19761

Основи гідродинаміки

Лекция

Физика

Основи гідродинаміки Основні поняття та визначення. Рівняння нерозривності потоку його зміст та види запису. Рівняння Бернуллі його фізичний та геометричний зміст види запису. 1 Гідродинаміка розділ гідромеханіки який вивчає закони руху рі...

Украинкский

2013-07-17

183.5 KB

57 чел.

Основи гідродинаміки

  1.  Основні поняття та визначення.
  2.  Рівняння нерозривності потоку, його зміст та види запису.
  3.  Рівняння Бернуллі, його фізичний та геометричний зміст, види запису.

-1-

Гідродинаміка – розділ гідромеханіки, який вивчає закони руху рідини та умови руху тіл в рідинах.

Гідродинамічний тиск – внутрішній тиск, який виникає при русі рідини.

Рух рідини може бути стаціонарним (швидкість і тиск в певних точках рідини не змінюються з часом і залежать лише від координати – ω=f1(x,y,z), P=f2(x,y,z)) та нестаціонарним (швидкість і тиск в певних точках рідини змінюються з часом - ω=f1(x,y,z,t), P=f2(x,y,z,t)).

Рідка частинка – умовно виділений дуже малий об’єм рідини (нехтуючи зміною форми при русі).

Потік рідини – рухома маса (кількість) рідини, яка повністю або частково обмежена поверхнями. При цьому межувати рідина може з твердим тілом або з іншою фазою рідини (пара).

За характером руху потік може бути:

  •  Напірний – рух рідини в закритих руслах при повному заповнені поперечного перерізу рідини. Виникає за рахунок наявності різниці тиску. Приклад – рух води у водопровідних трубах.
    •  Безнапірний – рух рідини у відкритому руслі, коли потік має вільну поверхню. Рух відбувається за рахунок сили тяжіння – геометричний нахил русла. Приклад – рух води в каналах, річках тощо.
    •  Струмені – витікання рідини через отвори чи сопла під дією напору. Можуть бути вільні (обмежені з усіх боків газоподібним середовищем) або затоплені струмені (обмежені з усіх боків рідким середовищем)

Лінії течії – уявні криві потоку рідини, які проводиться таким чином, що вектори швидкості кожної частинки рідини є дотичними до кривих.

Враховуючи складність руху реальної рідини моделлю руху рідини було вибрано струменеву модель – потік рідини складається із нескінченої кількості елементарних струминок.

Якщо в потоці рідини (мал. 1) виділити ділянку δS, обмежену контуром К, і через всі точки провести лінії течії, то отримаємо трубчату поверхню, яка називається трубка течії.

Елементарна струминка – це частина потоку нескінчено малого поперечного перерізу або це рідина, яка рухається всередині трубки течії.

Для стаціонарного руху рідини елементарна струминка має такі властивості:

  1.  її форма та орієнтація в просторі залишаються незмінними з часом;
  2.  бокова поверхня струминки непрониклива для рідини;
  3.  швидкість і тиск в усіх точках живого перерізу однакові із-за малої величини живого перерізу струминки (хоча вздовж потоку можуть змінюватись).

Живий переріз S – площа перерізу потоку (течії, струминки), проведеного нормально (перпендикулярно) до напрямку лінії течії та обмеженого його зовнішнім контуром.

Змочений периметр П – це довжина контуру живого перерізу, по якому рідина дотикається до обмежуючих поверхонь. Наприклад: для напірного руху (мал. 2, а, б): ;  .

А для безнапірного руху (мал. 2, в, г): ;  .

Гідравлічний радіус Rг – це відношення площі живого перерізу потоку до змоченого периметру:

При чому геометричний r та гідравлічний Rг радіус це різні поняття. Наприклад для труби діаметром d гідравлічний радіус:  .

Еквівалентний діаметр dе – це величина, яка чисельно дорівнює чотирьом гідравлічним радіусам:  .

Так, для труб круглого перерізу при напірному русі (мал. 2,а): .

А для напірного руху в трубах прямокутного перерізу (мал. 2, б):

.

Розхід рідини – це кількість рідини, що протікає через живий переріз потоку за одиницю часу. В залежності від величини, якою вимірюють кількість рідини, виділяють:

  •  об’ємний розхід V: , де L3 – об’єм рідини; τ – час;
    •  масовий розхід M: , де m – маса рідини;
    •  ваговий розхід G: , де mg – вага рідини.

При чому вони досить просто пов’язані між собою:  .

Для елементарної струминки з нескінчено малим перерізом і ω=const:

.

Тоді для потоку рідини: .

