19543

Wavelet фильтрация

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 12 Wavelet фильтрация Детализация сигнала Введем обозначение: для любой функции . Положим . Предложение. Если выполнено условие ортогональности то при фиксированном функции образуют ортонормированную систему. Доказательство. Имеем при . Нор...

Русский

2013-07-12

356.85 KB

5 чел.

1

Лекция 12 Wavelet фильтрация

Детализация сигнала

Введем обозначение:  для любой функции . Положим .

Предложение. Если выполнено условие ортогональности, то при фиксированном  функции  образуют ортонормированную систему.

Доказательство. Имеем

при . Нормированность проверяется очевидным образом с помощью замены переменных.

Обозначим через  линейное пространство, порожденное функциями . Потребуем, чтобы имело место включение . Это весьма жесткое ограничение. Оно выполнено, например, для . Для произвольной функции  положим

   (1)

- проекция функции на пространство . Коэффициенты разложения это и есть дискретные wavelet преобразования. Чем больше индекс пространства, тем более точное приближение исходной функции с помощью  получаем. Эта процедура и называется детализацией. Наложим на  еще одно дополнительное условие: потребуем, чтобы . Последнее означает, что каждую функцию из  можно приблизить с произвольной точностью подходящей функцией из . Заметим, что это выполнено для функции , поскольку каждую функцию из  можно приблизить ступенчатой функцией. Как следствие получим, что это верно и для произвольной функции с носителем на интервале , с помощью которой можно приблизить функцию . Положим , где второе слагаемое есть ортогональное дополнение к первому. Теперь  - прямая сумма попарно ортогональных пространств. Для  так получается базис Хаара, о котором будет рассказано позже.

Wavelet фильтрация

Вычисление коэффициентов разложения является трудоемкой задачей. Покажем, каким образом она может быть упрощена с помощью фильтра специального вида. В силу сделанного предположения , поэтому имеем место разложение . Рассмотрим скалярное произведение

=

. Коэффициенты в (1) можно найти следующим образом. Положим . Тогда = (2)

Формула (2) представляет собой свертку последовательностей. Она позволяет найти коэффициенты разложение для меньших значений индексов , если известны коэффициенты разложения для больших значений.  Ее можно рассматривать как применение фильтра специального вида с функцией отклика к источнику, которым являются коэффициенты разложения по большему индексу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3699. Акции и акционерные общества в новой модели хозяйствования 132 KB
  Приватизация в России проводилась как стратегическое преобразование, посредством которого «ничейную» якобы и потому малоэффективную собственность следовало передать действенным и эффективным собственникам, а те, обретя «чувство хозяина», до...
3700. Активные операции коммерческих банков 204 KB
  Банки - центры, где в основном начинается и завершается деловое партнерство. От четкой грамотной деятельности банков зависит в решающей мере здоровье экономики. Без развитой сети банков, действующих именно на коммерческой основе, стремление...
3701. Александр I Российский император 139.5 KB
  Александр I Четырнадцатый по счету российский император Александр I, или, как его называли в народе, Александр Благословенный, - одна из самых загадочных и противоречивых фигур в истории нашего государства. Первенец наследника престола Павла родился...
3702. Александр I – император и человек 177.5 KB
  Становление Александр I, император всероссийский, старший сын императора Павла Петровича и Марии Федоровны, родился 12 декабря 1777 года. Радостно встречена была народом весть о рождении первенца у наследника престола: прямое престолонаследие, казал...
3703. Экзогенный аллергический альвеолит 125 KB
  Распространенность Экзогенный аллергический альвеолит (ЭАА), или гиперчувствительный пневмонит, включает в себя группу близких интерстициальных заболеваний легких, характеризующихся преимущественно диффузными воспалительными изменениями легочной пар...
3704. Анализ текущего финансового состояния предприятия (на примере МП Товары для детей) 306.5 KB
  Финансовый анализ является существенным элементом финансового менеджмента и аудита. Практически все пользователи финансовых отчетов предприятий используют результаты финансового анализа для принятия решений по оптимизации своих интересов. С...
3705. Аналогии в курсе физики средней школы 1.16 MB
  Аналогия - один из методов научного познания, который широко применяется при изучении физики. В основе аналогии лежит сравнение. Если обнаруживается, что два или более объектов имеют сходные признаки, то делается вывод и о сходстве некоторы...
3706. Акционерное общество и виды ценных бумаг 237.5 KB
  Преимущество акционерной формы собственности на данном этапе развития экономики Акционерная собственность - это закономерный результат процесса развития и трансформации частной собственности, когда на определенном этапе развития масштабы пр...
3707. Акционерная собственность и проблемы её формирования в Российской Федерации 265 KB
  Экономическое и юридическое содержание акционерной формы собственности. Право собственности закрепляет материальную основу любого общества - экономические отношения собственности. Поэтому отношения собственности и право собственности является юр...