20505

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

11 пошуку розв’язку системи с заданою похибкою відповідно теоремі про збіжність.11 виконується то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.13 що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

Украинкский

2013-07-25

91 KB

39 чел.

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь.

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (3.2). Метод послідовних наближень (метод Якобі) відноситься до ітераційних методів, тому потребує перетворити дану систему до нормального вигляду (3.5) та знайти канонічні норми матриці , для того щоб визначити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) - (3.11) пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  відповідно теоремі про збіжність. Якщо жодна з умов (3.3) – (3.11) не виконується, то дану систему необхідно перетворити по певним правилам, та знову перевірити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) – (3.11). Якщо жодна з умов знову не виконується, то метод послідовних наближень не має сенсу використовувати. Якщо хоча б одна з умов (3.9) – (3.11) виконується, то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.

По-перше, вибирається певне значення вектору початкових наближень  , яке підставляється в праву частину системи рівнянь виду:

,     (3.13)

що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення , тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

По-друге, перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

де  - задана похибка результатів розв’язання задачі. Якщо умова не виконується, то  підставляється в праву частину системи (3.5) і знаходиться :

та знову перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

.

За аналогією будь-яке (К+1)-е наближення можна обчислити за формулою:

, де к=0,1,2.....               (3.14)

Якщо послідовність , що отримана в результаті ітераційного процесу, має границю , то ця границя є розв’язком системи. Умова закінчення ітераційного процесу має вигляд:

,                    (3.15)

де - задана похибка результатів розв’язання системи.

Алгоритмічно перевірка умови (3.15) представляє собою алгоритм пошуку максимального відхилення між координатами вектора  і  і порівняння його з заданою похибкою .

Алгоритм методу послідовних наближень зображено на рисунку 3.1

     

     Рисунок 3.1. – Схема алгоритму методу послідовних наближень

Оцінка похибки метода Якобі

Якщо задана допустима похибка обчислень  і x - вектор точного розв’язку системи лінійних рівнянь, а -те наближення до вектору точного розв’язку, то для оцінки похибки метода послідовних наближень використовується формула:

,               (3.16)

де  - одна з 3 норм матриці ;  - аналогічна норма вектора  ; - кількість ітерацій, необхідна для досягнення потрібної точності .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34477. Строгоновская и годуновская школа иконописи. Особенности выразительного языка 18.35 KB
  Второе – строгановская школа условно названная так потому что некоторые иконы выполнялись по заказу именитых людей Строгановых. Собирали иконы шитье и резьбу так что их домашние молельни стали настоящими музеями. Так они особенно ценили иконы совсем небольшого размера однако включающие не меньше отдельных сцен чем многоаршинный иконостас. Иконы этого типа напоминающие миниатюру или драгоценные эмалевые изделия и принято называть строгановскими даже если они не были написаны в мастерских Строгановых.
34478. Русское искусство первой трети 18в. Эпоха реформ Петра 1. Строительство Петербурга. Петровское барокко. Скульптура К.Б. Растрелли 72 KB
  Петровское барокко. Петровское барокко историкорегиональный стиль архитектуры СанктПетербурга сложившийся при жизни его основателя Петра Великого в первой четверти XVIII в. Стиль петровского барокко впитал в себя множество разнородных элементов и потому не является Барокко в полном значении этого слова. Так же петровскому барокко свойственна двуцветная окраска зданий чаще красная с белым и плоскостная трактовка декора.
34479. Русское искусство первой трети 18в.: формирование живописного портрета. Преображенская серия. Творчество живописцев И.Н. Никитина, А.М. Матвева 32.5 KB
  : формирование живописного портрета. Еще в XVII веке возник прообраз реалистического портрета значительно отличающийся от старого условного иконописания. В портрете XVIII столетия проявился исключительный интерес к человеку. Уже в так называемой Преображенской серии портретов которые долго было принято называть в науке портретами шутов так как они исполнены с лиц участвовавших в таком сатирическом конклаве как Всепьянейший сумасбродный собор всешутейшего князьпапы видно напряженное внимание к человеческому лицу к реалиям быта.
34480. Русское искусство сер.18в.:Елизаветинское барокко. Интерьеры. Архитектура. Деятельность Б.Ф. Растрелли. Тенденции рококо и барокко в интерьерах и мебели 31 KB
  :Елизаветинское барокко. Тенденции рококо и барокко в интерьерах и мебели. делится на два этапа: 30е годы – мрачное время правления Анны Иоанновны засилья иноземцев и 40–50е годы – годы елизаветинского правления некоторого смягчения нравов предыдущего времени роста национального самосознания поощрения всего отечественного время сложения стиля русского барокко знаменующего синтез всех видов искусства. Елизаветинское барокко – художественный стиль характерный для времени Елизаветы.
34481. Русское искусство середины 18в.: Живопись – расцвет портрета. Своеобразие творческого метода живописцев И.Я. Вишнякова, И.П. Аргунова, Л.П. Антропова 36 KB
  : Живопись – расцвет портрета. В его портретах особенно детских отразился дух русского рокайльного искусства но в них нет бездушности фривольности наружной слащавости и галантности присущих западному рококо. Но лица в портретах пронизаны теплотой и душевностью в них есть особая интимность и непритязательность обаяние и цельность образа. Аргунов первые приобретшие известность портреты соединяют в себе принцип композиции западноевропейского парадного портрета и идущие от парсуны черты застылости живописной сухости плоскостности.
34482. Русское искусство середины 18в.: Архитектура – от барокко к классицизму 31 KB
  : Архитектура – от барокко к классицизму. Переход от барокко к классицизму был одним из самых быстрых в смене стилей отечественной архитектуры. Конец 1750х годов еще расцвет барокко. Барокко как самостоятельный стиль в русской архитектуре оформилось в 1730х годах.
34483. Русская архитектура середины 18в. Школа Д. В.Ухтомского. Своеобразие архитектурного почерка 33 KB
  Ухтомского заключалась в руководстве правильной застройкой города. Ухтомского. Ухтомского выходили отличные зодчие примером чего может служить М. Ухтомского.
34484. Русская архитектура второй половины 18в. Деятельность М.Ф. Казакова 35 KB
  Казакова М. Казаков – ученик архитектурной школы известного русского зодчего Д. возглавил школу и команду Казаков приобрел большой строительный опыт: участвовал в создании Головинского дворца Триумфальных ворот на Страстной площади в честь коронации Екатерины II галереи Оружейной палаты. Впервые дарование Казакова как архитектора раскрылось во время его участия в восстановлении Твери после пожара в мае 1763 г.
34485. Русское искусство к.18в.: Эпоха русского классицизма. Портретный и исторический жанр в творчестве А.П. Лосенко. М.Шибанов – зачинатель крестьянского бытового жанра 34.5 KB
  Лосенко. Лосенко 1737 1773 сын крестьянина ставший потом директором Академии. Будучи воспитанником Академии художеств Лосенко создал большую историческую картину на евангельский сюжет Чудесный улов . Лосенко много внимания уделял он живописным этюдам обнаженного тела; в результате появились известные полотна Авель и Каин .