19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2311. Контроль качества материалов и сварных соединений 991.29 KB
  Металлографический анализ. Классификация видов технического контроля. Энергия излучения. Виды дефектов, встречающихся в основном металле и сварных швах. Магнитные и электромагнитные методы контроля.
2312. Использование нечеткой логики при моделировании и проектировании 736.94 KB
  Membership Function Editor. Пакет Fuzzy Logic Toolbox. Нечеткая логика в программе Simulink. Функции пакета, запускаемые из рабочей области. Нелинейное шумоподавление.
2313. Животные в мире музыки 20.59 KB
  Итак, ребята, я очень рада приветствовать всех вас, пришедших на это мероприятие! Своим присутствием здесь вы показываете, что вы люди творческие, и что музыка не безразлична вам.
2314. Расчет припусков 684.04 KB
  Понятие о припуске и методы его определения. Расчет величины припуска на обрабатываемую поверхность. Методика определения предельных промежуточных размеров и окончательных размеров заготовки.
2315. Внеклассное мероприятие: О вреде алкоголя 20.63 KB
  Расширить представление подростков о негативных последствиях употребления алкогольных напитков. Познакомить подростков с эффективными способами реализации своих потребностей. Формировать сознательное отношение учащихся к своему здоровью. Пропагандировать здоровый образ жизни.
2316. Экскаватор одноковшовый с гидравлическим приводом 3.51 MB
  Ориентировочная вместимость ковша определяется по формуле. Определим расстояние от оси поворота стрелы до уровня расположения. Копание без поворота и с поворотом ковша. Расчет на прочность элементов рабочего оборудования.
2317. Виділення басейна ріки. Визначення морфометричних показників ріки 796.3 KB
  Мета: сформувати навички по визначенню річкового басейну, основних морфометричних характеристик ріки та басейну. Завдання: виділення за топокартою басейну ріки, підрахування основних морфометричних характеристик водотоків і головної ріки.
2318. Культурологія. Курс лекцій 448.3 KB
  Сучасність як доба перехідності. Цивілізація XX століття й проблема людини. Давньокитайська духовна культура. Вино в системі античної культури. Духівництво в системі культури середньовіччя. Походження трагедії і комедії. Ренесанс як художній тип культури. Особливості культурного розвитку.
2319. Психологія та педагогіка. Конспект лекцій 1.23 MB
  Природа психіки і предмет психологічної науки. Емоційно-вольова характеристика людини. Періодизація психічного розвитку особистості. Дидактика як галузь педагогіки. Національно-патріотичне виховання української молоді. Вища освіта України і Болонський процес. Виховання і свобода людини.