19552

Преобразования Адамара и Хаараара

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Лекция 21. Преобразования Адамара и Хаара Подсчет числа перемен знаков в матрице Адамара Аналогом частоты в базисе Фурье для матриц Адамара является число перемен знаков в строке. Предложение. Для того чтобы найти число перемен знаков в строке с номером...

Русский

2013-07-12

445.63 KB

8 чел.

2

Лекция 21. Преобразования Адамара и Хаара

Подсчет числа перемен знаков в матрице Адамара

Аналогом частоты в базисе Фурье для матриц Адамара является число перемен знаков в строке.

Предложение. Для того, чтобы найти число перемен знаков в строке с номером  в матрице Адамара, нужно сделать следующие операции:

Представить   в двоичной форме

Подсчитать , где  - матрица перехода от двоичного кода к коду Грея

Число перемен знаков в двоичной форме имеет вид .

Доказательство. Для  утверждение проверяется непосредственно. Предположим, что оно справедливо для . Рассмотрим матрицу  и ее строку с номером . Элементы этой строки подсчитываются по формуле , где .

По определению, =

. Положим . Когда  пробегает все значения, знак определяется четностью скалярного произведения вектора  на все коды Грея. Последние изобразим таблицей. Проходя первую половину таблицы, согласно предположению индукции, получим число перемен знаков, имеющее двоичное представление . Столько получится при прохождении второй половины таблицы. Если , то в силу зеркальности, на стыке будет еще одна перемена, в противном случае ее не будет.

При вычислении преобразования Адамара номер коэффициента можно ассоциировать с частотой, однако, не следует думать, что это действительно частота. Для этого достаточно подсчитать преобразование Адамара от .

Быстрое преобразование Адамара.

Пусть имеется вектора . Его преобразование Адамара есть вектор . Вектор  называется спектром Адамара исходного вектора. Обратное преобразование  можно рассматривать как разложение вектора  по столбцам , при этом число перемен знаков в соответствующем столбце рассматривается как аналог частоты. Разобьем вектор , представив его в виде блоков длины . Имеем . Для вычисления блоков можем применить аналогичную формулу. Таким образом реализуется быстрое преобразование Адамара

Преобразование Хаара.

Это преобразование строится на основе матрицы Хаара  порядка . . Введем обозначение . Здесь первая строка состоит из 1, а - матрица размера . Теперь

Здесь 1 и -1 обозначают строки длины . Очевидна ортогональность строк этой матрицы. Множитель  вводят для того, чтобы выровнять длину строк. Особенность матрицы Хаара заключается в том, что в каждой из строк имеется только один переход от 1 к -1. Фактически, преобразование Хаара есть реализация частного случая Wavelet преобразования.

Сжатие сигнала с помощью ортогонального преобразования.

Все рассмотренные выше преобразования могут использоваться для сжатия сигнала. Пусть сигнал представлен вектором . Подсчитываем , используя одно из ортогональных преобразований. В векторе  оставляем лишь часть координат, заменяя остальные нулями. Получаем вектор  и находим . Преимущество ортогонально преобразования заключается в том, что при этом можно оценить погрешность , совпадающую с . Процедура сжатия заключается в сохранении лишь ненулевых коэффициентов вектора . Имея несколько ортогональных преобразований, можем подобрать наиболее подходящее для сжатия данного вектора.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21802. Принятие решений в условиях нестохастической неопределенности 116.5 KB
  Критерий среднего выигрыша. Данный критерий предполагает задание вероятностей состояния обстановки . Эффективность системы оценивается как среднее ожидаемое значение МОЖ оценок эффективности по всем состояниям обстановки оптимальной системе будет соответствовать эффективность Критерий Лапласа. Критерий Лапласа – частный случай критерия среднего выигрыша.
21803. Модели основных функций организационно-технического управления 190 KB
  Центральными понятиями в теории принятия решений являются: универсальное множество вариантов альтернатив из которых осуществляется выбор; предъявление множество альтернатив предъявленных для выбора ; множество выбранных альтернатив в частности одна ; С принцип выбора функция выбора правило по которому осуществляется выбор наилучшей альтернативы . Функция выбора может задаваться поэлементно или в виде графика какойлибо зависимости или как целостное множество удовлетворяющее некоторым условиям. Часто в задачах принятия...
21804. Оценка сложных систем в условиях риска на основе функции полезности 105 KB
  В этом случае целесообразно использовать аксиоматический подход к оценке систем на основе теории полезности. Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов . все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются в функции полезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.
21805. Принципы и структура системного анализа 106.5 KB
  Специфической особенностью методики системного анализа является то что она должна опираться на понятие системы и использовать закономерности построения функционирования и развития систем. Общим для всех методик системного анализа является определение закона функционирования системы формирование вариантов структуры системы нескольких альтернативных алгоритмов реализующих заданный закон функционирования и выбор наилучшего варианта осуществляемого путем решения задач декомпозиции анализа исследуемой системы и синтез системы снимающей...
21806. Роль и место теории принятия решений в структуре подготовки специалиста 76 KB
  1 Роль и место теории принятия решений в структуре подготовки специалиста Общие свойства управления исследуются в кибернетике см. Проблемы управления техническими системами без участия человека – в теории автоматического управления ТАУ. Особенности управления в социальноэкономических системах изучаются в рамках менеджмента управление в современных организационно технических системах предмет настоящей дисциплины – в теории автоматизированных систем управления АСУ. Системный анализ наиболее конструктивное направление используемое...
21807. Основы построения автоматизированных систем управления 71.5 KB
  Рисунок 1 Блоксхема системы управления СУ Источником информации является объект управления ОУ посылающий по каналу связи информацию в своем состоянии. Управляющая система УС в зависимости от количества и содержания информации об объекте управления вырабатывает решение о воздействии на него. В реально функционирующих СУ на все элементы воздействует среда внося свои коррективы как в количество информации так и в качество. Основными группами функций являются: функции принятия решений функции преобразования содержания информации ...
21808. Концептуальные понятия теории систем и системного анализа 124.5 KB
  Основными задачами системного анализа являются: задача декомпозиции – представление систем из подсистем состоящих из элементов; задача анализа – определение свойств систем или окружающей среды определение закона преобразования информации описывающего поведение системы; задача синтеза – по описанию закона преобразования информации построить систему.1 – Понятие системы Множество элементов А системы S можно описать в виде: где i=ый элемент системы: число элементов в системе.2 Элемент системы Отсюда систему можно...
21809. Методы качественного оценивания систем 38 KB
  Качественные методы используются на начальных этапах системного анализа если реальная система не может быть описана в количественных характеристиках отсутствуют закономерности систем в виде аналитических зависимостей. Количественные методы используются на последующих этапах моделирования для количественного анализа вариантов системы. Во всех методах смысл задачи оценивания состоит в сопоставлении рассматриваемой системе альтернативе вектора из критериального пространства Km координаты точек которого рассматриваются как оценки по...
21810. Модели основных функций организационно-технического управления 337 KB
  2 Модель функции контроля Задача контроля объекта управления включает решение трех частных задач: задачи наблюдения классификации и идентификации распознавания образов. Определенные заранее такие агрегированные состояния играют роль своеобразных эталонов для распознавания реальных состояний объекта в процессе его контроля. Решение задачи идентификации заключается в отыскании такого отображения которое определяет оптимальную в некотором смысле оценку состояния ОУ по реализации входных и выходных сигналов объекта. Наблюдаемое реальное...