19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49987. ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ 337 KB
  Рассчитать основанные характеристики решетки: период d число штрихов N дисперсию D и разрешающую способность R. Если через обозначить ширину щели а через b ширину непрозрачного промежутка то величину d = b называют периодом или постоянной дифракционной решетки. Из теории колебаний известно что для тех направлений для которых в разности хода укладывается целое число длин волн  = k возникают максимумы интенсивности которые называют главными и тогда основная формула для дифракционной решетки имеет вид...
49988. ПОЛУЧЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СВЕТА С РАЗЛИЧНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ ПОЛЯРИЗАЦИИ 269.5 KB
  Краткое теоретическое введение Свет в котором в каждый момент времени векторы Е и Н будучи взаимно перпендикулярны друг другу беспорядочно меняют свое направление в плоскости Р перпендикулярной направлению распространения света рис. 4 Получение линейно поляризованного света и его анализ Линейно поляризованный свет получают из естественного света с помощью устройств которые называются поляризаторами. Действие поляризаторов основывается на использовании либо закона Брюстера для отражения и преломления света на границе раздела...
49989. ПОЛУЧЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СВЕТА С РАЗЛИЧНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ ПОЛЯРИЗАЦИИ 822.5 KB
  Приборы и принадлежности: прибор ПКС125 включающий поляроидполяризатор диаметром 125 мм анализатор находящийся во вращающейся оправе с градусными делениями и нониусом который позволяет определять угол поворота анализатора с точностью до 1 10 градуса источник света лампа накаливания мощностью 60 Вт; приемник излучения фотосопротивление источник питания для фотосопротивления микроамперметр светофильтр для выделения света с длиной волны для которой кристаллическая пластинка является пластинкой λ 4†измерительный прибор...
49990. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА НА ДВУХЛУЧЕВОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВОЗДУХА 836.5 KB
  До точки Р волна проходит в среде с показателем преломления n1 путь s1 вторая волна проходит в среде с показателем преломления n2 путь s2. Интерферометр Жамена предназначен для измерения небольших изменений показателей преломления. Для уяснения принципа действия такого рефрактометра вообразим что на пути одного из интерферирующих лучей помещен плоскопараллельный слой какоголибо вещества толщиной с показателем преломления n2.
49991. ИЗУЧЕНИЕ ФОТОЭЛЕМЕНТА С ВНЕШНИМ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЭФФЕКТОМ 120.5 KB
  Внешний фотоэффект используют в приборах называемых фотоэлементами . Измерение основных характеристик фотоэлемента Фотоэлемент представляет собой стеклянный баллон рис. Анод фотоэлемента 3 изготовлен в виде диска или сферы помещенного в центре баллона.
49992. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 200.5 KB
  Энергия нагретого тела E1 много больше энергии излучения E2 что и составляет сущность проблемной ситуации. Происхождение теплового излучения При нагревании любого тела повышается запас его энергии сосредоточенной на различных степенях свободы: поступательного движения атомов и молекул газа вращательного и колебательного движения атомов или ионов в молекулах и кристаллах и т. Таким образом любые нагретые тела т. тела с температурой больше 0 К испускают электромагнитное излучение микроскопические механизмы которого различны в разных...
49993. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА СПЕКТРОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ 942 KB
  Краткое теоретическое введение Согласно квантовой теории излучение света атомами вещества связано с изменением их энергетического состояния. По теории Бора переход атома водорода из одного энергетического состояния в другое связан с переходом электрона атома с одной орбиты на другую. Орбиты электрона в атоме квантованы и поэтому энергия атома водорода не может иметь любое произвольное значение.
49994. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ ФОТОНОВ 130.5 KB
  Одним из фундаментальных положений квантовой механики является принцип неопределенностей сформулированный В. О том каково его значение можно судить исходя из того факта что всего одного из соотношений неопределенностей достаточно чтобы объяснить целый ряд закономерностей в атомной и ядерной физике. Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В можно написать B ≥ 3 Соотношение 3 называется соотношением неопределенностей для величин А и В.
49995. Стройові вправи. Загальнорозвивальні вправи 69 KB
  Стройові вправи. Шикування як вид стройових вправ. Загальнорозвивальні вправи. Прикладні вправи.