19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72180. Административные правонарушения в РФ 63 KB
  Нарушение правил о которых говорилось выше иногда может повлечь уголовную ответственность если это прямо предусмотрено Уголовным кодексом. Для подобных случаев а они наиболее часты государство и учредило административную ответственность которая по характеру мер менее сурова...
72181. ПРАКТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВЫСОКОКАЧЕСТВЕННОГО ЗВУКОВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ 1.68 MB
  Каждый из этих узлов имеет самостоятельное значение и характеризуется своими показателями качества влияющими на качество всего усилителя в целом. Структурную схему современного усилителя высококачественного звуковоспроизведения УВЗ можно представить в виде совокупности различных модулей...
72182. Економіка підприємства: Методичні рекомендації 902 KB
  Методичні рекомендації містять стислі рекомендації до виконання курсової роботи та провідні методичні положення щодо обґрунтування прийнятих студентом рішень підвищення ефективності роботи підприємства цеху виходячи з заданих економічних умов вимоги до курсової роботи порядок її виконання.
72183. Культура мови: навчально-методичний посібник 1.6 MB
  Навчально-методичний посібник містить методичні рекомендації до самостійної роботи, методичні рекомендації до практичних занять, до виконання індивідуальних завдань, підсумковий контроль, список рекомендованої літератури.
72184. Економіка підприємства: навчально-методичний посібник 3.37 MB
  Метою вивчення дисципліни «Економіка підприємства» є формування здатностей самостійно мислити, приймати управлінські рішення, виконувати комплексні економічні розрахунки для ефективного здійснення господарської діяльності на рівні підприємства.
72185. Введение в физику. Методические указания 4.06 MB
  Материальная точка. Система отсчета. Путь и перемещение. Поступательное и вращательное движение. Средняя скорость прохождения пути. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное прямолинейное движение. Равнопеременное прямолинейное движение. Прямая и обратная задачи кинематики.
72186. Философия: В.В. Миронов Учебник для вузов 5.03 MB
  Учебник написан авторами, которые известны и как крупные ученые, и как педагоги, обладающие большим опытом преподавания в вузах. Фундаментальные вопросы философии рассматриваются в нем с позиций плюрализма, многообразия их интерпретации и обоснования.
72187. Религиоведение: Учебник для юридических вузов МВД России 1.61 MB
  В сочинениях отцов церкви четко проводится сравнение между повиновением царям и послушанием Богу. Филологический анализ религиозных текстов позволил мыслителям эпохи Возрождения не только развить античную традицию религиоведения но и подвергнуть критическому научному анализу некоторые важнейшие документы церкви.