20505

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

11 пошуку розвязку системи с заданою похибкою відповідно теоремі про збіжність.11 виконується то ітераційний процес пошуку розвязку системи с заданою похибкою збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.13 що легко розвязується для знаходження вектора розвязку першого наближення тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

Украинкский

2013-07-25

91 KB

41 чел.

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь.

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (3.2). Метод послідовних наближень (метод Якобі) відноситься до ітераційних методів, тому потребує перетворити дану систему до нормального вигляду (3.5) та знайти канонічні норми матриці , для того щоб визначити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) - (3.11) пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  відповідно теоремі про збіжність. Якщо жодна з умов (3.3) – (3.11) не виконується, то дану систему необхідно перетворити по певним правилам, та знову перевірити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) – (3.11). Якщо жодна з умов знову не виконується, то метод послідовних наближень не має сенсу використовувати. Якщо хоча б одна з умов (3.9) – (3.11) виконується, то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.

По-перше, вибирається певне значення вектору початкових наближень  , яке підставляється в праву частину системи рівнянь виду:

,     (3.13)

що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення , тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

По-друге, перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

де  - задана похибка результатів розв’язання задачі. Якщо умова не виконується, то  підставляється в праву частину системи (3.5) і знаходиться :

та знову перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

.

За аналогією будь-яке (К+1)-е наближення можна обчислити за формулою:

, де к=0,1,2.....               (3.14)

Якщо послідовність , що отримана в результаті ітераційного процесу, має границю , то ця границя є розв’язком системи. Умова закінчення ітераційного процесу має вигляд:

,                    (3.15)

де - задана похибка результатів розв’язання системи.

Алгоритмічно перевірка умови (3.15) представляє собою алгоритм пошуку максимального відхилення між координатами вектора  і  і порівняння його з заданою похибкою .

Алгоритм методу послідовних наближень зображено на рисунку 3.1

     

     Рисунок 3.1. – Схема алгоритму методу послідовних наближень

Оцінка похибки метода Якобі

Якщо задана допустима похибка обчислень  і x - вектор точного розв’язку системи лінійних рівнянь, а -те наближення до вектору точного розв’язку, то для оцінки похибки метода послідовних наближень використовується формула:

,               (3.16)

де  - одна з 3 норм матриці ;  - аналогічна норма вектора  ; - кількість ітерацій, необхідна для досягнення потрібної точності .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3990. Програмування таймерів 236.69 KB
  Специфіка програмування модуля TMR0, TMR1, TMR2. Рішення задач. Створення проекту в MPLAB. Створення проекту в PROTEUS. Програмування таймерa TMR0...
3991. Практичні правила управління безпекою інформації 246 KB
  ІSO/IЕС 27002 «Інформаційні технології — Методики безпеки — Практичні правила управління безпекою інформації» Виконала: студентка групи СН-41 Пригодська Галини Миколаївна 1 Найбільш поширеними міжнародними стандартами, які регулюють компле...
3992. Нефтяная Промышленность 1.05 MB
  Нефтяная Промышленность XX в. насыщен многими событиями, которые будоражили и потрясали земную цивилизацию. Шла борьба за передел мира, за сферы экономического и политического влияния, за источники минерального сырья. Среди этого, клокочущего страст...
3993. Вимірювання модуляційної передавальної функції мікроболометричної тепловізійної камери 228.2 KB
  Лабораторна робота №4 Вимірювання модуляційної передавальної функції мікроболометричної тепловізійної камери Мета роботи Ознайомлення з основними методами вимірювання модуляційних передавальних функцій тепловізійних камер, набуття навичок роботи з т...
3994. Совершенствование деятельности органов местного самоуправления по реализации молодежной политики 224.65 KB
  Актуальность темы исследования заключается в том, что молодежь является движущей силой общества, так как её вклад в социально- экономическое развитие страны обеспечивает благосостояние общества. Молодежь необходимо оценивать как часть общес...
3995. Статистические методы обработки опытных данных. Числовые характеристики выборки 225.31 KB
  Лабораторная работа № 5 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРКИ Цель: Научиться основным методам обработки данных, представленных выборкой. Изучить графические представления данных. Овладеть навыками расчета с...
3996. Класифікація компютерних злочинів 222.3 KB
  Закордонними фахівцями розроблені різні класифікації способів здійснення комп'ютерних злочинів. Нижче приведені назви способів здійснення подібних злочинів, що відповідають кодифікаторові Генерального Секретаріату Інтерполу. У 1991 році даний кодифікатор був інтегрований в автоматизовану систему пошуку і в даний час доступний НЦБ більш ніж 100 країн.
3997. Аналіз ефективності інвестиційних проектів засобами ПК 221.95 KB
  АНАЛІЗ ЕФЕКТИВНОСТІ ІНВЕСТИЦІЙНИХ ПРОЕКТІВ ЗАСОБАМИ КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ Теоретична довідка. Основна задача аналізу ефективності інвестиційного проекту полягає у визначенні цінності проекту з погляду зіставлення вигод і витрат проекту, вираж...
3998. Програмування та настроювання малоканального програмованого логічного контролера МІК-51 підприємства Мікрол 228.81 KB
  Робота 2. Програмування та настроювання малоканального програмованого логічного контролера МІК51 підприємства «Мікрол». Мета роботи Вивчення основних можливостей програмного пакета «Редактор FBD-програм АЛЬФА», програмна реалізація мовою FBD-блок...