19814

Підбиття підсумків для оптимального (мінімального) значення цільової функції

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

4.Підбиття підсумків для оптимального мінімального значення цільової функції Оптимальним значенням транспортної задачі називають матрицю яка задовольняє умови задачі і для якої цільова функція 5.1 5.1 набирає найменшого значення. Теорема умова існування розв

Украинкский

2013-07-17

95 KB

0 чел.

4.Підбиття підсумків для оптимального (мінімального) значення цільової функції

Оптимальним значенням транспортної задачі називають матрицю , яка задовольняє умови задачі, і для якої цільова функція (5.1)

(5.1)

набирає найменшого значення.

Теорема (умова існування розв’язку транспортної задачі): необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі є її збалансованість: .

Транспортная задача

Класична транспортна задача лінійного програмування формулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників Аі в обсягах одиниць відповідно необхідно перевезти n споживачам в обсягах одиниць. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг продукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів. Відомі вартості перевезень одиниці продукції від кожного Аі-го постачальника до кожного Вj-го споживача, що подані як елементи матриці виду:

Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімальною.

У такій постановці задачі ефективність плану перевезень визначається його вартістю і така задача має назву транспортної задачі за критерієм вартості перевезень.

Запишемо її математичну модель. Позначимо через обсяг продукції, що перевозиться від постачальника до споживача . Тоді умови задачі зручно подати у вигляді такої таблиці:

Таблиця 5.1

Споживачі

В1

В2

...

Вn

Постачальники

b1

b2

...

bn

A1

а1

с11

x11

с12

x12

...

с1n

x1n

A2

а2

с21

x21

с22

x22

с2n

x2n

Am

аm

сm1

xm1

сm2

xm2

сmn

xmn

Мають виконуватися такі умови:

сумарний обсяг продукції, що вивозиться з кожного і-го пункту, має дорівнювати запасу продукції в даному пункті:

сумарний обсяг продукції, що ввезений кожному j-му споживачеві, має дорівнювати його потребам:

сумарна вартість всіх перевезень повинна бути мінімальною:

Очевидно, що .

У скороченій формі запису математична модель транспортної задачі за критерієм вартості перевезень має такий вигляд:

(5.1)

за обмежень:

; (5.2)

; (5.3)

. (5.4)

У розглянутій задачі має виконуватися умова:

. (5.5)

Транспортну задачу називають збалансованою, або закритою, якщо виконується умова (5.5). Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.

Домовимося планом транспортної задачі називати будь-який невід’ємний розв’язок системи обмежень (5.2)—(5.4), який позначають матрицею . Значення невідомих величин — обсяги продукції, що мають бути перевезені від i-х постачальників до j-х споживачів, називатимемо перевезеннями.

Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю , яка задовольняє умови задачі, і для якої цільова функція (5.1) набирає найменшого значення.

Теорема (умова існування розв’язку транспортної задачі): необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі (5.1)—(5.4) є її збалансованість: .

Доведення. Необхідність. Нехай задача (5.1)—(5.4) має розв’язок , тоді для нього виконуються рівняння-обмеження (5.2) і (5.3). Підсумуємо відповідно ліві та праві частини систем рівнянь (5.2) і (5.3). Матимемо:

, (5.6)

(5.7)

Оскільки ліві частини рівнянь (5.6) та (5.7) збігаються, то праві також рівні одна одній, отже, виконується умова:

. (5.8)

Достатність. Потрібно показати, що за заданої умови (5.8) існує хоча б один план задачі, і цільова функція на множині планів обмежена.

Нехай W > 0. Розглянемо величини (). Підставивши значення в систему обмежень задачі (5.1)—(5.4), матимемо:

;

.

Оскільки умови (5.2) та (5.3) виконуються, то є планом наведеної транспортної задачі.

Виберемо з елементів найбільше значення і позначимо його через . Якщо замінити в цільовій функції (5.1) всі коефіцієнти на , то, враховуючи (5.2), матимемо:

.

Виберемо з елементів найменше значення і позначимо його через . Якщо замінити в цільовій функції (5.1) всі коефіцієнти на , то, враховуючи (5.2), матимемо:

.

