20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50171. Нечеткая логика 67.5 KB
  Согласно заданным вариантам разработать программу на любом алгоритмическом языке, способную: А. Различать степени изменения лингвистической переменной в трех степенях – «Очень – Нормально – Слабо» Б. Изменять порог чувствительности. Рано – пора вставать – Ой, проспал
50172. Программирование задач с использованием функций пользователя с параметрами и без параметров 41 KB
  Цель: Овладение навыками алгоритмизации и программирования задач с использованием функций пользователя как содержащих параметры так и не содержащих. Вычислить zсумму значений функций где А и b любые числа Вычислить zсумму значений функций где а а – любое число Вычислить zсумму значений функций где и b любые числа Вычислить z сумму значений функций где и b любые числа Контрольные вопросы: В чем заключаются различия между библиотечными функциями языка С и функциями которые вы пишите сами Чем отличаются...
50173. Изучение эффекта Холла 228 KB
  Плеханова технический университет Кафедра Общей и технической физики лаборатория электромагнетизма Изучение эффекта Холла Методические указания к лабораторной работе № 15 для студентов всех специальностей САНКТПЕТЕРБУРГ 2009 УДК 531 534 075. Определение постоянной Холла и концентрации носителей заряда для полупроводника из германия с проводимостью n – типа. Измерение индукции магнитного поля в зазоре электромагнита с помощью датчика Холла. Теоретические основы лабораторной работы Первые предложения по техническому использованию эффекта...
50174. Захист проти швидкого розгортання нападу, поступового розгортання нападу 24 KB
  Командна тактика в захисті зводиться до організації колективної взаємодії котра дає змогу успішно відбивати атаки суперника і після цього переходити в наступ. Якщо суперник починає активне маневрування потрібно щільно закрити своїх підопічних або протидіяти розвитку атаки в зонах. Якщо ж напад ведеться по флангу вони переміщуються в бік напрямку атаки. Гравці оборони концентруються в напрямку атаки чи розосередження нападників по фронту й активно беруть участь у боротьбі за м’яч з неодмінною організацією страховки.
50176. Национальная экономика 474.07 KB
  Национальная экономика — саморегулирующаяся система, состоящая из большого числа взаимосвязанных различных видов деятельности. Следовательно, она должна давать возможность участия людей в этом производстве и получения каждым человеком, соответствующего его вкладу, доле национального продукта и дохода.
50177. Нечеткая логика 67 KB
  Согласно заданным вариантам разработать программу на любом алгоритмическом языке, способную: А. Различать степени изменения лингвистической переменной в трех степенях – «Очень – Нормально – Слабо» Б. Изменять порог чувствительности. 1. Пояс – мини – миди (женские юбки)
50178. Программирование задач с использованием структур 38 KB
  Создать и ввести массив из структур типа student размер массива произвольный и выполнить задание согласно варианту: Распечатать анкетные данные студентов отличников. Распечатать анкетные данные студентов успевающих на 4 и 5. Распечатать анкетные данные студентов имеющих одну 3. Распечатать анкетные данные студентов имеющих двойки.