20479

Графічний метод відокремлення коренів

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. Проте слід пам’ятати що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик. Слід аналізувати три можливості що можуть виникнути а саме: Якщо рис.

Украинкский

2013-07-25

39.5 KB

3 чел.

Графічний метод відокремлення коренів.

Корінь рівняння  число, яке після підстановки його в рівняння замість невідомого обертає рівняння в тотожність. Знаходження коренів рівнянь – одна з найдавніших математичних проблем, яка не втратила актуальності в наш час.

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Нерідко розв’язується задача про знаходження всіх коренів алгебраїчного многочлена.

Процес відокремлення коренів полягає в тому, щоб встановити розміщення «тісних» проміжків, на яких знаходиться лише один корінь рівняння. Розглянемо два найбільш поширені методи: Графічний метод відокремлення коренів полягає в тому, що коренем є точка перетину графіка з віссю ОХ. Достатньо побудувати графік і відмітити на ОХ відрізки, що містять один корінь. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. В цьому випадку до уваги береться умова, що на досліджуваному відрізку функція неперервна. Починаючи з точки x_0 і рухаючись вправо заданим кроком. Як тільки знайдеться пара сусідніх значень, що мають різні знаки (сама функція на цьому відрізку монотонна), значення аргументу (попереднє і наступне) можна вважати кінцями відрізка, який містить корінь. В даному випадку слід взяти до уваги, що надійність запропонованого методу суттєво залежить від вибору довжини кроку. Дійсно, якщо при досить малому кроку на кінцях відрізка функція набуває значення одного знаку, природно очікувати, що рівняння коренів не має. Проте слід пам’ятати, що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик.

Метод ділення відрізка навпіл (метод дихотомії, або метод Больцано).

Алгоритм методу.

Одним з ітераційних методів є метод ділення відрізка навпіл (дихотомії).

Теоретичне обґрунтування методу

Теорема Больцано-Коші: Якщо функція f(x) на кінцях приймає значення різних знаків: f(a)*f(b)<0, то тоді є таке значення x=c, що f(c)=0; c([a,b], причому корінь буде єдиним, якщо похідна на розглянутому інтервалі не знак.

На першому етапі повинен бути знайдений відрізок такий, що. Оскільки графік неперервної функції є неперервним, перетинає вісь в точці, яка належить зазначеному інтервалу.

(а) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання справа. (b) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання зліва.

Метод ділення навпіл зсовує крайні точки все ближче ближче, до тих пір поки на інтервалі не отримаємо якзавгодно малий відрізок, який містить нульфункції. Вірішуючим кроком процесу ділення інтервалу навпіл є вибір середньої точки. Слід аналізувати три можливості, що можуть виникнути, а саме: Якщо (рис.) та (рис.) мають різні знаки, нуль лежить на інтервалі (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки, нуль лежить на інтевалі (рис.) Якщо (рис.) отже, нулем точка з абсцисою (рис.) В будь-якому з двох перших випадків ми розглядаємо половину інтервала як початковий інтервал, який містить корінь, «стискаємо» його. Продовжуємо процес до тих пір, поки інтервал не стане настільки малим, наскільки необхідно. Таким чином, процес ділення навпіл включає послідовність вкладених інтервалів середніх точок. Побудована послідовність (рис.) (рис.) збіжна при (рис.) до (рис.) Теорема (про ділення відрізка пополам): Припустимо, що (рис.) таке число (рис.) що (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки (рис.) предавляє послідовність середніх точок, отриманих результаті ділення пополам, то (рис.) для (рис.) значить послідовність (рис.) збігається до нуля (рис.) тобто (рис.) Доведення: оскільки нуль функції середня точка належать інтервалу (рис.) відстань ними не може бути більшою подовини довжини цього інтервалу. Тому (рис.) для всіх (рис.)

Слід мати на увазі, що настуані один за одним інтервали утворюють послідовність (рис.) (рис.) Методом математичної нескладно довести істинність формули (рис.) для всіх (рис.) Таким чином, можна зробити висновок, що кількість ітерацій. необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (2.1) з заданою точністю ( задовольняє співвідношенню (рис.) де [c] ( ціла частина числа c. Серед переваг даного методу слід відзначити простоту та надійність. Послідовність наближень збігається до кореня (рис.) для довільних неперервних функцій f(x).

