20387

Информатика и математика. Математика для юристов

Книга

Государство и право, юриспруденция и процессуальное право

Теория множеств.1] Понятие способы задания и виды множеств [2.2] Операции над множествами [2.3] Неупорядоченные и упорядоченные множества.

Русский

2013-07-25

1.07 MB

16 чел.


Министерство внутренних дел Российской Федерации

Уральский юридический институт

С.В. Мухачев, К.В. Перетятькин, А.А. Трошкин

Информатика и математика.

Математика для юристов

Учебное пособие

Екатеринбург

2003


ББК 22.18

И741

И741

Мухачев С.В., Перетятькин К.В., Трошкин А.А. Информатика и математика. Математика для юристов: Учеб. пособие. – Екатеринбург: Изд-во Уральского юридического института МВД России, 2003. – 76 с.

Рецензенты:

С.Г. Михайлов, кандидат физико-математических наук, ИЭФ УрО РАН;

С.С. Головырин, кандидат технических наук, ОМЗ-МО.

Учебное пособие содержит теоретические сведения, примеры и задачи по избранным главам высшей математики. Изложенный материал позволяет изучить и научиться применять математические методы для решения практических задач, относящихся к правоохранительной деятельности.  

Учебное пособие предназначено для курсантов, слушателей и преподавателей высших учебных заведений МВД РФ. Оно может быть полезно студентам юридических ВУЗов.

Обсуждено на заседании кафедры информатизации ОВД (протокол № 6 от 07.05.2002)

Рекомендовано к изданию методическим советом УрЮИ МВД России (протокол № 5 от 21.05.2002)

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом (протокол № 4 от 23.05.2002).

ББК 22.18

Мухачев С.В., Перетятькин К.В., Трошкин А.А., 2003

УрЮИ МВД России, 2003

[1] Введение

[2] 1. Теория множеств. Комбинаторика

[2.1] Понятие, способы задания и виды множеств

[2.2] Операции над множествами

[2.3] Неупорядоченные и упорядоченные множества.
Комбинаторика


Введение

Школьный курс охватывает, в основном, элементарную математику и включает арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию и др. Однако мир современной математики очень разнообразен и сложен. Имеется большое количество различных математических дисциплин и направлений. Некоторые разделы высшей математики – математический анализ, аналитическая геометрия и линейная алгебра, теория функций комплексной переменной и т. д. изучаются в полном объеме в ВУЗах естественнонаучного и технического профиля. Часть этих разделов с успехом может применяться гуманитариями, в том числе и юристами, для решения своих профессиональных задач.

Вспомним, что изучалось в школьном курсе элементарной математики.

Наиболее древняя наука – арифметика. Это наука о числах. Она изучает простейшие свойства чисел и правила вычислений.

Алгебра занимается уравнениями и способами их решения. Точнее, она изучает лишь уравнения определенного типа, называемые алгебраическими. Наиболее известное уравнение такого типа – квадратное: ах2 + bх+ с =0. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4 000 лет назад вавилонские ученые знали квадратные уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых – второй степени. С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи, возникавшие при измерении участков земли, в строительстве и военном деле. Основоположником алгебры как науки принято считать среднеазиатского ученого Мухаммеда аль-Хорезми. Его математический труд, составленный в IХ в. н.э., называется ''Книга восстановления и противопоставления''. Под ''восстановлением'' понимался перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; под ''противопоставлением'' – собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных – в другую. У аль-Хорезми алгебра применялась к купеческим и другим денежным расчетам. В ХII в. труд аль-Хорезми был переведен на латинский язык и стал известен в Европе. С этого времени начинается развитие алгебры в европейских странах.

Геометрия изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки. Первые геометрические понятия возникли в древности из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров и т.п.) и площади земельных участков (отсюда греческое название ''геометрия'' – землемерие). Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. Эта система в начале III в. до н. э. получила завершенный вид в труде Евклида ''Начала'' (по содержанию примерно совпадает с нынешними школьными учебниками геометрии).

Основные геометрические понятия – точка, прямая, плоскость – принимаются без определения. Они поясняются примерами, наглядными образами. Остальные понятия (луч, отрезок, угол и т.д.) определяются на базе основных.

Фундамент геометрии составляют аксиомы – положения, принимаемые без доказательств. Все остальные положения доказываются на основе аксиом и называются теоремами. Такой подход, свойственный всем отраслям математики, называется аксиоматическим. Примеры аксиом: через любые две точки проходит одна и только одна прямая; если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то вся прямая содержится в этой плоскости; через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной. Выбор аксиом не является однозначным. Например, на основании последней аксиомы – аксиомы параллельности – можно доказать теорему о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Вместе с тем эту теорему можно было бы принять в качестве аксиомы и доказать на ее основе положение о параллельности.

