19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3167. Изучение управление производством хозяйства СПК Березовый Мыс Шумихинского района 135.05 KB
  Резкий переход к рыночной экономике вызвал большие изменения в сельском хозяйстве России. Существенную трансформацию претерпевают организационная структура АПК, система управления, земельные отношения, принципы функционирования экономическо...
3168. Генерация перестановок 110 KB
  Генерация перестановок Дано конечное множество A. Требуется сгенерировать все возможные перестановки его элементов в лексикографическом порядке (по материалам главы 1, п. 1.3.6, и главы 2, п. 2.2.1). Требования к заданию множества – в нем не до...
3169. Исследование температурно-влажностного режима помещения 192.5 KB
  Исследование температурно-влажностного режима помещения Цель работы: знакомство с основными параметрами микроклимата помещений, способами их определения и методикой оценки санитарно-гигиенических условий, исходя из требований строительных и гигиенич...
3170. Исследование естественной освещенности помещений в натурных условиях 109.5 KB
  Исследование естественной освещенности помещений в натурных условиях Цель работы: знакомство с методикой и приборами, используемыми при исследовании естественной освещенности помещений, выяснение роли размеров и размещения световых проемов в формиро...
3171. Исследование условий инсоляции отдельных зданий с помощью инсолятора 99 KB
  Исследование условий инсоляции отдельных зданий с помощью инсолятора Цель работы: знакомство с требованиями, предъявляемыми к инсоляции отдельных зданий и внутриквартальных территорий, а также методами определения оптимальной ориентации зданий с пом...
3172. Исследование стальных канатов 53.29 KB
  Исследование стальных канатов. Цель работы: Исследование конструкций и элементов стальных канатов, изучение схем их обозначений, определение основных параметров, ознакомление с методом браковки канатов. Исследование ко...
3173. Конкурсная коллекция современного женского костюма с использованием элементов этно-стиля 2.07 MB
  Актуальность: В наши дни этнический стиль уже завоевал ведущие позиции в мире моды и не собирается их уступать. Основными причинами этого являются свобода, многообразие, естественность, яркость, которые несет с собой этот стиль. Его последо...
3174. Хроническая артериальная ишемия конечностей 12.63 MB
  Введение Хронические артериальные ишемии конечностей доставляют много забот врачам различных специальностей. Каждый из них ощущает недостаточность имеющихся сведений об ишемиях конечностей, дающих возможность успешного лечения больного. Эти сведения...
3175. Статистическая точность цифровых регуляторов дискретных систем управления частотой вращения электропривода постоянного тока 11.66 MB
  Автоматизированные электроприводы являются главным средством приведения в движение большинства рабочих машин и технологических агрегатов в машиностроении, металлургии, станкостроении, транспорте и других отраслях промышленности.