19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7573. Основы конституционного строя республики Беларусь 85 KB
  ТЕМА 3. Основы конституционного строя республики Беларусь 3.1. Понятие и структура конституционного строя Республики Беларусь 3.2. Конституционные основы экономической системы общества 3.3. Конституционные основы политической системы общества 3.4. К...
7574. Конституционные основы правового статуса человека и гражданина 125.5 KB
  ТЕМА 4. Конституционные основы правового статуса человека и гражданина 4.1. Понятие и элементы конституционно-правового статуса личности в Республике Беларусь 4.2. Понятие, особенности и классификация конституционных (основных) прав и свобод граждан...
7575. Административно-территориальное устройство республики Беларусь 52.5 KB
  Административно-территориальное устройство республики Беларусь Понятие и принципы административно-территориального устройства Республики Беларусь Виды административно-территориальных единиц в Республике Беларусь Порядок решени...
7576. Избирательное право и избирательная система республики Беларусь 88 KB
  ТЕМА 6. Избирательное право и избирательная система республики Беларусь Понятие избирательного права, избирательной системы. Источники избирательного права Республики Беларусь Конституционные принципы избирательного права Республики Белару...
7577. Референдум (народное голосование) в республике Беларусь 49.5 KB
  Референдум (народное голосование) в республике Беларусь Понятие, назначение и виды референдумов. Порядок организации и проведения республиканского референдума Порядок организации и проведения местного референдума. Юридиче...
7578. Понятие и система государственных органов в республике Беларусь 38 KB
  ТЕМА 8. Понятие и система государственных органов в республике Беларусь Понятие, виды и система государственных органов Понятия власть и субъект власти ПОНЯТИЕ, ВИДЫ И СИСТЕМА ГОСУДАРСТВЕННЫХ ОРГАНОВ Государственный орган...
7579. Президент республики Беларусь 83.5 KB
  ТЕМА 9. Президент республики Беларусь Президент - Глава государства. Понятие и назначение института президентства в Республике Беларусь Порядок избрания Президента Республики Беларусь Место и роль Президента Республики Беларусь в...
7580. Парламент - национальное собрание республики Беларусь 119 KB
  Парламент - национальное собрание республики Беларусь. Парламент в системе органов государственной власти Республики Беларусь. Структура и порядок формирования Национального собрания Республики Беларусь. Внутренняя организаци...
7581. Правительство - совет министров республики Беларусь 49 KB
  ТЕМА 11. Правительство - совет министров республики Беларусь. Правительство Республики Беларусь в системе органов государственной власти. Состав и порядок формирования Правительства Республики Беларусь. Компетенция Правительства ...