20181

Оценка случайных погрешностей

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Изменение погрешности во времени представляет собой нестационарный случайный процесс. Разделение погрешности на систематическую прогрессирующую и случайную составляющие представляет собой попытку описать различные участки частотного спектра этого широкополосного процесса: инфранизкочастотный низкочастотный и высокочастотный. Случайная погрешность составляющая погрешности измерения изменяющаяся случайным образом по знаку и значению в серии повторных измерений одного и того же размера ФВ проведенных с одинаковой тщательностью в...

Русский

2013-07-25

788.5 KB

71 чел.

Оценка случайных погрешностей

  1.  Понятие «погрешность».

Одно из основных понятий  метрологии «погрешность».

Толковый словарь Ожегова это понятие трактует так: «Погрешность-ошибка, промах в расчетах». В метрологии это слово может использоваться либо при  описании «погрешностей результатов измерения1»,  либо -  «погрешностей средств измерения2». Во многом эти два понятия близки друг к другу и классифицируются по одинаковым признакам. Само понятие «погрешность» условились  классифицировать по характеру проявления на случайные, систематические,  прогрессирующие и грубые.

Подобное  деление на составляющие было введено для удобства обработки результатов измерений исходя из характера их проявления. В процессе формирования метрологии было обнаружено, что погрешность не является постоянной величиной. Путем элементарного анализа установлено, что одна ее часть проявляется как постоянная величина, а другая — изменяется непредсказуемо. Эти части назвали систематической и случайной погрешностями.

Изменение погрешности во времени представляет собой нестационарный случайный процесс. Разделение погрешности на систематическую, прогрессирующую и случайную составляющие представляет собой попытку описать различные участки частотного спектра этого широкополосного процесса: инфранизкочастотный, низкочастотный и высокочастотный.

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера ФВ, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей (рис. 1) не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

Рис. 1. Изменение случайной погрешности от измерения к измерению

В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправки, однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. Поэтому для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения требуемой величины с последующей математической обработкой экспериментальных данных.

Большое значение имеет изучение случайной погрешности как функции номера наблюдения i или соответствующего ему момента времени ti проведения измерений, т.е.     Δi = Δ(ti). 

Отдельные значения погрешности являются значениями функции Δ(t), следовательно, погрешность измерения есть случайная функция времени. При проведении многократных измерений получается одна реализация такой функции. Именно такая реализация показана на рис. 1. Повтор серии измерений даст нам другую реализацию этой функции, отличающуюся от первой, и т. д.

Погрешность, соответствующая каждому i-му измерению, является сечением случайной функции Δ(t). 

В каждом сечении данной функции можно найти среднее значение, вокруг которого группируются погрешности в различных реализациях. Если через полученные таким образом средние значения провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени.

  1.  Принципы оценивания погрешностей

Оценивание погрешностей производится с целью получения объективных данных о точности результата измерения. Погрешность измерения описывается определенной математической моделью, выбор которой обуславливается имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для количественного выражения тех или иных ее свойств.

Характеристики погрешности принято делить на точечные и интервальные.

К точечным относятся  предел сверху для модуля систематической погрешности и т.п., к интервальным — границы неопределенности результата измерения.

Если эти границы определяются как отвечающие некоторой доверительной вероятности, то они называются доверительными интервалами. Если же минимально возможные в конкретном случае границы погрешности оценивают так, что погрешность, выходящую за них, встретить нельзя, то они называются предельными (безусловными) интервалами.

В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов.

  •  Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности.  

Это связано с тем, что модели погрешностей, как правило, сложны и описываются многими параметрами. Определение их всех весьма затруднительно, а иногда и невозможно. Кроме этого, в большинстве практических случаев полное описание модели погрешности содержит избыточную информацию, в то время как знание отдельных ее характеристик вполне достаточно для достижения цели измерения.

  •  Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения.

Это обусловлено тем, что погрешности определяют лишь зону неопределенности результата измерения и их не требуется знать очень точно.

  •  В-третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить, так как в первом случае снижается качество измерении, а во втором — возможно полное обесценивание результатов всего измерения.
  •  В-четвертых, поскольку стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные, точность измерений должна соответствовать цели измерения.

Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств и времени. Недостаточная точность в зависимости от цели измерения может привести к признанию годным в действительности негодного изделия, к принятию ошибочного решения и т. п.

  1.  Виды оценивания погрешностей.

  1.  Использование функций распределения.

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за их разброса относительно некоторого значения. C известными оговорками, результат измерения и его погрешность могут рассматриваться как случайные величины.

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной функцией распределения F(х) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина хi {-∞ < хi ≤ +∞} в i-м опыте принимает значение,    меньше х:

F(х) = Р{хi < х} = P{-∞ < хi ≤ х}. (1)

График интегральной функции распределения показан на рис 2. Она имеет следующие свойства:

• неотрицательная, т.е. F(х)≥0;

• неубывающая, т.е. F(х2)≥ F(х1), если х2 ≥ х1;

• диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(-∞) = 0; F(+∞) = 1;

• вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х1, до х2 Р{х1 < х < х2} = F(х2)- F(х1).

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей р(х)=dF(х)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

Учитывая взаимосвязь F(х) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х1; х2)

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [-∞; +∞] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х12) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х1 и х2, (см. рис. 2). Поэтому по форме кривой плотности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.

Результирующая погрешность зачастую складывается из ряда составляющих с различными плотностями распределения р1(х), р2,(х),..., рn(х).

В связи с этим возникает задача определения суммарного закона распределения погрешности.

Для суммы независимых непрерывных случайных величин х1, и х2, имеющих распределения р11) и р2(x2), он называется композицией и выражается интегралами свертки :

Z =  x1 (+) x2 

  1.  Использование специальных параметров.

Функции распределения являются самым универсальным способом описания поведения результатов измерений (и случайных погрешностей). Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений.

В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа специальных параметров, основными из которых  являются:

центр распределения;

начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты — математическое ожидание (МО), среднее квадратическое отклонение (СКО), эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии;

энтропийный коэффициент.

  1.  Понятие центра распределения

Координата центра распределения показывает положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является центр симметрии, т.е. нахождение такой точки Хм на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5:

Точку Хм называют медианой или 50%-ным квантилем. Для ее нахождения у распределения случайной величины должен существовать только нулевой начальный момент.

Можно определить центр распределения как центр тяжести распределения, т.е. такой точки X , относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая р(х), равен нулю:

Эта точка (Х = М) называется математическим ожиданием. Следует отметить, что у некоторых распределений (например, распределения Коши) не существует МО, так как определяющий их интеграл расходится.

При симметричной кривой р(х) в качестве центра может использоваться абсцисса моды, т.е. максимума распределения Хм. Однако существуют распределения, у которых нет моды (например, равномерное). Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя — двухмодальными и т.д.

Те, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными.

Для двухмодальных распределений применяется оценка центра в виде центра сгибов:

Xc=(xc1+xc2)/2

где хс1, хc2 — сгибы, т.е. абсциссы точек, в которых распределение достигает своих максимумов.

Для ограниченных распределений (равномерного, трапецеидального, арксинусоидального и др.) применяется оценка в виде центра размаха:

Xp=(x1+x2)/2

где х1, х2, — первый и последний члены вариационного ряда, соответствующего распределению.

  1.  Моменты распределений

Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называют начальными, а если от центра распределения, то центральными.

Начальные и центральные моменты r - порядка определяются соответственно по формулам

Нулевой  начальный  момент равен  единице. Он  используется для задания условия нормирования плотности распределения:

Первый начальный моментматематическое ожидание (МО) случайной величины:

Для результатов измерений МО представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины.

Начальные и центральные моменты случайной погрешности совпадают между собой и с центральными моментами результатов измерений:

αr [∆] = μr [∆] = μr [x],

поскольку МО случайной погрешности равно нулю.

Следует отметить, что первый центральный момент тождественно равен нулю.

Важное  значение имеет второй центральный момент

называемый дисперсией и являющийся характеристикой рассеивания случайной величины относительного МО.

Значительно чаще в качестве меры рассеивания используется среднее квадратическое отклонение (СКО)

имеющее такую же размерность, как и МО.

Для примера, на рис.  4  показан вид нормального распределения при различных значениях СКО. Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют важные черты распределения: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него.

Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент

служит характеристикой асимметрии,   или скошенности   распределения.

