19966

Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме

Лекция

Физика

Познакомить слушателей с методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой.

Русский

2013-08-13

30.08 KB

2 чел.

Конспект занятия 14.

Цель.

   Познакомить слушателей с  методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой. Рассмотреть матричную форму системы уравнений и представить программу расчета полей температуры методом конечных элементов. Использовать полученные результаты для расчета температурных перепадов в облучаемом образце ядерного топлива из диоксида урана.

План.

1. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

2. Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

3. Программа расчетов на ЭВМ.

4. Пример расчетов температурных перепадов в облучаемом образце из диоксида урана.

         В случае, когда рассматриваемые элементы имеют достаточно малые размеры, температурный   градиент в радиальном направлении можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆ri/2λi)+ (∆rj/2λj)]                                         (31)

где Lij - протяженность границы между i-ым и  j-ым элементами; ∆ri, ∆rj - линейные размеры  i-ым и  j-ым элементов;  λi , λj  - коэффициенты теплопроводности i-ым и  j-ым элементов.

    Сравнивая (29),(30) и (31), находим выражение для γ( i,j)    в радиальном направлении:

γr(i,j)=Lij[(∆ri/2λi)+(∆rj/2λj)]-1                                                       (32)

Аналогичным образом получим выражения для теплового потока
в аксиальном направлении:

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]                                          (33)

и соответственно для γz( i,j) в аксиальном направлении:

γz( i,j) = Lij [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]-1                                                      (34)

где  ∆zi и ∆zj  высоты i-ого и  j-ого элементов.

Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы.

Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем:

γr( i,с) = Liс [(∆ri/2λi)+ (1/αс)]-1                                                          (35)

a при граничном условии первого рода:

γr( i,с) = Liсi / ∆ri                                                                            (36)

где αс - коэффициент теплоотдачи;  Lic - протяженность границы  элемента  cо средой.

    Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме:

[B]{T} = { Qv }+{Q L}

где  

[В]  - пятидиагональная симметричная матрица,  определяющая взаимодействие элементов между собой;  

{T}   - вектор температуры элементов;  

{Qv} - вектор источников   тепла;

{Q L} - вектор потоков тепла c границ цилиндрического образца.

    Матрица [В]  является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N ).  Структура  ее представлена    на рис.3.8 где сплошными линиями показаны ненулевые элементы.

    В соответствии с переходом от (28) к (37)  элементы матрицы    [B] определяются следующим образом. Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34). Элементы лежащие на главной диагонали,  определяются  как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих  на одной cтроке, минус член,  определяющий тепловое

взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит  на внешней поверхности.

    Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде:

{T} =  ({ Qv }+{Q L}) [B]-1

     Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ.

    Пpoгpaмма определения двухмерных полей температуры реализует следующую последовательность действий (рис.21).

   Во вводной части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение для λ  , рассчитываются матрица [В], {Qv } и {QL} . Далее для реализации треугольного разложения cимметричной матрицы  [В] применяется подпрограмма " CHODET ". Подпрограмма "SHOSOL "  по известному вектору правой части уравнения (37) определяет вектор температуры.

    После получения поля температуры  происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры. Укрупненная блок- схема программы определения вектора температуры для
цилиндрических образцов представлена на рис.3.9.

    Пример расчета температурного поля.  

    На рис.3.10. показана зависимость максимального радиального перепада температуры в образце из диоксида урана от плотности внутренних источников тепла при различных значениях температур окружающей среды и торцов. На боковой поверхности образца задавались граничные условия третьего рода, а на торцах - первого рода при этом предполагалось, что температура на торце образца по его сечению постоянна.  Это условие приближает расчеты к ситуации, реализуемой в экспериментальной установке, когда ядерное топливо с низким коэффициентом теплопроводности контактирует с металлическим пуансоном.

    Коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности образца учитывал теплопроводность  через газ-заполнитель, конвекцию  и тепловое излучение и рассчитывался по методике, принятой для расчета поля температуры но элементам установки.         

    При  тепловыделениях  ~ 60 Вт/см3 , характерных для эксплуатации установок типа "Крип-ВТ" (высокотемпературные испытания)  на ИРТ-МИФИ, перепады составляют величины  ~ 30 К, что не может привести к разрушению образца из-за термонапряжений.