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции (функции угла – синус, косинус, тангенс, котангенс) и их приложение к геометрии. С помощью тригонометрии решаются задачи вычисления неизвестных величин треугольника по заданным значениям других его величин. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то методы тригонометрии носят общий характер. Тригонометрические функции позволяют связать углы треугольника с его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Большой вклад в развитие тригонометрии внесли греческие ученые. Современный вид тригонометрии придал русский академик Л. Эйлер (ХVIII в.).

Назовем некоторые разделы высшей математики.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого используется координатный метод: точки описываются их координатами, а линии – уравнениями. Таким образом, геометрическая задача сводится к алгебраической, а для решения алгебраических задач имеются стандартные методы. Создатели аналитической геометрии – французские ученые Р. Декарт и П. Ферма (ХVII в.). К систематическому изучению пространственных линий и плоскостей (в трех измерениях) координатный метод был применен впервые Л. Эйлером (ХVIII в.).

Математический анализ – это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Математический анализ находит широкое применение при изучении количественных соотношений действительного мира, выражаемые переменными величинами. В арифметике и алгебре рассматриваются преимущественно постоянные величины (которые характеризуют состояния), в математическом же анализе – переменные (они характеризуют процессы). В основе изучения зависимости между переменными величинами – понятия функции и предела. Математический анализ в основном разработан на рубеже ХVII и XVIII вв. И. Ньютоном (Англия) и Г. Лейбницем (Германия).

Элементы теории множеств, теории вероятностей и математической статистики мы рассмотрим далее.


1. Теория множеств. Комбинаторика

Понятие, способы задания и виды множеств

Теория множеств – это раздел математики, изучающий общие свойства множеств.

Под множеством понимают совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества и обладающих общим для них характеристическим свойством.

Понятие ''множество'' является одним из первичных, неопределяемых понятий математики, так же как и понятия натурального числа, точки, прямой и т.д. Поэтому точного определения понятия ''множество'' дать нельзя, так как нет более общего понятия, чем ''множество''. Это понятие может быть пояснено только на примерах. Так, можно говорить о множестве студентов группы; людей, живущих в городе; планет Солнечной системы; букв русского алфавита. Элементами множества могут быть не только материальные объекты, но и абстрактные понятия. Например, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, геометрических фигур и т.п.

Различают множества конечные и бесконечные. Они содержат, соответственно, конечное или бесконечное число элементов. Бесконечным является, например, множество натуральных чисел. Ряд натуральных чисел бесконечен, поскольку для любого сколь угодно большого числа существует еще большее (его можно получить прибавлением единицы). Бесконечным, конечно же, является множество всех геометрических фигур.

Множество можно задать двумя способами: перечислив все его элементы либо указав характеристическое свойство его элементов.

Легко задать перечислением конечное множество, содержащее небольшое количество элементов: студенты в группе; планеты Солнечной системы; лежащие на столе книги и т.п. Однако это сделать практически невозможно для множеств с большим количеством элементов и тем более для бесконечных множеств. Поэтому в таких случаях указывают характеристическое свойство элементов – свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Например, мы можем задать множество двузначных чисел (45 – двузначное; 142 – не двузначное); множество четных чисел (делятся на 2); множество квадратов (прямоугольники с равными сторонами) или окружностей (совокупность точек, равноудаленных от центра). Отметим, что все множества, перечисленные в начале раздела, заданы именно таким способом.

Понятие ''множество'' не следует понимать буквально как совокупность, содержащую много элементов. В ней может содержаться один или два объекта. Оказывается, удобно считать множеством даже пустое множество, не содержащее ни одного элемента.

Множества чаще всего обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д., а их элементы – соответствующими строчными буквами: а, b, с и т.д. Пустое множество обозначается специальным символом . Если множество А состоит из n элементов a1 , ,..., аn , то пишут А={a1, а2, ... an}. Говорят: ''элемент а1 принадлежит множеству А'' и записывают так: а1А .

Запись аА означает, что элемент а не принадлежит множеству А (множество А не содержит элемент а).

Если характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, то используют соответствующую запись для задания множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших семи, можно задать так: А = {х| хN и х<7}.

Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы В принадлежат А, что обозначается так: ВА.

Любое множество включает в качестве своих подмножеств пустое множество и само себя.

Подмножество, не совпадающее с целым множеством, называется истинным или действительным подмножеством.

Отношения между множествами наглядно представляют геометрически с помощью так называемых кругов Эйлера, как это показано на рис.1.1.

Рис. 1.1. Отношение между множествами А и В (В является подмножеством А), представленное в виде кругов Эйлера.

Если для двух множеств А и В одновременно справедливо: ВА и АВ, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными или совпадающими, что обозначается так: А=В.

Пример равных множеств: множества равносторонних и равноугольных треугольников. Любой равносторонний треугольник является равноугольным и наоборот.

