20505

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

11 пошуку розв’язку системи с заданою похибкою відповідно теоремі про збіжність.11 виконується то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.13 що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

Украинкский

2013-07-25

91 KB

34 чел.

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь.

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (3.2). Метод послідовних наближень (метод Якобі) відноситься до ітераційних методів, тому потребує перетворити дану систему до нормального вигляду (3.5) та знайти канонічні норми матриці , для того щоб визначити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) - (3.11) пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  відповідно теоремі про збіжність. Якщо жодна з умов (3.3) – (3.11) не виконується, то дану систему необхідно перетворити по певним правилам, та знову перевірити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) – (3.11). Якщо жодна з умов знову не виконується, то метод послідовних наближень не має сенсу використовувати. Якщо хоча б одна з умов (3.9) – (3.11) виконується, то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.

По-перше, вибирається певне значення вектору початкових наближень  , яке підставляється в праву частину системи рівнянь виду:

,     (3.13)

що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення , тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

По-друге, перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

де  - задана похибка результатів розв’язання задачі. Якщо умова не виконується, то  підставляється в праву частину системи (3.5) і знаходиться :

та знову перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

.

За аналогією будь-яке (К+1)-е наближення можна обчислити за формулою:

, де к=0,1,2.....               (3.14)

Якщо послідовність , що отримана в результаті ітераційного процесу, має границю , то ця границя є розв’язком системи. Умова закінчення ітераційного процесу має вигляд:

,                    (3.15)

де - задана похибка результатів розв’язання системи.

Алгоритмічно перевірка умови (3.15) представляє собою алгоритм пошуку максимального відхилення між координатами вектора  і  і порівняння його з заданою похибкою .

Алгоритм методу послідовних наближень зображено на рисунку 3.1

     

     Рисунок 3.1. – Схема алгоритму методу послідовних наближень

Оцінка похибки метода Якобі

Якщо задана допустима похибка обчислень  і x - вектор точного розв’язку системи лінійних рівнянь, а -те наближення до вектору точного розв’язку, то для оцінки похибки метода послідовних наближень використовується формула:

,               (3.16)

де  - одна з 3 норм матриці ;  - аналогічна норма вектора  ; - кількість ітерацій, необхідна для досягнення потрібної точності .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9187. jQuery — библиотека JavaScript 152.9 KB
  jQuery jQuery - библиотека JavaScript, фокусирующаяся на взаимодействии JavaScript и HTML. Библиотека jQuery помогает легко получать доступ к любому элементу DOM (Document Object Model - объектная модель документа), обращаться к...
9188. JQuery / JQuery UI (User Interface) 2.92 MB
  JQuery /JQuery UI(User Interface) jQuery - библиотека JavaScript, фокусирующаяся на взаимодействии JavaScript и HTML. Библиотека jQuery помогает легко получать доступ к любому элементу DOM, обращаться к атрибутам и содержимому э...
9189. jQuery - библиотека JavaScript, фокусирующаяся на взаимодействии JavaScript и HTML 34.95 KB
  JQuery jQuery - фокусирующаяся на взаимодействии JavaScript и HTML. Библиотека jQuery помогает легко получать доступ к любому элементу DOM, обращаться к атрибутам и содержимому элементов DOM, манипулировать ими....
9190. Використання бібліотек. Поєднання клієнтських та серверних сценаріїв у рамках технології AJAX 47.5 KB
  Використання бібліотек. Поєднання клієнтських та серверних сценаріїв у рамках технології AJAX Мета роботи - розглянути взаємодію серверних та клієнтських технологій, ознайомитися з перевагами та недоліками використання технології AJAX. Визначит...
9191. ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ИЗВЛЕЧЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ФРАЗ ИЗ ТЕКСТА НА ЕСТЕСТВЕННОМ ЯЗЫКЕ 1.95 MB
  Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский федеральный университет имени первого Президента России..
9192. Сущность воспитания и его место в педагогическом процессе 23.94 KB
  Сущность воспитания и его место в педагогическом процессе Воспитание - это целенаправленная содержательная профессиональная деятельность педагога, содействующая максимальному развитию личности ребенка, вхождению ребенка в контекст современной культу...
9193. Сущность, структура и функции процесса обучения 26.41 KB
  Сущность, структура и функции процесса обучения Содержанием обучения как процесса, на что справедливо обращает наше внимание В.К. Дьяченко в своих работах, является какая-то деятельность, которой в той или другой степени владеет обучающий и не владе...
9194. Структура педагогической деятельности 26.3 KB
  Структура педагогической деятельности Конструктивная деятельность, в свою очередь, распадается на конструктивно-содержательную (отбор и композиция учебного материала, планирование и построение педагогического процесса), конструктивно-оперативную (пл...
9195. Цели, содержание и структура непрерывного образования 16.62 KB
  Цели, содержание и структура непрерывного образования Образование - процесс и результат усвоения человеком систематизированных знаний, умений и навыков, определенный уровень интеллектуального и эмоционального развития формирование мировоззрения...