19966

Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме

Лекция

Физика

Познакомить слушателей с методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой.

Русский

2013-08-13

30.08 KB

2 чел.

Конспект занятия 14.

Цель.

   Познакомить слушателей с  методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой. Рассмотреть матричную форму системы уравнений и представить программу расчета полей температуры методом конечных элементов. Использовать полученные результаты для расчета температурных перепадов в облучаемом образце ядерного топлива из диоксида урана.

План.

1. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

2. Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

3. Программа расчетов на ЭВМ.

4. Пример расчетов температурных перепадов в облучаемом образце из диоксида урана.

         В случае, когда рассматриваемые элементы имеют достаточно малые размеры, температурный   градиент в радиальном направлении можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆ri/2λi)+ (∆rj/2λj)]                                         (31)

где Lij - протяженность границы между i-ым и  j-ым элементами; ∆ri, ∆rj - линейные размеры  i-ым и  j-ым элементов;  λi , λj  - коэффициенты теплопроводности i-ым и  j-ым элементов.

    Сравнивая (29),(30) и (31), находим выражение для γ( i,j)    в радиальном направлении:

γr(i,j)=Lij[(∆ri/2λi)+(∆rj/2λj)]-1                                                       (32)

Аналогичным образом получим выражения для теплового потока
в аксиальном направлении:

Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]                                          (33)

и соответственно для γz( i,j) в аксиальном направлении:

γz( i,j) = Lij [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]-1                                                      (34)

где  ∆zi и ∆zj  высоты i-ого и  j-ого элементов.

Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы.

Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем:

γr( i,с) = Liс [(∆ri/2λi)+ (1/αс)]-1                                                          (35)

a при граничном условии первого рода:

γr( i,с) = Liсi / ∆ri                                                                            (36)

где αс - коэффициент теплоотдачи;  Lic - протяженность границы  элемента  cо средой.

    Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме:

[B]{T} = { Qv }+{Q L}

где  

[В]  - пятидиагональная симметричная матрица,  определяющая взаимодействие элементов между собой;  

{T}   - вектор температуры элементов;  

{Qv} - вектор источников   тепла;

{Q L} - вектор потоков тепла c границ цилиндрического образца.

    Матрица [В]  является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N ).  Структура  ее представлена    на рис.3.8 где сплошными линиями показаны ненулевые элементы.

    В соответствии с переходом от (28) к (37)  элементы матрицы    [B] определяются следующим образом. Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34). Элементы лежащие на главной диагонали,  определяются  как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих  на одной cтроке, минус член,  определяющий тепловое

взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит  на внешней поверхности.

    Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде:

{T} =  ({ Qv }+{Q L}) [B]-1

     Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ.

    Пpoгpaмма определения двухмерных полей температуры реализует следующую последовательность действий (рис.21).

   Во вводной части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение для λ  , рассчитываются матрица [В], {Qv } и {QL} . Далее для реализации треугольного разложения cимметричной матрицы  [В] применяется подпрограмма " CHODET ". Подпрограмма "SHOSOL "  по известному вектору правой части уравнения (37) определяет вектор температуры.

    После получения поля температуры  происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры. Укрупненная блок- схема программы определения вектора температуры для
цилиндрических образцов представлена на рис.3.9.

    Пример расчета температурного поля.  

    На рис.3.10. показана зависимость максимального радиального перепада температуры в образце из диоксида урана от плотности внутренних источников тепла при различных значениях температур окружающей среды и торцов. На боковой поверхности образца задавались граничные условия третьего рода, а на торцах - первого рода при этом предполагалось, что температура на торце образца по его сечению постоянна.  Это условие приближает расчеты к ситуации, реализуемой в экспериментальной установке, когда ядерное топливо с низким коэффициентом теплопроводности контактирует с металлическим пуансоном.

    Коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности образца учитывал теплопроводность  через газ-заполнитель, конвекцию  и тепловое излучение и рассчитывался по методике, принятой для расчета поля температуры но элементам установки.         

    При  тепловыделениях  ~ 60 Вт/см3 , характерных для эксплуатации установок типа "Крип-ВТ" (высокотемпературные испытания)  на ИРТ-МИФИ, перепады составляют величины  ~ 30 К, что не может привести к разрушению образца из-за термонапряжений.

0

0

0

0

0

0

0

0

M*N

Ввод  данных

ITER=1

T=T0

Формирование матрицы [B]и свободных векторов.

Приведение матрицы [B]

к треугольному виду.

CHODET

Определение {T}

CHOSOL

T0-T<EPS

ITER<ITER M

Конец

Т0

ITER=ITER+1

Рис. 3.9.Блок-схема программы для определения поля температуры в образце.

Да

Да

Нет

Нет

H 

r

z

r 

Рис.3.8. Схема расположения конечных элементов и структура матрицы [B].

   0                 40                80              120        qv     Вт/см3

Тторц=1200К

Тср=1000К

Тторц=1600К

Тср=1400К

Тторц=1100К

Тср=1100К

Тторц=700К

Тср=700К

Тторц=300К

Тср=300К

Рис.3.10.Зависимость радиального перепада температуры от плотности тепловыделений в UO2.

0R) К

80

70

60

50

40

30

20

10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47557. ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА МЕНЕДЖЕРА 949.5 KB
  Методические указания освещают вопросы выбора темы и написания выпускной квалификационной работы дипломного проекта требования по оформлению и защите а также содержат примерный перечень тем дипломных проектов рекомендуемую литературу и критерии оценки дипломных проектов. Организация выполнения дипломного проекта 4 1.1 Цели и задачи дипломного проекта 1.3 Основные этапы выполнения дипломного проекта 1.
47560. Принципи та технології легування, спеціальні сталі 198.5 KB
  Спеціальні сталі – це сталі властивості яких на відміну від звичайних вуглецевих сталей обумовлені як способом виробництва так і способом обробки та хімічним складом. В останньому випадку сталі називають легованими і вони є найбільш розповсюдженими спеціальними сталями....
47561. Разработка и принятие управленческих решений по организации изготовления или сборки машиностроительных изделий. Методические указания 420 KB
  Разработка управленческого решения должна осуществляться до начала организации изготовления или сборки изделия и направлена на эффективное использование материальных энергетических трудовых и финансовых ресурсов в процессе изготовления или сборки изделия. Запас финансовой прочности изделия определяемый по формуле: Зф.= Nгод Nкр x 100 Nгод 2 где Nгод годовой объем изготовления изделия в штуках; Nкр критический объем изготовления...
47562. Методические указания. Менеджмент 164.5 KB
  Эффективный менеджер: роли и функции в организации профессиональные и личные качества. Анализ взаимосвязей внутренних переменных организации. Внешняя среда организации: основные характеристики; среда прямого воздействия. Эффективность системы планирования в организации.
47564. Понятие предмет и метод экономического анализа 47 KB
  Методом ЭА является системное комплексное изучение, измерение и обобщение влияние факторов на результаты деятельности предприятия путем обработки специальными приемами системных показателей, плана, учета, отчетности и других источников информации с целью повышения эффективности производства.