При цьому для спрощення розрахунків вводять поняття середньої швидкості, для якої:

Середня швидкість потоку – це уявна швидкість потоку, яка однакова для всіх частинок перерізу, і має таке значення, при якому розхід рідини дорівнює дійсному розходу.

-2-

Розглянемо стаціонарний потік рідин, який обмежений лініями струму (мал. 3). Розглянемо два його нормальний (перпендикулярних) перерізи “1” та “2”. За час dτ через живий переріз 1 пройде об’єм рідини V1dτ, а через переріз 2 – V2dτ. Якщо врахувати, що рідина не переходить через бічну поверхню та виконується умова суцільності (неможливе утворення пустот, не заповнених рідиною), тоді справедливий вираз: V1·dτ = V2·dτ, тобто V=const.

Рівняння сталості розходу:

V=const

Якщо ідеальна рідина рухається без розривів (суцільно), то при стаціонарному русі об’ємний розхід для будь-яких живих перерізів потоку незмінний

Оскільки V=ω, то можна записати це рівняння інакше:

Основне рівняння гідродинаміки – рівняння нерозривності потоку:

ωср=const

При стаціонарному русі ідеальної рідини добуток площі живого перерізу на середню швидкість потоку величина незмінна.

Якщо записати це рівняння для випадку, зображеному на мал. 3, то:

;

тобто середня швидкість обернено пропорційна до площі перерізу. З практичної точки зору це говорить про те, що у вузьких частинах потоку швидкість більша, ніж у широких.

-3.1.-

Розглянемо елементарну струминку ідеальної рідини.

Виберемо 2 її перерізу, врахувавши що потік стаціонарний, нестисливий та відсутня в’язкість. Рідина рухається під дією масових сил (мал. 4).

Згідно з законом збереження енергії повна енергія потоку буде незмінною: W = Wптяж + Wпт + Wк = const,

де Wптяж – потенційна енергія сили тяжіння; Wпт – потенційна енергія сили тиску; Wк – кінетична енергія.

Якщо записати це рівняння для одиниці об’єму, то отримаємо відповідні питомі енергії потоку Е=W/V:

Для випадку, вказаного на мал. 3 маємо:

де Р – питома потенційна енергія тиску або п’єзометричний напір; ρgz– питома потенціальна енергія сили тяжіння;  - питома кінетична енергія.

Обидва записи представляють собою рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини:

При стаціонарному русі елементарної струминки ідеальної рідини повна питома енергія вздовж струминки незмінна.

ЕНЕРГЕТИЧНИЙ ЗМІСТ

Якщо рівняння розділити на величину питомої ваги (γ=ρg), то рівняння Бернуллі буде мати наступний вигляд:

 

або

де Нп – повний напір рідини даного потоку (мал. 4,5);

zгеометричний напір, т.б. висота перерізу потоку над порівняльною площиною ОО;

hп=P/ρgп’єзометричний напір (висота), який відповідає гідростатичному тиску в даній точці. За висотою hп в п’єзометричній трубці (П1, мал.4) визначають тиск потоку.

hшв=ω2/(2g)швидкісний напір, який вимірюється за допомогою трубки Піто (П2, мал. 5). Він дає змогу оцінити швидкість потоку.

Тобто можна інакше сформулювати рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини:

При стаціонарному русі елементарної струминки ідеальної рідини сума трьох напорів (висот) – геометричного, п’єзометричного та швидкісного незмінна вздовж потоку.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ

Напір h(Е) – це питома енергія потоку рідини. Одиниці вимірювання – [h]=1м або [Е]=1Па в залежності від виду запису рівняння. Т.б. одиниці вимірювання – практичні.

З графічної точки зору (мал. 5,6) кожен із напорів представляє собою висоту:

  •  геометричний z – висота центру перерізу потоку над рівнем ОО;
    •  п’єзометричний hп – висота стовпчика рідини в п’єзометричній трубці;
    •  швидкісний hшв – різниця рівнів трубки Піто і п’єзометра;
    •  повний напір Hп – відстань між напірною лінією та площиною порівняння.

Якщо закон збереження енергії розділити на масу рідини (розглядати енергії 1 кг рідини), то рівняння Бернуллі матиме такий вигляд:

Застосування рівняння Бернуллі (з фізики):

  1.  Горизонтальний рух: Δh=0, тобто

або ;

Інакше кажучи тиск потоку збільшується за рахунок зменшення швидкості, або при збільшенні швидкості потоку його тиск зменшується.

  1.  Струменеві насоси (ежектор):

В наслідок горизонтального руху при різкому звуженні потоку його швидкість збільшується, а тиск зменшується (мал. 7). При певному підборі параметрів (малий Р1, велика ΔS) тиск у вузькій частині може бути нижче зовнішнього Р20. Тоді через патрубок буде “підсасуватись” речовина (вода, фарба, повітря тощо).