С его использованием вводится  коэффициент асимметрииν.

ν  =  μ3 [X] / σ3

Для  нормального распределения  коэффициент асимметрии равен нулю.

1 Погрешность результата измерения – это разница между результатом измерения X и истинным (или действительным) значением Q измеряемой величины: Δ=X-Q

2 Погрешность средства измерения — разность между показанием СИ и истинным (действительным) значением измеряемой ФВ. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53880. Збірник кросвордів з навчальної дисципліни «Хімія» для студентів першого курсу 137.5 KB
  Назва насичених вуглеводнів за функціональною номенклатурою. Альтернативна назва циклоалканів. Ненасичені вуглеводні Назва ненасичених вуглеводнів з одним подвійним зв’язком за функціональною номенклатурою. Загальна назва ненасичених вуглеводнів з двома подвійними зв’язками.
53881. Духовная жизнь как объект исследования социологии 37 KB
  Духовная жизнь – самая богатая по своим проявлениям сфера сознания, по формам и методам его реализации в жизнедеятельности общества, классов, социальных групп и слоев, каждого человека.
53882. Проблемы выявления и изучения исторических типов культуры в зарубежной и отечественной науке 32.5 KB
  Культурно-исторический тип — понятие политической теории Николая Данилевского, сформулированное в его книге «Россия и Европа»; система взглядов, определяемая культурными, психологическими и иными факторами, присущими народу или совокупности близких по духу и языку народов.
53883. Кров. Кровообіг 50 KB
  Мета: перевірити знання учнів про склад і функції крові будову і роботу серця кровоносних судин профілактику захворювань серцевосудинної системи; розвивальна: продовжити формування умінь та навичок порівнювати узагальнювати робити висновки відпрацьовувати навички роботи з тестовими завданнями формувати навички публічного виступу з підготовленої теми; виховувати культуру мовлення бережливе ставлення до особистого здоров’я. Обладнання: таблиці “Склад кровіâ€ “Серц冓Круги кровообігу†“Шкідливість...
53884. Кровообращение 45.5 KB
  Восстановление знаний учащихся об органах кровообращения. Приём Мозговой штурм Что такое кровообращение Какие органы входят в систему кровообращения Какие кровеносные сосуды вы знаете Какие сосуды называются артериями Какие сосуды называются венами Какие сосуды называются капиллярами Какая бывает кровь В чём отличие 2. Этапы эволюции системы кровообращения у позвоночных животных. Приём Экскурсия по страницам зоологии у рыб – двухкамерное сердце один круг кровообращения система замкнутая кровь смешанная; у...
53885. Органи кровообігу 91.5 KB
  Обладнання: таблиця Органи кровообігу картки; комп’ютер ППЗ Природознавство 3й клас для загальноосвітніх навчальних шкіл. Органи дихання це ніс гортань трахея бронхи легені легеневі пухирці кровоносні судини 3. Мотивація навчальної діяльності Прослухавши вірш ви легко дасте відповідь на запитання: про яку систему органів сьогодні піде мова Тема сьогодні у нас важкувата Адже кров ми вивчаєм малята.
53886. День слави і печалі. Урок – пам’ять присвячений річниці бою під Крутами 111 KB
  94 роки тому назад у бою під Крутами що на Чернігівщині понад 300 курсантів військової школи студентів та гімназистів рішуче відстоюючи право українського народу жити у власній державі вступили у нерівний бій із значно переважаючим добре озброєним і вишколеним противником і протягом кількох днів стримували на підступах до Києва величезну більшовицьку армію. Єдиною активною мілітарною нашою силою була наша інтелігентна молодь і частина національносвідомого робітництва яке гаряче стояло за українську державність розуміючи за нами ту...
53887. Квадратне рівняння та його використання 87.5 KB
  Завдання: навчальні: відтворити знання про квадратне рівняння його види способи розвязування;вміння розвязувати квадратні рівняння. використовувати рівняння що зводяться до квадратних перетворювання раціональних виразів розвязування квадратичних виразів графічним способом; систематизувати та узагальнити навчальні досягнення учнів щодо розвязання квадратних рівнянь та їх використання в ході уроку та їх використання в ході уроку під час формування компетенцій учнів з алгебри;;розвивальні: розвивати увагу мислення пам'ять...