20504

Метод ітерації (метод послідовних наближень)

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

 Суть методу полягає у заміні початкового рівняння 4.18 еквівалентним йому рівнянням 4.19 Постановка задачі Нехай задано рівняння де – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь цього рівняння який знаходиться на відрізку з заданою похибкою .

Украинкский

2013-07-25

88 KB

5 чел.

Метод ітерації (метод послідовних наближень).

  Суть методу полягає у заміні початкового рівняння

          (4.18)

еквівалентним йому рівнянням

     ,     (4.19)

Постановка задачі

Нехай задано рівняння , де  – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь  цього рівняння, який знаходиться на відрізку  з заданою похибкою .

Виберемо довільним способом  і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо . Потім це значення  підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . При цьому можливі два випадки:

   послідовність  збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).

   послідовність  розбігається, тобто не має границі.

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

     

     Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій

Теорема. Нехай на відрізку  знаходиться єдиний корінь рівняння  та у всіх точках цього відрізку похідна  задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення  можна взяти число з відрізку .

Розв’яжемо один етап ітерацій. Виходячи із заданого на попередньому кроці значення , обчислюємо . Якщо , покладемо  і виконаємо наступну ітерацію. Якщо ж , то обчислення закінчують, за наближене значення кореня приймають величину .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції  в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб  і швидкість сходження послідовності  до кореня  тим вища, чим менше число . Схема алгоритму метода ітерацій представлена на рисунку 4.19.

     

     Рисунок 4.19 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом ітерацій

Таким чином, необхідна точність буде досягнута, якщо виконується нерівність n – xn - 1 |  0,00002. За нульове наближення можна прийняти будь-який із кінців відрізка (-0,725; -0,7) і будь-яку точку усередині нього. Нехай х0= -0,7. Обчислення зводимо в наступну таблицю:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63614. Функции государства 279.35 KB
  Назначение государства, его роль в жизни общества выражается в его функциях. Государство создано, чтобы постоянно, непрерывно и эффективно действовать в социальной среде. Понятие “функции” применительно к государству означает его действие, функционирование.
63615. УПРАВЛІННЯ ПРИБУТКОМ 417.01 KB
  Ключовим завданням управління фінансами підприємства є досягнення та подальше забезпечення належного рівня конкурентоспроможності підприємства у короткостроковому та довгостроковому періодах. Прибуток розглядається в трьох основних аспектах: прибуток як вираження результату...
63616. Персонал организации (предприятия): организация и ОТ 143 KB
  Производительность труда: определение показатели. Резервы роста производительности труда. Организация труда на предприятии: нормирование труда виды норм методы нормирования труда. Оплата и мотивация труда: принципы организации формы и системы ОТ материальное стимулирование труда.
63617. ІНФОРМАЦІЙНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕНН НАУКОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ 75.36 KB
  Інформація є засобом спілкування між людьми і відображає ії суспільні та виробничі взаємовідносини, а також різноманітні прояви матеріального світу. Тільки обмін інформацією між дослідниками через канали комунікацій або прямим спілкуванням на семінарах...
63619. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ІНВЕСТИЦІЙНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ 72.5 KB
  Інвестиції це вкладення капіталу з метою його подальшого збільшення. Закон України Про інвестиційну діяльність†від 18 вересня 1991 року зі змінами і доповненнями визначає інвестиції як усі види майнових і інтелектуальних цінностей що вкладаються...
63620. Вимоги до проведення наукового дослідження 53.49 KB
  Вимоги до проведення наукового дослідження Наукове дослідження завжди повинне носити творчий характер наповнений постійним пошуком і експериментуванням. Наукове дослідження повинне бути потрібним актуальним спиратись на об'єктивні і перевірені дані.