19815

Початковий розподіл поставок

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Одним из возможных методов нахождения первоначального базисного распределения поставок является метод северозападного угла показанный в следующем примере. Найти первоначальное базисное распределение поставок для транспортной задачи. Решение. Дадим переме

Украинкский

2013-07-17

26.87 KB

5 чел.

Одним из возможных методов нахождения первоначального базисного распределения поставок является метод "северо-западного "угла, показанный в следующем примере.

^ 7.2. Найти первоначальное базисное распределение поставок для транспортной задачи 7.1.

Решение. Дадим переменной максимально возможное значение или, иными словами, максимально возможную поставку в клетку (1,1) — "северо-западный" угол таблицы поставок: = = min {60, 20} = 20. После этого спрос 1-го потребителя будет полностью удовлетворен, в результате чего первый столбец таблицы поставок выпадет из последующего рассмотрения (заполненные клетки будем перечеркивать сплошной линией (см. табл. 7.2) клетки, выпавшие из последующего рассмотрения, перечеркнуты пунктирной линией. В таблице поставок найдем новый "северозападный" угол — клетку (1,2) и дадим в нее максимально возможное значение. Учитывая, что 1-й поставщик уже отдал 20 единиц груза и у него осталось только 40 = 60—20 единиц груза, получаем, что xl2 = min {40, 110} = 40. После этого мощность 1-го поставщика полностью реализована и из рассмотрения выпадет первая строка таблицы поставок (перечеркиваем сплошной линией клетку (1,2) и пунктирной линией оставшиеся свободные клетки первой строки). В оставшейся таблице снова находим "северозападный угол" и т. д. В результате получаем следующее исходное распределение поставок (см. табл.7.2).>

Таблица 7.2

20

110

40

110

60

1

20

2

40

5

У

3 X

120

У

1

6

70

5

40

2

10

100

6

У

У

У

З х’

7 >»

У

У ‘

4

100

Число заполненных клеток в полученном распределении оказалось равным т+п~ -1 = 3+4-1 = 6, т. е. числу основных (базисных) переменных. Это, конечно, не случайно. Действительно, на каждом шаге (кроме последнего) данного метода из

5 Исследование операций в экономике

Рассмотрения выпадали либо строка, либо столбец, а на последнем шаге и столбец, и строка. Поэтому число заполненных клеток (число шагов) на единицу меньше, чем сумма числа строк и столбцов таблицы поставок, т. е. равно т+п—1. Оказывается (см. теорему 7.2), что эта особенность шагов метода "северозападного" угла служит причиной того, что полученное распределение является базисным.

Существенный недостаток метода "северо-западного" угла состоит в том, что он построен без учета значений коэффициентов затрат задачи. С другой стороны, данный метод допускает модификацию, лишенную этого недостатка: на каждом шаге максимально возможную поставку следует давать не в "северо-западную" клетку оставшейся таблицы, а в клетку с наименьшим коэффициентом затрат. При этом распределение поставок оказывается, вообще говоря, ближе к оптимуму, чем распределение, полученное методом "северозападного угла". Такой метод получения опорного плана называется методом наименьших затрат. Рассмотрим его на следующем примере. 7.3. Найти методом наименьших затрат первоначальное распределение поставок в задаче 7.1.

Таблица 7.3

20

110

40

110

60

1

2

5

3

120

1

20

6

5

2

100

6 X ^ /

3

7

4

Таблица 7.4

20

110

40

110

60

1 у

2

5

3

120

6

5

У

У

У

2

100

100

6

3

7

4

Решение. Находим в таблице поставок (см. табл. 7.1) клетки с наименьшим коэффициентом затрат. Таких клеток две — (1,1) и (2,1) с коэффициентами затрат, равными 1. Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для клетки (1,1) хц = = min {60, 20} = 20, для клетки (2,1) х21 = min {120, 20} = = 20. Так как они совпадают, то максимально возможную поставку даем в любую из них. Например, даем поставку, равную 20 единицам, в клетку (2,1). В результате спрос первого потребителя удовлетворен и первый столбец таблицы поставок выпадает из последующего рассмотрения (табл. 7.3).

В оставшейся таблице наименьшим коэффициентом затрат обладают две клетки: с\2 = с24= 2. Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для клетки (1,2) х\2 = min {60, 110} = 60; для клетки (2,4) х24 = nun {120-20, 110} = 100. Даем поставку в клетку (2,4), для которой максимально возможная поставка оказалась больше: х24 = 100. При этом из рассмотрения выпадает вторая строка таблицы поставок (табл. 7.4).