0

0

0

0

0

0

0

0

M*N

Ввод  данных

ITER=1

T=T0

Формирование матрицы [B]и свободных векторов.

Приведение матрицы [B]

к треугольному виду.

CHODET

Определение {T}

CHOSOL

T0-T<EPS

ITER<ITER M

Конец

Т0

ITER=ITER+1

Рис. 3.9.Блок-схема программы для определения поля температуры в образце.

Да

Да

Нет

Нет

H 

r

z

r 

Рис.3.8. Схема расположения конечных элементов и структура матрицы [B].

   0                 40                80              120        qv     Вт/см3

Тторц=1200К

Тср=1000К

Тторц=1600К

Тср=1400К

Тторц=1100К

Тср=1100К

Тторц=700К

Тср=700К

Тторц=300К

Тср=300К

Рис.3.10.Зависимость радиального перепада температуры от плотности тепловыделений в UO2.

0R) К

80

70

60

50

40

30

20

10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79594. Анализ истории развития вексельного обращения в России 520.5 KB
  Характерным примером последних являются векселя. Безусловность векселя как долгового обязательства строгость и быстрота взыскания по нему послужили основой создания других видов платежей и расчетов банкнот чеков аккредитивов.
79595. РОЗРОБКА АНТИКРИЗОВОЇ ПРОГРАМИ ПІДПРИЄМСТВА 249 KB
  У магістерській роботі розкрита сутність і принципи політики антикризового управління підприємством. Дана класифікація кризових явищ. На прикладі діючого підприємства проведено аналіз господарської діяльності та на основі отриманих даних розроблені та обґрунтовані заходи, необхідні для ефективного виводу підприємства з кризового стану.
79598. ТІКЕЛЕЙ САЛЫҚТАРДЫ ЕСЕПТЕУ МЕХАНИЗМІ ЖӘНЕ ЖЕТІЛДІРУ ЖОЛДАРЫ 60.53 KB
  Тікелей салықтардың фискалдық және реттеушілік қызметін ескере отырып, табысқа салынатын салық ставкалары жоғары болуын ескеру. Салық салу базасының табысқа және мүллікке салынатын салық үлесін қайта қарау кәсіпорын бөлігінің жасырын бизнеске кетпеуін қамсыздандырады.
79599. Комплексный анализ уголовной ответственности за торговлю людьми 146.89 KB
  Социально-правовая характеристика торговли людьми по законодательству России и зарубежных стран. Понятие содержание и история развития законодательства об институте торговли людьми. Ответственность за торговлю людьми в законодательствах зарубежных стран. Проблемы уголовно-правового регулирования и квалификации элементов состава торговли людьми.
79600. Изучение тревожности у детей 6-7 лет средствами игровой терапии 643 KB
  Гипотеза нашего исследования основана на том, что коррекционная работа будет способствовать снижению тревожностей у детей 6-7 лет, Психолог обладает навыками моделирования и подбора специальных коррекционных упражнений, программ по преодолению тревожности, которые могут осуществлять адресную, индивидуальную коррекцию.
79601. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕАТРАЛИЗАЦИИ В СОЦИОКУЛЬТУРНОЙ СФЕРЕ (НА ПРИМЕРЕ СОЦИОКУЛЬТУРНОГО PR-ПРОЕКТА «ЭТЮД») 3.8 MB
  Все вышесказанное определило цель нашего дипломного проекта – охарактеризовать театрализацию как технологию связей с общественностью применительно в социокультурной сфере и реализовать социокультурный PR-проект, направленный на социализацию детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей...
79602. СОЧЕТАНИЕ ТРАДИЦИОННЫХ И КОМПАРАТИВИСТСКИХ НАЧАЛ В ПРОЦЕССЕ КОНСТИТУЦИОННОГО РАЗВИТИЯ ПОЛИТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЯПОНИИ 108 KB
  В течение длительного исторического периода Япония развивалась, подвергаясь культурному влиянию таких стран-соседей, как Китай и Корея, и поддерживала связи только с этими странами. В XV–XVI вв. в Японию проникли португальские и испанские миссионеры, благодаря которым страна впервые соприкоснулась...