20479

Графічний метод відокремлення коренів

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. Проте слід пам’ятати що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик. Слід аналізувати три можливості що можуть виникнути а саме: Якщо рис.

Украинкский

2013-07-25

39.5 KB

3 чел.

Графічний метод відокремлення коренів.

Корінь рівняння  число, яке після підстановки його в рівняння замість невідомого обертає рівняння в тотожність. Знаходження коренів рівнянь – одна з найдавніших математичних проблем, яка не втратила актуальності в наш час.

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Нерідко розв’язується задача про знаходження всіх коренів алгебраїчного многочлена.

Процес відокремлення коренів полягає в тому, щоб встановити розміщення «тісних» проміжків, на яких знаходиться лише один корінь рівняння. Розглянемо два найбільш поширені методи: Графічний метод відокремлення коренів полягає в тому, що коренем є точка перетину графіка з віссю ОХ. Достатньо побудувати графік і відмітити на ОХ відрізки, що містять один корінь. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. В цьому випадку до уваги береться умова, що на досліджуваному відрізку функція неперервна. Починаючи з точки x_0 і рухаючись вправо заданим кроком. Як тільки знайдеться пара сусідніх значень, що мають різні знаки (сама функція на цьому відрізку монотонна), значення аргументу (попереднє і наступне) можна вважати кінцями відрізка, який містить корінь. В даному випадку слід взяти до уваги, що надійність запропонованого методу суттєво залежить від вибору довжини кроку. Дійсно, якщо при досить малому кроку на кінцях відрізка функція набуває значення одного знаку, природно очікувати, що рівняння коренів не має. Проте слід пам’ятати, що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик.

Метод ділення відрізка навпіл (метод дихотомії, або метод Больцано).

Алгоритм методу.

Одним з ітераційних методів є метод ділення відрізка навпіл (дихотомії).

Теоретичне обґрунтування методу

Теорема Больцано-Коші: Якщо функція f(x) на кінцях приймає значення різних знаків: f(a)*f(b)<0, то тоді є таке значення x=c, що f(c)=0; c([a,b], причому корінь буде єдиним, якщо похідна на розглянутому інтервалі не знак.

На першому етапі повинен бути знайдений відрізок такий, що. Оскільки графік неперервної функції є неперервним, перетинає вісь в точці, яка належить зазначеному інтервалу.

(а) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання справа. (b) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання зліва.

Метод ділення навпіл зсовує крайні точки все ближче ближче, до тих пір поки на інтервалі не отримаємо якзавгодно малий відрізок, який містить нульфункції. Вірішуючим кроком процесу ділення інтервалу навпіл є вибір середньої точки. Слід аналізувати три можливості, що можуть виникнути, а саме: Якщо (рис.) та (рис.) мають різні знаки, нуль лежить на інтервалі (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки, нуль лежить на інтевалі (рис.) Якщо (рис.) отже, нулем точка з абсцисою (рис.) В будь-якому з двох перших випадків ми розглядаємо половину інтервала як початковий інтервал, який містить корінь, «стискаємо» його. Продовжуємо процес до тих пір, поки інтервал не стане настільки малим, наскільки необхідно. Таким чином, процес ділення навпіл включає послідовність вкладених інтервалів середніх точок. Побудована послідовність (рис.) (рис.) збіжна при (рис.) до (рис.) Теорема (про ділення відрізка пополам): Припустимо, що (рис.) таке число (рис.) що (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки (рис.) предавляє послідовність середніх точок, отриманих результаті ділення пополам, то (рис.) для (рис.) значить послідовність (рис.) збігається до нуля (рис.) тобто (рис.) Доведення: оскільки нуль функції середня точка належать інтервалу (рис.) відстань ними не може бути більшою подовини довжини цього інтервалу. Тому (рис.) для всіх (рис.)

Слід мати на увазі, що настуані один за одним інтервали утворюють послідовність (рис.) (рис.) Методом математичної нескладно довести істинність формули (рис.) для всіх (рис.) Таким чином, можна зробити висновок, що кількість ітерацій. необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (2.1) з заданою точністю ( задовольняє співвідношенню (рис.) де [c] ( ціла частина числа c. Серед переваг даного методу слід відзначити простоту та надійність. Послідовність наближень збігається до кореня (рис.) для довільних неперервних функцій f(x).

