19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84987. Криминогенные ситуации и личная безопасность 27.87 KB
  Сформировать убеждение в необходимости соблюдать правила личной безопасности при общении с незнакомыми людьми выработать умение в безопасном поведении в характерных криминогенных ситуациях. Правила личной безопасности в криминогенных ситуациях. Необходимо выработать у учащихся умение отказываться от нежелательного общения для обеспечения личной безопасности. Разобрать основные правила по обеспечению личной безопасности в различных ситуациях возникающих в повседневной жизни.
84988. Обеспечение личной безопасности дома 30.08 KB
  Изучаемые вопросы Общие правила безопасного поведения школьника если он остался дома один. Обсудить с учащимися рекомендации по соблюдению правил безопасного поведения дома если они в доме одни. Не открывайте дверь никому даже если эти люди представились работниками коммунальных услуг милиции или почты. Если вас просят принести попить или позвонить от вас объясните через дверь как дойти до ближайшего магазина и телефонаавтомата.
84989. Обеспечение личной безопасности на улице 30.24 KB
  Обеспечение личной безопасности на улице Цель урока. Познакомить учащихся с общими правилами безопасного поведения в случаях возникновения криминогенных ситуаций на улице. Сформировать убеждение в необходимости совершенствовать свои знания и умения в вопросах безопасного поведения на улице с учетом складывающейся криминогенной обстановки. Изучаемые вопросы Общие рекомендации по безопасному поведению на улице.
84990. О культуре здоровья и безопасности школьника 28.04 KB
  Сформировать у учащихся общее понятие о здоровье и здоровом образе жизни. Обозначить основные составляющие здорового образа жизни; выработать убеждения в том что режим дня является определяющей составляющей здорового образа жизни. Общие понятия о здоровом образе жизни и его составляющих. Режим дня как определяющая составляющая здорового образа жизни.
84991. Двигательная активность и закаливание организма - необходимые 29.51 KB
  Двигательная активность и закаливание организма необходимые условия укрепления здоровья Цель урока. Сформировать убеждение в необходимости систематических занятий физической культурой и закаливанием организма умения дозировать физические нагрузки с учетом индивидуальных особенностей максимально использовать погодные условия в различное время года для занятий на свежем воздухе. Роль закаливания организма в укреплении здоровья. Довести до учащихся что закаливание это повышение устойчивости организма к неблагоприятному воздействию...
84992. Рациональное питание. Гигиена питания 28 KB
  Гигиена питания Цель урока. Познакомить учащихся с понятием рациональное питание основными питательными веществами и их значением в рационе питания человека. Разобрать общепринятые правила питания сформировать убеждение в необходимости соблюдать правила рационального питания в повседневной жизни. Некоторые общепринятые правила рационального питания.
84993. Вредные привычки и их влияние на здоровье человека 29.07 KB
  Вредные привычки и их влияние на здоровье человека Цель урока. Влияние алкоголя на здоровье человека. Эволюция обеспечила организм человека неисчерпаемыми резервами прочности и надежности которые обусловлены избыточностью элементов всех его систем их взаимодополняемостью взаимодействием способностью к адаптации и компенсации. Природа создала человека для долгой и счастливой жизни.
84994. Здоровый образ жизни и профилактика вредных привычек 27.76 KB
  Сформировать убеждение в том что привычка курить и употреблять алкоголь зачастую начинается с первой пробы выработать у них твердую привычку говорить Нет любому кто предложит закурить или попробовать спиртное. Разобрать с учащимися ситуационные задачи: Если вам в кругу сверстников предложат закурить как вы поступите Если у вас в доме гости и вас пригласили к столу и предложили выпить спиртного как вы поступите В заключение предложить четыре правила Нет для профилактики курения и употребления спиртных напитков. Постоянно...
84995. Первая медицинская помощь при различных видах повреждений 28.12 KB
  Познакомить учащихся с назначением и содержанием первой медицинской помощи. Разобрать последовательность в оказании первой медицинской помощи: довести но них рекомендации службы скорой медицинской помощи в каких ситуациях необходимо вызывать скорую медицинскую помощь. Общие правила в последовательности оказания первой медицинской помощи. Подчеркнуть что от своевременности и качества оказания первой медицинской помощи в значительной степени зависит дальнейшее состояние здоровья пострадавшего и даже его жизнь.