19554
Метод главных компонентов в задаче сжатия
Лекция
Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы
1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...
Русский
2013-07-12
341.43 KB
1 чел.
1
Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.
Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц вида , где - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой наибольших корней .
Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через сумму первых диагональных элементов матрицы . По определению при . Очевидно, что при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.
Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются векторов . Требуется найти систему из ортонормированных векторов таких, что выполнено условие
(1)
Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами минимальна. Перепишем (1) в виде
. Поскольку первое слагаемое от векторов не зависит, последнее заменяется условием , (2)
где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов можно выбирать собственные векторы, отвечающие наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.
Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
7573. | Основы конституционного строя республики Беларусь | 85 KB | |
ТЕМА 3. Основы конституционного строя республики Беларусь 3.1. Понятие и структура конституционного строя Республики Беларусь 3.2. Конституционные основы экономической системы общества 3.3. Конституционные основы политической системы общества 3.4. К... | |||
7574. | Конституционные основы правового статуса человека и гражданина | 125.5 KB | |
ТЕМА 4. Конституционные основы правового статуса человека и гражданина 4.1. Понятие и элементы конституционно-правового статуса личности в Республике Беларусь 4.2. Понятие, особенности и классификация конституционных (основных) прав и свобод граждан... | |||
7575. | Административно-территориальное устройство республики Беларусь | 52.5 KB | |
Административно-территориальное устройство республики Беларусь Понятие и принципы административно-территориального устройства Республики Беларусь Виды административно-территориальных единиц в Республике Беларусь Порядок решени... | |||
7576. | Избирательное право и избирательная система республики Беларусь | 88 KB | |
ТЕМА 6. Избирательное право и избирательная система республики Беларусь Понятие избирательного права, избирательной системы. Источники избирательного права Республики Беларусь Конституционные принципы избирательного права Республики Белару... | |||
7577. | Референдум (народное голосование) в республике Беларусь | 49.5 KB | |
Референдум (народное голосование) в республике Беларусь Понятие, назначение и виды референдумов. Порядок организации и проведения республиканского референдума Порядок организации и проведения местного референдума. Юридиче... | |||
7578. | Понятие и система государственных органов в республике Беларусь | 38 KB | |
ТЕМА 8. Понятие и система государственных органов в республике Беларусь Понятие, виды и система государственных органов Понятия власть и субъект власти ПОНЯТИЕ, ВИДЫ И СИСТЕМА ГОСУДАРСТВЕННЫХ ОРГАНОВ Государственный орган... | |||
7579. | Президент республики Беларусь | 83.5 KB | |
ТЕМА 9. Президент республики Беларусь Президент - Глава государства. Понятие и назначение института президентства в Республике Беларусь Порядок избрания Президента Республики Беларусь Место и роль Президента Республики Беларусь в... | |||
7580. | Парламент - национальное собрание республики Беларусь | 119 KB | |
Парламент - национальное собрание республики Беларусь. Парламент в системе органов государственной власти Республики Беларусь. Структура и порядок формирования Национального собрания Республики Беларусь. Внутренняя организаци... | |||
7581. | Правительство - совет министров республики Беларусь | 49 KB | |
ТЕМА 11. Правительство - совет министров республики Беларусь. Правительство Республики Беларусь в системе органов государственной власти. Состав и порядок формирования Правительства Республики Беларусь. Компетенция Правительства ... | |||