19814

Підбиття підсумків для оптимального (мінімального) значення цільової функції

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

4.Підбиття підсумків для оптимального мінімального значення цільової функції Оптимальним значенням транспортної задачі називають матрицю яка задовольняє умови задачі і для якої цільова функція 5.1 5.1 набирає найменшого значення. Теорема умова існування розв

Украинкский

2013-07-17

95 KB

0 чел.

4.Підбиття підсумків для оптимального (мінімального) значення цільової функції

Оптимальним значенням транспортної задачі називають матрицю , яка задовольняє умови задачі, і для якої цільова функція (5.1)

(5.1)

набирає найменшого значення.

Теорема (умова існування розв’язку транспортної задачі): необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі є її збалансованість: .

Транспортная задача

Класична транспортна задача лінійного програмування формулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників Аі в обсягах одиниць відповідно необхідно перевезти n споживачам в обсягах одиниць. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг продукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів. Відомі вартості перевезень одиниці продукції від кожного Аі-го постачальника до кожного Вj-го споживача, що подані як елементи матриці виду:

Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімальною.

У такій постановці задачі ефективність плану перевезень визначається його вартістю і така задача має назву транспортної задачі за критерієм вартості перевезень.

Запишемо її математичну модель. Позначимо через обсяг продукції, що перевозиться від постачальника до споживача . Тоді умови задачі зручно подати у вигляді такої таблиці:

Таблиця 5.1

Споживачі

В1

В2

...

Вn

Постачальники

b1

b2

...

bn

A1

а1

с11

x11

с12

x12

...

с1n

x1n

A2

а2

с21

x21

с22

x22

с2n

x2n

Am

аm

сm1

xm1

сm2

xm2

сmn

xmn

Мають виконуватися такі умови:

сумарний обсяг продукції, що вивозиться з кожного і-го пункту, має дорівнювати запасу продукції в даному пункті:

сумарний обсяг продукції, що ввезений кожному j-му споживачеві, має дорівнювати його потребам:

сумарна вартість всіх перевезень повинна бути мінімальною:

Очевидно, що .

У скороченій формі запису математична модель транспортної задачі за критерієм вартості перевезень має такий вигляд:

(5.1)

за обмежень:

; (5.2)

; (5.3)

. (5.4)

У розглянутій задачі має виконуватися умова:

. (5.5)

Транспортну задачу називають збалансованою, або закритою, якщо виконується умова (5.5). Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.

Домовимося планом транспортної задачі називати будь-який невід’ємний розв’язок системи обмежень (5.2)—(5.4), який позначають матрицею . Значення невідомих величин — обсяги продукції, що мають бути перевезені від i-х постачальників до j-х споживачів, називатимемо перевезеннями.

Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю , яка задовольняє умови задачі, і для якої цільова функція (5.1) набирає найменшого значення.

Теорема (умова існування розв’язку транспортної задачі): необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі (5.1)—(5.4) є її збалансованість: .

Доведення. Необхідність. Нехай задача (5.1)—(5.4) має розв’язок , тоді для нього виконуються рівняння-обмеження (5.2) і (5.3). Підсумуємо відповідно ліві та праві частини систем рівнянь (5.2) і (5.3). Матимемо:

, (5.6)

(5.7)

Оскільки ліві частини рівнянь (5.6) та (5.7) збігаються, то праві також рівні одна одній, отже, виконується умова:

. (5.8)

Достатність. Потрібно показати, що за заданої умови (5.8) існує хоча б один план задачі, і цільова функція на множині планів обмежена.

Нехай W > 0. Розглянемо величини (). Підставивши значення в систему обмежень задачі (5.1)—(5.4), матимемо:

;

.

Оскільки умови (5.2) та (5.3) виконуються, то є планом наведеної транспортної задачі.

Виберемо з елементів найбільше значення і позначимо його через . Якщо замінити в цільовій функції (5.1) всі коефіцієнти на , то, враховуючи (5.2), матимемо:

.

Виберемо з елементів найменше значення і позначимо його через . Якщо замінити в цільовій функції (5.1) всі коефіцієнти на , то, враховуючи (5.2), матимемо:

.

Тобто цільова функція на множині допустимих планів транспортної задачі є обмеженою:

.

Теорему доведено.

Якщо при перевірці збалансованості (5.5) виявилося, що транспортна задача є відкритою, то її необхідно звести до закритого типу. Це здійснюється введенням фіктивного (умовного) постачальника у разі перевищення загального попиту над запасами із ресурсом обсягом . Якщо ж загальні запаси постачальників перевищують попит споживачів , то до закритого типу задача зводиться введенням фіктивного (умовного) споживача з потребою .

Вартість перевезення одиниці продукції від фіктивного постачальника (або фіктивного споживача ) до кожного зі споживачів (виробників) має дорівнювати нулю або бути набагато більшою за реальні витрати . Як правило, у такому разі використовують нульові значення вартостей перевезень, що дає змогу спростити обчислення.

