20513

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Поняття матриці яке вже не було похідним від поняття визначник з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін матриця першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр який розглядав матрицю як обєкт що породжує сімейство мінорів визначників менших матриць утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці. LU розклад матриці представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та...

Украинкский

2013-07-25

66.5 KB

1 чел.

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом.

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Китайський текст «Математика в дев'яти книгах»(рус.,eng.) (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання матриць для розв'язання системи рівнянь, включаючи поняття визначника, ще задовго до введення визначників японським математиком Такакадзу Секі(1683) та німецьким математиком Лейбніцем (1693). Габріель Крамер представив своє правило в 1750 році.

Поняття «матриці», яке вже не було похідним від поняття «визначник» з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін «матриця» першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр, який розглядав матрицю, як об’єкт, що породжує сімейство мінорів (визначників менших матриць, утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці).

Вивчення визначників відбувалось в різних галузях математики:

  •  Карл Фрідріх Гаус першим встановив зв’язок між квадратичними формами, лінійними відображеннями та матрицями.
  •  Коші розглядав визначники як многочлени та в 1829 довів, що власні значення симетричних матриць є дійсними числами.

...

Багато теорем доводили спочатку для матриць малих розмірів: теорема Гамільтона — Келі була доведена Келі тільки для матриць 2×2, а Гамільтоном для 4×4.

Фердинанд Ейзенштейн, Якобі, Леопольд Кронекер, Карл Веєрштрас, Вільям Ровен Гамільтон, Фердинанд Георг Фробеніус, Вільгельм Йордан.

LU розклад матриці  представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та верхньої трикутної матриці.

Квадратна матриця A розміру n може бути представлена у вигляді

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру.

LDU розклад матриці — це представлення у вигляді

де D  діагональна матриця, а L та U є одиничними трикутними матрицями, тобто, всі їх діагональні елементи рівні одиниці.

LUP розклад матриці — це представлення в формі

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру, а P  матриця перестановки.

Є модифікованим методом Гауса і потребує 2n3 / 3 арифметичних операцій.

Позначимо як lij, uij, aij елементи матриць L,U та A відповідно. З означення LU-розбиття lij=0 (j>i), uij=0 (j<i), uii=1. Очевидно, що

,

(тут n — розмір матриці А)

Звідки легко в явній формі отримати вирази для елементів матриць L та U:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68021. Принципы построения многопроцессорных вычислительных систем 18.21 KB
  Отметим что начать исследование проблемы синтеза интеллектуальных систем представляется целесообразным с обзора существующих научных взглядов проблем достижений и перспектив в области построения многопроцессорных вычислительных систем. Ведь как мы уже определили выше интеллектуальная...
68022. История противодействия коррупции в российском государстве - период до 1917 года 37.22 KB
  История коррупции не уступает по древности истории человеческой цивилизации. Коррупция в России - наиболее сложное и неоднозначное явление, специфичность которого связана с особым менталитетом, присущим россиянам.
68024. Протокол RIP (Routing Information Protocol) 121 KB
  В соответствии с протоколом RIP любая машина может быть маршрутизатором. В основу алгоритма маршрутизации по протоколу RIP положена простая идея: чем больше шлюзов надо пройти пакету тем больше времени требуется для прохождения маршрута. Другая идея которая призвана решить проблемы RIP...
68026. Психические явления. Познавательные явления 19.3 KB
  Внимание как особенность всех психических процессов. Внимание это сосредоточение психической деятельности человека на одном и том же объекте в данное время и при данных условиях. Внимание является особенностью всех процессов. Внимание к вещи которая интересна.
68028. Нарушение эмоционально-волевой сферы 32.19 KB
  Гипербулия – это общее повышение воли, затрагивающее все основные влечения человека. Гипобулия – понижение волевой активности (вялость, отсутствие потребности в общение. Ступор – полная или частичная обездвиженность, к нарушением воли так же можно отнести негативизм. Клептомания – кража ненужных вещей.
68029. Матвей Иванович Афонин (1739-1810 гг.) 494.24 KB
  XVIII век в истории России - это жестокий, даже беспощадный век правления Петра I, решившего в короткие сроки изменить Россию, время стрелецких бунтов и дворцовых переворотов, правления Екатерины Великой, крестьянских войн и усиления крепостного права. Но в то же время для этого периода русской...