20513

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Поняття матриці яке вже не було похідним від поняття визначник з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін матриця першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр який розглядав матрицю як об’єкт що породжує сімейство мінорів визначників менших матриць утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці. LU розклад матриці представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та...

Украинкский

2013-07-25

66.5 KB

1 чел.

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом.

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Китайський текст «Математика в дев'яти книгах»(рус.,eng.) (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання матриць для розв'язання системи рівнянь, включаючи поняття визначника, ще задовго до введення визначників японським математиком Такакадзу Секі(1683) та німецьким математиком Лейбніцем (1693). Габріель Крамер представив своє правило в 1750 році.

Поняття «матриці», яке вже не було похідним від поняття «визначник» з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін «матриця» першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр, який розглядав матрицю, як об’єкт, що породжує сімейство мінорів (визначників менших матриць, утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці).

Вивчення визначників відбувалось в різних галузях математики:

  •  Карл Фрідріх Гаус першим встановив зв’язок між квадратичними формами, лінійними відображеннями та матрицями.
  •  Коші розглядав визначники як многочлени та в 1829 довів, що власні значення симетричних матриць є дійсними числами.

...

Багато теорем доводили спочатку для матриць малих розмірів: теорема Гамільтона — Келі була доведена Келі тільки для матриць 2×2, а Гамільтоном для 4×4.

Фердинанд Ейзенштейн, Якобі, Леопольд Кронекер, Карл Веєрштрас, Вільям Ровен Гамільтон, Фердинанд Георг Фробеніус, Вільгельм Йордан.

LU розклад матриці  представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та верхньої трикутної матриці.

Квадратна матриця A розміру n може бути представлена у вигляді

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру.

LDU розклад матриці — це представлення у вигляді

де D  діагональна матриця, а L та U є одиничними трикутними матрицями, тобто, всі їх діагональні елементи рівні одиниці.

LUP розклад матриці — це представлення в формі

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру, а P  матриця перестановки.

Є модифікованим методом Гауса і потребує 2n3 / 3 арифметичних операцій.

Позначимо як lij, uij, aij елементи матриць L,U та A відповідно. З означення LU-розбиття lij=0 (j>i), uij=0 (j<i), uii=1. Очевидно, що

,

(тут n — розмір матриці А)

Звідки легко в явній формі отримати вирази для елементів матриць L та U:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75920. Причины негативного восприятия России на западе в прошлом и настоящем 19.32 KB
  Западные политики до сих пор опасаются возрождения СССР в его прошлых границах и уповают на наличие у России как правоприемницы СССР амбиций вернуть утраченные территории. Что имеется ввиду Реалии нашей действительности позволяют западному человеку находить в них то что соответствует его суждениям о России сколь бы превратными и односторонними с чьейлибо точки зрения они ни были. В этом смысле сложившийся на Западе образ России во многих случаях больше говорит об особенностях западного менталитета чем о самой нашей стране.
75921. Кризисная дипломатия Хрущева и «доктрина Брежнева»: преемственность и изменения во внешней политике СССР в 1950-1980-е годах 18.26 KB
  Внешняя политика СССР в начальный период хрущевской оттепели велась в условиях напряженной международной обстановки и жесткой конфронтации со странами Запада. В середине 50х годов создали свой военно-политический союз СССР и страны социалистического лагеря. Хрущевым видело одно из средств ослабления международной напряженности в расширении взаимоотношений СССР и стран мира.
75922. Публичная дипломатия современной России: пути и формы реализации 27.93 KB
  Несмотря на общее признание необходимости усилить роль публичной дипломатии взгляды на цель этого усиления среди политиков и экспертов разнятся. Наряду с пониманием общественной дипломатии как public diplomcy появилось и второе значение термина в русском языке – дипломатия на уровне общественных организаций. Поэтому более удобным представляется перевод публичная дипломатия не имеющий значения дипломатии на уровне НПО.
75923. Августовский дефолт 1998 года: истоки, экономические и политические последствия 19.66 KB
  Применение завышенного курса российского рубля в качестве меры по сдерживанию инфляционных ожиданий. Завышенный обменный курс российского рубля значительно снижал ценовую конкурентоспособность российских производителей. В-третьих резкий рост государственного долга приводил к значительному увеличению рисков связанных с колебаниями курсов ценных бумаг и курса российского рубля. Эти события оказали негативное влияние на настроения инвесторов что увеличило отток капитала и усилило давление на курс рубля.
75924. Армейские реформы в РФ – дискуссии об их осуществлении 17.1 KB
  Медведев выдвигает идею инновационной армии в качестве элемента своей программы модернизации в частности ставит задачу довести долю современных систем на ее вооружении до 70. устранения диспропорций якобы возникших в результате развала Советской армии и массовых сокращений 1990х годов она представляет собой первую попытку окончательного отказа от концепции массовой мобилизационной армии концепции которая реализовывалась в строительстве российских Вооруженных сил последние полтораста лет. Прочным фундаментом внезапно ускоренной...
75925. Борис Ельцин – первый президент РФ: личность и эпоха 15.83 KB
  А как к деятельности бывшего руководителя страны относятся наши местные политики Какое по их мнению место в истории он заслуживает Римма Ризванова руководитель исполкома Набережночелнинского отделения партии Единая Россия: – Время правления Ельцина – 1990е годы – было очень сложно. А сегодня многие даже не понимают что Путин –это его преемник который в свое время выделил бывшему президенту годовую пенсию равную 28 миллионов рублей в год Ельцина люди по-прежнему ненавидят. Под руководством Ельцина начала сеяться в России...
75926. Внешнеполитические причины дезинтеграции СССР 18.75 KB
  Борьба США и СССР. Целенаправленная помощь афганским моджахедам; Инновационная технологическая рецептура: Кампания по резкому сокращению притока валюты в СССР реализуемая посредством снижения по договоренности с Саудовской Аравией мировых цен на нефть ограничения советского природного газа в Западную Европу; Когда у СССР сформировалась иллюзия возможности безбедного существования за счет цен на нефть и когда советская экономика уже была полностью привязана к нефтяному экспорту произошел 1986 г. воздействие американцы активно...
75927. Внешняя политика во взглядах правящей элиты России: эволюция и современное состояние 21.02 KB
  На протяжении последних двух десятилетий в России сменилось несколько партий власти. На смену Выбору России и созданной одновременно с ним Партии российского единства и согласия пришло движение Наш дом Россия впоследствии влившееся в блок Единство который затем трансформировался в Единую Россию. В рамках переходной политической системы постсоветской России Ельцин находил достаточно прочную социальную и политическую базу как в широком демократическом движении так и в рыночно ориентированной части постсоветской номенклатуры.
75928. Внутриполитические причины дезинтеграции СССР 17.22 KB
  Отсутствие гибкого механизма управления огромной страной способного изменяться в соответствии с веяниями времен Разногласия в единой политике КПСС кризис коммунистической идеологии и ослабление роли КПСС с последующей ликвидацией ее партийно-политической монополии составлявшей основу СССР; было утрачено большинство политических и территориальных завоеваний СССР в годы Великой Отечественной войны были ликвидированы СЭВ и ОВД....