19540

Осциллятор. FIR фильтры

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

3 Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот В предыдущей лекции было показано каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помо...

Русский

2013-07-12

500 KB

3 чел.

3

Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры

Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот

В предыдущей лекции было показано, каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается, любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помощью универсальной процедуры.

Пусть имеется сигнал  с преобразованием Фурье . Рассмотрим новую последовательность . По определению . Если нам нужен полосовой фильтр, можем поступить следующим образом. Сдвиг осуществляется генератором на основе осциллятора, о котором будет сказано ниже. Обратный сдвиг осуществляется так же.

Непосредственное применение указанного способа не удобно, поскольку приходится работать с комплексными числами, и в результате обратного сдвига получается, как правило, комплексный сигнал. Выход заключается в преобразовании . В результате . Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и  выбран так, что носители  и  не пресекаются, задача решается без применения комплексных чисел. Например, пусть спектр находится в интервале 2kHz-4kHz, и требуется получить лишь часть сигнала в диапазоне 2.5kHz-3.5kHz. Выбираем =3kHz  и используем фильтр низких частот с полосой пропускания 0.5kHz. После обратного сдвига придется использовать еще один фильтр низких частот с полосой пропускания 3.5kHz.

Фильтр как осциллятор

Выше отмечалось, что для сдвига спектра последовательности требуется источник, генерирующий последовательности вида . Обычный способ генерирования таких последовательностей не годится, поскольку возникает проблема подсчета фукнции от большого аргумента. Существует альтернативный способ генерации, основанный на теории фильтров.

Для устойчивости фильтра достаточно, чтобы все корни находились внутри единичной окружности. Если корни лежат на окружности, фильтр можно использовать для генерации. Рассмотрим уравнение

(1)

Уравнение  имеет два корня , поэтому (1) можно записать в виде . Из полученного равенства следуют два рекуррентных соотношения:  . Вычитая из первого уравнения второе, получим

Полагая , получим . Аналогично, взяв , найдем, что .

Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации

При проектировании фильтра учитывался лишь модуль передаточной функции. В общем случае . Здесь  аргумент передаточной функции. Если спектр исходного сигнала сосредоточен в точке , то в результате фильтрации, кроме изменения интенсивности, происходит сдвиг фильтрованного сигнала на величину  по отношению к исходному. При сравнении исходного сигнала с соредоточенным спектром и результирующего наблюдается сдвиг одного относительно другого. В общем случае наблюдается фазовое искажение сигнала, однако, одно не улавливается ухом. В то же время, когда важна фаза сигнала, приходится использовать методы компенсации или фильтр с вещественной передаточной функцией. Для компенсации фазового искажения можно использовать, например, фильтры вида

, где  -любое число,. Это устойчивый фильтр, а его передаточная фукнция имеет вид . Модуль этой передаточной функции равен 1, а аргумент меняется вместе с частотой.

Фильтры с конечным временем отклика

Рассмотрим фильтр, заданный равенством

 (2)

Это фильтр с конечным временем отклика (FIR). После преобразования Фурье получим . Если дополнительно предположим, что , то получим симметрический фильтр. Для него передаточная функция будет вещественной, и фильтр не вносит фазовых искажений.

Проектирование FIR фильтров. Сглаживающие окна

Предположим, что функция  задана на интервале . Представим ее в виде ряда . Для получения FIR фильтра с аппроксимирующей передаточной функцией можно оставить лишь конечное число слагаемых в этой сумме. Если выбираются максимальные по модулю коэффициенты, то результирующая передаточная функция  будет наилучшей аппроксимацией в смысле наименьших квадратов при заданном числе слагаемых. Оказывается, что такой подход не всегда приемлем. Выясним, что происходит при обрезании ряда. Введем функцию  равную 1 при  и 0 в остальных точках. Тогда . Непосредственно находим, что . График этой функции изображен на рисунке.

Она напоминает функцию, но содержит и боковые лепестки. В результате свертки с оригиналом при вычислении  участвуют как значения , так и значения этой функции в окрестности лепестков функции .

