19543

Wavelet фильтрация

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 12 Wavelet фильтрация Детализация сигнала Введем обозначение: для любой функции . Положим . Предложение. Если выполнено условие ортогональности то при фиксированном функции образуют ортонормированную систему. Доказательство. Имеем при . Нор...

Русский

2013-07-12

356.85 KB

7 чел.

1

Лекция 12 Wavelet фильтрация

Детализация сигнала

Введем обозначение:  для любой функции . Положим .

Предложение. Если выполнено условие ортогональности, то при фиксированном  функции  образуют ортонормированную систему.

Доказательство. Имеем

при . Нормированность проверяется очевидным образом с помощью замены переменных.

Обозначим через  линейное пространство, порожденное функциями . Потребуем, чтобы имело место включение . Это весьма жесткое ограничение. Оно выполнено, например, для . Для произвольной функции  положим

   (1)

- проекция функции на пространство . Коэффициенты разложения это и есть дискретные wavelet преобразования. Чем больше индекс пространства, тем более точное приближение исходной функции с помощью  получаем. Эта процедура и называется детализацией. Наложим на  еще одно дополнительное условие: потребуем, чтобы . Последнее означает, что каждую функцию из  можно приблизить с произвольной точностью подходящей функцией из . Заметим, что это выполнено для функции , поскольку каждую функцию из  можно приблизить ступенчатой функцией. Как следствие получим, что это верно и для произвольной функции с носителем на интервале , с помощью которой можно приблизить функцию . Положим , где второе слагаемое есть ортогональное дополнение к первому. Теперь  - прямая сумма попарно ортогональных пространств. Для  так получается базис Хаара, о котором будет рассказано позже.

Wavelet фильтрация

Вычисление коэффициентов разложения является трудоемкой задачей. Покажем, каким образом она может быть упрощена с помощью фильтра специального вида. В силу сделанного предположения , поэтому имеем место разложение . Рассмотрим скалярное произведение

=

. Коэффициенты в (1) можно найти следующим образом. Положим . Тогда = (2)

Формула (2) представляет собой свертку последовательностей. Она позволяет найти коэффициенты разложение для меньших значений индексов , если известны коэффициенты разложения для больших значений.  Ее можно рассматривать как применение фильтра специального вида с функцией отклика к источнику, которым являются коэффициенты разложения по большему индексу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69928. Общие понятия истории культуры 99.5 KB
  Когда в средние века появился новый способ возделывания зерновых, более прогрессивный и усовершенствованный, названный латинским словом culture, никто еще не мог догадаться, насколько изменится и расширится понятие этого выражения. Если термин agriculture и в наше время означает...
69929. Искусственный интеллект: основные понятия и история возникновения 73 KB
  Появление ЭВМ работа которых происходит под управлением созданных человеком программ т. При этом важным является то что а вычислительный процесс должен представляться в виде последовательности сколь угодно большой но конечной длины элементарных или рутинных операций...
69930. Теоретико-методологические проблемы истории социальной работы в России 69 KB
  Социальная работа это вид деятельности людей и организаций по оказанию помощи различным слоям населения. Спектр оказания помощи: человек человеку; община человеку; взрослый ребенку сироте; здоровый больному; служба социальной помощи безработному пенсионеру многодетной семье и т.
69933. Предмет и методы науки истории 41.5 KB
  Предмет и методы науки истории. Методы истории. Важнейшая задача истории обобщение и обработка накопленного человеческого опыта. Ключевский писал: Без знания истории мы должны признать себя случайностями не знающими как и зачем мы пришли в мир как и для чего в нем живем как и к чему...
69934. Предмет и задачи психофизиологии. Принципы психофизиологического исследования 41.5 KB
  Принципы психофизиологического исследования В связи с успехами изучения активности отдельных нейронов мозга животных и в условиях клинического обследования у человека психофизиология стала наукой не только о физиологических но и о нейронных механизмах психических процессов состояний и поведения.
69935. Содержание предпринимательской деятельности в жизни современного общества 233 KB
  Изучить сущность предпринимательской деятельности и ее роль в развитии общества и бизнеса цели предпринимательства условия предпринимательской деятельности. История возникновения и сущность предпринимательства. Виды и формы предпринимательства.
69936. Предмет, система курса «Основы права» 92.5 KB
  Цель лекции: ознакомить студентов с основными юридическими понятиями, основными законами которые были приняты за годы суверенитета. Рассмотреть основные этапы становления науки о правовых отношений.