20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58554. Время. Единицы времени 61 KB
  Цели урока: Создать условия для формирования понятий: Время Единицы времени. Способствовать развитию навыков перевода из одних единиц времени в другие. Какие знаете вы Нет времени.
58555. Веселый урок математики 49.5 KB
  Ведущий: Ребята Сегодня у нас урок занимательной математики. Ведущий: Первого греческого ученого который начал рассуждать о математике звали Фалес. Ведущий: Ребята давайте поиграем в занимательную игру. Ведущий: №1.
58556. Способ сложения столбиком 47 KB
  Кто не сделал ни одной ошибки поставьте на полях Для чего мы выполняли эту работу Что общего в тематике этих задач Как мы должны относиться к животным Кому хочется больше узнать о животных Можно взять вот такие книги в библиотеке или почитать в читальном зале...
58557. Образование числа 7 55 KB
  Цель: образовательная: познакомить с образованием числа 7 и его составом из двух меньших; формировать навыки вычисления; продолжать учить решать задачи на нахождение суммы, разности двух чисел, составлять задачи по схемам, выражениям...
58558. Закрепление изученного материала по теме «Нумерация чисел больше 1000» 55 KB
  Цели: образовательные: закрепление знаний по нумерации чисел больше 1000; развивающие: развитие словесно-логического мышления, памяти, произвольного внимания, математической речи...
58559. Решение задач. Сказочный задачник по технологии ТРИЗ 49.5 KB
  Очень важно выложить задачу четко по предложениям. Необходимо отметить почему данный текст является задачей в задаче есть условие вопрос Так как мы решаем сказочную задачу замечаем почему данная задача называется сказочной в условии говорится о сказочном предмете совершается волшебство.
58560. Додавання і віднімання числа 7 із переходом через десяток. Складання і розв’язування задач за схематичними записами їх умов 43 KB
  МЕТА: Закріплювати вміння додавати і віднімати число 7 із переходом через десяток; учити учнів користуватися переставною властивістю при додаванні 57; вчити розвязувати задачі за схематичними записами їх умов...