20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63970. Повышению эффективности социальной работы ГКУ АО «Центр социальной поддержки населения Кировского района города Астрахани» 8.91 MB
  Тема дипломной работы является достаточно широко исследованной, но при этом остается постоянно актуальной, так как вопросы социальной защиты являются одними из базовых функций государства обеспечивающих его стабильность.
63971. Организации учета основных средств на ОАО «Вагонная ремонтная компания - 2» 231.53 KB
  В настоящее время из отраслей получающих значительные объемы бюджетных средств железнодорожный транспорт превратился в отрасль не только практически полностью самофинансирующуюся но и являющуюся одним из крупнейших доноров федерального бюджета пенсионного фонда местных бюджетных и внебюджетных фондов.
63972. Техника окрашивания омбре в салонных условиях 231.05 KB
  Для простоты восприятия приведем пример создания омбре по этой технике на натуральном цвете волос с переходом от натурального оттенка у корней к любому другому на кончиках. Нанесение краски на нижнюю часть всех волос. Реагент выдерживается на волосах максимально долго для создания интенсивного цвета.
63973. ОСОБЛИВОСТІ АДАПТАЦІЇ ОРГАНІЗМУ ПРИ ЦИКЛІЧНИХ ФІЗИЧНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ 373 KB
  В літературі зустрічається незначна кількість праць яка присвячена вивченню показників діяльності серця спортсменів в різні періоди тренувального циклу протягом року макроцикл.зацікавленість викликають дослідження функцій серця спортсменів які займаються циклічними видами спорту в різні етапи...
63974. Класифікація і специфіка використання ОЗП. Методи вимірювання опору, ємності, індуктивності, добротності 281.79 KB
  У мостових схемах опори вимірюють, порівнюючи величини вимірюваного опору з величиною зразкового опору шляхом порівняння падіння напруг на цих опорах. При роботі в електричних полях змінного струму у діелектриках виникають втрати потужності.
63975. Индивидуальный подход и особенности его реализации в обучении иностранным языкам 185.35 KB
  Современная образовательная ситуация характеризуется становлением гуманистической парадигмы предполагающей иные отличные от традиционных подходы к организации образовательного процесса основанные на концепции индивидуального подхода целеполаганием которого является обеспечение развития...
63976. ОРГАНИЗАЦИЯ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА УСЛОВИЯХ ФРАНЧАЙЗИНГА 33.98 MB
  Целью дипломной работы является проект по созданию ресторана «KFC» (Kentuсky Fried Chicken) в городе Иркутске с использованием методов экономического анализа, достижение поставленной цели предполагает необходимость решения следующих задач: изучить историю франчайзинга...
63977. Основные направления борьбы с коррупцией в таможенных органах на основе анализа международного опыта 680.5 KB
  Понятие коррупции и история ее возникновения в таможенных органах. Требования по предупреждению коррупционных правонарушений Основные направления по противодействию коррупции. Причины возникновения коррупции модели и индексы. Основные принципы противодействия коррупции.