20479

Графічний метод відокремлення коренів

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. Проте слід памятати що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик. Слід аналізувати три можливості що можуть виникнути а саме: Якщо рис.

Украинкский

2013-07-25

39.5 KB

3 чел.

Графічний метод відокремлення коренів.

Корінь рівняння  число, яке після підстановки його в рівняння замість невідомого обертає рівняння в тотожність. Знаходження коренів рівнянь – одна з найдавніших математичних проблем, яка не втратила актуальності в наш час.

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Нерідко розв’язується задача про знаходження всіх коренів алгебраїчного многочлена.

Процес відокремлення коренів полягає в тому, щоб встановити розміщення «тісних» проміжків, на яких знаходиться лише один корінь рівняння. Розглянемо два найбільш поширені методи: Графічний метод відокремлення коренів полягає в тому, що коренем є точка перетину графіка з віссю ОХ. Достатньо побудувати графік і відмітити на ОХ відрізки, що містять один корінь. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. В цьому випадку до уваги береться умова, що на досліджуваному відрізку функція неперервна. Починаючи з точки x_0 і рухаючись вправо заданим кроком. Як тільки знайдеться пара сусідніх значень, що мають різні знаки (сама функція на цьому відрізку монотонна), значення аргументу (попереднє і наступне) можна вважати кінцями відрізка, який містить корінь. В даному випадку слід взяти до уваги, що надійність запропонованого методу суттєво залежить від вибору довжини кроку. Дійсно, якщо при досить малому кроку на кінцях відрізка функція набуває значення одного знаку, природно очікувати, що рівняння коренів не має. Проте слід пам’ятати, що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик.

Метод ділення відрізка навпіл (метод дихотомії, або метод Больцано).

Алгоритм методу.

Одним з ітераційних методів є метод ділення відрізка навпіл (дихотомії).

Теоретичне обґрунтування методу

Теорема Больцано-Коші: Якщо функція f(x) на кінцях приймає значення різних знаків: f(a)*f(b)<0, то тоді є таке значення x=c, що f(c)=0; c([a,b], причому корінь буде єдиним, якщо похідна на розглянутому інтервалі не знак.

На першому етапі повинен бути знайдений відрізок такий, що. Оскільки графік неперервної функції є неперервним, перетинає вісь в точці, яка належить зазначеному інтервалу.

(а) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання справа. (b) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання зліва.

Метод ділення навпіл зсовує крайні точки все ближче ближче, до тих пір поки на інтервалі не отримаємо якзавгодно малий відрізок, який містить нульфункції. Вірішуючим кроком процесу ділення інтервалу навпіл є вибір середньої точки. Слід аналізувати три можливості, що можуть виникнути, а саме: Якщо (рис.) та (рис.) мають різні знаки, нуль лежить на інтервалі (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки, нуль лежить на інтевалі (рис.) Якщо (рис.) отже, нулем точка з абсцисою (рис.) В будь-якому з двох перших випадків ми розглядаємо половину інтервала як початковий інтервал, який містить корінь, «стискаємо» його. Продовжуємо процес до тих пір, поки інтервал не стане настільки малим, наскільки необхідно. Таким чином, процес ділення навпіл включає послідовність вкладених інтервалів середніх точок. Побудована послідовність (рис.) (рис.) збіжна при (рис.) до (рис.) Теорема (про ділення відрізка пополам): Припустимо, що (рис.) таке число (рис.) що (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки (рис.) предавляє послідовність середніх точок, отриманих результаті ділення пополам, то (рис.) для (рис.) значить послідовність (рис.) збігається до нуля (рис.) тобто (рис.) Доведення: оскільки нуль функції середня точка належать інтервалу (рис.) відстань ними не може бути більшою подовини довжини цього інтервалу. Тому (рис.) для всіх (рис.)

