20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24682. Господарська діяльність підприємств 32.5 KB
  Специфіка цих факторів і методика їх дослідження залежить від особливостей технології а також від використання видів сировини матеріалів палива та енергії. Також в будьякому випадку та за будьяких умов необхідно виявити вплив двох факторів : 1 зміни питомої витрати сировини і матеріалів на одиницю продукції фактор норми; 2 зміни собівартості заготівлі одиниці сировини та матеріалів фактор цін. Собівартість заготовлення матеріалів складається з наступних трьох частин: [21 с. Зміна питомих витрат сировини й матеріалів може...
24683. Стандартні витрати 36 KB
  Стандарти відображають заплановані витрати на одиницю продукції величина яких базується на обґрунтованих нормах витрат ресурсів.Система калькулювання стандартних витрат – це система яка застосовується для:1 контролю витрат;2 прийняття рішень щодо цін;3 оцінка виконання бюджетів;4 усвідомлення витрат;5 управління за відхиленнями.Система калькулювання стандартних витрат включає:1.
24684. Система директ - костинг 34 KB
  Маржинальний дохід розраховується:Маржинальний дохід =Виручка відреалізаціїЗмінні витратиОпераційнийприбуток =Маржинальний дохід Постійні витратиКоли маржа з змінних витрат тільки відшкодовує суму постійних витрат досягається €œмертва точка€ або точка критичного обсягу коли фінансовий результат дорівнює нулю Переваги системи €œдирект костинг€: дана система дає можливість розмежувати змінні та постійні витрати визначити релевантність витрат та вплив на них; спрощується калькулювання собівартості за центрами відповідальності....
24685. Управлінський облік, будучи продовженням фінансового обліку, має з ним реальний, справжній взаємозв’язок і певні відмінності 28.5 KB
  Взаємодія управлінського і бухалтерського обліку досягається на основі наступності послідовності і комплексного використання первинної інформації єдності норм і нормативів а також єдності нормативнодовідкової інформації в цілому доповнення інформації одного виду обліку даними другого одноразової фіксації всієї вихідної змінної інформації в первинному обліку взаємопроникнення методів або їх елементів наближення облікової інформації до місць прийняття рішень єдиного підходу до розробки задач управлінського і фінансового обліку...
24686. Управлінський облік. Предмет управлінського обліку 26.5 KB
  управлінського персонала різного рівня для плануванняоцінки та контролю всередині підприємства Предметом управлінського обліку виступає сукупність об’єктів в процесі всього циклу управління підприємством.Об’єктами обліку виступають виробничі ресурси запаси обладнання трудові ресурси та господарські процеси.Методом управлінського обліку виступає сукупність різних прийомів і способів за допомогою яких відображаються об’єкти управлінського обліку в інформаційній системі підприємства. КонтрольМетою управлінського обліку є оптимізація витрат...
24687. Організація обліку за центрами відповідальності 42.5 KB
  Центри відповідальності організуються шляхом делегування відповідним підрозділом підприємства певних повноважень і відповідальності. Основними принципами організації системи обліку за центрами відповідальності є: визначення контрольованих статей витрат і доходів за умови що менеджер керівник повинен відповідати тільки за ті витрати і доходи які він може контролювати і на величину яких може впливати; персоніфікація облікових документів тобто зазначення в документах керівника який відповідає за конкретні статті витрат і доходів; ...
24688. Користувачі інформації 24 KB
  Внутрішні – керівники різних рівнів управліннязабезпечується інформацією на всіх рівнях управління для прийняття поточних рішень 2. Зовнішні акціонерикредиторипостачальникипокупціінвесториподаткові і державні организабезпечується інформацієюяка характеризує результати яких досягло підприємство за минулі звітні роки.
24690. Класифікація витрат 37 KB
  За центрами відповідальності місцем виникнення Витрати виробництва цеху дільниці технологічного переділу служби. За видами продукції Витрати на вироби типові представники виробів групи однорідних виробів одноразові замовлення напівфабрикати. За єдністю складу витрат Одноелементні витрати і комплексні витрати. Наприклад: одноелементні – сировина матеріали прямі витрати на оплату праці; комплексні витрати – їх облік ведуть окремо за елементами та статтями: 919293 4.