20479

Графічний метод відокремлення коренів

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. Проте слід памятати що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик. Слід аналізувати три можливості що можуть виникнути а саме: Якщо рис.

Украинкский

2013-07-25

39.5 KB

3 чел.

Графічний метод відокремлення коренів.

Корінь рівняння  число, яке після підстановки його в рівняння замість невідомого обертає рівняння в тотожність. Знаходження коренів рівнянь – одна з найдавніших математичних проблем, яка не втратила актуальності в наш час.

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Нерідко розв’язується задача про знаходження всіх коренів алгебраїчного многочлена.

Процес відокремлення коренів полягає в тому, щоб встановити розміщення «тісних» проміжків, на яких знаходиться лише один корінь рівняння. Розглянемо два найбільш поширені методи: Графічний метод відокремлення коренів полягає в тому, що коренем є точка перетину графіка з віссю ОХ. Достатньо побудувати графік і відмітити на ОХ відрізки, що містять один корінь. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. В цьому випадку до уваги береться умова, що на досліджуваному відрізку функція неперервна. Починаючи з точки x_0 і рухаючись вправо заданим кроком. Як тільки знайдеться пара сусідніх значень, що мають різні знаки (сама функція на цьому відрізку монотонна), значення аргументу (попереднє і наступне) можна вважати кінцями відрізка, який містить корінь. В даному випадку слід взяти до уваги, що надійність запропонованого методу суттєво залежить від вибору довжини кроку. Дійсно, якщо при досить малому кроку на кінцях відрізка функція набуває значення одного знаку, природно очікувати, що рівняння коренів не має. Проте слід пам’ятати, що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик.

Метод ділення відрізка навпіл (метод дихотомії, або метод Больцано).

Алгоритм методу.

Одним з ітераційних методів є метод ділення відрізка навпіл (дихотомії).

Теоретичне обґрунтування методу

Теорема Больцано-Коші: Якщо функція f(x) на кінцях приймає значення різних знаків: f(a)*f(b)<0, то тоді є таке значення x=c, що f(c)=0; c([a,b], причому корінь буде єдиним, якщо похідна на розглянутому інтервалі не знак.

На першому етапі повинен бути знайдений відрізок такий, що. Оскільки графік неперервної функції є неперервним, перетинає вісь в точці, яка належить зазначеному інтервалу.

(а) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання справа. (b) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання зліва.

Метод ділення навпіл зсовує крайні точки все ближче ближче, до тих пір поки на інтервалі не отримаємо якзавгодно малий відрізок, який містить нульфункції. Вірішуючим кроком процесу ділення інтервалу навпіл є вибір середньої точки. Слід аналізувати три можливості, що можуть виникнути, а саме: Якщо (рис.) та (рис.) мають різні знаки, нуль лежить на інтервалі (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки, нуль лежить на інтевалі (рис.) Якщо (рис.) отже, нулем точка з абсцисою (рис.) В будь-якому з двох перших випадків ми розглядаємо половину інтервала як початковий інтервал, який містить корінь, «стискаємо» його. Продовжуємо процес до тих пір, поки інтервал не стане настільки малим, наскільки необхідно. Таким чином, процес ділення навпіл включає послідовність вкладених інтервалів середніх точок. Побудована послідовність (рис.) (рис.) збіжна при (рис.) до (рис.) Теорема (про ділення відрізка пополам): Припустимо, що (рис.) таке число (рис.) що (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки (рис.) предавляє послідовність середніх точок, отриманих результаті ділення пополам, то (рис.) для (рис.) значить послідовність (рис.) збігається до нуля (рис.) тобто (рис.) Доведення: оскільки нуль функції середня точка належать інтервалу (рис.) відстань ними не може бути більшою подовини довжини цього інтервалу. Тому (рис.) для всіх (рис.)

