19543

Wavelet фильтрация

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 12 Wavelet фильтрация Детализация сигнала Введем обозначение: для любой функции . Положим . Предложение. Если выполнено условие ортогональности то при фиксированном функции образуют ортонормированную систему. Доказательство. Имеем при . Нор...

Русский

2013-07-12

356.85 KB

5 чел.

1

Лекция 12 Wavelet фильтрация

Детализация сигнала

Введем обозначение:  для любой функции . Положим .

Предложение. Если выполнено условие ортогональности, то при фиксированном  функции  образуют ортонормированную систему.

Доказательство. Имеем

при . Нормированность проверяется очевидным образом с помощью замены переменных.

Обозначим через  линейное пространство, порожденное функциями . Потребуем, чтобы имело место включение . Это весьма жесткое ограничение. Оно выполнено, например, для . Для произвольной функции  положим

   (1)

- проекция функции на пространство . Коэффициенты разложения это и есть дискретные wavelet преобразования. Чем больше индекс пространства, тем более точное приближение исходной функции с помощью  получаем. Эта процедура и называется детализацией. Наложим на  еще одно дополнительное условие: потребуем, чтобы . Последнее означает, что каждую функцию из  можно приблизить с произвольной точностью подходящей функцией из . Заметим, что это выполнено для функции , поскольку каждую функцию из  можно приблизить ступенчатой функцией. Как следствие получим, что это верно и для произвольной функции с носителем на интервале , с помощью которой можно приблизить функцию . Положим , где второе слагаемое есть ортогональное дополнение к первому. Теперь  - прямая сумма попарно ортогональных пространств. Для  так получается базис Хаара, о котором будет рассказано позже.

Wavelet фильтрация

Вычисление коэффициентов разложения является трудоемкой задачей. Покажем, каким образом она может быть упрощена с помощью фильтра специального вида. В силу сделанного предположения , поэтому имеем место разложение . Рассмотрим скалярное произведение

=

. Коэффициенты в (1) можно найти следующим образом. Положим . Тогда = (2)

Формула (2) представляет собой свертку последовательностей. Она позволяет найти коэффициенты разложение для меньших значений индексов , если известны коэффициенты разложения для больших значений.  Ее можно рассматривать как применение фильтра специального вида с функцией отклика к источнику, которым являются коэффициенты разложения по большему индексу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37145. Радикальное направление освободительной борьбы. Революционные демократы и революционные народники 41.5 KB
  Они резко выступали против теории официальной народности против взглядов славянофилов доказывали общность исторического развития Западной Европы и России высказывались за развитие экономических и культурных связей с Западом призывали использовать в России новейшие достижения науки техники культуры. В это время он пришел к мысли что русская деревенская община и артель содержат зачатки социализма который найдет свое осуществление в России скорее чем в какойлибо другой стране. Герцен был первым кто в общественном движении России...
37146. Развитие экономики и культуры России во второй половине XIX века 50.5 KB
  Огромные выкупные платежи тяжким бременем лежали на миллионах крестьян. К тому же взамен помещичьей власти в деревне укреплялся гнет общины которая могла наложить штраф на трудолюбивых крестьян за работу а в праздничные дни приговорить крестьян к ссылке в Сибирь за колдовство и т. Многие крестьяне испытывали большие тяготы изза того что не могли свободно распоряжаться своим наделом а также вести свое хозяйство так как считали нужным. Во многих общинах проводились переделы земли что исключало заинтересованность крестьян в повышении...
37147. Социал-демократия: большевизм и меньшевизм в революционном движении России 39.5 KB
  Идейное размежевание с меньшевиками сопровождалось не прекращавшимися попытками восстановить единство РСДРП но предложение Ленина разрешить партийный кризис созывом съезда не нашло поддержки у меньшевиков а также у большевиков членов ЦК партии считавших что съезд лишь закрепит раскол. Отказавшись от предложенного Лениным переименования партии в коммунистическую делегаты конференции решили добавить к традиционному ее названию Российская социалдемократическая рабочая партия слово большевиков и поручили ЦК партии подготовить проект...