20504

Метод ітерації (метод послідовних наближень)

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

 Суть методу полягає у заміні початкового рівняння 4.18 еквівалентним йому рівнянням 4.19 Постановка задачі Нехай задано рівняння де неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь цього рівняння який знаходиться на відрізку з заданою похибкою .

Украинкский

2013-07-25

88 KB

8 чел.

Метод ітерації (метод послідовних наближень).

  Суть методу полягає у заміні початкового рівняння

          (4.18)

еквівалентним йому рівнянням

     ,     (4.19)

Постановка задачі

Нехай задано рівняння , де  – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь  цього рівняння, який знаходиться на відрізку  з заданою похибкою .

Виберемо довільним способом  і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо . Потім це значення  підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . При цьому можливі два випадки:

   послідовність  збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).

   послідовність  розбігається, тобто не має границі.

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

     

     Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій

Теорема. Нехай на відрізку  знаходиться єдиний корінь рівняння  та у всіх точках цього відрізку похідна  задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення  можна взяти число з відрізку .

Розв’яжемо один етап ітерацій. Виходячи із заданого на попередньому кроці значення , обчислюємо . Якщо , покладемо  і виконаємо наступну ітерацію. Якщо ж , то обчислення закінчують, за наближене значення кореня приймають величину .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції  в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб  і швидкість сходження послідовності  до кореня  тим вища, чим менше число . Схема алгоритму метода ітерацій представлена на рисунку 4.19.

     

     Рисунок 4.19 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом ітерацій

Таким чином, необхідна точність буде досягнута, якщо виконується нерівність n – xn - 1 |  0,00002. За нульове наближення можна прийняти будь-який із кінців відрізка (-0,725; -0,7) і будь-яку точку усередині нього. Нехай х0= -0,7. Обчислення зводимо в наступну таблицю:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8879. Исследование тлеющего разряда 109.5 KB
  Исследование тлеющего разряда Цель работы: Ознакомиться с основными формами тлеющего разряда. Исследование работы стабилизаторов тлеющего разряда. Исследование работы цифро- знаковых индикаторов тлеющего разряда. Введение. Тлеющий ...
8880. Частотные характеристики цепей. Комплексные функции цепи 1.02 MB
  Частотные характеристики цепей. Комплексные функции цепи Основным методом расчета цепей синусоидального тока является метод комплексных амплитуд. В его основе лежит представление синусоидальных функций через эксп...
8881. Національний Банк України: завдання, функції, мережа та структура 92.43 KB
  Національний Банк України: завдання, функції, мережа та структура 1. Організаційно-правові основи функціонування Національного банку України 2. Функції та операції Національного банку України 3. Структура та форми управління Національного банку Укра...
8882. Банківські ресурси як основа функціонування банку 106.5 KB
  Банківські ресурси як основа функціонування банку 1. Банківські ресурси, їх види та класифікація 2. Капітал банку, його склад, структура, джерела формування та напрями використання 3. Залучений капітал банку: суть, значення та загальна характеристик...
8883. Регулювання діяльності банків 101.45 KB
  Регулювання діяльності банків 1. Регулювання банківської діяльності, його суть та форми 2. Регулятивний капітал банку: призначення та порядок визначення 3. Економічні нормативи капіталу банку 4. Економічні нормативи ліквідності 5. Нормативи кредитно...
8884. Класифікація банківських операцій і послуг 78.62 KB
  Класифікація банківських операцій і послуг 1. Основи класифікації банківських операцій і послуг 2. Пасивні банківські операції та їх характеристика 3. Активні банківські операції та їх характеристика 4. Характеристика банківських послуг 1. Основи кл...
8885. Класифікація банківських і операцій і послуг Тестові завдання 23.5 KB
  Класифікація банківських і операцій і послуг Тестові завдання 1. Виберіть класифікацію банківських операцій за функціональними ознаками: а) кредитні, засновницькі, емісійні б) розрахунково-касові, інвестиційні, комісійні в) депозитні, міжбанківськ...
8886. Організація грошового обігу в банках 144.72 KB
  Організація грошового обігу в банках 1. Характеристика платіжного обігу 2. Банківське обслуговування готівкового обігу 3. Безготівкові розрахунки: суть, значення, класифікація та принципи організації 4. Характеристика міжбанківських розрахунків 5. С...