19966

Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме

Лекция

Физика

Познакомить слушателей с методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой.

Русский

2013-08-13

30.08 KB

2 чел.

Конспект занятия 14.

Цель.

   Познакомить слушателей с  методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой. Рассмотреть матричную форму системы уравнений и представить программу расчета полей температуры методом конечных элементов. Использовать полученные результаты для расчета температурных перепадов в облучаемом образце ядерного топлива из диоксида урана.

План.

1. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

2. Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

3. Программа расчетов на ЭВМ.

4. Пример расчетов температурных перепадов в облучаемом образце из диоксида урана.

         В случае, когда рассматриваемые элементы имеют достаточно малые размеры, температурный   градиент в радиальном направлении можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆ri/2λi)+ (∆rj/2λj)]                                         (31)

где Lij - протяженность границы между i-ым и  j-ым элементами; ∆ri, ∆rj - линейные размеры  i-ым и  j-ым элементов;  λi , λj  - коэффициенты теплопроводности i-ым и  j-ым элементов.

    Сравнивая (29),(30) и (31), находим выражение для γ( i,j)    в радиальном направлении:

γr(i,j)=Lij[(∆ri/2λi)+(∆rj/2λj)]-1                                                       (32)

Аналогичным образом получим выражения для теплового потока
в аксиальном направлении:

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]                                          (33)

и соответственно для γz( i,j) в аксиальном направлении:

γz( i,j) = Lij [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]-1                                                      (34)

где  ∆zi и ∆zj  высоты i-ого и  j-ого элементов.

Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы.

Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем:

γr( i,с) = Liс [(∆ri/2λi)+ (1/αс)]-1                                                          (35)

a при граничном условии первого рода:

γr( i,с) = Liсi / ∆ri                                                                            (36)

где αс - коэффициент теплоотдачи;  Lic - протяженность границы  элемента  cо средой.

    Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме:

[B]{T} = { Qv }+{Q L}

где  

[В]  - пятидиагональная симметричная матрица,  определяющая взаимодействие элементов между собой;  

{T}   - вектор температуры элементов;  

{Qv} - вектор источников   тепла;

{Q L} - вектор потоков тепла c границ цилиндрического образца.

    Матрица [В]  является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N ).  Структура  ее представлена    на рис.3.8 где сплошными линиями показаны ненулевые элементы.

    В соответствии с переходом от (28) к (37)  элементы матрицы    [B] определяются следующим образом. Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34). Элементы лежащие на главной диагонали,  определяются  как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих  на одной cтроке, минус член,  определяющий тепловое

взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит  на внешней поверхности.

    Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде:

{T} =  ({ Qv }+{Q L}) [B]-1

     Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ.

    Пpoгpaмма определения двухмерных полей температуры реализует следующую последовательность действий (рис.21).

   Во вводной части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение для λ  , рассчитываются матрица [В], {Qv } и {QL} . Далее для реализации треугольного разложения cимметричной матрицы  [В] применяется подпрограмма " CHODET ". Подпрограмма "SHOSOL "  по известному вектору правой части уравнения (37) определяет вектор температуры.

    После получения поля температуры  происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры. Укрупненная блок- схема программы определения вектора температуры для
цилиндрических образцов представлена на рис.3.9.

    Пример расчета температурного поля.  

    На рис.3.10. показана зависимость максимального радиального перепада температуры в образце из диоксида урана от плотности внутренних источников тепла при различных значениях температур окружающей среды и торцов. На боковой поверхности образца задавались граничные условия третьего рода, а на торцах - первого рода при этом предполагалось, что температура на торце образца по его сечению постоянна.  Это условие приближает расчеты к ситуации, реализуемой в экспериментальной установке, когда ядерное топливо с низким коэффициентом теплопроводности контактирует с металлическим пуансоном.

    Коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности образца учитывал теплопроводность  через газ-заполнитель, конвекцию  и тепловое излучение и рассчитывался по методике, принятой для расчета поля температуры но элементам установки.         

    При  тепловыделениях  ~ 60 Вт/см3 , характерных для эксплуатации установок типа "Крип-ВТ" (высокотемпературные испытания)  на ИРТ-МИФИ, перепады составляют величины  ~ 30 К, что не может привести к разрушению образца из-за термонапряжений.

0

0

0

0

0

0

0

0

M*N

Ввод  данных

ITER=1

T=T0

Формирование матрицы [B]и свободных векторов.

Приведение матрицы [B]

к треугольному виду.

CHODET

Определение {T}

CHOSOL

T0-T<EPS

ITER<ITER M

Конец

Т0

ITER=ITER+1

Рис. 3.9.Блок-схема программы для определения поля температуры в образце.

