19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11824. Операторы цикла и передачи управления 110 KB
  Лабораторная работа №4. Операторы цикла и передачи управления 1 Цель и порядок работы Цель работы изучить операторы используемые при организации программ циклических вычислительных процессов получить практические навыки в составлении программ. Порядок выпо...
11825. Итерационные и арифметические циклы. Вложенные циклы 297 KB
  Лабораторная работа №5. Итерационные и арифметические циклы. Вложенные циклы 1 Цель и порядок работы Цель работы изучить операторы используемые при организации программ циклических вычислительных процессов получить практические навыки в составлении программ...
11826. Лабораторная работа №6. Массивы 164.5 KB
  Лабораторная работа №6. Массивы 1 Цель и порядок работы Цель работы получение практических навыков алгоритмизации и программирования вычислительных процессов с использованием массивов. Порядок выполнения работы: ознакомиться с описанием лабораторной раб
11827. Указатели и ссылки. Имя массива как указатель. Динамические массивы 220.5 KB
  Лабораторная работа №7. Указатели и ссылки. Имя массива как указатель. Динамические массивы 1 Цель и порядок работы Цель работы изучить работу с указателями ссылками получить навыки программирования с использованием динамических массивов. Порядок выполнения ра...
11828. Лабораторная работа №8. Функции 175.5 KB
  Лабораторная работа №8. Функции 1 Цель и порядок работы Цель работы изучить возможности языка по организации функций получить практические навыки в составлении программ с их использованием. Порядок выполнения работы: ознакомиться с описанием лабораторной ...
11829. Отладка программ в интегрированной среде Microsoft Visual C++ 2008 189.5 KB
  Лабораторная работа №9. Отладка программ в интегрированной среде Microsoft Visual C 2008 1 Цель и порядок работы Цель работы изучить инструментальные средства и возможности отладки программ в интегрированной среде Microsoft Visual C 2008 Visual Studio 2008. Порядок выполнения работы...
11830. Типы данных, определяемые пользователем. Структуры и объединения 189.5 KB
  Лабораторная работа №10. Типы данных определяемые пользователем. Структуры и объединения 1 Цель и порядок работы Цель работы ознакомиться с типами данных определяемыми пользователем и их применением в процессе программирования. Порядок выполнения работы: ...
11831. Работа со строками в C++. Потоки ввода-вывода. Файловые операции 338.5 KB
  Лабораторная работа №11. Работа со строками в C. Потоки вводавывода. Файловые операции 1 Цель и порядок работы Цель работы ознакомиться с возможностями вводавывода языка C освоить основные операции работы со строками и файлами. Порядок выполнения работы: о...
11832. Перегрузка функций. Шаблоны функций 152.5 KB
  Лабораторная работа №12. Перегрузка функций. Шаблоны функций 1 Цель и порядок работы Цель работы ознакомиться с возможностью перегрузки функций и научиться применять полученные знания на практике. Научиться использовать шаблоны функции и функции с переменным количе...