19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85772. Барабанный котельный агрегат 157.39 KB
  Большинство современных теплотехнических измерительных приборов основано на применении электрических принципов измерения неэлектрических величин температуры давления расхода и пр. Схема определяет место установки тягодутьевых машин на холодном воздухе горячем воздухе дымовых газах число независимых ниток с разными характеристиками трактов и машин наличие постоянно действующих перемычек с дросселированием давления в них и др. Определение минимального перепада давления дифманометра Верхний предел измерения дифманометра. Определяем...
85773. Створення геометричних тіл, обмежених плоскими поверхнями 1.44 MB
  Придивившись до предметів, що оточують нас, ви помітите, що вони представляють форму геометричних тіл або їх поєднання. Якщо ви навчитеся створювати тривимірні моделі простих геометричних тіл, то уміле їх поєднання дозволить створювати складніші форми.
85774. Побудова креслення простими командами із застосуванням прив’язок 1.35 MB
  Мета. Ознайомитися з основними елементами робочого вікна, побудовою геометричних примітивів, управління відображенням документу у вікні Теоретичні відомості. Основні елементи робочого вікна документу Фрагмент Виберіть тип документу Фрагмент...
85775. Редагування об’єкту. Видалення об’єкту і його частин. Заливка областей кольором у фрагменті 743.78 KB
  Мета. Ознайомиться з панеллю редагування об’єктів. Досліджувати способи видалення об’єктів і його отдельны частин. Ознайомитися із способами заливки окремих областей об’єкту різними способами заливки. Теоретичні відомості. Редагування об’єкту. Видалення об’єкту і його частин.
85777. ПРОГРАМИ З РОЗГАЛУЖЕНИМИ ТА ЦИКЛІЧНИМИ АЛГОРИТМАМИ 51.17 KB
  Мета роботи – вивчити оператори мови СІ та основні функції введення-виведення даних, навчитися складати та відлагоджувати розрахункові програми з розгалуженими та циклічними структурами. Завдання: Скласти блок-схеми алгоритмів та програми мовою СІ для табулювання функцій.
85778. Лабараторная дыягностыка бактэрыяльных і мікозных інфекцый сельскагаспадарчай і хатняй жывёлы 2.19 MB
  Для дыягностыкі інфекцыйных захворванняў выкарыстоўваюць комплексны падыход, пры якім улічваюць клінічнае праяўленне, эпізаатычную сітуацыю, вынікі паталагаанатамічнага ўскрыцця. Лабараторны ж дыягназ выстаўляюць на падставе мікраскапічнага, бактэрыялагічнага, сералагічнага і біялагічнага метадаў даследавання.
85780. Синхронизация потоков с использованием МFС 123.05 KB
  Основная проблема с которой сталкиваются программисты при реализации многопоточности в вычислительных процессах является синхронизация согласованная работа одновременно работающих потоков. Например если один поток пытается изменить значение разделяемых данных в то время когда другой...