19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41902. Построение графиков в среде программирования MATLAB 354.21 KB
  Цель работы: научиться строить графики различных типов в программной среде MATLAB. Изучить основные операторы построения графиков в среде программирования MATLAB; освоить принципы построения различных типов графиков в среде программирования MATLAB.
41904. Проверка выборочного распределения 54.6 KB
  По критерию Пирсона гипотеза о нормальности изучаемого распределения принимается. Основные статистические характеристики: Среднее выборочное значение (математическое ожидание)
41905. Исследование работы усилительного каскада на биполярном транзисторе 48.29 KB
  2013 Цели работы: Определить основные параметры усилительного каскада на биполярном транзисторе и их зависимость от значений режимов работы схемы; Снять и построить амплитудночастотную характеристику усилительного каскада на биполярном транзисторе в схеме с ОЭ; Приборы и оборудование: Учебный лабораторный комплекс Устройство лабораторное по электротехнике К4826. Ход работы: Собрали схему для снятия характеристик усилительного каскада на биполярном транзисторе в соответствии с рисунком 1: Рисунок 1 – Усилительный каскад на...
41906. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАМЕДЛЯЮЩИХ СИСТЕМ НА РЕЗОНАНСНОМ МАКЕТЕ 98.13 KB
  Исследование проводится на резонансном макете (рис. 1), который представляет собой короткозамкнутый отрезок ЗС длиной пять периодов. С помощью петли связи 4 в макете возбуждается стоячая волна, амплитуда которой контролируется через петлю связи 5. Размеры петель выбраны из условия пренебрежимо малого искажения ими поля в ЗС.
41907. Создание консольного приложения на языке C# 12.39 KB
  Используя среду разработки MS Visul Studio 2010 необходимо создать консольное приложение выполняющее определённые действия над указанным текстовым файлом: Вариант 1: Рассчитать и вывести на консоль количество гласных и количество согласных букв в тексте файла. Вариант 2: Рассчитать и вывести на консоль сумму целых чисел перечисленных во входном файле. Вариант 3: Вывести самое длинное слово из текста находящегося во входном файле несколько таких слов если их длина одинакова. Вариант 4: Вывести три слова из текста находящегося во входном...
41908. Управление списком сущностей. 19.38 KB
  Выход из приложения происходит после ввода команды exit Создать класс для сущности по заданию см. Придумать не менее 6 свойств для этой сущности одно из свойств должно быть ключевым уникальным например уникальный номер. Все свойства класса сущности реализовать через property. Например каждая сущность в файле может храниться в отдельной строке файла а свойства сущности быть записаны в этой строке через пробел или символ табуляции или другой символ в определённом порядке продумать как хранить значения свойств которые в себе...
41909. Простое приложение Windows Presentation Foundation 19.29 KB
  Реализовать отображение свойств объекта сущности по своему варианту задания наподобие того как это сделано в демонстрационном приложении. Реализовать загрузку коллекции объектов из файла наподобие того как это сделано в демонстрационном приложении название файла вводить например через TextBox. Реализовать выбор редактируемого объекта через ввод ключевого свойства. Этого нет в примере Реализовать удаление объекта из коллекции.
41910. Использование приёма «внедрение зависимости» 19.62 KB
  Избавиться от зависимости MinViewModel от класса MessgeBox путём создания интерфейса IDilogService. Написать модульные тесты проверяющие результаты работы команды поиска объекта в классе MinViewModel по образцу в примере. Вызов диалогов из MinViewModel делать с соблюдением шаблона MVVM то есть не создавая зависимостей MinViewModel от конкретных классов диалогов делать через интерфейс. Если реализация будет как в примере то есть с использованием свойства типа ObservbleCollection в классе MinViewModel то в коде MinViewModel придётся...