20489

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Ітераційними називають такі методи які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами крім похибок округлення треба враховувати також похибку методу....

Украинкский

2013-07-25

78 KB

0 чел.

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду.

Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень, а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати також похибку методу. До ітераційних належать метод ітерації, метод Зейделя тощо.

Означення 1. У загальному випадку систему m лінійних рівнянь з n невідомими записують так:

  (1)

де невідомі  і коефіцієнти

Основна матриця цієї системи

і розширена

Означення 2. Вектор (а1,…, аn)є Fп називається розв'язком системи рівнянь (1), якщо вірні рівності

аі1а1і2а2+ … +аіnаn=bі (і = 1,…, т).


Означення 3.
Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч один розв'язок. Система (1) називається несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Очевидно, що рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, задовольняє будь-який вектор а=(а1, а2,…, аn), а рівняння 0 • х, + 0 • х2 +… + 0 • хn =b, де b  0 не задовольняють компоненти жодного вектора а = (а1, а2,…, ап). Таким чином, якщо система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, то його можна опустити, оскільки воно не впливає на сумісність системи (1).

Якщо ж система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn = b, де b  0, то вона несумісна.

Отже, система (1) може бути несумісною, якщо вона не має розв'язків, або сумісною і мати один або безліч розв'язків.

Щоб розв'язати систему (1) або встановити її несумісність, треба спробувати звести її до трикутної або ступінчастої системи.

Означення 3. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожен розв'язок однієї системи є розв'язком другої системи і навпаки.

Означення 4. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

  1.  заміна місцями двох рівнянь;
  2.  викреслювання рівняння виду: 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0;
  3.  множення обох частин рівняння на   0;
  4.  додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, помножених на .

Теорема. При кожному елементарному перетворенні системи лінійних рівнянь одержується система лінійних рівнянь, рівносильна початковій системі.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими


.

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю через .

Можливі три такі випадки:

– ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0; y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

– ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1; b1) та (a2; b2) – лінійно залежними. Рівняння системи це – дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

– ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими

.

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

  •  усі три площини перетинаються в одній точці (x0; y0; z0). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0; y0; z0);
  •  усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;
  •  хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими

Можливі лише такі випадки:

  •  дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система розв’язків не має;
  •  обидві площини співпадають. Вектори (a1; b1; c1; d1) та (a2; b2; c2; d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;
  •  площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими – означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему

Перенесемо змінну x у праву частину: .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

-8y = 32–4x

Розв’язуючи отриману систему , знаходимо:

y = (1/2) x-4; z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд

{(x; -4+0,5x; 7)|xR}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел

(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7), а при x=5 – (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не може бути.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80459. WE ARE AT HOME 60 KB
  It is Sunday today. Mrs. Black usually gets up at 8 o’clock and does the cooking breakfast. Kate does the washing up after breakfast. Then Mr. Black and Kate go shopping. They have a dog. Kate walks the dog every day but she never feeds it. Father does it.
80460. Смаки і захоплення 188 KB
  Смаки і захоплення. Вчити учнів розкривати позитивний образ Я; відрізняти здорові і шкідливі захоплення; показати різноманітність смаків і захоплень учнів класу; виховувати здоровий спосіб життя. Повідомлення теми і завдань уроку Кожна людина – це неповторна особистість у якої свої погляди смаки і захоплення.
80461. Множення й ділення круглих чисел 200 KB
  Сучасні підходи до вивчення математики в початковій школі передбачають розвиток уваги спостережливості образного і логічного мислення формують особисті якості дитини: зібраність організованість здатність швидко та якісно приймати рішення доводити і відстоювати свою думку.
80462. Різноманітність тваринного світу. Інтегрований урок (природознавство, математика, трудове навчання) 299.5 KB
  Учити розрізняти групи тварин: хребетні безхребетні; формувати вміння визначити істотні ознаки тварин. Закріплювати знання нумерації багатоцифрових чисел: читати записувати представляти число у вигляді суми розрядних доданків; удосконалювати обчислювальні навички вміння розв’язувати задачі та знаходження...
80463. Київ – столиця України 49 KB
  Мета. Поглиблювати інтерес до історії рідного краю, знайомити дітей з витоками історії українського народу. Формувати знання про Київську Русь, місто Київ, його заснування. Познайомити дітей з визначними місцями столиці. Розвивати вміння фантазувати; прогностичне мислення.
80464. Колір як засіб передавання характеру образу 58.5 KB
  Продовжити знайомити учнів із виражальними можливостями кольорів; учити правильно добирати кольори і створювати засобами кольору певний за характером образ; розвивати фантазію уміння орієнтуватись в мікропросторі зорове сприймання уміння добирати кольори для передавання настрою емоцій...
80465. Тяжко тому жити, хто не хоче робити. Л. Глібов «Коник-стрибунець» 134.5 KB
  Мета: поглибити знання учнів про особливості байок закріпити знання поняття байка байкар розширити знання учнів про життя та творчість Л.Глібова малюнки коника мурашки картки Друкар; дитячі книги з творами Л.Глібова Коник-стрибунець мультиплікаційний фільм аудіо відеоматеріали.
80466. Будь обережним на кризі. Письмовий переказ тексту за складеним планом 43.5 KB
  Мета: вдосконалювати вміння учнів переказувати текст, а також письмово відтворювати зміст прочитаного; збагачувати мовлення учнів новими словами й образними висловами; розширити уявлення про небезпеку, що очікує на льоду, виховувати розуміння необхідності дотримуватись правил безпеки взимку...
80467. Кількість елементів множини. Число 0 81.5 KB
  Мета: виробляти в учнів навички лічби; вчити порівнювати предметні множини за кількістю елементів; визначати спільні ознаки об’єктів множини, розпізнавати елементи множини; Формувати поняття числа; ознайомити учнів з числом і цифрою 0. Розвивати уяву, математичне та логічне мислення...