Чтобы снизит указанный эффект вместо прямоугольных окон используются другие окна: треугольные окна, окно Хэмминга , Хэнинга  и некоторые другие. Эти окна отличаются тем, что для их преобразований Фурье боковые лепестки выражены менее ярко. На рисунке показано преобразование Фурье от функции Хэмминга.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28960. Начальный этап Великой Отечественной войны: причины неудач 94.5 KB
  Внешняя политика СССР в годы второй мировой войны. немецким военным командованием был разработан план молниеносной войны против СССР план Барбаросса . Захват Польши позволил фашистской армии создать плацдарм для нападения на Советский Союз на западных границах СССР оккупация Норвегии на северных Балканских стран – на южных. Немецкой армии вторжения в приграничных военных округах СССР противостояли 170 дивизий насчитывавших 29 млн.
28961. СССР в послевоенный период. «Холодная война» и ее сущность 40.5 KB
  СССР в послевоенный период. ряд партийных руководителей ранее когдалибо работавших в Ленинграде были обвинены в попытке разрушить Советский союз противопоставив Россию СССР а Ленинград Москве. Внешняя политика Советского государства в первом послевоенном десятилетии Возросший после II мировой войны авторитет СССР базировался на военной мощи Советского государства и признательности европейских народов за освобождение от фашизма. дипломатические отношения с СССР поддерживали 26 стран то в 1945 г.
28962. Хрущевская «оттепель». Попытки осуществления политических и экономических реформ 31.5 KB
  После смерти Сталина в результате борьбы за власть в 1957 году Председателем Совета Министров был избран Н. Период после смерти Сталина и правления Н. После его смерти руководство КПСС предпринимало попытки по разоблачению преступлений сталинского периода. Но всё же впервые открыто о преступлениях сталинского периода было объявлено на ХХ съезде КПСС февраль 1956г.
28963. СССР в 70-80-е годы XX в. Нарастание кризисных явлений в обществе 31.5 KB
  СССР в 7080е годы XX в. Советская экономика всё больше отставала от экономики развитых стран по техническому и технологическому уровню показателям эффективности и что более важно СССР утрачивал преимущества в темпах экономического роста. По этому показателю СССР отставал не только от ведущих западных стран но и от новых индустриальных стран Южной Кореи Тайваня на десятилетия. Чтобы покупать новейшие технологии и продовольствие СССР вынужден был всё больше сырья поставлять на экспорт.
28964. Политика перестройки, замыслы и результаты 40 KB
  Попрежнему формально высшим органом власти был двухпалатный Верховный Совет СССР регулярно собиравшийся на свои сессии на которых он утверждал решения партии и правительства. 12я внеочередная сессия Верховного Совета СССР приняла закон €œОб изменениях и дополнениях Конституции Основному Закону СССР€ содержанием которого было изменение избирательной системы в СССР принципов выборности народных депутатов СССР и принципов функционирования государственных органов. были проведены выборы народных депутатов СССР а весной 1990 г. Всего...
28965. События 1991, распад СССР, образование СНГ и выбор Россией нового исторического пути 37 KB
  Процесс затягивается4 8 декабря Беловежское соглашение Ельцын Кравчук Шушкевич : СССР прекращает существование Россия Украина и Белоруссия объединяются в СНГ. 5 21 декабря АлмаАтинская встреча лидерорв 9 республик Декларация о прекращении существования СССР и о принципах деятельности СНГ.До конца 1991 к СНГ присоединились Молдова и Азербайджан всего в СНГ 11 государств 15 минут 3 прибалтийские республики6 Горбачев сложил свои полномочия.
28966. Россия на пути социально-экономической модернизации. Октябрьские события 1993, завершающий этап ликвидации советской власти 30.5 KB
  явились следствием противостояния законодательной и исполнительной ветвей власти Российской Федерации. Ельцин издал указ О поэтапной конституционной реформе в Российской Федерации в соответствии с которым Верховный Совет и Съезд народных депутатов прекращали свою деятельность. Конституционный суд РФ пришел к заключению о несоответствии данного указа российской Конституции однако Ельцин его не отменил. В 1994 арестованные участники этих драматических событий были амнистированы Государственной думой Российской Федерации.
28967. Принятие конституции РФ 1993г. Качественные изменения социально политической жизни страны 36.5 KB
  Качественные изменения социально политической жизни страны Работа Конституционной комиссии Необходимость принятия новой Конституции была осознана всеми политическими силами еще в ходе принятия Декларации о государственном суверенитете от 12 июня 1990 г. Поначалу работа комиссии проходила довольно быстро и уже через четыре месяца проект новой Конституции был не только подготовлен но и опубликован для всеобщего обсуждения. Седьмой съезд постановил вынести основные положения проекта новой Конституции на всероссийский референдум но восьмой...
28968. Реформы 60-70-х гг. XIXв., их цели и содержание 36.5 KB
  их цели и содержание Реформа местного самоуправления земская и городская Отмена крепостного права привела к необходимости проведения буржуазных реформ и в других областях государственной жизни. по типу земской была проведена городская реформа. Военная реформа Поражение России в Крымской войне показало что необходимо реконструировать всю военную систему. Военная реформа проводилась до 1874 г.