19543

Wavelet фильтрация

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 12 Wavelet фильтрация Детализация сигнала Введем обозначение: для любой функции . Положим . Предложение. Если выполнено условие ортогональности то при фиксированном функции образуют ортонормированную систему. Доказательство. Имеем при . Нор...

Русский

2013-07-12

356.85 KB

6 чел.

1

Лекция 12 Wavelet фильтрация

Детализация сигнала

Введем обозначение:  для любой функции . Положим .

Предложение. Если выполнено условие ортогональности, то при фиксированном  функции  образуют ортонормированную систему.

Доказательство. Имеем

при . Нормированность проверяется очевидным образом с помощью замены переменных.

Обозначим через  линейное пространство, порожденное функциями . Потребуем, чтобы имело место включение . Это весьма жесткое ограничение. Оно выполнено, например, для . Для произвольной функции  положим

   (1)

- проекция функции на пространство . Коэффициенты разложения это и есть дискретные wavelet преобразования. Чем больше индекс пространства, тем более точное приближение исходной функции с помощью  получаем. Эта процедура и называется детализацией. Наложим на  еще одно дополнительное условие: потребуем, чтобы . Последнее означает, что каждую функцию из  можно приблизить с произвольной точностью подходящей функцией из . Заметим, что это выполнено для функции , поскольку каждую функцию из  можно приблизить ступенчатой функцией. Как следствие получим, что это верно и для произвольной функции с носителем на интервале , с помощью которой можно приблизить функцию . Положим , где второе слагаемое есть ортогональное дополнение к первому. Теперь  - прямая сумма попарно ортогональных пространств. Для  так получается базис Хаара, о котором будет рассказано позже.

Wavelet фильтрация

Вычисление коэффициентов разложения является трудоемкой задачей. Покажем, каким образом она может быть упрощена с помощью фильтра специального вида. В силу сделанного предположения , поэтому имеем место разложение . Рассмотрим скалярное произведение

=

. Коэффициенты в (1) можно найти следующим образом. Положим . Тогда = (2)

Формула (2) представляет собой свертку последовательностей. Она позволяет найти коэффициенты разложение для меньших значений индексов , если известны коэффициенты разложения для больших значений.  Ее можно рассматривать как применение фильтра специального вида с функцией отклика к источнику, которым являются коэффициенты разложения по большему индексу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39727. Основные типы покупательского поведения 16.51 KB
  Сложное покупательское поведение Сложным покупательским поведением назвается поведение когда при высокой степени вовлеченности потребителя он очень долго и тщательно принимает решение о покупке что свящано с большими различиями между марками товара. Это поведение наблюдается при покупке дорогих товаров компьютер автомобиль другая дорогая и необходимая техника. Неуверенное покупательское поведение Неуверенным покупательским поведением называется поведение покупателя в тех ситуациях когда покупка связана с финансовым риском разница между...
39731. Товар может быть классифицирован по следующим основаниям 16.63 KB
  В зависимости от ритма совершения покупки все товары можно разделить на: Товары повседневного спроса товары которые потребитель обычно покупает часто без раздумий и с минимальными усилиями на их сравнение между собой. Товары предварительного выбора товары которые потребитель в процессе выбора и покупки как правило сравнивает между собой по показателям пригодности качества цены и внешнего оформления. Товары импульсной покупки приобретают без всякого предварительного планирования и поисков. Обычно такие товары продаются во многих...
39733. Товарный ассортимент и товарная номенклатура 18.24 KB
  Широта товарного ассортимента. Решение о наращивании товарного ассортимента. Товарный ассортимент любой фирмы является частью общего товарного ассортимента предлагаемого отраслью в целом. Наращивание ассортимента происходит тогда когда фирма выходит за пределы того что производит в настоящее время.
39734. Жизненный цикл товара 16.75 KB
  Характерным является небольшой рост объёмов продаж и соответственно прибыль минимальна или её вообще нет. Период быстрого роста объёма продаж если товар принят рынком и спрос на него растёт. Прибыль также возрастает по мере увеличения объёма продаж. Объемы продаж значительны но дальнейшего роста продаж не наблюдается.