Слід мати на увазі, що настуані один за одним інтервали утворюють послідовність (рис.) (рис.) Методом математичної нескладно довести істинність формули (рис.) для всіх (рис.) Таким чином, можна зробити висновок, що кількість ітерацій. необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (2.1) з заданою точністю ( задовольняє співвідношенню (рис.) де [c] ( ціла частина числа c. Серед переваг даного методу слід відзначити простоту та надійність. Послідовність наближень збігається до кореня (рис.) для довільних неперервних функцій f(x).

До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу (збіжність цього методу знаменником (рис.) та неможливість безпосереднього узагальнення методу на системи нелінійних рівнянь. Розглянутий метод можна використовувати як метод розв’язування рівняння заданою точністю. По суті досить трудомістким, але його можна успішно використовувати на ЕОМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39312. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности ОАО «Междуречье» 96.22 KB
  Экономический анализ – систематизированная совокупность экономических процедур, цель которого является получение заключений, выводов и рекомендаций экономического характера для отдельного субъекта.
39314. Теоретичний і правовий аналіз сутності норми права і нормативно-правового акту 197 KB
  Суспільство яке покликане захищати основні права людини це впорядкована система відносин яка базується на дотриманні всіма субєктами цих відносин норм права які розміщені в нормативноправових актах. Значну увагу розробці вчення про норму права і нормативноправовий акт приділяли видатні представники російської юридичної науки у дореволюційній Росії Н. Предметом дослідження є нора права і нормативноправовий акт.
39315. Синтез кулачкового механизма контргрейфера 55.6 KB
  Опираясь на этот график строим график поперечного перемещения зуба контргрейфера и определяем фазовые углы и углы и : ФП 101 = 1768 рад ФД 116 = 2028 рад ФО 101 = 1768 рад ФБ 360 ФП ФД ФО = 42 42= 0728 рад 280= 4888 рад ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЛКАТЕЛЯ Изображаем примерный закон перемещения толкателя S=S отсчитывая угол от начала фазы подъема. Закон перемещения толкателя на фазах подъема и опускания определяется путем двукратного интегрирования заданных законов изменения ускорения толкателя. Фаза подъема...
39316. Вплив антропогенних факторів на здоров’я людини 27.55 KB
  Основні антропогенні фактори. Негативний вплив людини на своє власне здоров’я величезний. Різноманітність засобів, якими вона руйнує своє здоров’я й генофонд, не може не вражати: отрутохімікати й побутова хімія, важкі метали й пластмаси, наркотики й тютюн, шум та електромагнітні поля радіація й кислотні дощі,
39317. Устройство сбора данных (УСД) 270.5 KB
  АЦП: имеет один аналоговый вход и восемь выходов по которым в двоичном параллельном коде выдаётся число соответствующее уровню поданного на вход АЦП отсчёта аналогового сигнала. Перед началом работы АЦП на него должен быть подан сигнал запуска. После окончания преобразования АЦП выдаёт сигнал ОК окончание преобразования на устройство управления. Сигнал ОК флаг обозначается как Тфл должен быть зафиксирован с помощью триггера до момента окончания записи данных опрашиваемого канала в ячейку памяти ОЗУ.
39318. Язва. Пептическая язва желудка. Язва двенадцатиперстной кишки 28.7 KB
  Пептическая язва желудка и/или двенадцатиперстной кишки — хроническое заболевание, в основе которого лежит образование изъязвления со стороны слизистого слоя стенки органа. Часто для определения заболевания пользуются также устаревшим термином «язвенная болезнь желудка и/или двенадцатиперстной кишки».
39319. Проектирование устройства сбора данных 485.5 KB
  Разработка блока выработки адресов каналов коммутатора. В радиотехнических системах и в технике связи УСД используются для обработки сигналов функционального контроля каналов связи диагностирования состояния аппаратуры. Имеется F аналоговых каналов. Необходимо опрашивая их согласно заданной последовательности получаемые из каналов аналоговые величины с помощью АЦП преобразовывать в цифровую форму двоичные слова стандартной длины 1 байт = 8 бит и помещать в последовательные ячейки некоторой области ЗУ начиная с ячейки имеющей...