Тобто цільова функція на множині допустимих планів транспортної задачі є обмеженою:

.

Теорему доведено.

Якщо при перевірці збалансованості (5.5) виявилося, що транспортна задача є відкритою, то її необхідно звести до закритого типу. Це здійснюється введенням фіктивного (умовного) постачальника у разі перевищення загального попиту над запасами із ресурсом обсягом . Якщо ж загальні запаси постачальників перевищують попит споживачів , то до закритого типу задача зводиться введенням фіктивного (умовного) споживача з потребою .

Вартість перевезення одиниці продукції від фіктивного постачальника (або фіктивного споживача ) до кожного зі споживачів (виробників) має дорівнювати нулю або бути набагато більшою за реальні витрати . Як правило, у такому разі використовують нульові значення вартостей перевезень, що дає змогу спростити обчислення.

Як згадувалося вище, транспортна задача (5.1)—(5.4) є звичайною задачею лінійного програмування і може бути розв’язана симплексним методом, однак особливості побудови математичної моделі транспортної задачі дають змогу розв’язати її простіше. Легко помітити, що всі коефіцієнти при змінних у рівняннях (5.2), (5.3) дорівнюють одиниці, а сама система обмежень (5.2), (5.3) задана в канонічній формі. Крім того, система обмежень (5.2), (5.3) складається з mn невідомих та m + n рівнянь, які пов’язані між собою співвідношенням (5.8). Якщо додати відповідно праві та ліві частини систем рівнянь (5.2) та (5.3), то отримаємо два однакових рівняння:

;

.

Наявність у системі обмежень двох однакових рівнянь свідчить про її лінійну залежність. Якщо одне з цих рівнянь відкинути, то в загальному випадку система обмежень буде містити m + n – 1 лінійно незалежне рівняння, отже, їх можна розв’язати відносно m + n – 1 базисних змінних. Назвемо опорним планом транспортної задачі такий допустимий її план, що містить не більш ніж m + n – 1 додатних компонент, а всі інші його компоненти дорівнюють нулю. Такий план є невиродженим. Якщо ж кількість базисних змінних менша ніж m + n – 1, то маємо вироджений опорний план.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23916. Аристофан Облака 15.83 KB
  За свою философию он потом поплатился жизнью: его привлекли к суду и казнили именно за то что он слишком многое ставил под сомнение разлагал будто бы нравы и этим ослаблял государство. Почему Облака Потому что философы раньше всего стали задумываться из чего состоит все разнообразное множество предметов вокруг нас. Отцы и деды не задумывались и не рассуждали а смолоду твердо знали что такое хорошо и что такое плохо. Новые философы стали рассуждать и у них вроде бы получалось будто логикой можно доказать что хорошее не так...
23917. Гесиод 51.38 KB
  Отец Гесиода покинул из–за жестокой нужды Малую Азию и поселился в Беотии около горы Муз Геликона Близ Геликона осел он в деревне нерадостной Аскре Тягостной летом зимою плохой никогда не приятной. От Гесиода сохранились две поэмы : Теогония Происхождение богов и Труды и дни Работы и дни. Поводом для написания поэмы Труды и дни послужил процесс Гесиода с братом Персом изза раздела земли после смерти отца.
23920. Еврипид «Медея» 15.37 KB
  Еврипид Медея В основу Медеи положен известный миф об аргонавтах т. Тогда царь Ээт задал ему 3 задачи но ему помогла их выполнить дочь Ээта волшебница Медея. Медея усыпила огнедышащего дракона кй сторожил руно и Ясон похитил его. А потом Медея рассказывает коринфским женщинам хор о своем несчастье.
23922. Древнегреческая комедия. Общий обзор творчества Аристофана 28 KB
  Комедия, вторая отрасль греческой драмы, получила в Афинах официальное признание значительно позже, чем трагедия. Состязания «комедийных хоров» были установлены на «Великих Дионисиях» только около 488 — 486 гг.
23924. Загальноприйняті принципи і системи обліку 93 KB
  Загальноприйняті принципи бухгалтерського обліку. Міжнародні та національні стандарти бухгалтерського обліку. Фінансовий та управлінський облік, принципи їх побудови. Технологічний процес та процедури фінансового обліку.