20505

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

11 пошуку розв’язку системи с заданою похибкою відповідно теоремі про збіжність.11 виконується то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.13 що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

Украинкский

2013-07-25

91 KB

36 чел.

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь.

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (3.2). Метод послідовних наближень (метод Якобі) відноситься до ітераційних методів, тому потребує перетворити дану систему до нормального вигляду (3.5) та знайти канонічні норми матриці , для того щоб визначити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) - (3.11) пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  відповідно теоремі про збіжність. Якщо жодна з умов (3.3) – (3.11) не виконується, то дану систему необхідно перетворити по певним правилам, та знову перевірити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) – (3.11). Якщо жодна з умов знову не виконується, то метод послідовних наближень не має сенсу використовувати. Якщо хоча б одна з умов (3.9) – (3.11) виконується, то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.

По-перше, вибирається певне значення вектору початкових наближень  , яке підставляється в праву частину системи рівнянь виду:

,     (3.13)

що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення , тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

По-друге, перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

де  - задана похибка результатів розв’язання задачі. Якщо умова не виконується, то  підставляється в праву частину системи (3.5) і знаходиться :

та знову перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

.

За аналогією будь-яке (К+1)-е наближення можна обчислити за формулою:

, де к=0,1,2.....               (3.14)

Якщо послідовність , що отримана в результаті ітераційного процесу, має границю , то ця границя є розв’язком системи. Умова закінчення ітераційного процесу має вигляд:

,                    (3.15)

де - задана похибка результатів розв’язання системи.

Алгоритмічно перевірка умови (3.15) представляє собою алгоритм пошуку максимального відхилення між координатами вектора  і  і порівняння його з заданою похибкою .

Алгоритм методу послідовних наближень зображено на рисунку 3.1

     

     Рисунок 3.1. – Схема алгоритму методу послідовних наближень

Оцінка похибки метода Якобі

Якщо задана допустима похибка обчислень  і x - вектор точного розв’язку системи лінійних рівнянь, а -те наближення до вектору точного розв’язку, то для оцінки похибки метода послідовних наближень використовується формула:

,               (3.16)

де  - одна з 3 норм матриці ;  - аналогічна норма вектора  ; - кількість ітерацій, необхідна для досягнення потрібної точності .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24484. Гуманистическая психология 45.5 KB
  Возникнув как противостоящая традиционному психоанализу и бихевиоризму и испытывая сильное влияние экзистенциальной философии гуманистическая психология выдвигала свои идеи в понимании природы человека: Целостный подход к личности которую нельзя разложить на отдельные элементы рефлексы когнитивные процессы фиксации и проекции и т. внимание к индивидуальным особенностям каждой личности. Важнейшими характеристиками личности являются свобода в принятии решений самостоятельность и опора на себя независимость от внешних факторов –...
24485. Когнитивная психология 42 KB
  cognitio знание познание одно из ведущих направлений современной зарубежной психологии изучающее структуру и протекание познавательных процессов человека. как реакция на характерное для бихевиоризма отрицание роли психических процессов и их структурной организации в деятельности человека. Исследования во многом основывались на компьютерной метафоре аналогии между преобразованиями информации в вычислительном устройстве и осуществлением познавательных процессов у человека. В дальнейшем центральными стали вопросы организации...
24486. Механизмы психологической защиты и совладающее поведение 52 KB
  Механизмы психологической защиты и совладающее поведение. Фрейд первый приступивший к проблеме механизмов психологической защиты трактовал их как форму разрешения конфликта между бессознательными влечениями и интериоризованными социальными требованиями или запретами. В дальнейшем в результате многочисленных исследований проведенных прежде всего в рамках клинической практики были выделены различные виды механизмов психологической защиты. К механизмам психологической защиты относятся: Вытеснение – это механизм психологической защиты...
24487. Чувствительность и её изучение. Психофизические законы 46.5 KB
  Абсолютная чувствительность определяется абсолютным порогом ощущений. Нижний абсолютный порог ощущений – это минимальная величина действия раздражителя на органы чувств в результате которого возникает ощущение. Верхним абсолютным порогом ощущений называется максимальная сила раздражителя при которой еще возникает адекватное действующему раздражителю ощущение. Для каждого вида ощущений существуют свои пороги.
24488. Понятие ощущений и их классификация 48.5 KB
  Ощущения объективны так как в них всегда отражен внешний раздражитель а с другой стороны субъективны поскольку зависят от состояния нервной системы и индивидуальных особенностей. Анатомофизиологический аппарат специализированный для приема воздействии определенных раздражителей из внешней и внутренней среды и переработки их в ощущения называют анализатором. В свою очередь экстероцептивные ощущения делятся на два подкласса: дистантные зрительные слуховые и контактные осязательные вкусовые. Обонятельные ощущения занимают...