19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69181. ІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ І ЇХНЯ РОЛЬ В УПРАВЛІННІ НАРОДНИМ ГОСПОДАРСТВОМ 118 KB
  Залежно вiд застосовуваних технiчних засобiв обробки iнформацiї розрiзняють ручнi механiзованi та у разі використання автоматiв насамперед ЕОМ автоматизованi ІС АIС. Для банкiвських установ велике значення має продуктивнiсть АIС її здатнiсть швидко переробляти...
69182. ЕКОНОМІЧНА ІНФОРМАЦІЯ ТА ЗАСОБИ ЇЇ ФОРМАЛІЗОВАНОГО ОПИСУ 100.5 KB
  Поняття економічної інформації її види та властивості. Коли виходити з того що інформація це подані певним способом повідомлення які виникають під час здійснення певного виду людської діяльності то можна розглядати наукову технічну економічну соціальну...
69184. Измерение состава и свойств вещества 42 KB
  Измерение влажности. В ядерном энергетическом реакторе путем определения влажности газа контролируется целостность технологических каналов.Имерение влажности газов. Средства измерения влажности имеют многолетнюю историю.
69185. Преобразователь оборотов 33 KB
  Преобразователь оборотов преобразователь предназначен для непрерывного преобразования электрического частотного сигнала датчика оборотов в пропорциональный ему выходной электрический сигнал постоянного тока 001мА. Преобразователь предназначен для работы при температуре...
69186. Измеритель осевого сдвига ротора турбины 32 KB
  Принцип действия датчика осевого сдвига ДОС ротора основан на индуктивном методе измерения линейных перемещений с применением дифференциально-трансформаторной схемы. Первичная обмотка датчика ОСР соединяется последовательно с обмоткой возбуждения компенсирующего датчика КД.
69187. Измеритель относительного расширения ротора турбины 36 KB
  Изменение выходного напряжения датчика ОРР осуществляется вторичным прибором КСД1049 и основано на компенсационном принципе измерения. Первичные обмотки датчика ОРР и дифференциально-трансформаторного датчика прибора соединяются последовательно...
69188. Измерение механических величин 46.5 KB
  Это привело к необходимости измерений основных механических величин параметров турбины: осевого сдвига; относительного расширения ротора; прогиба ротора; прослушивания уплотнений ТГ; сигнализатора валоповорота; теплового расширения корпуса турбины; измерение оборотов турбины...
69189. Измерение температуры тел по их тепловому излучению 39 KB
  Спектр электромагнитного излучения большинства твердых и жидких тел является непрерывным и содержит волны всех длин от λ=0 до λ=∞. Суммарная энергия полного излучения и энергия излучения волн определенной длины тела зависит от температуры тела.