19966

Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме

Лекция

Физика

Познакомить слушателей с методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой.

Русский

2013-08-13

30.08 KB

2 чел.

Конспект занятия 14.

Цель.

   Познакомить слушателей с  методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой. Рассмотреть матричную форму системы уравнений и представить программу расчета полей температуры методом конечных элементов. Использовать полученные результаты для расчета температурных перепадов в облучаемом образце ядерного топлива из диоксида урана.

План.

1. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

2. Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

3. Программа расчетов на ЭВМ.

4. Пример расчетов температурных перепадов в облучаемом образце из диоксида урана.

         В случае, когда рассматриваемые элементы имеют достаточно малые размеры, температурный   градиент в радиальном направлении можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆ri/2λi)+ (∆rj/2λj)]                                         (31)

где Lij - протяженность границы между i-ым и  j-ым элементами; ∆ri, ∆rj - линейные размеры  i-ым и  j-ым элементов;  λi , λj  - коэффициенты теплопроводности i-ым и  j-ым элементов.

    Сравнивая (29),(30) и (31), находим выражение для γ( i,j)    в радиальном направлении:

γr(i,j)=Lij[(∆ri/2λi)+(∆rj/2λj)]-1                                                       (32)

Аналогичным образом получим выражения для теплового потока
в аксиальном направлении:

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]                                          (33)

и соответственно для γz( i,j) в аксиальном направлении:

γz( i,j) = Lij [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]-1                                                      (34)

где  ∆zi и ∆zj  высоты i-ого и  j-ого элементов.

Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы.

Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем:

γr( i,с) = Liс [(∆ri/2λi)+ (1/αс)]-1                                                          (35)

a при граничном условии первого рода:

γr( i,с) = Liсi / ∆ri                                                                            (36)

где αс - коэффициент теплоотдачи;  Lic - протяженность границы  элемента  cо средой.

    Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме:

[B]{T} = { Qv }+{Q L}

где  

[В]  - пятидиагональная симметричная матрица,  определяющая взаимодействие элементов между собой;  

{T}   - вектор температуры элементов;  

{Qv} - вектор источников   тепла;

{Q L} - вектор потоков тепла c границ цилиндрического образца.

    Матрица [В]  является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N ).  Структура  ее представлена    на рис.3.8 где сплошными линиями показаны ненулевые элементы.

    В соответствии с переходом от (28) к (37)  элементы матрицы    [B] определяются следующим образом. Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34). Элементы лежащие на главной диагонали,  определяются  как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих  на одной cтроке, минус член,  определяющий тепловое

взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит  на внешней поверхности.

    Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде:

{T} =  ({ Qv }+{Q L}) [B]-1

     Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ.

    Пpoгpaмма определения двухмерных полей температуры реализует следующую последовательность действий (рис.21).

   Во вводной части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение для λ  , рассчитываются матрица [В], {Qv } и {QL} . Далее для реализации треугольного разложения cимметричной матрицы  [В] применяется подпрограмма " CHODET ". Подпрограмма "SHOSOL "  по известному вектору правой части уравнения (37) определяет вектор температуры.

    После получения поля температуры  происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры. Укрупненная блок- схема программы определения вектора температуры для
цилиндрических образцов представлена на рис.3.9.

    Пример расчета температурного поля.  

    На рис.3.10. показана зависимость максимального радиального перепада температуры в образце из диоксида урана от плотности внутренних источников тепла при различных значениях температур окружающей среды и торцов. На боковой поверхности образца задавались граничные условия третьего рода, а на торцах - первого рода при этом предполагалось, что температура на торце образца по его сечению постоянна.  Это условие приближает расчеты к ситуации, реализуемой в экспериментальной установке, когда ядерное топливо с низким коэффициентом теплопроводности контактирует с металлическим пуансоном.

    Коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности образца учитывал теплопроводность  через газ-заполнитель, конвекцию  и тепловое излучение и рассчитывался по методике, принятой для расчета поля температуры но элементам установки.         

    При  тепловыделениях  ~ 60 Вт/см3 , характерных для эксплуатации установок типа "Крип-ВТ" (высокотемпературные испытания)  на ИРТ-МИФИ, перепады составляют величины  ~ 30 К, что не может привести к разрушению образца из-за термонапряжений.

0

0

0

0

0

0

0

0

M*N

Ввод  данных

ITER=1

T=T0

Формирование матрицы [B]и свободных векторов.

Приведение матрицы [B]

к треугольному виду.

CHODET

Определение {T}

CHOSOL

T0-T<EPS

ITER<ITER M

Конец

Т0

ITER=ITER+1

Рис. 3.9.Блок-схема программы для определения поля температуры в образце.

Да

Да

Нет

Нет

H 

r

z

r 

Рис.3.8. Схема расположения конечных элементов и структура матрицы [B].

   0                 40                80              120        qv     Вт/см3

Тторц=1200К

Тср=1000К

Тторц=1600К

Тср=1400К

Тторц=1100К

Тср=1100К

Тторц=700К

Тср=700К

Тторц=300К

Тср=300К

Рис.3.10.Зависимость радиального перепада температуры от плотности тепловыделений в UO2.

0R) К

80

70

60

50

40

30

20

10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57449. Фразеологизмы 33.5 KB
  Знать: о фразеологизмах устойчивых сочетаниях слов их роли в обогащении речи. Упражнение 96 дети зачитывают исконно русские слова затем заимствованные.
57451. Любимые книги 42.5 KB
  Цели: Повторить правописание буквосочетаний чу-щу, ча-ща, жи-ши; перенос слов. Развивать память, внимание, ассоциативное мышление, образную речь. Дать ориентир на познавательный интерес и творческую активность. Прививать любовь к чтению.
57452. Второстепенные члены предложения 47.5 KB
  Цель: Проверить теоретические знания по теме Второстепенные члены предложения. Совершенствовать навыки и умения видеть и выделять в предложениях...
57454. Тепловые двигатели 260.5 KB
  Цели урока: Образовательная: 1 показать необратимость тепловых процессов 2 исследовать возможность создания вечных двигателей на основе 1 и 2 начала термодинамики 3 рассмотрение проблемы энергоресурсов Земли...
57455. Головные уборы 5.98 MB
  Задача урока: Учитель: Сегодня перед вами ставлю задачу урока такую: вы должны используя метод исследования попробовать себя в качестве модельеров головных уборов и выбрать для пошива модель кепи ткань вид отделки и аксессуары.
57456. Системная среда Windows 1 MB
  Сегодня вы познакомитесь с назначением и особенностями системной среды Windows а также с понятиями файл и папка с параметрами файлов и папок и действиями над ними.