19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35505. Экология 51.5 KB
  Факторы окружающей среды биотические и абиотические периодические непериодические жизненно важные и сигнальные адаптация экосистем к окружающей среде. Экологические факторы компоненты природной среды влияющие на состояние и свойства организма или популяции. Абиотические все компоненты неживой природы: солн радиация температура влажность рельеф состав водной воздушной и почв среды. Опасные содержат вва которые обладают 1 из опасных свойств токсичность взрывчатость пож опасность инфекционность и присутствуют в...
35506. Конструкции из дерева и пластмасс 52.5 KB
  Основные виды соединений деревянных элементов и предъявляемые к ним требования. Конструктивные врубки для соед элементов с незначительными усилиями не рассчитываются. На шпонках W шпонок не выше W элементов. Нормальные напряжения вычисляют как для сжатоизгибаемых элементов.
35507. Железобетонные и каменные конструкции 1.87 MB
  В качестве напрягаемой рекомендуется применять стержневую термически упрочненную арматуру классов АтVI тV tIVC горячекатаную арматуру классов VI V и IV; для элементов длиной свыше 12 м целесообразно применять арматурные канаты и высокопрочную проволоку допускается применение стержней классов IV V. Конструктивные особенности железобетонных изгибаемых элементов. Основные положения расчета изгибаемых элементов по предельным состояниям. По нормальному сечению рассчитывают изгибаемые элементы прямоугольного профиля с одиночной и...
35508. Металлические конструкции 2.81 MB
  Применение: несущие конструкции промзданий большепролётные покрытия зданий мосты и эстакады листовые конструкции башни и мачты каркасы многоэтажных зданий крановые и др. подвижные конструкции прочие конструкции. Исходным материалом является прокатный металл все конструкции объединены одним технологическим процессом их изготовления.
35509. Строительная механика. Сущность расчета статически неопределимых систем методом сил 418 KB
  Эту систему большого числа сил по правилам теоретической механики можно привести к одной точке (центру тяжести поперечного сечения), в результате чего получим главный вектор R и главный момент.
35510. Обследование, испытание и реконструкция зданий и сооружений 167 KB
  Неразрушающие методы испытания строительных конструкций. Оптические испытания моделей и конструкций в проходящем и отраженном излучении.25 раза быстрее перепланировка увеличение высоты помещений усиление частичная разборка и замена конструкций надстройка пристройка улучшение фасада. Средняя замена отд конструкций повышение отметок покрытия возможно полная остановка технологического процесса.
35511. Основания и фундаменты 919 KB
  Осадка здания это смещение здания вызванное сжатием грунта в основании под зданием. Выклинивание отдельных слоев грунта в пределах контура здания 2. Линзообразное залегание отдельных видов грунта 3. Неодинаковая мощность слоев грунта залегающих в основании 4.
35512. Организация, управление и планирование в строительстве 1.71 MB
  Подготовка производственных процессов и работы бригад. Предпроектная ПСП маркетинговые исследования разработка согласование и утверждение ТЭО на основе бизнесплана и подготовки исходных данных на проектирование. Обеспечение ПСД разработка ПОС сметной документации рабочие чертежи рассмотрение согласование и утверждение ПСД. Перспективное планирование финансы и У ими распределение имеющихся производственных мощностей определение объемов и объектов многолетнего выполнения работ планирование разработка стратегических и тактических...
35513. Технология строительных процессов и возведения зданий и сооружений 276 KB
  При проектировании трудовых процессов неизбежно возникновение ситуации которая предполагает осуществление выбора между различными методами и приемами выполнения работы а также формами организации труда. Руки работника должны освобождаться от неэффективной работы например использование их в качестве поддержки. Такие виды работ могут быть произведены с помощью специальных приспособлений или механизмов. 3 Принцип параллельности: должны быть обеспечена одновременная работа человека и машины одновременная работа нескольких машин и участие в...