19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25373. Социальная политика в системе общественных отношений, ее взаимосвязь с социальной работой 37 KB
  Социальная политика в системе общественных отношений ее взаимосвязь с социальной работой В условиях быстрых социальных перемен на макроуровне системы социальной работы для оптимизации ее деятельности требуется проведение эффективных социальных мероприятий и создание качественно новых программ разрешающих и предвосхищающих проблемы конкретного общества. Главная цель этих усилий состоит в содействии нормальному функционированию социальной сферы через реализацию социальной политики. Социальная политика представляет собой обязательный элемент...
25374. Основные модели и приоритеты социальной политики в России и за рубежом 19.81 KB
  Основные модели и приоритеты социальной политики в России и за рубежом.Полит идеология неразрывно связана с полит сознанием – это сфера общ сознания образуемая совок соц чувств представлений взглядов отражающих реальные полит отношен и вместе с тем составляющих их неотъемлемую часть. Неолиберализм отказались от прямой демократии признали неравенство людей но выдвинули идею соц равенства пересмотрели пункт о невмешательстве госва в экку. Социал демократич полит идеология в сер 19в защищала рабочие классы трудящихся от беззакония.
25375. Объект предмет и категории теории социальной работы 39.5 KB
  Объект предмет и категории теории социальной работы Теория социальной работы это наука о закономерностях и принципах функционирования развития и регулирования конкретных социальных процессов и состояний личности в трудных жизненных ситуациях защите ее прав и свобод посредством целенаправленного воздействия на личность и окружающую ее социальную среду. Выбор объекта и предмета науки влияет на содержание теории и практики социальной работы. Объект и предмет основополагающие категории развития теории социальной работы. Так в...
25376. Социальная работа как вид профессиональной деятельности: объекты и субъекты 35 KB
  чтобы понять сущность социальной работы как профессионального вида деятельности необходимо дать определение рядовому понятию – деятельность. Деятельность – это способ существования и развития социальной действительности проявление социальной активности целенаправленное отражение и преобразование окружающего мира. Основой социальной работы в России выступает благотворительность уходящая своими корнями в глубокую древность. Профессия социальный работник специалист по социальной работе официально зарегистрированы в мартеапреле...
25377. Основные тенденции истории социальной работы за рубежом 62.5 KB
  Основные тенденции истории социальной работы за рубежом Периодизация истории социальной работы за рубежом повторяет основные периоды в истории развития народов: 1.Развитие социальной работы в новое время середина XVII – начало XX в.Развитие социальной работы в новейшее время XXв. Кроме этой классификации не менее распространена следующая: пять периодов в истории социальной работы за рубежом: 1.
25378. Основные тенденции становления социальной работы в России 133 KB
  Родоплеменные и общинные формы помощи и взаимопомощи у славян до Х в. Самыми распространенными формами помощи бедным односельчанам являлось кормление по домам призреваемые находились целые сутки в одном доме переходя на следующие в другой и подаяние милостыни но в деревнях денег было мало и подавали чаше всего едой и одеждой. Характеризуется отсутствием государственной систему социальной помощи населению. Самая распространенная форма помощи подача милостыни.
25379. Сущность и классификация технологий социальной работы 36 KB
  Сущность и классификация технологий социальной работы При определении технологий в социальной работе необходимо учитывать общую трактовку социальных технологий особенности социальной работы как одного из видов человеческой деятельности а также особенности объектов субъектов содержания средств и других элементов социальной работы как системы. В отечественной литературе социальные технологии применительно к социальной работе трактуются как совокупность приемов методов и воздействий применяемых социальными службами отдельными учреждениями...
25380. Проблемы эффективности в социальной работе и методы ее оценки 52.5 KB
  Проблемы эффективности в социальной работе и методы ее оценки. Другими важными проблемами ЭСР являются оценка эффективности выбор предметов оценки эффективности; субъекты оценивающие эффективность; методы и методики оценки эффективности; факторы влияющие на эффективность неэффективность. Наиболее типичными разделами методики являются: назначение; контур и предмет оценки эффективности; рекомендуемые методы оценки эффективности их характеристика; порядок определения эффективности; пример расчета эффективности; приложения при...
25381. ОРГАНИЗАЦИОННО-РАСПОРЯДИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЕ 79.5 KB
  ОРГАНИЗАЦИОННОРАСПОРЯДИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЕ Существуют различные позиции относительно систем управления в области социального обслуживания. Административные организационные методы их иногда называют организационнораспорядительными имеют большое значение в практике управления. Если в качестве критерия или основания классификации взять функцию которую выполняют способы административного воздействия в реальном управлении то можно выделить три большие группы: регламентирующие распорядительные и дисциплинарные методы....