Аналогично, продолжая заполнение таблицы поставок шаг за шагом, получаем ~хп — min{60, 110} = 60,= min{100, 110-60} = 50, х34 = min {100-50, 110-100} = 10, х33 = min {100-60, 40} = 40 (табл. 7.5)>

Сравним найденное распределение поставок с распределением, полученным для той же задачи по методу "северо-западного" угла (см. задачу 7.2, табл. 7.2). Вычислим для каждого из этих распределений суммарные затраты в денежных единицах:

В задаче 7.2:

F0 = 1 • 20 + 2 • 40 + 6 • 70 + 5 ¦ 40 + 2 • 10 + 4 ¦ 100 = 1140 ;

В задаче 7.3:

Таблица 7.5

20

110

40

110

60

1

2

60

5

У

3

120

1

20

6

У

?

5

X

У

2

// 100

100

6

?

/

3

50

7

40

4 ^^ 10

F0 = 1 ¦ 20 + 2 • 60 + 3 • 50 + 2 -100 + 7 ¦ 40 + 4 ¦ 10 = 810.

Как и ожидалось, при использовании метода "северо-западного" угла суммарные затраты больше, чем при применении метода наименьших затрат. Таким образом, во втором случае мы находимся ближе (по числу необходимых шагов) к оптимуму, чем в первом. Докажем, что распределения, получаемые с помощью указанных методов, являются базисными, и рассмотрим те особые случаи, которые могут встретиться при использовании этих методов.[19]

Теорема 7.2. Пусть на каждом шаге заполнения таблицы поставок возникает одна заполненная клетка, причем из рассмотрения на каждом (кроме последнего) шаге выпадает либо одна строка, либо один столбец. Тогда переменные, соответствующие заполненным клеткам, можно принять за базисные.

? Из линейной алгебры известно, что если ранг системы линейных уравнений равен г и некоторые г переменных системы выражены через остальные переменные, то эти г переменных можно взять за основные (базисные). Из условия данной теоремы следует, что число заполненных клеток равно т+п—1, т. е. равно рангу системы (7.4), (7.5) (см. пояснения к методу "северо-западного" угла). Поэтому теорема будет доказана, если показать, что переменные, соответствующие заполненным клеткам, могут быть выражены через переменные, соответствующие свободным клеткам.

Предположим, что переменные заполненных клеток, возникшие на первых t шагах метода, где Г = 1, 2, …, т+п—2, можно выразить через переменные, соответствующие свободным клеткам тех строк и столбцов, которые были вычеркнуты (выпали из рассмотрения) на первых? шагах. Пусть на (Г +1)-м шаге метода заполнена (р, д)-я клетка и из рассмотрения выпала, например, р-я строка. Выразим переменную х™ из уравнения баланса по р-й строке:

Л

М

}*Ч

Пусть среди переменных правой части последнего равенства есть переменные клеток, заполненных на одном из первых t шагов. Тогда по предположению их можно выразить через переменные свободных клеток тех строк и столбцов, которые были вычеркнуты на первых Г шагах. В случае, если на (Н-1)-м шаге из рассмотрения выпал q-й столбец, хрч следует выразить из уравнения баланса по столбцу. Подобные рассуждения следует последовательно провести для каждого из шагов заполнения таблицы поставок. ¦

Из теоремы 7.2 следует, что методы "северо-западного" угла и наименьших затрат приводят к базисным распределениям поставок, если на каждом (кроме последнего) шаге из рассмотрения выпадают либо одна строка, либо один столбец.

Рассмотрим теперь те особые случаи, когда на некотором шаге заполнения из рассмотрения выпадают одновременно и строка и столбец. Укажем, как следует поступать, чтобы метод заполнения по-прежнему удовлетворял условиям теоремы 7.2 и получаемое распределение поставок было базисным.

7.4. Найти первоначальное базисное распределение поставок для следующей транспортной задачи (табл. 7.6).

Решение. Воспользуемся методом "северо-за — падного" угла. На первом шаге следует дать поставку, равную 20 единицам, в клетку (1,1). В результате будет удовлетворен спрос 1- го потребителя и из рассмотрения выпадет первый столбец. На втором шаге поставку в 10 единиц следует дать в клетку (1,2). При этом из последующего рассмотрения выпадет и 1-й поставщик (который реализовал остатки своего груза), и 2-й потребитель, полностью удовлетворивший свой спрос. Продолжая использовать метод "северо-западного" угла, мы получим, конечно, заполнение таблицы поставок, но число заполненных клеток окажется меньше, чем число основных (базисных) переменных, равное т+п—1=3+3— —1=5. Такое распределение не будет базисным, и для продолжения решения распределительный метод будет неприемлем. Избежать этого можно, используя следующий искусственный прием.

