19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54510. Музично-виконавський розвиток учня-піаніста на прикладі п єс «Дитячого альбому» П.І. Чайковського 1.15 MB
  Так само ретельно позначена і динаміка. Композитор користується як поступовим її розвитком, так і раптовими змінами тонких градацій звучності. Але ніде в циклі не позначено ff-автор наказує шкалу динаміки ppp-f. В творах циклу Чайковський застосував в основному прості форми, які легко піддаються аналізу.
54511. МУЗИКА - ЦЕ ГОЛОС НАШОГО СЕРЦЯ 80 KB
  На фоні музики Маленька нічна серенада Моцарта ведучі ведуть розповідь. 1ий ведучий Я слухаю музику і уявляю собі старовинний Зальцбург батьківщину Моцарта. Ми розповімо вам друзі про життя маленького Моцарта. І якщо хтонебудь скаже що в наших розповідях більше видумки ніж правди я відповім: Що ж а музика Моцарта хіба вона не казкове чудо Про Зальцбург і деякі обставини народження нашого героя 1ий ведучий У ті дні Зальцбург був столицею маленького церковного князівства.
54512. МУЗИКА ВІДКРИТОГО СЕРЦЯ 53 KB
  Церковний богослужебний спів виник разом з розповсюдженням християнства, а потім став розвиватися самостійно і історично склався як чисто національний вид музичного мистецтва. Стримані, виразні і величаві народні наспіви є величезним багатством нашої національної культури.
54513. Музыка в диалоге с современностью 37.5 KB
  Музыкальная викторина Задание: определить название прозвучавшего музыкального фрагмента. Драматизация Визитка музыкального произведения Задание: член команды выбирает карточку с названием произведения визитку которого нужно представить. Повторение средств музыкальной выразительности Задание: узнать произведение по его модели записанной на карточках. Ты мне я тебе Команды придумывают друг другу музыкальное задание.
54514. ВИДИ МИСТЕЦТВ. ПОХОДЖЕННЯ МИСТЕЦТВ. СЛІДИ ПЕРВІСНОЇ МУЗИКИ 93 KB
  Так поступово сформувались різні види мистецтва: література графіка живопис скульптура архітектура декоративне мистецтво кіно хореографія театр цирк і музика. Музика приносить людині велике задоволення і насолоду. Що ж це за таке диво МУЗИКА висловлювання дітей. Отже і музика має дуже давні корені.
54515. Интегрированный урок музыки и литературы в 5-ом классе 90.5 KB
  Цели урока: обучающие: по музыке: продолжить изучение темы Музыка и искусство слова; показать как музыка являясь главным героем сказки проявляет свою волшебную силу помогает в тяжелую минуту; через рабочую наглядность слайдфильм раскрыть тему урока в увлекательной и доступной форме; направить учащихся на осмысление музыкального образа в литературе в частности в сказках; по литературе: формировать умение творческого пересказа сказывания народных сказок; совершенствовать навыки сопоставления; развивающие: по музыке:...
54516. Історія Першої струни. Струнні інструменти 266.5 KB
  Довгий шлях пройшли струнні від тятиви мисливського лука до сучасних музичних інструментів. І зараз це - найважливіша і найчисельніша інструментальна група. Не випадково емблемою музичного мистецтва з давніх пір вважають ліру - стародавній струнний інструмент.
54517. Де дружба і кмітливість, там і перемога. Німецька народна казка. Бременські музиканти 107.5 KB
  МЕТА: Ознайомити учнів з німецькою народною казкою, вчити визначати послідовність подій у творі. Розвивати навички швидкого правильного читання,увагу, мовлення учнів, читацьку память, поповнювати словниковий запас. Працювати над діалогічним мовленням, вчити інсценізації, перевтіленню, стислому переказу.
54518. Понятие альтернативных издержек 16.78 KB
  Альтернативные издержки различают на единицу продукта и совокупные альтернативные издержки. Альтернативные издержки очень трудно представить, как определенное количество денег