19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53177. Український етикет. Традиції гостинності і вітання на Україні 42.5 KB
  Діти стають у коло разом з вчителем і вітають один одного хором: Привітаємо сонечко: Здрастуй золотаве Усміхнемось один одному Поглянемо ласкаво Хай сьогодні в кожне серце Зустріч додасть тепла А ми друзів привітаємо Побажаємо добра Вчитель: Любі діти у наш клас Завітали люди щирі. Діти разом: Добрий день в добрий час Заходьте будь ласка до нас Дівчина: Гість у дім – радість з ним. Діти а в який гарний день прийшли до нас дорогі гості А скажіть будь ласка яке сьогодні число Який день тижня Яка чудова пора року гостює в...
53178. ПРАВИЛА ГОСТИННОСТІ 43.5 KB
  Арбуз в перекладі з тюркської мови огірок віслюка Ведучий 1 Читання – ось найкраща розвага. А ось прикрасити кімнату плакатами виготовленими власноруч ми можемо. Ось і читання і розвага: загадки – відгадуємо скоромовки – швидко вимовляємо. Ось осінні оси – ось Я пасу осінніх ос Мала Маринка має м’ячик маленький м’ячик м’яко скаче.
53179. В гостях у первой учительницы 30.5 KB
  Дорогие друзья Накануне прекрасного весеннего праздника Международного женского дня мы решили провести устный журнал в вашем классе где ваша учительница Наталья Борисовна была и у многих из нас первой. Итак страница первая Цветы любимой учительнице В весенний день когда все ожидают Прекрасный женский праздник в нетерпенье В семье и в классах обсуждают Какой сюрприз преподнести на удивленье Наталья Борисовна Кроме живых цветов мы дарим Вам особый букет: из сказаний и легенд о цветах художественное чтение на музыкальном...
53180. Учимся интересно, говорим правильно 70 KB
  К таким умениям и навыкам можно отнести следующие: умение фиксировать внимание на фонетических особенностях звучащего слова; умение анализировать свою речь с позиций правильности неправильности и оценки дикции; умение давать аргументированную оценку речи других; умение читать и говорить правильно подражая звучащему образцу; внятно и отчетливо произносить звуки и слова; читать написанное с орфоэпической подготовкой и без таковой; правильно и рационально пользоваться орфоэпическими словарями в которых есть произносительные...
53181. Велика Британія в 19 столітті – народження традицій 929 KB
  Queen Victoria came to the throne as a young woman in 1837 and reigned until her death in 1901. Because of the growth of parliamentary government she was less powerful than previous sovereigns but as queen and empress she ruled over more lands and peoples than any previous monarch. Furthermore, she enjoyed the respect and affection of her British subjects.
53182. Економічний бій 59 KB
  Товар який стихійно виділився з світу товарів щоб відігравати роль загального еквіваленту гроші. Яку функцію виконують гроші якщо їх віддають у банк під процент Чи діє закон попиту на монополістичному ринку Що станеться на товарному ринку з ціною на молоко якщо збільшиться кількість корів і зменшаться доходи споживачів Продовжіть прислів’я: Хочеш втратити друга.дай йому в борг гроші. Командам пропонується згадати прислів’я або приказки про гроші або про працю.
53184. Закріплення теми «Креслення в системі прямокутних проекцій» 43 KB
  Получение изображения предмета на чертеже воображаемыми лучами называют проецированием Изображение предмета на плоскости методом проецирования называют проекцией Плоскость на которой получают проекцию называютплоскость проекции Назовите методы проецирования центральное и параллельное. Какой метод проецирования более простой и удобный для получения проекций в черчении Где используется метод центрального проецирования в изобразительном искусстве. Назовите три плоскости проецирования фронтальная горизонтальная...
53185. Застосування різних способів розкладання многочленів на множники 75.5 KB
  Мета: узагальнити й систематизувати знання, вміння і навички учнів; розвивати пізнавальну активність, логічне мислення, увагу; виховувати культуру математичного мовлення, упевненість у своїх силах.