Разобьем второй шаг на два шага. Допустим, что после поставки в клетку (1,2) из рассмотрения выпадает, например, только первая строка. Для того чтобы вывести из рассмотрения второй столбец, делаем еще один шаг: даем нулевую (фиктивную) поставку в произвольную, но не вычеркнутую клетку второго столбца, например, в клетку (2,2). После таких трех шагов имеем табл. 7.7.

20

10

40

30

1

3

5

30

3

3

2

10

4

1

2

Аналогично можно было допустить, что после второго шага из рассмотрения выпал только второй столбец. Тогда на третьем шаге нулевую поставку следует дать в произвольную, но не вычеркнутую клетку первой строки.

При последующем заполнении таблицы поставок используем метод "северо-западного" угла обычным способом. В результате получаем распределение поставок (табл. 7.8).^

Таблица 7.7 Таблица 7.8

20

10

40

30

1 У""

// 20

3

10

3 X

У

30

3

У

У

У

3

0

2 у"" 30

10

4

У

1 X

У

2 у^ 10

Перечеркнутые сплошной чертой клетки, отвечающие базисным переменным, в дальнейшем будем называть заполненными, несмотря на то, что среди них возможны клетки с нулевыми поставками.

Рассмотренный искусственный прием применяется также при методе наименьших затрат, если при использовании этого метода на некотором шаге из рассмотрения выпадают одновременно и строка, и столбец.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68447. Особенности социально-политического и экономического развития России в начале ХХ вв. Первая мировая война. Февральская революция 1917 год 103.5 KB
  ХХ век в мировой истории Особенности социально-политического и экономического развития России в начале ХХ вв. Экономическое развитие России Российская империя оставалась самым крупным государством мира многонациональным около 100 народов и народностей и многоконфессиональным.
68448. Специфические особенности психологии как естественной и социальной науки 802.5 KB
  Наличием души пытались объяснить все непонятные явления в жизни человека. Задачи психологии наблюдение за поведением поступками реакциями человека. Психология это наука об отражательной деятельности мозга регулирующей поведение и деятельность наука об общих психических закономерностях...
68449. Русская литература начала XIX века 688.5 KB
  Цель данного пособия представить основные факты жизни и творчества писателей-классиков XIXв. Герои выбирались из простых людей идеалы извлекались из обыденной жизни. Важно высказать свое отношение к ней создать свой вымышленный образ мира часто по принципу контраста к окружающей жизни.
68450. Вплив підприємства на навколишнє середовище 148 KB
  Екологічна характеристика підприємства припускає оцінку прогресивності технологій повноту використання сировини та палива застосовані схеми очистки стічних вод та аеровикидів характеристику потоків які відходять від води та газу вилучаємої території загальну економічну оцінку шкоди яку наносить...
68451. Функції, форми та методи державного управління 132.5 KB
  Система державного управління складається із повсякденного здійснення певних функцій. Термін “функція” застосовують для позначення діяльності будь-яких державних органів незалежно від їх мети. Функціонувати – значить діяти, бути в дії, виконувати обов’язки. Функція є і обов’язок, і коло діяльності, і призначення.
68452. Товародвижение на фармацевтическом рынке. Элементы логистики. Организация деятельности оптового звена 30.56 KB
  Вторая часть пути связана с продвижением готовой продукции от производителя до конечного потребителя или пользователя и называется товародвижением. Новый объект который появился в процессе движения продукции стал предметом изучения науки логистики от греч.
68453. История развития информатики 219.5 KB
  Генетически информатика связана с вычислительной техникой, компьютерными системами и сетями, т.к. именно компьютеры позволяют порождать, хранить и автоматически перерабатывать информацию в таких количествах, что научный подход к информационным процессам становится одновременно необходимым и возможным.
68454. Основные положения права СМИ в РФ 19.83 KB
  Осуществление этих свобод, налагающее обязанности и ответственность, может быть сопряжено с определенными формальностями, условиями, ограничениями или санкциями, которые предусмотрены законом и необходимы в демократическом обществе в интересах национальной безопасности...
68455. Теория и практика сестринского дела. Общение с пациентом и его окружением в процессе профессиональной деятельности 1.26 MB
  О сестринском деле говорят, что это самая юная наука и самое древнее искусство. Сестринское дело считалось женской профессией, и самой из всех сестринских специальностей, и самой древней являлась акушерская (в Древней Греции, по определению Гиппократа, акушерки могли быть только рожавшие женщины...