До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу (збіжність цього методу знаменником (рис.) та неможливість безпосереднього узагальнення методу на системи нелінійних рівнянь. Розглянутий метод можна використовувати як метод розв’язування рівняння заданою точністю. По суті досить трудомістким, але його можна успішно використовувати на ЕОМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43538. РОЗРОБКА СТРУКТУРИ ЧАСОВИХ ЦИКЛІВ ПЕРВИННОГО ЦИФРОВОГО СИГНАЛУ І РОЗРАХУНОК ТАКТОВОЇ ЧАСТОТИ АГРЕГАТНОГО ЦИФРОВОГО СИГНАЛУ 1.12 MB
  Дискретизація це представлення аналогового сигналу в дискпеїному вигляді за допомогою АІМ перетворень. Квантування це визначення значення амплітуди кожного дискретного АІМ сигналу за допомогою шкали квантування. Приведемо спектральні діаірами АІМсигналу: Використаємо компресію що основується на 16сегментній характеристиці яка відповідає Аза кону. Звідси слідує що до тих пір поки амплітуда квантуємого гармонічного сигналуим не перевищує U0 64 де U0 напруга відповідна порогу перевантаження кодера квантування є рівномірним.
43539. Маркетинговая деятельность в ООО «Отдых в Крыму» 227 KB
  Развитие туризма как никакая другая отрасль экономики стимулирует создание рабочих мест и развитие малого бизнеса перераспределяет ресурсы между странами оказывает стимулирующее воздействие на такие секторы экономики как транспорт связь сфера услуг торговля строительство производство товаров народного потребления и составляет одно из наиболее перспективных направлений структурной перестройки экономики РФ и Дальнего Востока Важнейшим направлением деятельности фирм работающих в туристической сфере являются продвижение турпродукта на...
43540. Цифровой блок управления (ЦБУ) электроприводом для позиционирования транспортера в соответствии с заданным количеством кодовых импульсов датчика угла поворота электропривода 168 KB
  Расчет формирователя импульсов Счетчик импульсов Расчет импульсного усилителя мощности Объект разработки Разработать цифровой блок управления ЦБУ электроприводом для позиционирования транспортера в соответствии с заданным количеством кодовых импульсов датчика угла поворота электропривода. ЦБУ должен содержать фотоэлектрический импульсный датчик формирователь импульсов счетчик импульсов с предустановкой командный триггер и импульсный усилитель мощности.
43542. Расчет усилителя постоянного тока 176.5 KB
  Макс = 225мВТ Входная и выходная статистические характеристики транзистора типа КТ325А приведены на рис.15 Uкэ мах – постоянный напряжение коллекторэмиттер В15 Pк мах – постоянная рассеиваемая мощность коллектора мВт: при Tс = 6085 С.макс = 225мВТ Входная и выходная статистические характеристики транзистора типа КТ355А приведены на рис.15 Uкэ мах – постоянный напряжение коллекторэмиттер В15 Pк мах – постоянная рассеиваемая мощность коллектора мВт: при Tс = 6085...
43543. Компьютерная программа для работы с фотографиями людей 1.25 MB
  Описание поставленных задач и алгоритмы используемых методов Описание разработанной программы Перспективы дальнейших исследований. Активация программы и сохранение локальной лицензии. Для достижения поставленной цели в работе в первую очередь потребуется решить следующие задачи: Создать удобный понятный интерфейс программы продумать логику работы пользователя в приложении. Разработать необходимые алгоритмы обработки полученных данных Внедрить их в проект без ущерба совместимости приложения с...
43544. Роль производственных фондов в технологических процессах 892.5 KB
  Имея ясное представление о роли каждого элемента основных фондов в производственном процессе физическом и моральном их износе факторах влияющих на использование основных фондов можно выявить методы направления при помощи которых повышается эффективность использования основных фондов и производственных мощностей предприятия обеспечивающая снижение издержек производства и рост производительности труда. Цель данной курсовой работы состоит в изучении роли производственных фондов в технологических процессах в изучении факторов...
43545. Расчет переходных процессов при нарушении симметрии трехфазной цепи 5.53 MB
  Составим схему замещения прямой последовательности Определим параметры схемы замещения прямой последовательности: 1 Система С 2Линия Л 3Трансформатор Т 4Автотрансформатор АТ 5Нагрузка Н 6Асинхронный двигатель АД 7Генератор Г Найдем и для этого свернем схему Составим схему замещения обратной последовательности Определим параметры схемы замещения обратной последовательности: 1 Система С 2Линия Л...
43546. Расчет и регулирование дебита скважин 50.5 KB
  Скважины эксплуатируются при постоянном забойном давлении Рс. Исходные данные в соответствии с вариантом Горизонтальный однородный пласт имеет радиус контура питания: Rк = м; Залежь водоплавающая; Пористость m = ; Температура 0С; Давление устьевое при остановке добычи варианты для добычи нефти ат; Разность давлений пластового и забойного варианты для добычи газа ат; Пластовое давление ат; Глубина м; Мощность пласта: b = м; Коэффициент пористости пласта: m = ; Коэффициент проницаемости...