20475

Абсолютна величина і норма матриці

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

За абсолютну величину модуль матриці будемо вважати матрицю де модулі елементів матриці . Якщо і матриці для яких операції і мають сенс то: а б в число. За норму матриці вважаємо дійсне число що задовольняє умови: а причому тоді і тільки тоді коли =0; б число і зокрема ; в ; г і матриці для яких відповідні операції мають сенс.

Украинкский

2013-07-25

139 KB

3 чел.

Абсолютна величина і норма матриці

Нерівність  між матрицями  й  одного типу означає,  що   

У такому сенсі не всякі дві матриці можна порівняти між собою.

За абсолютну величину (модуль) матриці  будемо вважати матрицю

де  – модулі елементів матриці .

Якщо  і  – матриці, для яких операції  і  мають сенс, то:

 а)

 б)

 в) , (  - число).

За норму матриці  вважаємо дійсне число , що задовольняє  умови:

а) причому  тоді і тільки тоді, коли =0;

б) (  - число ) і, зокрема, ;

в) ;

г)

( і  - матриці, для яких відповідні операції мають сенс).

Відзначимо ще одну важливу нерівність між нормами матриць  і  одного типу. Застосовуючи умову в), будемо мати

Звідси

Аналогічно

Отже,

Назвемо норму канонічною, якщо додатково виконані умови:

д) якщо  то

причому для скалярної матриці  маємо

е) з нерівності  (А і В – матриці ) випливає нерівність

Зокрема, .

Надалі для матриці   довільного типу ми будемо розглядати головним чином три канонічні норми, що легко обчислюються:

1)    (m – норма);

2)     ( - норма);

3)  ( - норма).

Приклад. Нехай

Маємо:

Нехай маємо послідовність матриць  одного типу

За границю послідовності матриць  вважається матриця

                                  

Послідовність матриць, що має границю, є збіжною.

Лема 1 Для збіжності послідовності матриць (к=1,2,…) до матриці А необхідно і достатньо, щоб

                                       при     ,             

де  - будь-яка конічна норма матриці А. При цьому

Лема 2 Для збіжності послідовності матриць    необхідно і достатньо, щоб був виконаний узагальнений критерій Коші, а саме: для будь-якого  повинен існувати такий номер  , що при

, де  - будь-яка канонічна норма.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74546. Программирование. Языки программирования низкого и высокого уровней 25.55 KB
  Языки программирования низкого уровня Первым компьютерам приходилось программировать двоичными машинными кодами. Для упрощения этой задачи стали появляться языки программирования низкого уровня которые позволяли задавать машинные команды в более понятном для человека виде. Примером языка низкого уровня является ассемблер. Языки низкого уровня ориентированы на конкретный тип процессора и учитывают его особенности поэтому для переноса программы на ассемблере на другую аппаратную платформу ее нужно почти полностью переписать.
74547. Unix 16.31 KB
  Именно в 1969 году была создана первая Unix система компанией TT и торговая марка Unix по праву теперь принадлежит этой компании. Unix это многопользовательская многотерминальная операционная система которая в силе выполнять множество задач как под Вашим чутким руководством так и без. Существует целое семейство так называемых Unix подобных систем которые в большинстве случаев могут быть совместимы друг с другом на уровне исходных текстов программ. Все пользователи операционной системы Linux а именно потому что имеем возможность...
74548. Linux 19.3 KB
  История Linux началась в 1991 году когда студент Хельсинского университета Линус Торвальдс выпустил первый релиз этой операционной системы. Именно идея расширить возможности этой операционной системы и послужила основным мотивом разработки Linux. Хотя идея новой операционной системы и первые ее релизы почти полностью принадлежат одному человеку дальнейшее развитие Linux происходило и происходит благодаря участию в этом проекте десятков тысяч программистов всего мира. Однако эта команда разработчиков Linux не имеет ни штабквартиры ни...
74549. BSD (Berkeley Software Distribution) 15.56 KB
  BSDLite были созданы несколько операционных систем с открытыми исходными кодами. Вот что такое собственно операционная система BSD: Ядро BSD отвечающее за планировку процессов управление памятью поддержку многопроцессорных систем SMP работу с устройствами и так далее. В отличие от Linux существует несколько ядер BSD отличающихся возможностями. Библиотека C в BSD основывается на коде из Беркли а не из Проекта GNU.
74551. Пакетный файл 20.46 KB
  После запуска пакетного файла программаинтерпретатор как правило COMMND. Командный интерпретатор в MSDOS а следом и в семействе Windows 9x имеет название COMMND.BT который автоматически исполняется COMMND.exe который частично совместим с COMMND.
74553. Теорія двоїстості 764 KB
  Економічну інтерпретацію кожної з пари таких задач розглянемо на прикладі виробничої задачі п.6 є двоїстою або спряженою до задачі 5. Як у прямій так і у двоїстій задачі використовують один набір початкових даних. Крім того вектор обмежень початкової задачі стає вектором коефіцієнтів цільової функції двоїстої задачі і навпаки а рядки матриці А матриці коефіцієнтів при змінних з обмежень прямої задачі стають стовпцями матриці коефіцієнтів при змінних в обмеженнях двоїстої задачі.
74554. Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач 408.5 KB
  Оцінка рентабельності продукції яка виробляється і нової продукції. Використання двоїстих оцінок уможливлює визначення рентабельності кожного виду продукції яка виробляється підприємством. Водночас можна оцінити інтервали можливої зміни цін одиниці кожного виду продукції що дуже важливо за ринкових умов. Це дає змогу перевірити