20489

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Ітераційними називають такі методи які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами крім похибок округлення треба враховувати також похибку методу....

Украинкский

2013-07-25

78 KB

0 чел.

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду.

Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень, а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати також похибку методу. До ітераційних належать метод ітерації, метод Зейделя тощо.

Означення 1. У загальному випадку систему m лінійних рівнянь з n невідомими записують так:

  (1)

де невідомі  і коефіцієнти

Основна матриця цієї системи

і розширена

Означення 2. Вектор (а1,…, аn)є Fп називається розв'язком системи рівнянь (1), якщо вірні рівності

аі1а1і2а2+ … +аіnаn=bі (і = 1,…, т).


Означення 3.
Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч один розв'язок. Система (1) називається несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Очевидно, що рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, задовольняє будь-який вектор а=(а1, а2,…, аn), а рівняння 0 • х, + 0 • х2 +… + 0 • хn =b, де b  0 не задовольняють компоненти жодного вектора а = (а1, а2,…, ап). Таким чином, якщо система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, то його можна опустити, оскільки воно не впливає на сумісність системи (1).

Якщо ж система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn = b, де b  0, то вона несумісна.

Отже, система (1) може бути несумісною, якщо вона не має розв'язків, або сумісною і мати один або безліч розв'язків.

Щоб розв'язати систему (1) або встановити її несумісність, треба спробувати звести її до трикутної або ступінчастої системи.

Означення 3. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожен розв'язок однієї системи є розв'язком другої системи і навпаки.

Означення 4. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

  1.  заміна місцями двох рівнянь;
  2.  викреслювання рівняння виду: 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0;
  3.  множення обох частин рівняння на   0;
  4.  додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, помножених на .

Теорема. При кожному елементарному перетворенні системи лінійних рівнянь одержується система лінійних рівнянь, рівносильна початковій системі.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими


.

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю через .

Можливі три такі випадки:

– ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0; y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

– ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1; b1) та (a2; b2) – лінійно залежними. Рівняння системи це – дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

– ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими

.

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

  •  усі три площини перетинаються в одній точці (x0; y0; z0). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0; y0; z0);
  •  усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;
  •  хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими

Можливі лише такі випадки:

  •  дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система розв’язків не має;
  •  обидві площини співпадають. Вектори (a1; b1; c1; d1) та (a2; b2; c2; d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;
  •  площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими – означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему

Перенесемо змінну x у праву частину: .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

-8y = 32–4x

Розв’язуючи отриману систему , знаходимо:

y = (1/2) x-4; z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд

{(x; -4+0,5x; 7)|xR}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел

(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7), а при x=5 – (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не може бути.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54826. МИР У ВСЬОМУ СВІТІ 73 KB
  Preparation: To create props for the assembly, which say: «To Peace in the world» and «People become terrorists because…», and will be displayed on the stage of the Assembly Hall. Pictures about terrorism will be displayed on the screen. Materials needed: Multimedia equipment, notebook, cards with the songs and poems about «To Peace in the world»
54827. Основні складові трудової діяльності дошкільників 50.5 KB
  Сьогодні ми знову зібралися для того щоб поговорити про дуже важливу проблему трудове виховання дітей дошкільного віку. Щоб поліпшити його необхідно переглянути систему знань про працю дорослих членів суспільства які отримують діти змінити ставлення до людей праці і сформувати у дітей працелюбність як одну з базових якостей особистості. Знання стимулюють розвиток моральних почуттів дітей та спонукають їх до діяльності. Залишаючись актуальною протягом всієї історії розвитку людства проблема трудового...
54828. Педагогіка орієнтована на дитину 89.5 KB
  Що мається на увазі під поняттям діти с особливими потребами Це діти які в силу різних причин потребують посиленої уваги педагогів що здійснюють навчання виховання соціальну підтримку цих дітей тобто діти яких природа позбавила можливості на достатньому рівні сприймати світ й відчувати свою належність до нього через хвороби вади чи патологічний стан. Сьогодні ми поділимося досвідом як проходить процес навчання та виховання таких дітей у нашому закладі: якою повинна бути звичайна освіта для особливих дітей. Тому сьогодні на...
54829. Методика преподавания режиссуры театрализованных представлений и праздников на примере темы: «Приемы активизации аудитории» 36 KB
  Учебнохудожественные задачи: познакомить с методами активизации испробовать методы на аудитории и проверить их эффективность.Основная часть: Назначение методов активизации аудитории привлечение внимания формирование интереса создание доверия возбуждение желания призыв к действию. Методы активизации аудитории подсадка.
54830. Эластичность спроса на ресурсы. Факторы эластичности спроса на ресурсы 32.04 KB
  Если у ресурса много хороших заменителей, то эластичность спроса на него будет высокая, поскольку повышение цены заставит производителя резко сократить спрос и использовать альтернативные факторы производства. И наоборот, если у ресурса нет серьезных заменителей...
54831. Видатні педагоги про збереження здоров’я дитини 269.5 KB
  Але для того щоби насолоджуватися скарбами природи людина має бути здоровою сильною та розумною. Павлов Зміцнити здоровя людини в дитинстві не допустити щоб дитина вступила в юність кволою і млявою це означало дати їй усю повноту життєвих радощів В. Особливого значення набуває формування гармонійно розвиненої суспільно активної фізично досконалої здорової особистості.
54832. Современные педагогические инновации и их реализация 117 KB
  Философское понимание содержания инноваций лежит в создании нового продукта деятельности человека которая имеет общественную значимость и характеризуется двумя признаками: преобразованием явлений вещей процессов и др. обучение не только способствует образования но и формирует личность человека. Как важно в наше нелегкое время время разрушения всех идеалов и принципов сотворить из наших воспитанников человека. Рефреном звучат слова великого украинского педагога: В воспитании самого себя главное – это воля самого человека...
54833. Психологічний супровід учня при переході до школи ІІ ступеня 71.5 KB
  Мета: визначення ознак дезадаптації дітей у перехідний період; взаємодія та взаємне прийняття індивідуальних станів учителів початкової та середньої ланки; вміння формування здорового психологічного клімату у дитячому колективі; навчатися організаційних прийомів навчальних стратегій щоб допомогти учням які відчувають труднощі; формувати вміння вчителів злагоджено й ефективно працювати над виконанням творчого завдання. Завдання: визначити особисте бачення педагога відповідальності; визначити...
54834. Апаратне та програмне забезпечення ПЕОМ 1.33 MB
  Розроблена методика проведення сучасного проблемного лекційного заняття з елементами метода проектів ділової гри з використанням комп’ютерних презентацій створених студентами методів: мозкового штурму груповий метод генерації якомога більшої кількості можливих способів розв’язань особистої аналогії стратегія вирішення проблеми запропонована Гордоном де студент уявляє себе безпосереднім учасником проблеми що досліджується.Левченко ПЛАН ЗАНЯТТЯ Тема заняття: Апаратне та програмне забезпечення ПЕОМ Мета заняття: Дидактична: освоїти...