20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15770. Агрегатная форма общих индексов 28.55 KB
  Агрегатная форма общих индексов. Общие индексы вычисляют для сложных совокупностей состоящих из различных по натуральновещественной форме единиц. Общие индексы строятся различно для количественных качественных и результативных показателей. Исходной формой любого
15771. Взаимосвязь общих индексов и условия её осуществления 22.36 KB
  Взаимосвязь общих индексов и условия её осуществления. Между качественными количественными и результативными общими индексами существует взаимосвязь. Произ
15772. Взаимосвязь относительных величин 10.22 KB
  Взаимосвязь относительных величин. Между относительными показателями существует взаимосвязь. УплУ0=У1У0УплУ1 Основываясь на взаимосвязи по любым двум известным величинам при необходимости всегда можно определить третью неизвестную величину....
15773. Виды группировок. Определение числа групп, величины интервалов 20.26 KB
  Виды группировок. Определение числа групп величины интервалов В зависимости от решаемых задач выделяют следующие виды группировок: 1 типологическая 2 структурная 3 аналитическая. Типологическая группировка это разделение исследуемой качественно разнородной со
15774. Виды дисперсий и правило их сложения 24.79 KB
  Виды дисперсий и правило их сложения. Наряду с вариацией признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам на которые разделяются совокупность а также и между группами. Выделяют дисперсию общую ме
15775. Виды и способы отбора единиц из генеральной совокупности 21.31 KB
  Виды и способы отбора единиц из генеральной совокупности. Случайный отбор единиц в выборочную совокупность характеризуется следующим: отбор единиц производится из всей генеральной совокупности в целом; отбор единиц носит случайный характер и производится либ...
15776. Виды рядов динамики 11.68 KB
  Виды рядов динамики.Для отображения динамики строят ряды динамикихронологическиевременные которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя расположенных в хронологическом проядке.Существуют различные виды рядов динам...
15777. Виды статистического наблюдения 14.68 KB
  Виды статистического наблюдения. Статистическое наблюдение это массовое планомерное научно организованное наблюдение за явлениями социальной и экономической жизни которое заключается в регистрации отобранных признаков у каждой единицы совокупности. Примерами с
15778. Выбор средней величины в экономических расчётах 15.6 KB
  Выбор средней величины в экономических расчётах. В экономических расчётах наиболее часто используют средние арифметические и средние гармонические. Выбор того или иного вида средней зависит от исходных данных и исходного отношения логической словесной формулы сре