Слід мати на увазі, що настуані один за одним інтервали утворюють послідовність (рис.) (рис.) Методом математичної нескладно довести істинність формули (рис.) для всіх (рис.) Таким чином, можна зробити висновок, що кількість ітерацій. необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (2.1) з заданою точністю ( задовольняє співвідношенню (рис.) де [c] ( ціла частина числа c. Серед переваг даного методу слід відзначити простоту та надійність. Послідовність наближень збігається до кореня (рис.) для довільних неперервних функцій f(x).

До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу (збіжність цього методу знаменником (рис.) та неможливість безпосереднього узагальнення методу на системи нелінійних рівнянь. Розглянутий метод можна використовувати як метод розв’язування рівняння заданою точністю. По суті досить трудомістким, але його можна успішно використовувати на ЕОМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51469. Объектно-ориентированный подход в программировании. Теоретические основы объектно-ориентированного программирования 435.5 KB
  Теоретические основы объектно-ориентированного программирования Составные части объектного подхода Задачи для самостоятельного решения по теме Теоретические основы объектно-ориентированного программирования Тестовые задания по теме Теоретические основы объектно-ориентированного программирования...
51470. Средства объектно-ориентированного программирования в Visual Basic 187.42 KB
  С классами студенты сталкивались практически во всех предыдущих темах. Объектноориентированное программирование и проектирование построено на классах. Очень важно обратить внимание на то что у класса две различные роли: модуля и типа данных. Вторая роль класса не менее важна.
51471. Отношения между классами. Интерфейсы, делегаты и события 40.52 KB
  Отношения между классами. Понятие отношения между классами. Классы с событиями. Обработчик события: всегда принадлежит классу зажигающему событие; никогда не принадлежит классу зажигающему событие; может принадлежать классу зажигающему событие; принадлежит только одному классу слушающему событие; может принадлежать многим классам слушающим события. Отметьте истинные высказывания: все события имеют одинаковую сигнатуру из двух аргументов с одними и теми же типами; все события имеют сигнатуру из двух аргументов но с...
51472. Основы проектирования баз данных средствами СУБД 474.58 KB
  Основы проектирования баз данных средствами СУБД. Основные понятия баз данных. Основные понятия реляционной модели данных. Задачи для самостоятельного решения по теме Основы проектирования баз данных средствами СУБД ccess.
51473. Технология работы с данными в среде Visual Studio .NET 969.72 KB
  Создание приложений для обработки данных в среде Visul Studio . Примеры разработки приложений для работы с базами данных СУБД ccess. Создание приложений для обработки данных в среде Visul Studio .NET С самого своего рождения программирование решало задачи обработки данных поэтому практически во всех приложениях данные в том или ином виде хранятся в некоторых хранилищах а сами приложения предоставляют способы просмотра редактирования обновления и использования этих данных рис.
51474. Средства создания Web-сайтов. Введение в разработку Web-приложений 1.06 MB
  Введение в разработку Webприложений. Webстраницы Webсайты Webсервисы и Webприложений. Средства создания Webсайтов. Примеры создания простых Webсайтов средствами языка HTML.
51475. Создание Web-приложений средствами ASP.NET 1.1 MB
  Создание Webприложений средствами SP. Начало работы с Visul Studio и создание нового Webприложения NET Почти все крупномасштабные Webсайты на базе технологии SP.NET разрабатываются с использованием Visul Studio предлагаемой компанией Microsoft полнофункциональной среды разработки Webприложений гибкого и универсального инструмента проектирования и создания законченных приложений для платформы Windows.
51477. Определение отклика на гармоническое воздействие 397 KB
  Определить комплексную передаточную функцию КПФ и ее составляющие: модуль Hω и аргумент θω привести полученную КПФ к общему виду КПФ для цепи первого порядка. Схема исследуемого четырехполюсника Исходные данные цепи: Ом мГн Функции воздействия: и Решение Определение комплексной передаточной функции КПФ четырехполюсника Комплексная передаточная функция записывается: По формуле чужого сопротивления находим : Отсюда = Подставим полученное выражения для в формулу нахождения КПФ: Таким образом мы привели полученную КПФ к...