20489

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Ітераційними називають такі методи які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами крім похибок округлення треба враховувати також похибку методу....

Украинкский

2013-07-25

78 KB

0 чел.

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду.

Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень, а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати також похибку методу. До ітераційних належать метод ітерації, метод Зейделя тощо.

Означення 1. У загальному випадку систему m лінійних рівнянь з n невідомими записують так:

  (1)

де невідомі  і коефіцієнти

Основна матриця цієї системи

і розширена

Означення 2. Вектор (а1,…, аn)є Fп називається розв'язком системи рівнянь (1), якщо вірні рівності

аі1а1і2а2+ … +аіnаn=bі (і = 1,…, т).


Означення 3.
Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч один розв'язок. Система (1) називається несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Очевидно, що рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, задовольняє будь-який вектор а=(а1, а2,…, аn), а рівняння 0 • х, + 0 • х2 +… + 0 • хn =b, де b  0 не задовольняють компоненти жодного вектора а = (а1, а2,…, ап). Таким чином, якщо система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, то його можна опустити, оскільки воно не впливає на сумісність системи (1).

Якщо ж система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn = b, де b  0, то вона несумісна.

Отже, система (1) може бути несумісною, якщо вона не має розв'язків, або сумісною і мати один або безліч розв'язків.

Щоб розв'язати систему (1) або встановити її несумісність, треба спробувати звести її до трикутної або ступінчастої системи.

Означення 3. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожен розв'язок однієї системи є розв'язком другої системи і навпаки.

Означення 4. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

  1.  заміна місцями двох рівнянь;
  2.  викреслювання рівняння виду: 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0;
  3.  множення обох частин рівняння на   0;
  4.  додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, помножених на .

Теорема. При кожному елементарному перетворенні системи лінійних рівнянь одержується система лінійних рівнянь, рівносильна початковій системі.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими


.

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю через .

Можливі три такі випадки:

– ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0; y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

– ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1; b1) та (a2; b2) – лінійно залежними. Рівняння системи це – дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

– ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими

.

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

  •  усі три площини перетинаються в одній точці (x0; y0; z0). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0; y0; z0);
  •  усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;
  •  хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими

Можливі лише такі випадки:

  •  дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система розв’язків не має;
  •  обидві площини співпадають. Вектори (a1; b1; c1; d1) та (a2; b2; c2; d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;
  •  площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими – означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему

Перенесемо змінну x у праву частину: .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

-8y = 32–4x

Розв’язуючи отриману систему , знаходимо:

y = (1/2) x-4; z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд

{(x; -4+0,5x; 7)|xR}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел

(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7), а при x=5 – (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не може бути.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46563. Контроль и учет успеваемости учащихся на уроках изобразительного искусства. Отметка и оценка. Критерии оценки 20.21 KB
  Наряду с восприятием памятью и мышлением важную роль в деятельности человека играет воображение. Воображение это психический познавательный процесс создания новых представлений на основе имеющегося опыта то есть процесс преобразующего проецирования действительности. Воображение – это образное конструирование содержания понятия о предмете или проектирование схемы действий с ним еще до того как сложится само понятие а схема получит отчетливое верифицируемое и реализуемое в конкретном материале выражение. Будучи теснейшим образом...
46564. Методы и средства пожаротушения 20.24 KB
  Существенные перспективы повышения эффективности средств пожаротушения создают комбинированные составы вода со смачивателями инертными порошками и газами. К первичным средствам пожаротушения относятся огнетушители гидропомпы бочки ведра с водой ящики с песком кошмы маты и т. К основным средствам пожаротушения относят автоцистерны с без лафетного ствола пожарные насосы различные стационарные установки пожаротушения.
46565. Основные дидактические принципы методики обучения ИЗО в школе. Художественная педагогика и ее принципы 20.26 KB
  е всестороннее развитие и воспитание учащихся средствами пластических искусств принцип научности системности и последовательности в обучение использ знание законов композиции теории перспективы теории цветоведенья т. Воспитание как общественное и историческое явление. Воспитание – целенаправленный процесс формирования личности с помощью специально организованных педагогических воздействий в соответствии с определенным социальнопедагогическим идеалом.Воспитание как общественное явление характеризуется следующими основными чертами...
46566. Подготовка учителя к уроку изобразительного искусства. Конспект урока и способы его оформления 20.35 KB
  Вывод: подготовка учителя к уроку ИЗО позволяет: четко осознать цель стратегические и тактические задачи; целенаправленно разработать содержание и выбрать средства организационные формы работы; спрогнозировать результаты своей деятельности. В рамках учебной деятельности складываются психологические новообразования характеризующие наиболее значимые достижения в развитии младших школьников и являющиеся фундаментом обеспечивающим развитие на следующем возрастном этапе. Усвоение в ходе учебной деятельности основ теоретического сознания...
46567. Теоретические основы композиции и тематическое рисование на уроках изобразительного искусства 20.37 KB
  Теоретические основы композиции и тематическое рисование на уроках изобразительного искусства. Обучение теоретическим основам композиции подразумевает знакомство с законами композиции средствами: ритм динамич. Формы композиции: 1. Признаки композиции.
46568. Острый мастит. Классификация. Клиника, диагностика, дифференциальная диагностика. Лечение. Показания к операции 20.39 KB
  Эхинококковые кисты печени растут очень медленно хотя иногда достигают огромных размеров и содержат 10 л и более жидкости. Чаще они бывают одиночными и локализуются в правой доле печени по встречаются и множественные кисты. Состояние больных обычно не нарушается; II стадия наблюдаются различные симптомы связанные с увеличением размеров растущей кисты оказывающей давление па окружающие органы. У ряда больных прощупывается опухолевидное образование в верхней половине живота или увеличение печени; III стадия возникают симптомы...
46569. Формирование гражданского общества в России 20.46 KB
  Зачатки гражданского общества в России начали складываться во второй половине ХIХ столетия в результате реформ Александра II отмена крепостного права реформа местного самоуправления судебная административная и другие реформы. Все это ускорило необходимые процессы модернизации русского общества. С развитием буржуазных отношений формируются крупные промышленные предприятия банки и другие субъекты капиталистических отношений что создало экономическую основу гражданского общества.
46570. Термінологічні словники як основне джерело фахової інформації 20.5 KB
  Термінологічні словники як основне джерело фахової інформації. Особливу категорію складають термінологічні словники це словники які включають терміни що стосуються окремої галузі знань або навіть певної теми та їх пояснення Словник термінів теорії груп.
46571. Особенности проблемного обучения изобразительному искусству 20.55 KB
  Особенности проблемного обучения изобразительному искусству. План: понятие ПО Проблемная ситуация и пробл вопрос проблемные задачи по изо структура проблемного урока классификация метолов обучениявывод 1Проблемное обучение это тип развивающего обучения в котором сочетается систематическая самостоятельная поисковая деятельность учащихся с усвоением ими готовых выводов науки. 3 учебнопознавательные задачи приемытехники изображ предмета 4 Структура процесса проблемного обучения представляет собой систему связанных между собой и...