20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82733. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБОРОТНЫХ СРЕДСТВ ОАО «ДЭП-12» 2.09 MB
  Цикл кругооборота оборотных средств это процесс смены их материально-вещественной формы который систематически повторяется. Кругооборот оборотных средств обусловлен сменой материально-вещественной формы активов в процессе обслуживания потребностей гостиничного предприятия по оказанию услуг.
82735. Расчет защиты трубопровода 190.67 KB
  Успешная защита трубопроводных систем от коррозии может быть осуществлена при своевременном обнаружении коррозионных разрушений, определении их величины и выборе защитных мероприятий. В начальный период эксплуатации состояние трубопровода определяется качеством проектирования и строительства.
82736. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ, ГЕНЕРИРУЮЩЕЙ ПАРОЛИ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ 817 KB
  Целью работы является разработка программы которая генерирует пароли пользователей с учетом количественных оценок стойкости пароля. В процессе курсового проектирования были рассчитаны количественные оценки стойкости пароля разработан алгоритм программы генерирующей пароли разработана...
82737. Проведение оценки двухкомнатной квартиры и расчет ее рыночной стоимости 1.67 MB
  Сейчас на рынке недвижимости в России представлены жилые квартиры и комнаты, офисные здания и помещения, здания производственного и торгового назначения, коттеджи, дачи и сельские дома с земельными участками. Также на рынке недвижимости уже есть и свободные земельные участки.
82738. Технология промывки песчаных пробок на скважинах Кульсаринского месторождения 1.08 MB
  В процессе эксплуатации нефтяных скважин в стволе образуются песчаные пробки, которые в ряде случаев доходят до интервалов перфорации эксплуатационной колонны и приводят к снижению дебита, а в ряде случаев к полному прекращению поступления жидкости из пласта.
82739. Скульптура на уроках образотворчого мистецтва в загальноосвітній школі 14.39 MB
  Особливості вивчення ліплення у початковій школі. Заняття ліпленням розвивають художній смак індивідуальність інтуїцію виховують організованість дисциплінованість і акуратність під час роботи з глиною і пластиліном і навіть вміння планувати творчий процес кожним учням.
82740. Определение рейтинга заемщика кредитной организации (на примере ОАО «Уралмашзавод») 1.15 MB
  Теоретическое обоснование необходимости и сущности определения рейтинга заемщика необходимость и сущность определения рейтинга заемщика источники аналитической информации для оценки финансовой устойчивости предприятия определение рейтинга заемщика кредитной организации расчет коэффициентов ликвидности...