До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу (збіжність цього методу знаменником (рис.) та неможливість безпосереднього узагальнення методу на системи нелінійних рівнянь. Розглянутий метод можна використовувати як метод розв’язування рівняння заданою точністю. По суті досить трудомістким, але його можна успішно використовувати на ЕОМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80880. Основы государственной и муниципальной социальной политики 46.75 KB
  Одной из главных задач органов местного самоуправления является формирование и реализация муниципальной социальной политики. Муниципальная социальная политика это система целей задач и механизмов их реализации направленных на обеспечение населения социальными услугами на содержание и развитие социальной сферы муниципального образования.соцполитику реализуются как собственные полномочия МС так и переданные на муниципальный уровень государственные полномочия в социальной сфере.
80881. Муниципальное регулирование занятости и трудовых отношений 45.99 KB
  Проблема муниципального регулирования занятости населения. Сложность муниципального регулирования вопросов занятости состоит в том что основное правовое регулирование этих вопросов относится к сфере федерального и регионального законодательства и реализуется через территориальные структуры федеральной службы занятости. Государственная политика и разграничение полномочий в сфере занятости.
80882. Муниципальная жилищная политика 45.91 KB
  Отсутствие жилья и плохие жилищные условия одна из главных причин снижения рождаемости семейных конфликтов детской беспризорности. в которой указаны основные задачи в области обеспечения доступности жилья и жилищного строительства разграничены функции федерального центра регионов и муниципалитетов в жилищной сфере. С начала перехода к рыночным отношениям основная часть государственного жилья в нашей стране была передана в муниципальную собственность включая ведомственный жилищный фонд передававшийся в процессе приватизации...
80883. Критерии и показатели эффективности муниципального управления 44.98 KB
  Поскольку генеральной целью муниципальной деятельности является повышение качества жизни населения на территории муниципального образования данный показатель в динамике мог бы выступать в качестве обобщающего критерия эффективности муниципального управления. Сложность выработки и измерения достаточно объективных показателей эффективности муниципального управления определяется:спецификой муниципального образования как сложного объекта управления имеющего иерархическую структуру;трудностями формализованного описания социальноэкономических...
80884. Муниципальное управление образованием 45.16 KB
  Муниципальная политика в сфере образования строится на основе гос. политики базирующейся на принципах: гуманистический характер образования приоритет общечеловеческих ценностей жизни и здоровья человека свободного развития личности; общедоступность образования адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития и подготовки обучающихся воспитанников; светский характер образования в госных и муных образовательных учреждениях; свобода и плюрализм в образовании. актами определяющими задачи ОМС в области образования...
80885. Основы муниципальной молодежной политики 45.24 KB
  Цели и задачи государственной и муниципальной молодежной политики Муниципальная молодежная политика совокупность целей и мер по их реализации принимаемых ОМС в целях создания и обеспечения условий и гарантий для самореализации личности молодого человека и развития молодежных объединений движений и инициатив. Эта политика осуществляется на основе нормативных правовых актов представительных ОМС и в русле госной молодежной политики придавая ей логическую стройность системный и целостный характер и делая демократичными механизмы ее...
80886. Муниципальная экономика и модели муниципального хозяйства 43.46 KB
  Это объясняется тем что объекты муниципальной собственности могут быть бюджето-наполняющими приносящими доходы в бюджет и бюджето-поглощающими не приносящими доходов в бюджет или требующими бюджетных средств на их содержание в размере превышающем получаемый доход. Поэтому ключевая задача муниципальной экономической политики состоит в оптимизации соотношений между объемом бюджетных услуг и потребностью в имуществе и в финансовых средствах. Конкурентный рынок муниципальных услуг настолько развит что задачей муниципальной власти является...
80887. Порядок формирования и организация работы представительного органа местного самоуправления 43.11 KB
  ПО МС может осуществлять свои полномочия в случае избрания не менее двух третей от установленной численности депутатов. Заседание его не может считаться правомочным если на нем присутствует менее 50 от числа избранных депутатов. ПО поселения состоит из депутатов избираемых на муниципальных выборах. ПО муниципального района: 1 может состоять из глав поселений входящих в состав муниципального района и из депутатов ПО указанных поселений избираемых ПО поселений из своего состава в соответствии с равной независимо от численности населения...
80888. Организационная структура местной администрации 46.1 KB
  Организационная структура местной администрации. В современной муниципальной практике типичными звеньями организационной структуры местной администрации являются: глава администрации; его заместители по сферам муниципальной деятельности среди которых могут быть один или два первых заместителя; структурные подразделения различных типов которые могут находиться в подчинении главы администрации одного из его заместителей или в соподчинении между собой например отдел в составе управления; коллегиальные совещательные органы: коллегия...