20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23821. Спроектував програмний додаток, за допомогою якого можна проводити тестування знань в області міжнародних відносин 112 KB
  По завершенню ви можете переглянути остаточний результат Правила Label1. У якому році було засновано ООН Label2. у 1945 Label3. у 1946 Label4.
23822. Прикладна інформатика 334.5 KB
  030400 міжнародна інформація напрямку 0304 міжнародні відносини і має за мету надати студентам комплекс сучасних знань для розробки алгоритмів розв'язання задач та створювання власних додатків з використанням мови програмування Visual Basic та сучасних підходів зі створення гіпертекстових документів з використання мови HTML та поширення їх у всесвітній інформаційній мережі Інтернет. Предметом вивчення навчальної дисципліни Прикладна інформатика є: сучасні технології створення Windowsдодатків для розв'язання задач та технології створення...
23823. Вирази та функції 50 KB
  5 демонструє роботу даного додатка перебування значення річного приросту при відомих значеннях числа виплат24 суми кредиту 120000 і величини щомісячної виплати 6000 Вікно робочого додатка Кредит: Програмний код для цього додатка: Dim r As Single n As Integer v As Currency p As Currency Private Sub Command1_Click r = ValText1.Text n = ValText2.Text v = ValText3.Text r = r 1200 p = Pmtr n v Text4.
23824. Програмування нелінійних алгоритмів 92 KB
  Зовнішній вигляд додатку: Програмний код додатку: Private Sub Command1_Click Dim a b c As Integer a = ValText1.Text b = ValText2.Text c = ValText3. Зовнішній вигляд додатку: Програмний код додатку: Private Sub Command1_Click Dim A B C A1 B1 C1 P1 P2 As Single A = ValText1.
23825. Графічні методи 53 KB
  Створив додаток екранна форма якого містить три об'єкти: командна кнопка з ім'ям ПУСК і два графічних вікна з іменами Picturel і Picture2. Вікно робочого додатка Програмний код для цього додатка: Private Sub Command1_Click Picture1.Line 0 03015 2935 65280 BF Picture2.Scale 0 1010 0 Picture2.
23826. Процедури та функції 80 KB
  Caption = InputBox Введіть значення інформаційного ресурсу країни C End Sub Function nA B C As Integer Picture1.Scale 0 1010 0 Picture1.1 Picture1.Print A Picture1.
23827. Програмування повторень 62 KB
  Виконання завдань: Створив додаток який обчислює середнє значення ВВП країни за nроків.Caption a = 0 b = 0 For n = 1 To n a = InputBox Введіть розмір ВВП b = b a Next Label2.Caption = Strb n 1 End Sub Створив додаток який визначає кількість країн ВВП яких перевершує заданий рівень. Назви країн та ВВП вводяться в діалоговому вікні.
23828. Алгоритми, алгоритмізація 90 KB
  Виконання роботи Словесні форми алгоритмів Щоб розвязати квадратне рівняння потрібно: отримати коефіцієнти аbс; якщо а=0 b=0 і с=0 то розвязок може набути будьяких значень; якщо а=0 b=0 і с не дорівнює нулю тоді розвязків немає; якщо а=0 а коефіцієнти b та с не дорівнюють нулю тоді розвязок єдиний і дорівнює х= с b. Якщо коефіцієнт а не дорівнює 0 тоді слід обчислити дискримінант D=b24ac якщо отриманий результат менший нуля то рівняння матиме комплексні корені якщо більше нуля то знаходимо корені рівняння за формулою: ...
23829. Дані та змінні 367.5 KB
  Спроектував додаток Обмін значеннями таким чином щоб після запуску програми на виконання поля на зазначеній формі розміщуються відповідно до своїх написів. Програмний код: Зовнішній вигляд програми до і після завершення виконання : 2. Спроектував додаток який реалізує: зміну положення командної кнопки на екранній формі після активізації командної кнопки; зміну кольору командної кнопки на екранній формі після активізації командної кнопки; зміну розміру командної кнопки на екранній формі після активізації...