каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается, любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помощью универсальной процедуры.

Пусть имеется сигнал  с преобразованием Фурье . Рассмотрим новую последовательность . По определению . Если нам нужен полосовой фильтр, можем поступить следующим образом. Сдвиг осуществляется генератором на основе осциллятора, о котором будет сказано ниже. Обратный сдвиг осуществляется так же.

Непосредственное применение указанного способа не удобно, поскольку приходится работать с комплексными числами, и в результате обратного сдвига получается, как правило, комплексный сигнал. Выход заключается в преобразовании . В результате . Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и  выбран так, что носители  и  не пресекаются, задача решается без применения комплексных чисел. Например, пусть спектр находится в интервале 2kHz-4kHz, и требуется получить лишь часть сигнала в диапазоне 2.5kHz-3.5kHz. Выбираем =3kHz  и используем фильтр низких частот с полосой пропускания 0.5kHz. После обратного сдвига придется использовать еще один фильтр низких частот с полосой пропускания 3.5kHz.

Фильтр как осциллятор

Выше отмечалось, что для сдвига спектра последовательности требуется источник, генерирующий последовательности вида . Обычный способ генерирования таких последовательностей не годится, поскольку возникает проблема подсчета фукнции от большого аргумента. Существует альтернативный способ генерации, основанный на теории фильтров.

Для устойчивости фильтра достаточно, чтобы все корни находились внутри единичной окружности. Если корни лежат на окружности, фильтр можно использовать для генерации. Рассмотрим уравнение

(1)

Уравнение  имеет два корня , поэтому (1) можно записать в виде . Из полученного равенства следуют два рекуррентных соотношения:  . Вычитая из первого уравнения второе, получим

Полагая , получим . Аналогично, взяв , найдем, что .

Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации

При проектировании фильтра учитывался лишь модуль передаточной функции. В общем случае . Здесь  аргумент передаточной функции. Если спектр исходного сигнала сосредоточен в точке , то в результате фильтрации, кроме изменения интенсивности, происходит сдвиг фильтрованного сигнала на величину  по отношению к исходному. При сравнении исходного сигнала с соредоточенным спектром и результирующего наблюдается сдвиг одного относительно другого. В общем случае наблюдается фазовое искажение сигнала, однако, одно не улавливается ухом. В то же время, когда важна фаза сигнала, приходится использовать методы компенсации или фильтр с вещественной передаточной функцией. Для компенсации фазового искажения можно использовать, например, фильтры вида

, где  -любое число,. Это устойчивый фильтр, а его передаточная фукнция имеет вид . Модуль этой передаточной функции равен 1, а аргумент меняется вместе с частотой.

Фильтры с конечным временем отклика

Рассмотрим фильтр, заданный равенством

 (2)

Это фильтр с конечным временем отклика (FIR). После преобразования Фурье получим . Если дополнительно предположим, что , то получим симметрический фильтр. Для него передаточная функция будет вещественной, и фильтр не вносит фазовых искажений.

Проектирование FIR фильтров. Сглаживающие окна

Предположим, что функция  задана на интервале . Представим ее в виде ряда . Для получения FIR фильтра с аппроксимирующей передаточной функцией можно оставить лишь конечное число слагаемых в этой сумме. Если выбираются максимальные по модулю коэффициенты, то результирующая передаточная функция  будет наилучшей аппроксимацией в смысле наименьших квадратов при заданном числе слагаемых. Оказывается, что такой подход не всегда приемлем. Выясним, что происходит при обрезании ряда. Введем функцию  равную 1 при  и 0 в остальных точках. Тогда . Непосредственно находим, что . График этой функции изображен на рисунке.

Она напоминает функцию, но содержит и боковые лепестки. В результате свертки с оригиналом при вычислении  участвуют как значения , так и значения этой функции в окрестности лепестков функции .

Чтобы снизит указанный эффект вместо прямоугольных окон используются другие окна: треугольные окна, окно Хэмминга , Хэнинга  и некоторые другие. Эти окна отличаются тем, что для их преобразований Фурье боковые лепестки выражены менее ярко. На рисунке показано преобразование Фурье от функции Хэмминга.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29536. Векторный анализ. Теория поля 102.5 KB
  Векторные функции действительной переменной. Если каждому значению действительной переменной поставлен в соответствие вектор то говорят что на множестве задана векторфункция действительной переменной . Задание векторфункции равносильно заданию трёх числовых функций координат вектора : или кратко .
29537. Функция. Основные понятия. Графики элементарных функций 439 KB
  Графики элементарных функций.12 найти область определения функций: 4.21 выяснить какие из указанных функций четные какие нечетные.30 выяснить какие из функций являются периодическими и определить их наименьший период Т: 4.
29539. Непрерывность функции. Точки разрыва. Свойства функций непрерывных на отрезке 274.5 KB
  Точки разрыва. Если в точке то называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи: 1 Если то называется точкой устранимого разрыва функции . 2 Если в точке функция имеет конечные односторонние пределы и но они не равны друг другу то называется точкой разрыва 1ого рода.
29540. Простейшие правила нахождения производной. Нахождение производной сложной функции 456.5 KB
  Производной 1ого порядка функции в точке называется конечный предел . Функция имеющая производную в данной точке называется дифференцируемой в этой точке. Если функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в точке то сложная функция дифференцируема в точке и имеет производную: или кратко .
29541. Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков 374.5 KB
  Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции т. Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему часто более простому способу вычисления её производной: . Например для степеннопоказательной функции где дифференцируемые функции: . Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения линейного относительно где рассматривается как сложная функция переменной .
29542. ПРОФЕСІЙНА ЕТИКА ТА ЕСТЕТИКА 431.18 KB
  Знання естетики впливає на розвиток людини розкриває принципи пізнання естетичних обєктів. Вона вивчає мораль загалом як особливу сферу життєдіяльності людини аналізує природу структуру та соціальну роль моралі досліджує її походження й історичний розвиток теоретично обґрунтовує певну систему моральних поглядів і норм. Вона розглядає закономірності морального життя особистості та суспільства шляхи й засоби вдосконалення стосунків між людьми способи запобігання руйнації моральних взаємин моральну культуру особистості що проявляється в...
29543. ФІНАНСИ ПІДПРИЄМСТВ. Конспект лекцій 315.5 KB
  Фінанси підприємства економічні відносини які повязані з кругообігом засобів створенням розподілом і використанням фондів грошових коштів. Децентралізовані фонди грошових коштів які використовуються в процесі фінансової діяльності представляють собою фінансові ресурси виробничих обєднань підприємства і галузей народного господарювання а також населення. За браком власних оборотних коштів для поточного інвестування необхідно визначити потребу в позичкових коштах. Безпосереднім завдання управління фінансами підприємств є забезпечення...
29544. Конспект лекцій з Фінансового права 333.5 KB
  Бюджетне право УкраїниТема 5. Банківська система України. валюта України грошові знаки у вигляді банкнотів казначейських білетів монет і в інших формах що перебувають в обігу та є законним платіжним засобом на території України а також вилучені з обігу або такі що вилучаються з нього але підлягають обмінові на грошові знаки які перебувають в обігу кошти на рахунках у внесках в банківських та інших кредитнофінансових установах на території України; 2. платіжні документи та інші цінні папери акції облігації купони до них бони...