  1.  П’єзометрична трубка (мал. 5, П1):

Це трубка, яка створена для вимірювання внутрішнього тиску рідини.

Рухома рідина має внутрішній тиск, внаслідок чого піднімається стовпчик рідини в трубці П1. Висота підняття стовпчика буде залежати від величини цього тиску. Якщо вибрати площину порівняння в центрі потоку (z=0), та врахувати, що рух рідини відбувається у перпендикулярному до трубки напрямку (ω=0), тоді повний напір:  ,

що є п’єзометричним напором, або висотою стовпчика рідини в п’єзометричній трубці. Звідки можна знайти тиск потоку рідини для даного живого перерізу:

  1.  Трубка Піто (мал. 5, П2):

Це трубка, яка створена для вимірювання швидкості потоку рідини.

Принцип дії трубки Піто можна також описати рівнянням Бернуллі. Оскільки вона занурена в потік рідини, тому початковими показами її буде п’єзометричний напір hп. Але загнута кінцівка трубки на зустріч руху дає можливість перетворити кінетичну енергію у потенціальну енергію стовпчика рідини – швидкісний напір hшв. Отже показами трубки Піто є сумарний п’єзометричний та швидкісний напори: .

-3.2.-

Розглянемо елементарну струминку реальної рідини.

Елементарна струминка має однакову швидкість та тиск в межах живого перерізу. Але рух реальної в’язкої рідини характерний наявністю зовнішніх та внутрішніх сил тертя. Згідно з цим існують втрати напору Евт (hвт), тобто напір рідини зменшується вздовж потоку. За законом збереження енергії ці втрати проявляються у нагріванні рідини.

Згідно з цим рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини буде мати наступний вигляд:

або

або

 

або

або

або

-3.3.-

Розглянемо потік реальної рідини.

Як було сказано, потік реальної в’язкої рідини має зовнішні та внутрішні сили тертя, що враховує складова ΔЕвт (Δhвт). Але труба ще врахувати вплив нерівномірності розподілу швидкостей в живому перерізі на кінетичну енергію.

Для цього вводять коефіцієнт Коріоліса α – це відношення дійсної кінетичної енергії потоку до кінетичної енергії середньої швидкості даного перерізу. В основному α=1,03÷1,1, для труб α≈1,0.

Згідно з цим рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини буде мати наступний вигляд:

або

або

 

або

або

або

При цьому дещо зміниться геометричне зображення рівняння Бернуллі (мал. 7).

Питання для самоперевірки

  1.  Гідродинамічний тиск. Рух рідини, потік рідини, струмені. Лінії течії.
  2.  Елементарна струминка. Живий переріз. Властивості елементарної струминки.
  3.  Живий переріз потоку, змочений периметр, гідравлічний радіус, еквівалентний діаметр.
  4.  Розхід рідини: об’ємний, масовий, ваговий. Зв’язок між ними.
  5.  Напір, визначення, види позначення.
  6.  Рівняння нерозривності потоку, його зміст.
  7.  Рівняння Бернуллі для елементарної струминки рідини (3 записи).
  8.  Рівняння Бернуллі для потоку ідеальної рідини (3 записи).
  9.  Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини (3 записи).


К

δS

Мал. 1

d

h

b

2h

3

b

d

Мал. 2

1

ω2

Мал. 3

1

2

P1

P2

ω1

ω2

z1

z2

O

O

Мал. 4

Z

P/ρgh

ω2/(2g)

Hп=const

О

О

hп+hшв

П1

П2

Мал. 5

ω12/(2g)

Напірна лінія

П’єзометрична лінія

1

2

О

О

Z1

Z2

P2/ρgh2

ω22/(2g)

P1/ρgh1

Hп=const

Мал. 6

ω1

ω2

ω3

P1

P2

P3

P0

Мал. 7

ω12/(2g)

Напірна лінія

П’єзометрична лінія

1

2

Z1

Z2

P2/ρgh2

ω22/(2g)

