19543

Wavelet фильтрация

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 12 Wavelet фильтрация Детализация сигнала Введем обозначение: для любой функции . Положим . Предложение. Если выполнено условие ортогональности то при фиксированном функции образуют ортонормированную систему. Доказательство. Имеем при . Нор...

Русский

2013-07-12

356.85 KB

7 чел.

1

Лекция 12 Wavelet фильтрация

Детализация сигнала

Введем обозначение:  для любой функции . Положим .

Предложение. Если выполнено условие ортогональности, то при фиксированном  функции  образуют ортонормированную систему.

Доказательство. Имеем

при . Нормированность проверяется очевидным образом с помощью замены переменных.

Обозначим через  линейное пространство, порожденное функциями . Потребуем, чтобы имело место включение . Это весьма жесткое ограничение. Оно выполнено, например, для . Для произвольной функции  положим

   (1)

- проекция функции на пространство . Коэффициенты разложения это и есть дискретные wavelet преобразования. Чем больше индекс пространства, тем более точное приближение исходной функции с помощью  получаем. Эта процедура и называется детализацией. Наложим на  еще одно дополнительное условие: потребуем, чтобы . Последнее означает, что каждую функцию из  можно приблизить с произвольной точностью подходящей функцией из . Заметим, что это выполнено для функции , поскольку каждую функцию из  можно приблизить ступенчатой функцией. Как следствие получим, что это верно и для произвольной функции с носителем на интервале , с помощью которой можно приблизить функцию . Положим , где второе слагаемое есть ортогональное дополнение к первому. Теперь  - прямая сумма попарно ортогональных пространств. Для  так получается базис Хаара, о котором будет рассказано позже.

Wavelet фильтрация

Вычисление коэффициентов разложения является трудоемкой задачей. Покажем, каким образом она может быть упрощена с помощью фильтра специального вида. В силу сделанного предположения , поэтому имеем место разложение . Рассмотрим скалярное произведение

=

. Коэффициенты в (1) можно найти следующим образом. Положим . Тогда = (2)

Формула (2) представляет собой свертку последовательностей. Она позволяет найти коэффициенты разложение для меньших значений индексов , если известны коэффициенты разложения для больших значений.  Ее можно рассматривать как применение фильтра специального вида с функцией отклика к источнику, которым являются коэффициенты разложения по большему индексу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2872. САПР управляющих программ 2.55 MB
  Основным направлением развития технологических процессов в металлообработке в настоящее время является повышение производительности и гибкости. Это объясняется тем, что значительно растет номенклатура деталей в мелко- и среднесерийном производстве, ...
2873. Ядерная модель атома 5.88 MB
  Ядерная модель атома Резерфорд на основании результатов эксперимента по рассеянию частиц на атомах металлической фольги обосновал планетарную модель строения атома. Согласно этой модели, атом состоит из тяжёлого положительно заряженного ядра очень малых размеров...
2874. Квантовые системы из одинаковых частиц 9.6 MB
  Квантовые системы из одинаковых частиц Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочасти...
2875. Законы теплового излучения. Фотоэффект 9.36 MB
  При рассмотрении проблемы электромагнитного излучения твердых тел классическая физика столкнулась с непреодолимыми трудностями. Данные теоретических расчетов существенно не совпадали с экспериментальными данными в области коротковолнового диапазона ...
2876. Резание материалов 2.33 MB
  Изучение геометрии токарного резца Цель работы. Изучение типов токарных резцов, их основных элементов и геометрических параметров. Приобретение навыков измерения геометрических параметров резцов и ознакомление с измерительными приборами...
2877. Заслон в горно-лесистой местности 985 KB
  На протяжении всех лет существования Внутренние Войска были, есть и будут одним из основных гарантов стабильности общественной безопасности. Определяя структуру и содержание моей курсовой работы, я посчитал необходимым включить в него разно...
2878. Загальна фізика 5.73 MB
  Друга частина конспекту лекцій з курсу загальної фізики для інженерно-технічних спеціальностей містить виклад розділів: Магнетизм (доц. М. Ковалець), Коливання і хвилі (доц. В. Вадець), Оптика (доц. В. Орленко), Елементи атомної фізики, квант...
2879. Волоконно-оптические сети и системы связи 4.53 MB
  Книга принадлежит перу одного из известных специалистов в области волоконно-оптической связи Олегу Константиновичу Склярову. Это его второй крупный труд об ВОЛС — важнейшей технологии современных систем передачи информации. К сожалению, последн...
2880. Атомное ядро. Радиоактивность. Элементарные частицы 1.59 MB
  Атомное ядро Основная масса материи в атоме не распределена равномерно по объёму атома, а сконцентрирована в плотном ядре, размер которого (~10-15 м) составляет одну стотысячную часть размера самого атома. Плотность ядерного вещества очень велика . ...