19540

Осциллятор. FIR фильтры

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

3 Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот В предыдущей лекции было показано каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помо...

Русский

2013-07-12

500 KB

3 чел.

3

Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры

Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот

В предыдущей лекции было показано, каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается, любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помощью универсальной процедуры.

Пусть имеется сигнал  с преобразованием Фурье . Рассмотрим новую последовательность . По определению . Если нам нужен полосовой фильтр, можем поступить следующим образом. Сдвиг осуществляется генератором на основе осциллятора, о котором будет сказано ниже. Обратный сдвиг осуществляется так же.

Непосредственное применение указанного способа не удобно, поскольку приходится работать с комплексными числами, и в результате обратного сдвига получается, как правило, комплексный сигнал. Выход заключается в преобразовании . В результате . Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и  выбран так, что носители  и  не пресекаются, задача решается без применения комплексных чисел. Например, пусть спектр находится в интервале 2kHz-4kHz, и требуется получить лишь часть сигнала в диапазоне 2.5kHz-3.5kHz. Выбираем =3kHz  и используем фильтр низких частот с полосой пропускания 0.5kHz. После обратного сдвига придется использовать еще один фильтр низких частот с полосой пропускания 3.5kHz.

Фильтр как осциллятор

Выше отмечалось, что для сдвига спектра последовательности требуется источник, генерирующий последовательности вида . Обычный способ генерирования таких последовательностей не годится, поскольку возникает проблема подсчета фукнции от большого аргумента. Существует альтернативный способ генерации, основанный на теории фильтров.

Для устойчивости фильтра достаточно, чтобы все корни находились внутри единичной окружности. Если корни лежат на окружности, фильтр можно использовать для генерации. Рассмотрим уравнение

(1)

Уравнение  имеет два корня , поэтому (1) можно записать в виде . Из полученного равенства следуют два рекуррентных соотношения:  . Вычитая из первого уравнения второе, получим

Полагая , получим . Аналогично, взяв , найдем, что .

Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации

При проектировании фильтра учитывался лишь модуль передаточной функции. В общем случае . Здесь  аргумент передаточной функции. Если спектр исходного сигнала сосредоточен в точке , то в результате фильтрации, кроме изменения интенсивности, происходит сдвиг фильтрованного сигнала на величину  по отношению к исходному. При сравнении исходного сигнала с соредоточенным спектром и результирующего наблюдается сдвиг одного относительно другого. В общем случае наблюдается фазовое искажение сигнала, однако, одно не улавливается ухом. В то же время, когда важна фаза сигнала, приходится использовать методы компенсации или фильтр с вещественной передаточной функцией. Для компенсации фазового искажения можно использовать, например, фильтры вида

, где  -любое число,. Это устойчивый фильтр, а его передаточная фукнция имеет вид . Модуль этой передаточной функции равен 1, а аргумент меняется вместе с частотой.

Фильтры с конечным временем отклика

Рассмотрим фильтр, заданный равенством

 (2)

Это фильтр с конечным временем отклика (FIR). После преобразования Фурье получим . Если дополнительно предположим, что , то получим симметрический фильтр. Для него передаточная функция будет вещественной, и фильтр не вносит фазовых искажений.

Проектирование FIR фильтров. Сглаживающие окна

Предположим, что функция  задана на интервале . Представим ее в виде ряда . Для получения FIR фильтра с аппроксимирующей передаточной функцией можно оставить лишь конечное число слагаемых в этой сумме. Если выбираются максимальные по модулю коэффициенты, то результирующая передаточная функция  будет наилучшей аппроксимацией в смысле наименьших квадратов при заданном числе слагаемых. Оказывается, что такой подход не всегда приемлем. Выясним, что происходит при обрезании ряда. Введем функцию  равную 1 при  и 0 в остальных точках. Тогда . Непосредственно находим, что . График этой функции изображен на рисунке.

Она напоминает функцию, но содержит и боковые лепестки. В результате свертки с оригиналом при вычислении  участвуют как значения , так и значения этой функции в окрестности лепестков функции .

Чтобы снизит указанный эффект вместо прямоугольных окон используются другие окна: треугольные окна, окно Хэмминга , Хэнинга  и некоторые другие. Эти окна отличаются тем, что для их преобразований Фурье боковые лепестки выражены менее ярко. На рисунке показано преобразование Фурье от функции Хэмминга.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59400. Сценарій: До дня народження Т.Г.Шевченка 108 KB
  Слава Шевченка як поета на довгі роки затьмарила славу Т. Ведучі починають розповідь про життя і творчість Тараса Шевченка як художника в процесі якої демонструвться репродукції його жмвописних та графічних творів.
59401. Cценарій. Знай свої права дитино 41 KB
  Важливим аспектом роботи бібліотеки в даному напрямку є широке ознайомлення дітей і організаторів дитячого читання, батьків зі статтями Конвенції, інформування про її наявність у фонді і надання в користування читачам.
59402. Книга і компютер в інформаційному суспільстві: сучасне і майбутнє 34.5 KB
  Розвиток потенціалу людини, навичок і вмінь у століття інформації, формування інформаційної культури особистості повинно брати свій початок з дитинства. Головними джерелами інформації в XXI столітті є книга і комп’ютер.
59403. Сценарій. Ми всі у відповіді за природу 34.5 KB
  Всі учасники: Рятуймо чисте повітря рятуймо воду В морях в океанах в малих і великих річках. Рятуймо злаки а потім рятуймо квіти. Від кого рятуймо Від себе.
59404. Ми матір називаємо святою сценарій тематичного вечора присвяченого вшануванню жінкиматері 40.5 KB
  Як гордо їй Моє життя зернинка яку вона щаслива матижінка для світу народила світиться МОВ промінь новий народжуючи день. А той хто може на долоні зважити пилинку у пісках невидну той відчуває всю планету; і мати тая: тримаючи дитину всю землю держить на своїх руках.
59405. Ні алкоголю. Ні добровільному безумству 29 KB
  Але не дивлячись на всі ці заходи алкоголь переміг. Чому Якби алкоголь не мав ніякої приваблюючої дії на людину навряд чи його стали б вживати мільйони людей. Отже сьогодні ми зібрались щоб зясувати: алкоголь добро чи зло...
59406. Іван Франко – “Нам пора для України жить” 92 KB
  Франко виводив Галичину на сцену світової цивілізації, прилучав її до культурних досягнень інших націй, прокладав дорогу до Дніпра, Києва, де формувалась нова українська генерація, з якої згодом вийшло багато славних людей, що боролись за українську державність.
59407. Сценарій конкурсу “Ану мо дівчата” 36 KB
  Однак яка ж Батьківщина салату Салати як страва прийшли в народну кухню з Італії а точніше з древнього Риму. салати потрапили у Францію як вишукана страва придворної знаті що подавалась до печені.
59408. Сценарій свята 60-річчя Великої Перемоги 67.5 KB
  Епіграф: Тільки той хто памятає минуле вартий майбутнього. Память. Все далі відходять грізні і важкі роки Великої Вітчизняної війни але не згасає память про тих хто не шкодував своєї крові свого життя.