Як згадувалося вище, транспортна задача (5.1)—(5.4) є звичайною задачею лінійного програмування і може бути розв’язана симплексним методом, однак особливості побудови математичної моделі транспортної задачі дають змогу розв’язати її простіше. Легко помітити, що всі коефіцієнти при змінних у рівняннях (5.2), (5.3) дорівнюють одиниці, а сама система обмежень (5.2), (5.3) задана в канонічній формі. Крім того, система обмежень (5.2), (5.3) складається з mn невідомих та m + n рівнянь, які пов’язані між собою співвідношенням (5.8). Якщо додати відповідно праві та ліві частини систем рівнянь (5.2) та (5.3), то отримаємо два однакових рівняння:

;

.

Наявність у системі обмежень двох однакових рівнянь свідчить про її лінійну залежність. Якщо одне з цих рівнянь відкинути, то в загальному випадку система обмежень буде містити m + n – 1 лінійно незалежне рівняння, отже, їх можна розв’язати відносно m + n – 1 базисних змінних. Назвемо опорним планом транспортної задачі такий допустимий її план, що містить не більш ніж m + n – 1 додатних компонент, а всі інші його компоненти дорівнюють нулю. Такий план є невиродженим. Якщо ж кількість базисних змінних менша ніж m + n – 1, то маємо вироджений опорний план.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32424. Понятие ассиметричной криптографии, схемы её практического использования 103.05 KB
  2 При использовании АК каждый пользователь обладает парой ключей дополняющих друг друга ключей – открытым и личным. Каждый из входящих в пару ключей подходит для расшифровки сообщений зашифрованных с помощью другого ключа из пары.
32425. Алгоритм Диффи-Хэлмана, RSA 17.9 KB
  Основан на односторонней криптографической функции: P – простое число – тоже простое число. Пользователь А выбирает число Х B число Y. Число N опубликовывается P и Q держатся в тайне. Число целых чисел меньших N и взаимно простых по отношению к N.
32426. Контроль целостности, хэш-функции, российский стандарт хэш-функции 18.11 KB
  Поэтому на практике для контроля используется хэшфункция. Хэшфункция делится на 2 класса: с ключом и без ключа. Значение хэшфункции с ключом может вычислить лишь тот кто знает ключ.
32427. Понятие, стандарты, реализация электронной подписи 965.58 KB
  В симметричной криптографии существует проблема электронной подписи – необходимо чтобы получатель а в случае разбирательств и третья сторона могли убедиться в авторстве сообщения и его неизменности. Электронная подпись вводится так как необходимо: Предотвратить отказ от посланного сообщения Защититься от модификации присланного сообщения Предотвратить подделку сообщения Предотвратить отправку сообщения от чужого имени Предотвратить перехват сообщения с целью его модификации Предотвратить повтор сообщений Подпись создается с...
32428. Сертификаты, СА, SSL, аутентификация с помощью сертификатов 397.63 KB
  Структура сертификата: Оговаривается стандартом Х509 последняя3я версия которого появилась в 1996 году. Стандарт оговаривает следующие компоненты сертификата: Номер версии Уникальный порядковый номер Стандарты ЭЦП и хэшфункция используемые для подписи сертификата Имя субъекта и его организация. Для аннулирования сертификата необходимы следующие причины: потеря ЛК изменение места работы Внешнее коммерческое СА используется: Когда действительность ключа должна быть подтверждена доверенной 3й стороной Не хватает...
32429. Стеганография(СГ). Цифровые водяные знаки 18.79 KB
  форматы либо избыточность аудио графической информации. В первом случаем можно использовать для упрятывания информации зарезервированные поля компьютерного формата данных. : небольшое количество информации низкая степень скрытности. Виды стеганографии: Суррогатная – данные информации обычно шумят и необходимо заменять шумящие биты скрываемой информацией.
32430. Направления в области ЗИ от НСД , Показатели защищенности СВТ, порядок оценки класса защищенности СВТ, понятие и подсистемы АС , Классификация СВТ и АС по уровню защищенности от НСД 1.07 MB
  Первое связано с СВТ второе – с АС. СВТ – средства вычислительной техники. СВТ совокупность программ и технических элементов систем обработки данных способная функционировать как самостоятельно так и в составе других систем.
32431. Классификация СЗИ по уровню контроля отсутствия недекларируемых воздействий 20.5 KB
  Классификация распространяется на ПО предназначенное для защиты информации ограниченного доступа. Для ПО используемого при защите информации отнесенной к государственной тайне должен быть обеспечен уровень контроля не ниже третьего. Самый высокий уровень контроля первый достаточен для ПО используемого при защите информации с грифом ОВ. Второй уровень контроля достаточен для ПО используемого при защите информации с грифом CC.
32432. Биометрические методы идентификации 19.11 KB
  Располагается на расстоянии 50 см и сравнивает ткани вокруг зрачка Стандарты биометрической аутентификации можно разделить на несколько иерархических категорий: I Стандарты определяющие требования для систем использующих биометрические технологии II Стандарты определяющие требования к процедуре использования биометрического распознавания в различных областях III Стандарты определяющие программный интерфейс PI для разработки биометрических систем IV Стандарты определяющие единый формат биометрических данных V Стандарты представления и...