20504

Метод ітерації (метод послідовних наближень)

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

 Суть методу полягає у заміні початкового рівняння 4.18 еквівалентним йому рівнянням 4.19 Постановка задачі Нехай задано рівняння де – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь цього рівняння який знаходиться на відрізку з заданою похибкою .

Украинкский

2013-07-25

88 KB

5 чел.

Метод ітерації (метод послідовних наближень).

  Суть методу полягає у заміні початкового рівняння

          (4.18)

еквівалентним йому рівнянням

     ,     (4.19)

Постановка задачі

Нехай задано рівняння , де  – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь  цього рівняння, який знаходиться на відрізку  з заданою похибкою .

Виберемо довільним способом  і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо . Потім це значення  підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . При цьому можливі два випадки:

   послідовність  збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).

   послідовність  розбігається, тобто не має границі.

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

     

     Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій

Теорема. Нехай на відрізку  знаходиться єдиний корінь рівняння  та у всіх точках цього відрізку похідна  задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення  можна взяти число з відрізку .

Розв’яжемо один етап ітерацій. Виходячи із заданого на попередньому кроці значення , обчислюємо . Якщо , покладемо  і виконаємо наступну ітерацію. Якщо ж , то обчислення закінчують, за наближене значення кореня приймають величину .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції  в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб  і швидкість сходження послідовності  до кореня  тим вища, чим менше число . Схема алгоритму метода ітерацій представлена на рисунку 4.19.

     

     Рисунок 4.19 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом ітерацій

Таким чином, необхідна точність буде досягнута, якщо виконується нерівність n – xn - 1 |  0,00002. За нульове наближення можна прийняти будь-який із кінців відрізка (-0,725; -0,7) і будь-яку точку усередині нього. Нехай х0= -0,7. Обчислення зводимо в наступну таблицю:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5885. Государственный долг и дефицит бюджетных средств 294 KB
  На современном этапе проблема бюджетного дефицита в России не является главной проблемой экономики Российской Федерации, но сохраняет свою актуальность, поскольку большинство экономических проблем ведут именно к ней. И то, что сейчас по офи...
5886. Сестринское дело в хирургической медицине 165.5 KB
  Философия сестринского дела Постановление правительства Российской Федерации от, №1387 О мерах по стабилизации и развитию здравоохранения и медицинской науки в Российской Федерации предусмотрено осуществление реформы, направл...
5887. Рынка ссудных капиталов в условиях децентрализованной экономики 258 KB
  Целью данной курсовой работы является раскрытие сущности рынка ссудных капиталов, так как в условиях децентрализованной экономики рынок ссудных капиталов играет важную роль, поскольку создание, функционирование и развитие любого...
5888. Задатки и способности человека 72 KB
  Тема способностей, которую я выбрал, актуальна в наши дни. Проблема способностей постоянно ставится перед человеком жизнью. Она всегда была столь же важной, сколько и увлекательной. Понятие о способностях человека развивалось в связи с общи...
5889. Организация и проведение аварийно-спасательных и других неотложных работ (АСДНР) 149.5 KB
  Организация и проведение аварийно-спасательных и других неотложных работ (АСДНР) Учебные цели: Ознакомить слушателей: а) с общими положениями по организации и проведению АСДНР б) с организацией и ведением разведки очагов поражен...
5890. Общество как саморазвивающаяся система 117 KB
  То обстоятельство, что общество представляет собой сложную систему, развивающуюся на своей, собственной основе, не отвергалось и не отвергается практически никем из мыслителей прошлого и настоящего.
5891. Влияние радиоактивного загрязнения на сельское хозяйство 192 KB
  В настоящее время и в перспективе особо остро встает проблема экологической безопасности окружающей среды, экологически безопасного природопользования при возрастающих антропогенных нагрузках. Загрязнение системы почва - растени...
5892. Электрические машины. Сборник задач 1.14 MB
  Сборник задач составлен применительно к учебным программам дисциплин Электрические машины, Электромеханика для студентов электромеханического, электроэнергетического факультетов, факультета электронной техники. Самостоятельное решение з...
5893. Военно-промышленный комплекс России 172.5 KB
  В начале 20 века в Европе начинается век техники и изобретений. Но мир уже разделен на военно-политические блоки. С одной стороны это Германия и Австро-Венгрия, с другой-Франция и Россия. В 20 веке хорошим тоном стало в мирное время демонстрировать...