20479

Графічний метод відокремлення коренів

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. Проте слід памятати що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик. Слід аналізувати три можливості що можуть виникнути а саме: Якщо рис.

Украинкский

2013-07-25

39.5 KB

3 чел.

Графічний метод відокремлення коренів.

Корінь рівняння  число, яке після підстановки його в рівняння замість невідомого обертає рівняння в тотожність. Знаходження коренів рівнянь – одна з найдавніших математичних проблем, яка не втратила актуальності в наш час.

Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Нерідко розв’язується задача про знаходження всіх коренів алгебраїчного многочлена.

Процес відокремлення коренів полягає в тому, щоб встановити розміщення «тісних» проміжків, на яких знаходиться лише один корінь рівняння. Розглянемо два найбільш поширені методи: Графічний метод відокремлення коренів полягає в тому, що коренем є точка перетину графіка з віссю ОХ. Достатньо побудувати графік і відмітити на ОХ відрізки, що містять один корінь. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. В цьому випадку до уваги береться умова, що на досліджуваному відрізку функція неперервна. Починаючи з точки x_0 і рухаючись вправо заданим кроком. Як тільки знайдеться пара сусідніх значень, що мають різні знаки (сама функція на цьому відрізку монотонна), значення аргументу (попереднє і наступне) можна вважати кінцями відрізка, який містить корінь. В даному випадку слід взяти до уваги, що надійність запропонованого методу суттєво залежить від вибору довжини кроку. Дійсно, якщо при досить малому кроку на кінцях відрізка функція набуває значення одного знаку, природно очікувати, що рівняння коренів не має. Проте слід пам’ятати, що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик.

Метод ділення відрізка навпіл (метод дихотомії, або метод Больцано).

Алгоритм методу.

Одним з ітераційних методів є метод ділення відрізка навпіл (дихотомії).

Теоретичне обґрунтування методу

Теорема Больцано-Коші: Якщо функція f(x) на кінцях приймає значення різних знаків: f(a)*f(b)<0, то тоді є таке значення x=c, що f(c)=0; c([a,b], причому корінь буде єдиним, якщо похідна на розглянутому інтервалі не знак.

На першому етапі повинен бути знайдений відрізок такий, що. Оскільки графік неперервної функції є неперервним, перетинає вісь в точці, яка належить зазначеному інтервалу.

(а) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання справа. (b) якщо f(a) та f(с) мають протилежні знаки, то виконувати стискання зліва.

Метод ділення навпіл зсовує крайні точки все ближче ближче, до тих пір поки на інтервалі не отримаємо якзавгодно малий відрізок, який містить нульфункції. Вірішуючим кроком процесу ділення інтервалу навпіл є вибір середньої точки. Слід аналізувати три можливості, що можуть виникнути, а саме: Якщо (рис.) та (рис.) мають різні знаки, нуль лежить на інтервалі (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки, нуль лежить на інтевалі (рис.) Якщо (рис.) отже, нулем точка з абсцисою (рис.) В будь-якому з двох перших випадків ми розглядаємо половину інтервала як початковий інтервал, який містить корінь, «стискаємо» його. Продовжуємо процес до тих пір, поки інтервал не стане настільки малим, наскільки необхідно. Таким чином, процес ділення навпіл включає послідовність вкладених інтервалів середніх точок. Побудована послідовність (рис.) (рис.) збіжна при (рис.) до (рис.) Теорема (про ділення відрізка пополам): Припустимо, що (рис.) таке число (рис.) що (рис.) Якщо (рис.) та (рис.) мають знаки (рис.) предавляє послідовність середніх точок, отриманих результаті ділення пополам, то (рис.) для (рис.) значить послідовність (рис.) збігається до нуля (рис.) тобто (рис.) Доведення: оскільки нуль функції середня точка належать інтервалу (рис.) відстань ними не може бути більшою подовини довжини цього інтервалу. Тому (рис.) для всіх (рис.)

Слід мати на увазі, що настуані один за одним інтервали утворюють послідовність (рис.) (рис.) Методом математичної нескладно довести істинність формули (рис.) для всіх (рис.) Таким чином, можна зробити висновок, що кількість ітерацій. необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (2.1) з заданою точністю ( задовольняє співвідношенню (рис.) де [c] ( ціла частина числа c. Серед переваг даного методу слід відзначити простоту та надійність. Послідовність наближень збігається до кореня (рис.) для довільних неперервних функцій f(x).

До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу (збіжність цього методу знаменником (рис.) та неможливість безпосереднього узагальнення методу на системи нелінійних рівнянь. Розглянутий метод можна використовувати як метод розв’язування рівняння заданою точністю. По суті досить трудомістким, але його можна успішно використовувати на ЕОМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47607. ВОПРОСЫ СТИЛИСТИКИ 913 KB
  Статьи из городов России Саратов Волгоград СанктПетербург Екатеринбург Польши США представляют разные аспекты антропоцентрических исследований связанных как с общими вопросами лингвистики риторики и стилистики так и с проявлениями антропоцентризма в изучении обиходнобытового публичного общения и художественной речи. например: Дементьев Седов 1998; Жанры речи 1997; 1999; Седов 1998а; 1998б; 1999; Федосюк 1997; Шмелева 1997; и др. Здесь мы выделяем два типа информативной речи две глобальные стратегии построения дискурса:...
47608. Общие правила исполнения обязанности по уплате налогов и сборов 71.69 KB
  Некоторые авторы предлагают в качестве категории, равнозначной налоговой обязанности, использовать налоговое обязательство. Полагаем, с такой позицией нельзя согласиться. Термин «обязательство» имеет ярко выраженную частноправовую природу и основывается на свободно выраженном волеизъявлении лица тем или иным образом (по своему усмотрению)
47610. ИЗУЧЕНИЕ ЛИЧНОСТИ ШКОЛЬНИКА 1.2 MB
  Программы наблюдения за особенностями направленности характера темперамента школьника. ВВЕДЕНИЕ Настоящие рекомендации предназначены для школьных психологов и студентов пединститута проходящих педагогическую практику в школе и выполняющих задание по изучению личности школьника. Изучение личности школьника следует проводить в естественных условиях.
47611. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ 3.58 MB
  Хранение и обработка информации в базах данных. Работа с системами управления базами данных ccess.8 Обработка и хранение экономической информации в базах данных 52 4 4 28 16 18 3 Раздел 3.8 Обработка и хранение экономической информации в базах данных 52 2 6 12 20 44 3 Раздел 3.
47612. Сравнительная педагогика: Учебное пособие 1.72 MB
  Проблема демократизации школы. Реформы высшей школы. Экспериментальные школы. В пособии дан сравнительный анализ основных процессов школьного образования и воспитания в современном мире в нем представлены разнообразные материалы о современном состоянии школы и педагогики ведущих стран мира Адресованное студентам средних и высших педагогических учебных заведений пособие может быть полезно также работникам школьных учреждений и ведомств всем кто интересуется развитием образования и воспитания в современном мире.
47613. МЕТОДОЛОГИЯ СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ SADT 1.17 MB
  Использование экспертных систем, языков четвертого поколения и систем автоматизированного производства постоянно расширяется. Успех этих систем непосредственно зависит от нашей способности предварить их разработку и внедрение описанием всего комплекса проблем...
47615. Организационно-экономическое обоснование научных и технических разработок 481 KB
  Техническое нормирование Расчет количества оборудования и производственных площадей. Организация труда на участке Организация ремонта оборудования. Расчет и составление сметы расходов на содержание и эксплуатацию оборудования. Расчёт количества оборудования и производственных площадей...