20505

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

11 пошуку розвязку системи с заданою похибкою відповідно теоремі про збіжність.11 виконується то ітераційний процес пошуку розвязку системи с заданою похибкою збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.13 що легко розвязується для знаходження вектора розвязку першого наближення тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

Украинкский

2013-07-25

91 KB

41 чел.

Метод послідовних наближень (метод ітерацій) для розв’язку системи лінійних рівнянь.

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (3.2). Метод послідовних наближень (метод Якобі) відноситься до ітераційних методів, тому потребує перетворити дану систему до нормального вигляду (3.5) та знайти канонічні норми матриці , для того щоб визначити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) - (3.11) пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  відповідно теоремі про збіжність. Якщо жодна з умов (3.3) – (3.11) не виконується, то дану систему необхідно перетворити по певним правилам, та знову перевірити умови збіжності ітераційного процесу (3.9) – (3.11). Якщо жодна з умов знову не виконується, то метод послідовних наближень не має сенсу використовувати. Якщо хоча б одна з умов (3.9) – (3.11) виконується, то ітераційний процес пошуку розв’язку системи с заданою похибкою  збігається і метод послідовних наближень можна використовувати.

По-перше, вибирається певне значення вектору початкових наближень  , яке підставляється в праву частину системи рівнянь виду:

,     (3.13)

що легко розв’язується для знаходження вектора розв’язку першого наближення , тому що в правої частині містить всі визначені елементи.

По-друге, перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

де  - задана похибка результатів розв’язання задачі. Якщо умова не виконується, то  підставляється в праву частину системи (3.5) і знаходиться :

та знову перевіряється виконання умови закінчення ітераційного процесу виду:

.

За аналогією будь-яке (К+1)-е наближення можна обчислити за формулою:

, де к=0,1,2.....               (3.14)

Якщо послідовність , що отримана в результаті ітераційного процесу, має границю , то ця границя є розв’язком системи. Умова закінчення ітераційного процесу має вигляд:

,                    (3.15)

де - задана похибка результатів розв’язання системи.

Алгоритмічно перевірка умови (3.15) представляє собою алгоритм пошуку максимального відхилення між координатами вектора  і  і порівняння його з заданою похибкою .

Алгоритм методу послідовних наближень зображено на рисунку 3.1

     

     Рисунок 3.1. – Схема алгоритму методу послідовних наближень

Оцінка похибки метода Якобі

Якщо задана допустима похибка обчислень  і x - вектор точного розв’язку системи лінійних рівнянь, а -те наближення до вектору точного розв’язку, то для оцінки похибки метода послідовних наближень використовується формула:

,               (3.16)

де  - одна з 3 норм матриці ;  - аналогічна норма вектора  ; - кількість ітерацій, необхідна для досягнення потрібної точності .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7208. The role of the government 36 KB
  Тема: The role of the government Вид заняття: самостійна робота. Мета: розвивати самостійність студентів, розвивати вміння і навички роботи з додатковою літературою, оволодівати методами добору матеріалу, вчитися виділяти головне. Літера...
7209. Sources of finance 54.5 KB
  Тема: Sources of finance Вид заняття: лекція-семінар. Мета: спонукати студентів до висловлювання англ. мовою шляхом постановки проблемних питань, практикувати навички усного мовлення розвивати у студентів навички самостійної робот...
7210. Insuranse services of banks 45.5 KB
  Тема: Insuranse services of banks Вид заняття: лекція-cемінар Мета: спонукати студентів до висловлювання англ. мовою шляхом постановки проблемних питань, практикувати навички усного мовлення розвивати у студентів навички самостійн...
7211. Telephone Etiquette 31.5 KB
  Тема: TelephoneEtiquette Вид заняття: самостійна робота. Мета: розвивати самостійність студентів, розвивати вміння і навички роботи з додатковою літературою, оволодівати методами добору матеріалу, вчитися виділяти головне. Літерату...
7212. Классификация субъектов предпринимательской деятельности и организационно- правовые формы. Юридические лица 35.22 KB
  Классификация субъектов предпринимательской деятельности и организационно-правовые формы. Юридические лица. Понятие, признаки, общая и специальная правоспособность юридического лица. Государственная регистрация и учредительные документы юридич...
7213. Правовий режим майна субєктів господарювання 491 KB
  План 1. Майно у сфері господарювання. 2. Поняття і види правового режиму майна у сфері господарювання. 3. Право державної власності та правові форми її реалізації. 4. Право комунальної власності та правові форми її реалізації. 5. Право колективної в...
7214. Религия и культура 119.5 KB
  Религия и культура 1. Взаимоотношения религии и культуры в истории человечества. Сущность и основные функции религии. 2. Языческая культура. 3. Христианство и культура. 4. Исламская культура. Религия (лат. religio - благочестие...
7215. Распространение сигналов по оптическому кабелю 252.5 KB
  Распространение сигналов по оптическому кабелю. Передача сигналов по оптическому кабелю имеет свои особенности, которые связаны со способом передачи оптических сигналов, а также с тем, что распространение излучения по световоду является многомодовым...
7216. Сдвигающие Регистры 647 KB
  Сдвигающие Регистры Для выполнения операций умножения,деления, сложения необходим сдвиг числа влево или вправо. L1, L2 - сдвиг влево R1, R2 - сдвиг вправо (на 1 разряд, на 2)...