20504

Метод ітерації (метод послідовних наближень)

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

 Суть методу полягає у заміні початкового рівняння 4.18 еквівалентним йому рівнянням 4.19 Постановка задачі Нехай задано рівняння де неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь цього рівняння який знаходиться на відрізку з заданою похибкою .

Украинкский

2013-07-25

88 KB

8 чел.

Метод ітерації (метод послідовних наближень).

  Суть методу полягає у заміні початкового рівняння

          (4.18)

еквівалентним йому рівнянням

     ,     (4.19)

Постановка задачі

Нехай задано рівняння , де  – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь  цього рівняння, який знаходиться на відрізку  з заданою похибкою .

Виберемо довільним способом  і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо . Потім це значення  підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . При цьому можливі два випадки:

   послідовність  збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).

   послідовність  розбігається, тобто не має границі.

Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.

     

     Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій

Теорема. Нехай на відрізку  знаходиться єдиний корінь рівняння  та у всіх точках цього відрізку похідна  задовольняє нерівності . Якщо при цьому виконується і умова , то ітераційний процес збігається, а за нульове наближення  можна взяти число з відрізку .

Розв’яжемо один етап ітерацій. Виходячи із заданого на попередньому кроці значення , обчислюємо . Якщо , покладемо  і виконаємо наступну ітерацію. Якщо ж , то обчислення закінчують, за наближене значення кореня приймають величину .

При використанні методу простих ітерацій основною операцією є вибір функції  в рівнянні , яку слід підібрати так, щоб  і швидкість сходження послідовності  до кореня  тим вища, чим менше число . Схема алгоритму метода ітерацій представлена на рисунку 4.19.

     

     Рисунок 4.19 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом ітерацій

Таким чином, необхідна точність буде досягнута, якщо виконується нерівність n – xn - 1 |  0,00002. За нульове наближення можна прийняти будь-який із кінців відрізка (-0,725; -0,7) і будь-яку точку усередині нього. Нехай х0= -0,7. Обчислення зводимо в наступну таблицю:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32787. Происхождение, сущность и социальные функции науки 15.93 KB
  Наука исторически сложившаяся форма духовнопрактического освоения мира направленная на познание и преобразование объективной действительности. Понятие наука имеет несколько аспектов: 1 система знаний 2 их духовное производство 3 практическая деятельность на их основе4 социальный институт. Этот аспект подчеркивает социальную сущность науки: наука как социальный институт представляет собой систему взаимосвязей между научными коллективами организациями членами научных сообществ а также систему норм и ценностей. Наука прошла...
32788. Особенности научного познания 14.79 KB
  Особенности научного познания. Цель научного познания открытие объективных законов природы общества мышления постижение сущности изучаемых явлений. Объективность адекватное отражение действительности не зависящее от субъекта познания. Наличие методологии познания.
32789. Уровни и методы научного познания 14.54 KB
  Уровни и методы научного познания. В научном познании используются разнообразные методы. Метод греч. Учение о методах методология ее предметом является обоснование методов исследование их эффективности особенностей применения в различных областях знания.
32790. Диалектика, её исторические формы. Диалектика и метафизика 15.42 KB
  Диалектика и метафизика. диалектика это учение о всеобщих связях и закономерностях развития природы общества и мышления а также основанный на этом учении метод познания. Диалектика как теория и метод познания в своем историческом развитии прошла несколько этапов. Наивная или стихийная диалектика античности.
32791. Общее понятие о философии. Исторические основания возникновения философии. Дофилософские мировоззренческие системы и их роль в формировании философии 15.71 KB
  Философия зародилась около 25 тыс. Термин философия был введен Пифагором и дословно означал любовь к мудрости phileo любовь sophi мудрость. Философия все больше превращалась в обобщенную систему знаний о мире задачей которой являлось дать ответы на наиболее общие глубинные вопросы о природе обществе человеке. Философия это форма духовной деятельности человека форма общественного сознания направленная на осмысление коренных мировоззренческих вопросов.
32792. Спецефика филосовского знания. Соотношение философии и частных наук. Взаимосвязь философии и медецины 15.26 KB
  Соотношение философии и частных наук. Взаимосвязь философии и медецины. С выделением отдельных наук в самостоятельные области знаний возникает вопрос о соотношении философии и частных наук под частными науками понимаются те которые изучают отдельные области реальности. Роль философии представители данного направления сводят к логическому анализу научного языка; 3антисциентизм ограничивает роль науки решением узко практических задач.
32793. Основной вопрос философии и его 2 стороны. Исторические формы материализма и идеализма 16.65 KB
  Основной вопрос философии и его 2 стороны. Центральная мировоззренческая проблема об отношении человека к миру конкретизируется в философии как вопрос об отношении мышления к бытию об отношении идеального и материального. Этот вопрос является основным вопросом философии т. Крупнейший представитель немецкой классической философии И.
32794. Исторические этапы развития мировой филосовской мысли. Основные филосовские принципы и исторические типы филосовствования 14.95 KB
  В истории философской мысли также выделяются основные типы философствования философского анализа. В античности созерцательный тип философствования проявился в натурфилософии философии природы а в Древнем Китае в принципе недеяния т. 2Умозрительный тип философствования это способ теоретического постижения действительности основанный на отвлеченных логических построениях не связанных с опытными данными. Ярким примером умозрительного типа философствования являются доказательства существования Бога в учении Ф.
32795. Особенности Древнеиндийской философии. Её основные направления 17.32 KB
  В развитии культуры Древней Индии можно выделить два основных периода: 1ведический предфилософский сер. связанный с переселением на территорию Древней Индии арийских племен. Культура Древней Индии в целом и философия в частности возникла и развивалась в условиях кастовой организации общественной жизни патриархальных традиций и власти деспотического государства. Основным культурным источником философии Древней Индии стала ведическая литература.