19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65465. Методика навчання інформаційних систем і технологій майбутніх учителів економіки 219.5 KB
  Особливо важливим є вирішення питання якісної професійної підготовки студентів економічних спеціальностей педагогічних університетів які повинні володіти не тільки сучасними інформаційними системами і технологіями ІСіТ в економіці а й методикою їх навчання...
65466. ЕКОЛОГІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ФУНКЦІОНУВАННЯ АГРОЦЕНОЗУ ПШЕНИЦІ ОЗИМОЇ В УМОВАХ ПОЛІССЯ 1.36 MB
  Відповідно до мети було сформульовано наступні завдання: проаналізувати в умовах Полісся стан основних компонентів агроценозу пшениці озимої ґрунту мікробного ценозу фітоценозу за різних строків сівби культури та внесених норм мінеральних добрив...
65467. ПОЛЕЗАХИСНА ЕФЕКТИВНІСТЬ СИСТЕМИ ЛІСОВИХ СМУГ В УМОВАХ ПРАВОБЕРЕЖНОГО ЛІСОСТЕПУ 1.05 MB
  Зазначена кількість створених лісових насаджень є не тільки недостатньою але й в більшості випадків не відповідає сучасним науковим підходам і баченням даної проблеми в цілому.
65468. Вплив холодної деформації волочінням на властивості тонких термопарних дротів 917 KB
  Найбільш поширеним безвідходним способом обробки циліндричних металевих заготовок тиском є холодне волочіння яке дозволяє звести до мінімуму або повністю виключити необхідність обробки деталей різанням. Подальший розвиток методів холодного волочіння та ширше...
65469. ІНТЕЛЕКТУАЛІЗАЦІЯ ПРАЦІ У СТРАТЕГІЇ ІННОВАЦІЙНОГО РОЗВИТКУ ЕКОНОМІКИ УКРАЇНИ 201 KB
  Інтелектуалізація праці завжди була тією рушійною силою, яка надавала певного змісту господарській діяльності людини, визначала характер економічного зростання і ступінь розвитку економіки. Поступове підвищення ролі переважно інтелектуальної, творчої, складної компоненти змісту праці...
65470. ІНФОРМАЦІЙНА ТЕХНОЛОГІЯ ФРАКТАЛЬНОГО КОДУВАННЯ В ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ МЕРЕЖАХ ВІДЕОСПОСТЕРЕЖЕННЯ 181.5 KB
  Не завжди вирішують завдання і методи кодування відеопотоків які використовуються в сучасних системах: в одних методах наприклад ДКП ступінь стискування виявляється недостатньою в інших наприклад фрактальних на заваді стає неприпустимо великий час кодування.
65471. Наукові і технологічні основи створення та керованого функціонування епоксидних композитів з різним ступенем наповнення 298 KB
  Епоксидні композиційні матеріали ЕКМ та покриття на їх основі набули широкого застосування у світовій практиці для захисту технологічного устаткування деталей машин і механізмів від зношування корозії перепадів температур в умовах сухого фрикційного контакту або впливу гідроабразивних середовищ.
65472. КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСОМ ПЕРЕНЕСЕННЯ ЕЛЕКТРОДНОГО МЕТАЛУ ЗАСТОСУВАННЯМ ІМПУЛЬСНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ДІЙ ПРИ ДУГОВОМУ ЗВАРЮВАННІ 6.2 MB
  Дугове зварювання плавким електродом характеризується підвищеною продуктивністю та відносно легкою автоматизацією процесу чим пояснюється його широке використання у промисловості. При застосуванні даного способу зварювання існують проблеми підвищення якості зварних з’єднань...
65473. РЕДАГУВАННЯ ПЕРЕКЛАДУ ТЕКСТІВ АНГЛОМОВНИХ ТЕЛЕСЕРІАЛІВ 144.5 KB
  На особливу увагу заслуговує редагування перекладу текстів англомовних телесеріалів українською мовою адже більшість продуктів сучасного телебачення виробляється в Сполучених Штатах Америки і потрапляє до вітчизняного глядача...