20505

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

11 пошуку розвязку системи с заданою похибкою відповідно теоремі про збіжність.11 виконується то ітераційний процес пошуку розвязку системи с заданою похибкою збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.13 що легко розвязується для знаходження вектора розвязку першого наближення тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

Украинкский

2013-07-25

91 KB

41 чел.

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь.

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (3.2). Метод послідовних наближень (метод Якобі) відноситься до ітераційних методів, тому потребує перетворити дану систему до нормального вигляду (3.5) та знайти канонічні норми матриці , для того щоб визначити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) - (3.11) пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  відповідно теоремі про збіжність. Якщо жодна з умов (3.3) – (3.11) не виконується, то дану систему необхідно перетворити по певним правилам, та знову перевірити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) – (3.11). Якщо жодна з умов знову не виконується, то метод послідовних наближень не має сенсу використовувати. Якщо хоча б одна з умов (3.9) – (3.11) виконується, то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.

По-перше, вибирається певне значення вектору початкових наближень  , яке підставляється в праву частину системи рівнянь виду:

,     (3.13)

що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення , тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

По-друге, перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

де  - задана похибка результатів розв’язання задачі. Якщо умова не виконується, то  підставляється в праву частину системи (3.5) і знаходиться :

та знову перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

.

За аналогією будь-яке (К+1)-е наближення можна обчислити за формулою:

, де к=0,1,2.....               (3.14)

Якщо послідовність , що отримана в результаті ітераційного процесу, має границю , то ця границя є розв’язком системи. Умова закінчення ітераційного процесу має вигляд:

,                    (3.15)

де - задана похибка результатів розв’язання системи.

Алгоритмічно перевірка умови (3.15) представляє собою алгоритм пошуку максимального відхилення між координатами вектора  і  і порівняння його з заданою похибкою .

Алгоритм методу послідовних наближень зображено на рисунку 3.1

     

     Рисунок 3.1. – Схема алгоритму методу послідовних наближень

Оцінка похибки метода Якобі

Якщо задана допустима похибка обчислень  і x - вектор точного розв’язку системи лінійних рівнянь, а -те наближення до вектору точного розв’язку, то для оцінки похибки метода послідовних наближень використовується формула:

,               (3.16)

де  - одна з 3 норм матриці ;  - аналогічна норма вектора  ; - кількість ітерацій, необхідна для досягнення потрібної точності .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30613. А. П. Чехов о журналистском творчетсве 28.87 KB
  Чехов о журналистском творчетсве.Первые опыты литературного творчества Чехова в юмористическом духе относятся к гимназическим годам. Чехов в воспоминаниях комунибудь подражая или когонибудь представляя.Так еще в гимназические годы проявляется у Чехова тяга к юмору и желание установить связь с юмористическими журналами.
30614. Сергей Довлатов: ремесло и творчество 44 KB
  Произведения Довлатовапрозаика не издавались в СССР. В Америке проза Довлатова получила широкое признание публиковалась в известнейших американских газетах и журналах. Через пять дней после смерти Довлатова в России была сдана в набор его книга Заповедник ставшая первым значительным произведения писателя изданным на родине.Основные произведения Довлатова: Зона 19641982 Невидимая книга 1978 Соло на ундервуде: Записные книжки 1980 Компромисс 1981 Заповедник 1983 Наши 1983 Марш одиноких 1985 Ремесло 1985 Чемодан...
30615. З. Фрейд: бессознательное и творчество 38 KB
  Если председатель палаты депутатов в первых же своих словах закрывает заседание вместо того чтобы его открыть мы склонны считать это ошибочное действие не лишенным смысла. Особый вид сна сны наяву является сырым материалом для поэтического творчества потому что сны наяву поэт использует в своих новеллах романах пьесах. Гёте на вопрос когда и где появляется национальный классический писатель он отвечает: Когда в образе мысли своих соотечественников он не видит недостатка в величии равно как и в...
30616. Понятие творчества в философии С.Н.Булгакова («Свет невечерний») 37.5 KB
  ТВОРЧЕСТВО Главное: Бог творец. И творчество его возможность заложено богом. От них можно либо уйти в ленность либо их испытывать постоянно либо прийти к смирению перед богом и все творчество сделать религиозным. Чел существо двуполое и творчество тоже двуполое Оно есть скрещение двух начал гениальности и талантливости.
30618. Суть художественного тв-ва В. Кандинского (по книге «Духовное в искусстве») 76 KB
  Действие цвета. Скольжение нашего взора по покрытой красками палитре приводит к двум главным результатам: осуществляется чиста физическое воздействие цвета когда глаз очарован его красотой и другими его свойствами. При низкой душевной восприимчивости цвет может вызвать лишь поверхностное действие которое исчезает вскоре после того как прекратилось раздражение. Глаз становитсябеспокойным не выдерживает долго вида этого цвета и ищет углубления и покоя всинем или зеленом.
30619. Архитип и символ в творческой деятельности по Ницше «О музыке и слове» 30 KB
  Архитип и символ в творческой деятельности по Ницше О музыке и слове ФРИДРИХ НИЦШЕ предлагает поставить язык и соответственно слово в категорию физической символики. В разных языках слово и предмет не совпадают вполне = слово есть символ. Слово символизирует представления. Так происходит потому что слово символ не может соответствовать той внутренней сущности отражением которой являемся мы сами вместе с миром.
30620. Структура художественного творчества 43 KB
  Обозрение очерк фельетон памфлет. Этой группе публицистики свойственны образность типизация насыщенность литературно-художественными изобразительными средствами сплав понятия и образа. В основе художественно-публицистических жанров лежат документальные факты но определяющим становится авторское впечатление от факта авторская мысль. Типизация используется в художественно-публицистических жанрах с целью выявления типических черт характеристик и свойств...
30621. Мыслительная и творческая деятельность журналиста 28.5 KB
  Мыслительная и творческая деятельность журналиста Проблемная ситуация воспроизводится человеком как некая задача требующая решения. Всякую умственную деятельность можно назвать творческой. Творческая деятельность та которая дает новый общественно значимый материал. С этой точки зрения журналистика может быть творческой мыслительной деятельностью.