20504

Метод ітерації (метод послідовних наближень)

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

 Суть методу полягає у заміні початкового рівняння 4.18 еквівалентним йому рівнянням 4.19 Постановка задачі Нехай задано рівняння де неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь цього рівняння який знаходиться на відрізку з заданою похибкою .

Украинкский

2013-07-25

88 KB

8 чел.

Метод ітерації (метод послідовних наближень).

  Суть методу полягає у заміні початкового рівняння

          (4.18)

еквівалентним йому рівнянням

     ,     (4.19)

Постановка задачі

Нехай задано рівняння , де  – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь  цього рівняння, який знаходиться на відрізку  з заданою похибкою .

Виберемо довільним способом  і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо . Потім це значення  підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . При цьому можливі два випадки:

   послідовність  збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).

   послідовність  розбігається, тобто не має границі.

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

     

     Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій

Теорема. Нехай на відрізку  знаходиться єдиний корінь рівняння  та у всіх точках цього відрізку похідна  задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення  можна взяти число з відрізку .

Розв’яжемо один етап ітерацій. Виходячи із заданого на попередньому кроці значення , обчислюємо . Якщо , покладемо  і виконаємо наступну ітерацію. Якщо ж , то обчислення закінчують, за наближене значення кореня приймають величину .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції  в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб  і швидкість сходження послідовності  до кореня  тим вища, чим менше число . Схема алгоритму метода ітерацій представлена на рисунку 4.19.

     

     Рисунок 4.19 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом ітерацій

Таким чином, необхідна точність буде досягнута, якщо виконується нерівність n – xn - 1 |  0,00002. За нульове наближення можна прийняти будь-який із кінців відрізка (-0,725; -0,7) і будь-яку точку усередині нього. Нехай х0= -0,7. Обчислення зводимо в наступну таблицю:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78115. Развитие Жилищно-коммунального хозяйства в Сочи в рамках подготовки к Играм 2014 52 KB
  Программа включает в себя в частности строительство и реконструкцию спортивных объектов обеспечение транспортной инженерной инфраструктурой и инфраструктурой связи природоохранную деятельность строительство и реконструкцию объектов здравоохранения градостроительство...
78119. Рассмотрение особенностей управления малым предприятием 35.57 KB
  Малый бизнес придает рыночной экономике необходимую гибкость. Существенный вклад он вносит в формирование конкурентной среды, что для экономики России имеет первостепенное значение. Именно в среде малого предпринимательства создаются условия максимально приближенные...
78120. Воздействие алкоголя на организм человека 96 KB
  Вред алкоголя очевиден. Доказано что при попадании алкоголя внутрь организма он разносится по крови ко всем органам и неблагоприятно действует на них вплоть до разрушения. При систематическом употреблении алкоголя развивается опасная болезнь алкоголизм.
78122. Холодная война и холодный мир. Истоки, этапы, последствия, противостояния 29 KB
  Установление по завершении Второй мировой войны советского контроля над странами Восточной Европы, в особенности создание просоветского правительства в Польше в противовес польскому эмигрантскому правительству в Лондоне, привело к тому, что правящие круги Великобритании...
78123. Распад СССР и его военно-стратегические последствия. Однополярность современного мира (Глобальная роль США) – потенциальный источник новых конфликтов 36.87 KB
  Сегодня совершенно ясно что мы живём в однополярном мире и США является главным мировым лидером с большим отрывом от других стран контролируя множество сфер деятельности человека по всему миру.