20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62676. Деление с остатком 18.95 KB
  Основные цели: Продолжать знакомиться с делением с остатком. Учить производить деление с остатком аналитическим способом через подбор наибольшего возможного неполного делимого...
62677. Запись решения задачи в виде одного выражения 15.99 KB
  Планируемые результаты: Предметные: Сформировать навык решения задач в виде записи решения задачи; Метапредметные: Развивать навык рещения составных задач; Личностные: Воспитывать внимательность; Этапы урока время Задачи этапа...
62678. Использование таблицы деления на 2 для решения задач на деление на равные части и деление по содержанию 22.19 KB
  Сегодня мы будем рассматривать задачи в которых используются деление на равные части и деление по содержанию. Сколько морковок в каждом пучке Прочитайте условие задачи. Прочитайте условие второй задачи.
62679. Вычитание вида 50-34. Круговые примеры. Решение составных задач 38.96 KB
  Цель: ознакомить учеников с вычитанием примеров вида 50-34; формировать активность детей на уроке, умения решать составные задачи; развивать логическое мышление, воображение; повышать мотивацию обучения, интерес к математике...
62680. Изучение новых знаний 21.65 KB
  Цель: Организация деятельности учащихся по изучению поразрядного сложения двузначных чисел без перехода через разряд Образовательная: Формировать умение слаживать двузначные числа без перехода через разряд...
62681. Задачи на сравнение 31.9 KB
  Цели: Закрепить правило разностного сравнения чисел, решение всех типов задач на сравнение, нахождение меньшего числа, большего числа и разницы. Закрепление навыка счета в пределах 9. Работа над формирование УУД.
62682. Площадь прямоугольника 58.85 KB
  Вид урока урок практикум Тип урока Комбинированный Государственный социальный заказ Во исполнение закона Российской Федерации Об Образовании Закона О Развитии Образования в г. Межпредметные связи Литературное чтение...
62683. Формула объема прямоугольного параллелепипеда 27.55 KB
  Познакомить обучающихся с формулой объема прямоугольного параллелепипеда использование полученных знаний в решении задач. Предполагаемые результаты: Учащиеся научатся находить объем прямоугольного параллелепипеда и куба по формуле понимать учебную задачу...