20489

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Ітераційними називають такі методи які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами крім похибок округлення треба враховувати також похибку методу....

Украинкский

2013-07-25

78 KB

0 чел.

Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду.

Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень, а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати також похибку методу. До ітераційних належать метод ітерації, метод Зейделя тощо.

Означення 1. У загальному випадку систему m лінійних рівнянь з n невідомими записують так:

  (1)

де невідомі  і коефіцієнти

Основна матриця цієї системи

і розширена

Означення 2. Вектор (а1,…, аn)є Fп називається розв'язком системи рівнянь (1), якщо вірні рівності

аі1а1і2а2+ … +аіnаn=bі (і = 1,…, т).


Означення 3.
Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч один розв'язок. Система (1) називається несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Очевидно, що рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, задовольняє будь-який вектор а=(а1, а2,…, аn), а рівняння 0 • х, + 0 • х2 +… + 0 • хn =b, де b  0 не задовольняють компоненти жодного вектора а = (а1, а2,…, ап). Таким чином, якщо система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0, то його можна опустити, оскільки воно не впливає на сумісність системи (1).

Якщо ж система (1) містить рівняння 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn = b, де b  0, то вона несумісна.

Отже, система (1) може бути несумісною, якщо вона не має розв'язків, або сумісною і мати один або безліч розв'язків.

Щоб розв'язати систему (1) або встановити її несумісність, треба спробувати звести її до трикутної або ступінчастої системи.

Означення 3. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожен розв'язок однієї системи є розв'язком другої системи і навпаки.

Означення 4. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

  1.  заміна місцями двох рівнянь;
  2.  викреслювання рівняння виду: 0 • х1+ 0 • х2 +… + 0 • хn =0;
  3.  множення обох частин рівняння на   0;
  4.  додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, помножених на .

Теорема. При кожному елементарному перетворенні системи лінійних рівнянь одержується система лінійних рівнянь, рівносильна початковій системі.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими


.

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю через .

Можливі три такі випадки:

– ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0; y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

– ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1; b1) та (a2; b2) – лінійно залежними. Рівняння системи це – дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

– ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a1; b1; c1) та (a2; b2; c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими

.

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

  •  усі три площини перетинаються в одній точці (x0; y0; z0). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0; y0; z0);
  •  усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;
  •  хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими

Можливі лише такі випадки:

  •  дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система розв’язків не має;
  •  обидві площини співпадають. Вектори (a1; b1; c1; d1) та (a2; b2; c2; d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;
  •  площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими – означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему

Перенесемо змінну x у праву частину: .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

-8y = 32–4x

Розв’язуючи отриману систему , знаходимо:

y = (1/2) x-4; z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд

{(x; -4+0,5x; 7)|xR}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел

(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7), а при x=5 – (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не може бути.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22986. Поняття про RISC-процесори. Процесори п’ятого та шостого поколінь 6.22 MB
  Процесори пятого та шостого поколінь Поняття про RISCпроцесори Якісний стрибок у розвитку мікропроцесорних систем відбувся з появою мікропроцесора 8086. Такі процесори і компютери дістали назву RISC процесорів та RISC компютерів на відміну від процесорів та компютерів зі складною системою команд Complex Instruction Set Computer CISC компютер. Перший €œсправжній€ RISC компютер було створено наприкінці 70х років в університеті Берклі.
22987. Діагностика несправностей у мікропроцесорних системах 739 KB
  Тут можна навести таку наочну аналогію: візьміть на сторінці друкованого тексту вертикальний рядок літер що розташовані одна над одною і спробуйте встановити зміст тексту. Тому третя трудність полягає у тому щоб будьякимсь чином представити інформацію що міститься у вихідному тестсигналі у компактній та зрозумілій формі по якій можна було б судити про справність або несправність пристрою що перевіряється. Тестпрограма повинна бути періодичною щоб можна було проконтролювати відтворюваність її результатів від кількох актів тестування....
22988. Декотріі принципи роботи сучасних мікропроцесорів та ЕОМ 1.54 MB
  Вони показують яка команда виконується до якої комірки памяті або зовнішнього пристрою звертається процесор і містять іншу важливу і вичерпну інформацію. Після того як у програмі дається сигнал €œвивільнити мікросхему€ вміст усіх регістрів переписується в область памяті що має назву сегмента стану задачі TSS Taske State Segment. При роботі у мультипрограмному режимі можуть виникати певні труднощі з використанням оперативної памяті котра стає тепер вже загальною для кількох задач. Можливі непередбачені ситуації коли одна програма...
22989. Віртуальна пам’ять. Мікропроцесор 80286 4.24 MB
  Мікропроцесор 80286 Як добре відомо процесор може безпосередньо працювати лише з тією інформацією яка записана в його оперативній памяті. Однак обєм оперативної памяті у сучасних ЕОМ порівняно невеликий і часто виявляється недостатнім для розвязання більшменш складних задач. Віртуальна організація памяті дає користувачеві практично необмежений обєм памяті.
22990. Артикуляційна база мови 33 KB
  Робота органів мовлення тобто сукупність їх порухів при вимові певного звука називається артикуляцією від лат. excursio вибігання вилазка або приступ початковий рух органів мовлення підготовка органів мовлення до вимови звука. culmen вершина або витримка поло' ження органів мовлення в момент вимовляння звуків. recursio повернення або відступ повернення органів мовлення у вихідне положення.
22991. Будова мовного апарату і функції його найважливіших частин 36 KB
  Мовленнєвий апарат І порожнина рота; II глотка фаринкс; III порожнина носа; IV гортань; 1 трахея; 2 голосова зв'язка; 3 неправдива голосова зв'язка; 4 щитовидний хрящ; 5 персневидний хрящ; 6 під'язикова кістка; 7 надгортанник; 8 язик; 9 тверде піднебіння; 10 м'яке піднебіння. Верхній поверх надставна порожнина її ще називають надставною трубою до якої належать порожнини глотки фаринкс рота і носа. Коли м'яке піднебіння опущене порожнина рота змикається з порожниною носа і частина повітря проходить...
22992. Акустичний аспект вивчення звукової будови мови 30.5 KB
  Акустичний аспект вивчення звукової будови мови Акустика розрізняє в звуках силу висоту довготу і тембр. Сила звука залежить від амплітуди розмаху коливання: чим більша амплітуда тим звук сильніший. Так скажімо що сильніше ударити по струні то більшою буде й амплітуда коливання і відповідно сила звука. Висота звука залежить від частоти коливань за одиницю часу: чим більша частота коливань тим вищий звук.
22993. Типологія наголосу в мовознавстві 38 KB
  Типологія наголосу в мовознавстві Наголос виділення в мовленні певної одиниці в ряду однорідних одиниць за допомогою фонетичних засобів. Залежно від того з якою сегментною одиницею функціонально співвідноситься наголос розрізняють словесний тактовий фразовий логічний і емфатичний наголос. Словесний наголос буває динамічним музикальним і кількісним. Динамічний силовий експіраторний наголос виділення вимова одного із складів слова такту більшою силою тобто сильнішим видихом струменя повітря.
22994. Інтонація, основні складники, функції 32 KB
  Інтонація основні складники функції Інтонація рух зміна динаміка тну що супроводжує висловлювання ритмікомелодійний малюнокмовлення. Інтонація складається з мелодики інтенсивності пауз темпу і тембру мовлення. Мелодика мовлення від гр. pausa припинення перерва у звучанні зупинка в потоці мовлення.