19542

WaveLet- преобразования

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 11. WaveLet преобразования WaveLetпреобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLetпреобразования. Предполагается что все интегралы рассмот...

Русский

2013-07-12

322.83 KB

8 чел.

2

Лекция 11. WaveLet- преобразования

WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют

Непрерывное преобразование.

Пусть имеется функция  и некоторая функция  - материнская функция. Рассмотрим числа вида

  (1)

Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр  не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина  не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией , имеет постоянную длину в смысле пространства  . Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых   достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции  на соответствующую функцию  имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив , получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций . Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.

На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию  ( мексиканская шляпа). Константу  определяют из условия нормировки

Шкалирование

Рассмотрим множество функций  на вещественной оси. Пусть , причем функции  образуют ортонормированную систему. Это означает, что

 (2)

Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через

Предложение. Имеет место формула

         (3).

Обратно, из (3) следует (2)

Доказательство.  Имеем  . Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, . С учетом (2) это означает, что . Далее, пусть . Преобразование Фурье этой функции есть . Теперь , так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство . Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается . Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.

Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале  и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через .

Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27860. Схема токовой ступенчатой защиты на постоянном оперативном токе в совмещенном и разнесенном исполнениях. Автоматическая частотная разгрузка (требования к АЧР, расчет) 100.5 KB
  Автоматическая частотная разгрузка требования к АЧР расчет Схемы токовых ступенчатых защит 1. Автоматическая частотная разгрузка АЧР Смысл АЧР заключается: при дефиците мощности частота начинает снижатся в сети уже при частоте равной 48 Гц система разваливается. АЧР отключает наименее ответственные потребители восстанавливая таким образом баланс мощности. Работа АЧР должна выполнятся при снижении частоты до 4748 Гц.
27861. Особенности расчета максимальной токовой защиты с дешунтированием катушки отключения выключателя 137.5 KB
  Проверить отсутствие возврата реле после дешунтирования катушки отключения т. возврат реле в начальное состояние на время работы катушки отключения выключателя должен быть исключен. Проверка коммутационной способности переключающих контактов реле. РТ85 МТЗ с независимой выдержкой времени выполненной по схеме неполной звезды на переменном оперативном токе с дешунтированием ОКВ с промежуточным реле РП341 и реле времени РВМ12.
27862. Совместное действие устройств АПВ и токовой защиты. Расчет тока срабатывания поперечной дифференциальной токовой направленной защиты 156.5 KB
  Совместное действие устройств АПВ и токовой защиты. Совместное действие защиты и устройств АПВ Согласованное действие АПВ с действием РЗ можно повысить эффективность устройств автоматики расширить защитные зоны простых токовых быстродействующих защит. При этом допускается не селективная работа защиты с последующим исправлением в результате действия устройств АПВ. При замыкании в точке сети Iотс выключает Q1 →АПВ→ включает его обратно.