Да

Да

Нет

Нет

H 

r

z

r 

Рис.3.8. Схема расположения конечных элементов и структура матрицы [B].

   0                 40                80              120        qv     Вт/см3

Тторц=1200К

Тср=1000К

Тторц=1600К

Тср=1400К

Тторц=1100К

Тср=1100К

Тторц=700К

Тср=700К

Тторц=300К

Тср=300К

Рис.3.10.Зависимость радиального перепада температуры от плотности тепловыделений в UO2.

0R) К

80

70

60

50

40

30

20

10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50247. Визначення енергії дисоціації молекул йоду 896.5 KB
  Лабораторна установка для вивчення спектрів поглинання розчинів йоду зібрана на базі монохроматора УМ2 який використовується як спектроскоп. 3 виділені оптичні елементи що входять до складу монохроматора. 2 сфокусоване конденсорною лінзою 3 світло проходить через досліджуваний розчин 4 і потрапляє на вхідну щілину 6 монохроматора. Градуювання монохроматора Для цього потрібно див.
50248. СНЯТИЕ КРИВОЙ НАМАГНИЧИВАНИЯ И ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА ФЕРРОМАГНИТНЫХ ВЕЩЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ОСЦИЛЛОГРАФА 881.5 KB
  Классический расчет для круговой орбиты дает где eзаряд электрона;  его линейная скорость; rрадиус орбиты. Если для данного вещества экспериментально получить зависимость J=JH которая одинакова для образцов любой формы и размеров и рассчитать по формуле 2 H то на основании уравнения 1 можно найти индукцию магнитного поля в веществе. Экспериментально наиболее просто J=JH определяется для образца в виде тороида на который равномерно нанесены витки провода. 3...
50249. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА 265 KB
  Цель работы: Определение электроемкостей отдельных конденсаторов и двух батарей из последовательно и параллельно соединенных конденсаторов. Емкость конденсатора определяется с помощью соотношения: C= где q абсолютная величина заряда на одной из обкладок конденсатора; U ...
50250. Определение электроемкости конденсатора при последовательном и параллельном соединении 164.5 KB
  Определение электроемкости конденсатора. Принципиальная схема установки или её главных узлов: Схема установки исследуемого конденсатора. Емкость конденсатора определяется с помощью соотношения:...
50251. Пристрій й основні елементи твердотельных лазерів 1.29 MB
  Устаткування й прилади Лазерна технологічна установка Квант16 ; лазер газовий ЛГ105; генераторна головка твердотільного лазера; лазерний стрижень лампа накачування відбивний блок набір дзеркал резонатора випромінювач газового лазера; штангенциркуль лінійка; матеріали вата спирт метиловий дрантя. Процес під дією якого атоми переводяться на верхні рівні називається накачуванням. Існує кілька методів накачування. У цьому випадку електромагнітна хвиля що поширюється в напрямку перпендикулярному до дзеркал буде по черзі відбиватися...
50252. Технологія одержання отвору в заготовці електроерозійної (електроіскровий) обробкою 237.5 KB
  Мета роботи: вивчити процес електроіскрової обробки технологію одержання отвору в заготовці різними способами цього виду обробки. Короткі теоретичні відомості Призначення електроерозійної обробки Цей вид обробки забезпечує великий економічний ефект при виготовленні деталей складного контуру криволінійних отворів і отворів складної форми розрізання дорогих матеріалів. Принцип електроерозійної обробки Електроерозійний спосіб обробки був відкритий в 1943 р. Один з видів електроерозійної обробки електроіскров що характеризується імпульсами...
50253. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 167 KB
  ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Вращением абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение при котором все точки тела движутся в плоскостях перпендикулярных к неподвижной прямой называемой осью вращения тела и описывают окружности центры которых лежат на этой оси. Основной закон динамики вращательного движения тела закреплённого в одной неподвижной точке формулируется следующим образом: скорость изменения момента импульса тела вращающегося вокруг неподвижной точки равна...
50254. Определение длины световой волны по методу Юнга. Методическое указание 297 KB
  Совмещая перекрестие сначала с одной интерференционной полосой а затем с другой с помощью двойной риски перемещающейся по внутренней линейной шкале определяют целое число мм а по внешней круговой шкале десятые и сотые доли мм. Отсчёты на внешней шкале барабана снимаются напротив неподвижной тонкой риски нанесённой на неподвижную часть барабана. Для этого необходимо плавно вращая барабан З установить сначала перекрестие приблизительно в центре выбранной полосы в верхней части наблюдаемого поля обычно резкое изображение...
50255. Типические признаки жанров журналистики. Аналитичность журналистского материала 50.5 KB
  Информирование общественности о фактах действительности; пропаганда и распространение опыта; популяризация знаний; анализ окружающей действительности (освещение результатов анализа, постановка проблем, пути их решения)...