19554

Метод главных компонентов в задаче сжатия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

1 Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной п...

Русский

2013-07-12

341.43 KB

1 чел.

1

Лекция 23. Метод главных компонентов в задаче сжатия

Идея сжатия сигнала на основе разложения по ортогональному базису была изложена выше. Рассмотренные базисы являются универсальными и не учитывают особенность сигнала. Когда имеется набор сигналов одной природы, возникает вопрос о выборе оптимального базиса, пригодного для сжатия всего семейства. Эта задача решается с помощью метода главных компонентов. Сначала нам понадобится вспомогательное утверждение из линейной алгебры.

Предложение 1. Пусть имеется вещественная симметрическая матрица  и натуральное , меньше чем размер матрицы. Среди матриц  вида , где  - ортогональная матрица, выбирается такая, в которой сумма первых  диагональный элементов максимальна. Тогда эта сумма совпадает с суммой  наибольших корней .

Доказательство. Очевидно, что максимум достигается на некоторой матрице . Положим  - элементарный поворот, затрагивающий строки и столбцы с номерами . Обозначим через  сумму первых  диагональных элементов матрицы . По определению  при . Очевидно, что  при . В этих обозначениях производная в нуле принимает вид . Взяв индексы , получим, что . Это означает, что искомая матрица . Поскольку набор корней матриц  исчерпывает множество корней , отсюда следует утверждение.

Постановка задачи

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются  векторов . Требуется найти систему из  ортонормированных векторов  таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами  минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов  не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов  можно выбирать собственные векторы, отвечающие  наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7899. Поняття політики. Політика і влада 53 KB
  Поняття політика (від грецького поліс - місто-держава, і похідного від нього - політикос - усе, що повязано з містом — держава, громадянин, управління та ін.) має особливу історію. Загальновизнаною є думка, що цей термін набув поширення під впливом трактату Арістотеля Політика...
7900. Суспільний характер свідомості. Пізнання та його розуміння 66.5 KB
  Суспільний характер свідомості Природа свідомості, яка має різноманітні форми свого прояву, особливого статусу набуває в суспільному характері свого існування. І якщо раніше мова йшла насамперед про індивідуальну свідомість, то зараз ітиметься про...
7901. Кризові явища в Римській імперії. Солдатські та сенатські імператори. Вторгнення варварів 20.71 KB
  ТЕМА: Кризові явища в Римській імперії. Солдатські та сенатські імператори. Вторгнення варварів. МЕТА: створити умови для всебічного розуміння учнями всіх кризових явищ в Римській імперії розвивати вміння зіставляти та порівнювати інформацію з різн...
7902. Велич і трагедія оборони Києва 15.72 KB
  Велич і трагедія оборони Києва З весни 1240 р. кияни під проводом залишеного Данилом Романовичем воєводи Дмитра розпочали  підготовку до відбиття можливого нападу монгольських завойовників. Упродовж літа Батий збирав військо, чисельність якого сягну...
7903. Київська Русь - теорії походження та розвиток 45 KB
  Київська Русь - теорії походження та розвиток Зараз у науці нема єдиної думки щодо походження Давньорусської держави - Київської Русі. Існує декілька теорій. Норманська теорія, її започаткували німецькі вчені Г. Баєр та Г.Міллер...
7904. Конституційні права та свободи людини і громадянина 139 KB
  Тема: Конституційні права та свободи людини і громадянина Мета: ознайомити учнів з конституційними правами та свободами людина і громадянина, їх класифікацією, пояснити значення прав та свобод людини і громадянина та їх захист в Україні формувати в...
7905. Право власності. Урок 52.5 KB
  Тема уроку: Право власності Мета уроку: сформувати уявлення про зміст спадкового права, порядок спадкування за заповітом та за законом навчити аналізувати правові ситуації, що регулюються нормами спадкового права розвивати ...
7906. Володимиро-Суздальське князівство. Великий Новгород. Монгольське завоювання Русі 25.48 KB
  Всесвітня історія: Володимиро-Суздальське князівство. Великий Новгород. Монгольське завоювання Русі. Невська битва та Льодове побоїще. Початок збирання руських земель навколо Москви. Мета: створити умови для всебічного розуміння учнями всіх політичн...
7907. Віра, надія, любов як духовно-практичні виміри людини 41 KB
  Віра, надія, любов як духовно-практичні виміри людини Загальноприйнятим і простим є твердження, що людина не може жити без віри. Насамперед віру тлумачать якупевненість людини в існуванні якого-небудь явища, визнання його реальності. Віра...