19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70139. Оценка параметров надежности программ по временным моделям обнаружения ошибок 145.87 KB
  Научиться использовать модель обнаружения ошибок Джелинского-Моранды. Изучить поведение модели для различных законов распределения времен обнаружения отказов и различного числа используемых для анализа данных.
70140. Изучение конструкции цилиндрических и конических редукторов 61.5 KB
  Познакомится с классификацией, кинематическими схемами, конструкцией узлами и деталями цилиндрических и конических редукторов. Выяснить назначения всех деталей редукторов. Определение основных параметров редуктора. Определить параметры зацепления, размеров зубчатых колес и передач.
70141. Установка OC Windows XP в среде VirtualBox 54.5 KB
  Настройка среды VirtualBox Запустите среду VirtualBox. Проверьте настройки вашей виртуальной машины, созданной на предыдущей паре: подключите образ дистрибутива ОС: D:\SOS\Image\ Windows XP Prof SP3 Rus VL\ WinXP Prof SP3 Rus VL.iso, в Bios Setup должен быть включен режим запуска с компакт-диска.
70142. Завод по производству стальных пространственных конструкций в городе Екатеринбург 134 KB
  Завод выпускает металлические конструкции – колонны, несущие конструкции покрытия и узлы трубопроводов по целевому назначению, пространственные стальные конструкции. В производственный корпус металл подаётся электротележкой, проходит очистку.
70143. Проектирование режущего инструмента 650.5 KB
  В данном курсовом проекте представлены расчеты круглого фасонного резца и шпоночной протяжки. Профилирование резца представлено в графическом и аналитическом методе. Объем графической части включает в себя: Графическое определение профиля резца формат А2.
70146. Одноэтажное промышленное здание. Проект центра сервисного обслуживания автомобилей LADA в городе Новосибирске 61.5 KB
  Проект - одноэтажное промышленное здание выполняется на 2-х листах формата А1. Помимо этого к проекту прилагается пояснительная записка. Схема промышленного здания выдаётся преподавателем, а также задаются основные размеры...
70147. Расчет и выбор посадок с зазором, с натягом, колец подшипников качения 989.5 KB
  Взаимозаменяемостью издедий (машин, приборов, механизмов и т.д.), их частей или других видов продукции (сырья, материалов, полуфабрикатов и т.д.) называют их свойство равноценно заменять при использовании любой из множества экземпляров изделий, их частей или иной продукции...