Операции над множествами

Над множествами можно производить различные операции. Простейшие из них: объединение, пересечение, разность и дополнение.

Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам.

Пересечение множеств А и В обозначается так: АВ. Можно записать: АВ={х| хА и хВ}. Читается такая запись следующим образом: ''Пересечение множеств А и В состоит из элементов х, принадлежащих как множеству А, так и множеству В''. Пересечение множеств А и В с помощью кругов Эйлера изображено на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пересечение множеств А и В, представленное с помощью кругов Эйлера.

Множества А и В могут быть таковы, что их пересечение будет пустым множеством. Обозначается это следующим образом: АВ = . С помощью кругов Эйлера такой случай представлен на рис.1.3.

Рис. 1.3. Пересечение множеств А и В как пустое множество (нет общих элементов).

Возможен частный случай: если ВА, то АВ=В, как это изображено на рис. 1.4.

Рис. 1.4. АВ= В.

Приведем пример.

Пусть А={х| хN и 1х10}; В ={х| хN и 5х20 }.

Тогда АВ={х| хN и 5х20} = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Рассмотрим еще один пример, на этот раз относящийся к практике работы органов внутренних дел. Пусть множество А – лица, находящиеся в розыске. Множество В – лица в возрасте до 30 лет. Тогда пересечение этих двух множеств – лица в возрасте до 30-ти лет, находящиеся в розыске (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Пересечение множеств А и В.

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Объединение множеств А и В обозначается так: AВ. Можно записать: АВ={х| хА или хВ}. Читается такая запись следующим образом: ''Объединение множеств А и В состоит из элементов х, принадлежащих или множеству А, или В''. С помощью кругов Эйлера объединение множеств А и В изображено на рис.1.6.

Рис. 1.6. Объединение множеств А и В, представленное с помощью кругов Эйлера.

В частном случае, когда ВА, АВ=А.

Пример с числовыми множествами: пусть А={х| хN и 1х10}; В= {х| хN и 5х20}.

Тогда АВ={х| хN и 1х20}.

Для рассмотренных выше множеств А={Лица, находящиеся в розыске} и В={Лица в возрасте до 30-ти лет}: АВ={Люди в возрасте до 30-ти лет и лица находящиеся в розыске}.

Разностью двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих первому множеству и не принадлежащих второму.

Разность множеств А и В обозначается А\ В. Символически можно записать: А\В={х| хА и хВ}. Читается такая запись следующим образом: ''Разность множеств А и В состоит из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В''.

Разность двух множеств иллюстрируется с помощью кругов Эйлера на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Разность множеств А и В, представленная с помощью кругов Эйлера.

Для числового примера, когда А={х| хN и 1х10}; В={х| хN и 5х20}, А\ В = {1, 2, 3, 4}.

В частном случае, если ВА, то А\ В = B'А , где B'А есть дополнение множества В до множества А.

Если вновь вернуться к примеру с множествами разыскиваемых лиц и лиц в возрасте до 30-ти лет, то А\ В есть множество лиц в возрасте старше 30-ти лет, находящихся в розыске.

Операции над множествами, приведенные для двух множеств, могут быть распространены на случай любого конечного числа множеств.

Чтобы продемонстрировать возможность использования понятий теории множеств, рассмотрим задачу.

Задача. В группе 30 курсантов. 20 из них выполнили норматив по стрельбе из пистолета, еще 20 сдали зачет по физподготовке, причем 15 и выполнили норматив, и сдали зачет. Сколько курсантов не выполнили норматив и не сдали зачет?

Рис. 1.8. Решение задачи с помощью понятий теории множеств.

Неупорядоченные и упорядоченные множества. 
Комбинаторика
 

В математике изучают не только связи между элементами двух множеств, т.е. соответствия, но и связи между элементами одного множества. Называют их отношениями. Одним из важнейших отношений является отношение порядка. Одно и то же множество можно упорядочить разными способами, получая тем самым различные упорядоченные множества. Например, рассмотрим множество, элементами которого являются курсанты учебного взвода. Один способ образования упорядоченного множества из данного неупорядоченного состоит в том, что мы упорядочиваем множество в соответствии с ростом курсантов. Другой способ – упорядочить множество в соответствии с порядком букв алфавита, с которых начинаются фамилии курсантов.

Упорядоченные множества записывают, располагая их элементы в заданном порядке в круглых скобках. Например, записи (1; 2; 3) и (2; 1; 3) представляют различные конечные упорядоченные множества, получающиеся из одного и того же неупорядоченного множества {1; 2; 3}.

Комбинаторика это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов конечных множеств в соответствии с некоторыми правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой комбинации из элементов исходного множества.

Рассмотрим примеры комбинаторных задач и способы их решения.

