20489

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Ітераційними називають такі методи які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами крім похибок округлення треба враховувати також похибку методу....

Украинкский

2013-07-25

78 KB

2 чел.

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду.

Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень, а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати також похибку методу. До ітераційних належать метод ітерації, метод Зейделя тощо.

Означення 1. У загальному випадку систему m лінійних рівнянь з n невідомими записують так:

  (1)

де невідомі  і коефіцієнти

Основна матриця цієї системи

і розширена

Означення 2. Вектор (а1,…, аn)є Fп називається розв'язком системи рівнянь (1), якщо вірні рівності

аі1а1і2а2+ … +аіnаn=bі (і = 1,…, т).


Означення 3.
Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч один розв'язок. Система (1) називається несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Очевидно, що рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, задовольняє будь-який вектор а=(а1, а2,…, аn), а рівняння 0 • х, + 0 • х2 +… + 0 • хn =b, де b  0 не задовольняють компоненти жодного вектора а = (а1, а2,…, ап). Таким чином, якщо система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, то його можна опустити, оскільки воно не впливає на сумісність системи (1).

Якщо ж система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn = b, де b  0, то вона несумісна.

Отже, система (1) може бути несумісною, якщо вона не має розв'язків, або сумісною і мати один або безліч розв'язків.

Щоб розв'язати систему (1) або встановити її несумісність, треба спробувати звести її до трикутної або ступінчастої системи.

Означення 3. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожен розв'язок однієї системи є розв'язком другої системи і навпаки.

Означення 4. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

  1.  заміна місцями двох рівнянь;
  2.  викреслювання рівняння виду: 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0;
  3.  множення обох частин рівняння на   0;
  4.  додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, помножених на .

Теорема. При кожному елементарному перетворенні системи лінійних рівнянь одержується система лінійних рівнянь, рівносильна початковій системі.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими


.

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю через .

Можливі три такі випадки:

– ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0; y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

– ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1; b1) та (a2; b2) – лінійно залежними. Рівняння системи це – дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

– ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими

.

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

  •  усі три площини перетинаються в одній точці (x0; y0; z0). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0; y0; z0);
  •  усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;
  •  хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими

Можливі лише такі випадки:

  •  дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система розв’язків не має;
  •  обидві площини співпадають. Вектори (a1; b1; c1; d1) та (a2; b2; c2; d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;
  •  площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими – означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему

Перенесемо змінну x у праву частину: .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

-8y = 32–4x

Розв’язуючи отриману систему , знаходимо:

y = (1/2) x-4; z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд

{(x; -4+0,5x; 7)|xR}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел

(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7), а при x=5 – (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не може бути.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69541. Складні речовини. Основні класи неорганічних сполук. Оксиди, їх склад, назва, визначення. Фізичні властивості 71 KB
  Ознайомити учнів з основними класами неорганічних сполук; складом, фізичними властивостями оксидів, та їх класифікацію; вдосконалювати вміння складати формули бінарних сполук.; виробляти вміння складати генетичні ряди.
69542. Конспекти уроків з технології 11 клас 655 KB
  Професійна діяльність і професійне самовизначення. Проектування як складова сучасного виробництва в життєдіяльності людини. Методи творчого та критичного мислення в проектній технології. Раціоналізаторські пропозиції – рушійна сила розвитку виробництва...
69543. Методологія і організація наукових досліджень 483 KB
  Наукове дослідження – це процес генерування нових наукових знань, тобто процес вивчення певного об’єкта (процесу або явища) з метою встановлення закономірностей його виникнення, розвитку і перетворення для раціонального використання у практичній діяльності людей.
69544. Методы прогнозирования и принятия решений, курс лекций 1.49 MB
  В курсе лекций показаны роль и место управленческих решений в функционировании организаций, методология и технология процесса разработки управленческих решений, классификация и типология управленческих решений, качество и эффективность управленческих решений, роль и методология прогнозирования в процессе принятия решений.
69545. Основы управления интеллектуальной собственностью, курс лекций 365.5 KB
  Интеллектуальная собственность в последнее время стала одной из основных движущих сил развития общества. В большинстве стран мира сложилась крупная отрасль общественного производства – экономика интеллектуальной собственности.
69546. Соціологія, курс лекцій 1.25 MB
  Вивчення даного курсу допоможе сформувати у майбутніх фахівців соціологічне мислення і культуру, надасть їм необхідну допомогу в розумінні сутності й змісту складних соціологічних явищ і процесів, що відбуваються в сучасному ринковому суспільстві
69547. Видоутворення: основні способи і значення 125.5 KB
  Видоутворення – еволюційний процес утворення нових біологічних видів (з предкового). Вперше термін «видоутворення» або «кладогенез» був введений біологом Оратором Куком. З генетичної точки зору видоутворення - це процес перетворення генетично відкритих систем (внутрішньовидові форми) в генетично закриті (види).
69548. Функции и виды конфликтов 89.5 KB
  Конфликт часто сопровождается стрессом. При частых и эмоциональных напряженных конфликтах резко возрастает вероятность сердечно-сосудистых заболеваний, а также хронических нарушений функционирования желудочно-кишечного тракта.
69549. ГАЛЬВАНОМАГНІТНІ ЕФЕКТИ 530.5 KB
  Реакція твердих тіл, що проводять струм, на одночасну дію електричного і магнітного полів різноманітна. Можна спостерігати порушення електронейтральності, зміну провідності, виникнення градієнтів температури та ін.