P1/ρgh1

Hп=const

О

О

Мал. 7

Δhвт


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81749. Нравственная эволюция героя в рассказе А. П. Чехова «Ионыч». Анализ эпизода из рассказа 33.83 KB
  Чехов рассказывает печальную историю образованного дельного врача Дмитрия Ионыча Старцева превращающегося в провинциальной глуши в угрюмого нелюдима и черствого эгоиста. Старцев пытается войти в жизнь горожан найти отклик на те мысли и чувства которыми он живет но скоро опыт научил его малопомалу что пока с обывателем играешь в карты или закусываешь с ним то это мирный благодушны и даже неглупый человек но стоит только заговорить с ним о чемнибудь несъедобном например о политике или науке как он становится в тупик или заводит...
81750. Сны героев. Их художественная функция в произведениях отечественной литературы 32.96 KB
  С одной стороны жизнь в этой деревне поражает своей сонливостью безмолвием бездеятельностью. Закономерности существования определяют приметы: брови чешутся слёзы; лоб кланяться с правой стороны чешется мужчине с левой женщине; уши зачешутся значит к дождю. С другой стороны в описании Обломовки заметен акцент на великолепии окружающей природы на хлебосольстве господ поэзии быта усадьбы красоте народных праздников ласке матери. Подчеркнуты нравственные стороны рисуемой жизни: искренность доброта и незлобие: В глазах...
81751. Тема прошлого, настоящего и будущего России в пьесе А.Чехова «Вишневый сад». Роль символики и подтекста в чеховской драматургии 36.04 KB
  Ситуация из жизни отдельных людей внутренне соотнесена в пьесе с ситуацией в жизни страны так уже было у Ч. На первый взгляд это опятьтаки обычная чеховская пьеса дающая картину нелепой нескладной жизни. В отличие от всех предшествующих пьес Чехова в Вишневом саде все эти образы нелепой и несчастливой жизни характеризуют не современную жизнь вообще а жизнь определенного исторического периода уже закончившегося изжитого. Вишневый сад рисует не устойчивый образ жизни а ее историческое движение.
81752. Тема свободы и ее философское звучание в произведениях русской поэзии 19 века 29.57 KB
  Таков и мцыри и лирический герой стих. Парус Лермонтовский герой герой романтический мятежный поэтому страсти его всегда максимально накалены а его внутренний мир чрезвычайно сложен. Лирический герой противопоставляет себя обществу и оно не приемлет его. герой одинок как и парус в тумане моря голубом как Демон.
81753. Жанровое своеобразие и идейное звучание «Слова о полку Игореве» Связь «Слова…» с устным народным творчеством 32.87 KB
  Определив хронологический диапазонсвоего повествования от старого Владимира до нынешнего Игоря автор рассказывает о дерзком замысле Игоря навести свои полки на Половецкую землю испити шеломом Дону. В радостных тонах рисует автор встречу Игоря и Буй Тура Всеволода восторженно характеризует удалых кметей воинов курян. И хотя описывается первая победа принесшая русским князьям богатые трофеи автор вновь возвращается к теме грозных предзнаменований грядущего поражения кровавыя зори свет поведают черные тучи с моря идут...
81754. Тема любви и смерти в прозе И.А.Бунина 31.39 KB
  Бунина на примере одного произведения Рассказы Бунина о любви это повествование о ее загадочной ускользающей природе о тайне женской души которая томится жаждой любить но никогда не полюбит. Исход любви; по Бунину всегда трагичен В повести Митина любовь героя преследует романс Рубинштейна на слова Генриха Гейне: Я из рода бедных Азров Полюбив мы умираем. МуромцеваБунин а в книге Жизнь Бунина пишет о том что долгие годы Бунин носил в себе впечатление от этого романса который услышал в юношеском возрасте и в Митиной любви...
81755. Мотив дороги и его философское звучание в произведениях отечественной классики 19 века 31.76 KB
  Выражением концепции исторического пути народа или государства Н. Бричка Чичикова символ однообразного кружения сбившейся с прямого пути души русского человека. А проселочные дороги по которым эта бричка колесит не только реалистическая картина российского бездорожья но и символ кривого пути национального развития. Птицатройка символ национальной стихии русской жизни символ великого пути России в мировом масштабе.
81756. Проблема ума в комедии А.С.Грибоедова «Горе от ума». Особенности языка и стиха пьесы 36.33 KB
  В комедии Горе от ума кто умное действующее лицо ответ: Грибоедов А знаешь ли что такое Чацкий Пылкий благородный и добрый малый проведший несколько времени с очень умным человеком именно с Грибоедовым и напитавшийся его мыслями остротами и сатирическими замечаниями. Но Чацкий не только умнее всех прочих лиц но и положительно умен. Между тем Чацкий как личность несравненно выше и умнее Онегина и лермонтовского Печорина. Ими заканчивается их время а Чацкий начинает новый век и в этом все его значение и весь ум.
81757. Герои и проблематика одного из произведений А. И. Куприна 38.21 KB
  Куприна. Куприн пишет на эту тему повесть Олеся. Куприн наделяет ее ярким характером. Поэтизируя жизнь не ограниченную современными социальными культурными рамками Куприн стремился показать явные преимущества естественного человека в котором он видел духовные качества утраченные в цивилизованном обществе.