20493

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...

Украинкский

2013-07-25

61.5 KB

1 чел.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа  многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок. Для n + 1 пар чисел , де всі  різні, існує єдиний многочлен  степеня не більшого від n, для якого .

У найпростішому випадку n = 1 - це лінійний многочлен, графік якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів:

де базисні поліноми визначаються за формулою:

Очевидно, що lj(x) мають такі властивості:

  •  Це поліноми степеня n
  •  
  •   при 

Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбінація lj(x), може мати степінь не більший від n, та L(xj) = yj.

Поліноми Лагранжа використовуються для інтерполяції, а також для чисельного інтегрування.

Нехай для функції f(x) відомі значення yj = f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як

Зокрема,

Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність xi.

[ред.]Для випадку рівномірного розподілу на відрізку вузлів інтерполяції

У вказаному випадку можна виразити xi через відстань між вузлами інтерполяції h та початкову точку x0:

,

і, як наслідок,

.

Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

.

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55046. Математика в біології 2.95 MB
  На допомогу тим хто розвязує задачі з біології Кожна біологічна задача складається із сукупності даних умови задачі й запитань що вказує її вимогу. Якщо це задача з генетики використовуй генетичні символи; якщо вона стосується обміну речовин складіть ланцюг живлення...
55047. Науково-методичного забезпечення професійного становлення молодого вчителя 4.85 MB
  Випускники педагогічних ВНЗ здебільшого мають непогану фахову підготовку але їм бракує знань і досвіду в питаннях методичної підготовки діяльності учнівського колективу ведення шкільної документації у роботі з батьками. Випускники педагогічних ВНЗ здебільшого мають непогану фахову підготовку але їм бракує знань і досвіду в питаннях методичної підготовки діяльності учнівського колективу ведення шкільної документації у роботі з батьками. Рецепту для кожної окремої педагогічної ситуації не існує але їх розв'язанню могли б сприяти такі...
55048. Курс загальної географії для 6 класу 364 KB
  Сучасне суспільство вимагає від школи підготовки підростаючого покоління, яке враховуючи власні можливості, зможе самостійно вирішувати складні проблеми власного життя. При цьому творчо мислити, використовуючи шкільні знання. Особливого значення, в цьому випадку, набуває креативність особистості.
55049. Формування ключових і предметних компетентностей учнів початкової школи засобами ІКТ (інформаційно-комп’ютерних технологій) 11.04 MB
  Використовуючи на уроці розвитку звязного мовлення “Твір опис†матеріали медіапосібника “Культурна спадщина України†здійснюємо з учнями віртуальну екскурсію до Києва занурюємося в культурний простір столиці поглиблюємо знання з історії. Аудюювання Тренажер для зору Вірші про осінь Вгадай казку Чехов “На весніâ€ Короткі оповідання зимавесна літо осінь 5 Математика Арифметикамалятко DVD Навчаємось рахувати відеоурок ЕДМ: Геометрія Задачі в віршах Тренажер “Рахуємо в межах 10†Тест “Порівняння чисел†Ознаки...
55050. Способи розв’язування функціональних рівнянь зі шкільного курсу математики 6.23 MB
  Цей навчальний посібник стане в нагоді школярам, які прагнуть розширити свої знання з математики та бажають самостійно оволодівати знаннями, та вчителям математики, які працюють зі здібними учнями.
55051. Використання елементів здоров’язберігаючих технологій на уроках інформатики 4.33 MB
  Мета уроку: Закріпити знання уміння навички учнів щодо роботи в середовищі графічного редактора; Розвивати художні здібності дітей; Виховувати почуття прекрасного уміння творчо мислити працювати в колективі; Тип уроку: узагальнення знань. Перед початком роботи проводимо з учнями експрес розминку для повторення правил роботи з файловою системою і способів передачі інформації на компютери через локальну мережу. Інструктаж з техніки безпеки основні правила...
55052. Let`s Enjoy Together 194.5 KB
  Я пропоную Вашій увазі підбір текстів з комплексом завдань для навчання і вдосконалення навичок читання. Виконання подібних завдань буде корисним для розвитку певних вмінь, формування мовної та мовленнєвої компетенції, що є необхідними для того рівня, який визначає Державний стандарт базової освіти та Програма з іноземних мов середньої загальноосвітньої школи.
55053. Последовательности и способы их задания 132.5 KB
  Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности. Задачи урока: Выяснить что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.
55054. ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ 161.5 KB
  Запишіть послідовність з семи чисел перший член якої дорівнює 3 а кожен наступний на 4 більший за попередній. Запишіть послідовність з восьми чисел перший член якої дорівнює 8 а кожен наступний удвічі менший.