Задача 1. В одном из ОВД ежедневно формируется наряд для поддержания общественного порядка. Он состоит из 2-х человек: старшего наряда и дежурного. Для этого имеется 10 милиционеров. Сколько различных нарядов может быть составлено (если считать, что наряды из одних и тех же милиционеров, но с разными должностями – разные)?

Решение. Прежде всего пронумеруем весь личный состав: 1, 2, 3 … 10. Далее составим таблицу:

Старший

Дежурный

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Номер строки и номер столбца определяют состав наряда. Пары (1, 7) и (7, 1) – разные. Закрашенные ячейки отражают невозможность формирования наряда из одного человека. В каждом из 10 столбцов можно записать 9 вариантов наряда; поэтому полное число вариантов 9·10=90.

Задача 2. В ОВД несут службу 3 следователя, 2 оперативных уполномоченных и 3 эксперта. График их работы составляется так, чтобы каждая очередная оперативная группа (а она состоит из 3-х человек: следователя, оперативного уполномоченного и эксперта) отличалась от предыдущей. Сколько разных групп можно составить?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72562. Правовые системы России и Белоруссии и правовая культура 94 KB
  Одна из актуальных задач юридической науки исследование закономерностей и тенденций культурно-правового прогресса в исторической ретроспективе. Союзное государство должно стать наследником и продолжателем российской государственности новым звеном в цепи: Русь Российская Империя Российская Советская...
72563. КОНСТИТУЦИОННО-ПРАВОВОЙ СТАТУС ЦЕНТРАЛЬНОГО БАНКА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 128 KB
  В статье 75 Конституции где говорится о Центральном банке устанавливается что денежная эмиссия осуществляется исключительно Центробанком России. Таким образом Конституция во-первых выделяет основную функцию Банка России и во-вторых причисляет его к органам государственной власти.
72564. ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВАЯ ПРИРОДА ДОГОВОРА АРЕНДЫ 145 KB
  По договору аренды имущественного найма арендодатель наймодатель обязуется предоставить арендатору нанимателю имущество за плату во временное владение и пользование или во временное пользование. Договор аренды входит в группу договоров регулирующих отношения по передаче имущества во временное пользование.
72565. ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕР ГОСУДАРСТВЕННОГО ПРИНУЖДЕНИЯ (ВОЗДЕЙСТВИЯ) ЗА НАРУШЕНИЕ БЮДЖЕТНОГО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 104.5 KB
  Указанное обстоятельство в свете известных организационных политических криминалистических и других проблем функционирования бюджетной системы Российской Федерации и развития системы бюджетного федерализма подчеркивает насущность задачи совершенствования механизма правовой...
72566. ПРАВОВЫЕ МОДЕЛИ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ БЮДЖЕТНОГО КОНТРОЛЯ В ЕВРОПЕЙСКИХ СТРАНАХ 104 KB
  Специальные контрольные органы призванные проводить мероприятия направленные на защиту бюджетных интересов созданы и функционируют в большинстве стран мира но далеко не во всех. Ранее же вопросами бюджетного контроля занималась королевская полиция островов.
72567. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ЖИЛИЩНЫХ ПРАВООТНОШЕНИЙ 185.5 KB
  До принятия Жилищного кодекса РСФСР под жилищными правоотношениями обычно понимались лишь гражданско-правовые отношения по пользованию гражданами жилыми помещениями и эти отношения регулировались гражданским законодательством.
72568. СБЛИЖЕНИЕ И ГАРМОНИЗАЦИЯ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВ: ПОНЯТИЕ И МЕЖДУНАРОДНО-ПРАВОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 104.5 KB
  Качественная система права и законодательства основа для установления новой эпохи сотрудничества и взаимодействия не только граждан и их ассоциаций в пределах отдельных стран но в масштабах международного сообщества. поправок внесенных в российское законодательство.
72569. КОНСТИТУЦИОННОЕ ПРАВО ЧЕЛОВЕКА НА ДОСТОЙНУЮ ЖИЗНЬ И ДОСТОЙНОЕ ЕЕ ЗАВЕРШЕНИЕ 128 KB
  Статья 7 Конституции Российской Федерации провозглашает Россию социальным государством политика которого направлена на создание условий обеспечивающих достойную жизнь и свободное развитие человека. Под достойной жизнью понимают прежде всего материальную обеспеченность на уровне...
72570. ПРОБЛЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ В СУДЕ ДЕЛ ОБ ОСПАРИВАНИИ ОТЗЫВА ЛИЦЕНЗИИ, ПРЕДПИСАНИЙ, А ТАКЖЕ ДЕЛ О ПРИНУДИТЕЛЬНОЙ ЛИКВИДАЦИИ БАНКОВ 112 KB
  После отзыва лицензии временная администрация действует от имени кредитной организации во всех иных судебных делах в том числе и в тех где другой стороной спора является Центральный банк России. В практике Арбитражного суда города Москвы были дела, когда после отзыва лицензии у банка...