19545

Быстрые схемы дискретного преобразования Фурье

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 14. Быстрые схемы дискретного преобразования Фурье. Обычные формулы для вычисления ДПФ требуют большого количества умножений: где число точек в ДПФ. Существуют приемы позволяющие уменьшить это количество. Они называются быстрыми схемами БПФ. Пр

Русский

2013-07-12

515.42 KB

4 чел.

2

Лекция 14. Быстрые схемы дискретного преобразования Фурье.

Обычные формулы для вычисления ДПФ требуют большого количества умножений: , где  - число точек в ДПФ. Существуют приемы, позволяющие уменьшить это количество. Они называются быстрыми схемами (БПФ). Простейшая относится к случаю .

Случай

 Любое число в интервале  однозначно представляется двоичным вектором длины . Если последовательность  задана, то положим

. В дальнейшем, что упростить изложение, введем обозначение , откуда . Имеем

. Основное замечание заключается в следующем: суммирование по индексу  равносильно суммированию по всем двоичным индексам .

, каждый из которых принимает два значения.

Для числа  существует аналогичное двоичное представление:. Рассмотрим самую внутреннюю сумму. . Нетрудно видеть, что это некоторая функция . Следующая сумма принимает вид . Этот процесс продолжается. Окончательно имеем . Количество сумм равняется , в каждой из которых лишь одно умножение. Для вычисления всех коэффициентов нужно  умножений. Другое преимущество этой схемы - экономный расход оперативной памяти.

Случай   с взаимно простыми сомножителями

Рассмотрим другой крайний случай, когда  и . В этом случае существуют целые , для которых . Отсюда следует, что

   (1)

При этом можно считать выполненными неравенства

.(2)

Если такое неравенство для , например, не имеет места, можно разделить на . Для

любого целого  из (1) вытекает

. При ограничениях типа (2)  находятся однозначно. Имеем

. Числа  - взаимно простые. Следовательно имеем для любого целого

. Теперь . Раскрывая скобки и отбрасывая члены кратные , получим показатель вида .

Из равенства  следует, что , поэтому весь показатель сравним с . Это означает, что . Вводя обозначения , окончательно получим  =

. Это означает, что преобразование Фурье для  точек свелось к последовательному выполнению преобразования Фурье по  точкам, а затем - по  точкам результатов предыдущего преобразования. При этом потребуется не более, чем  умножений. По сравнению с  выигрыш небольшой. Если же для какого-либо из промежуточных случаев есть своя быстрая схема, выигрыш может получиться значительным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70168. Проект подстанции для ткацкого цеха №3 предприятия «ОАО ХБК Шуйские ситцы» 3.12 MB
  Производим расчет подстанции, которая получает питание от ЦРП расположенного на расстоянии 1,2 км. Подстанция питает ткацкий цех №3 предприятия «ОАО ХБК Шуйские ситцы», в котором установлено: 315 ткацких станков СТБ-1-180, освещение и вентиляция мощностью 150 кВт.
70169. Вспомогательное производство, его роль в обеспечении работы предприятия 200.5 KB
  Уровень технической оснащенности предприятия определяет эффективность изготовления продукции основным производством обуславливает возможность ритмичности ее выпуска с заданными потребительскими свойствами. Техническую оснащенность предприятия можно рассматривать с точки зрения производства...
70171. Анализ станков используемых для изготовления детали Переходник 815 KB
  Стандартный ряд частот вращения шпинделя: Общее уравнение кинематического баланса привода главного движения: Число групп передач:4 Анализ структуры привода главного движения 8. Конструктивный порядок группы передач число передач в группе.
70172. Visual Basic 92.5 KB
  Целью данной работы является ознакомление с программой Visual Basic и написание в ней программы для решения степенных уравнений методом деления отрезка пополам и методом хорд, а так же с программой, позволяющей решить почти любой пример, Maple.
70173. Расчет и проект системы приточной вентиляции ритуального зала районного ЗАГСа 1.64 MB
  Для переходных условий независимо от места расположения здания принимаем температуру наружного воздуха t=10 С энтальпию I=265 кДж кг.1 Расчетные параметры наружного воздуха Расчетный период Параметры А Параметры Б Температура наружного воздуха tн С Энтальпия наружного воздуха...
70175. Проект коробки скоростей горизонтальной правой бабки продольнофрезерного станка 699.5 KB
  Исходные данные: Число скоростей z=24; Знаменатель прогрессии φ=112; Структурная формула z=; Материал заготовки сталь чугун; Максимальная ширина обработки В=320мм; Метод управления однорукояточный. При проектировании будем стремиться разработать конструкцию с максимально...