20513

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Поняття матриці яке вже не було похідним від поняття визначник з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін матриця першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр який розглядав матрицю як об’єкт що породжує сімейство мінорів визначників менших матриць утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці. LU розклад матриці представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та...

Украинкский

2013-07-25

66.5 KB

1 чел.

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом.

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Китайський текст «Математика в дев'яти книгах»(рус.,eng.) (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання матриць для розв'язання системи рівнянь, включаючи поняття визначника, ще задовго до введення визначників японським математиком Такакадзу Секі(1683) та німецьким математиком Лейбніцем (1693). Габріель Крамер представив своє правило в 1750 році.

Поняття «матриці», яке вже не було похідним від поняття «визначник» з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін «матриця» першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр, який розглядав матрицю, як об’єкт, що породжує сімейство мінорів (визначників менших матриць, утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці).

Вивчення визначників відбувалось в різних галузях математики:

  •  Карл Фрідріх Гаус першим встановив зв’язок між квадратичними формами, лінійними відображеннями та матрицями.
  •  Коші розглядав визначники як многочлени та в 1829 довів, що власні значення симетричних матриць є дійсними числами.

...

Багато теорем доводили спочатку для матриць малих розмірів: теорема Гамільтона — Келі була доведена Келі тільки для матриць 2×2, а Гамільтоном для 4×4.

Фердинанд Ейзенштейн, Якобі, Леопольд Кронекер, Карл Веєрштрас, Вільям Ровен Гамільтон, Фердинанд Георг Фробеніус, Вільгельм Йордан.

LU розклад матриці  представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та верхньої трикутної матриці.

Квадратна матриця A розміру n може бути представлена у вигляді

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру.

LDU розклад матриці — це представлення у вигляді

де D  діагональна матриця, а L та U є одиничними трикутними матрицями, тобто, всі їх діагональні елементи рівні одиниці.

LUP розклад матриці — це представлення в формі

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру, а P  матриця перестановки.

Є модифікованим методом Гауса і потребує 2n3 / 3 арифметичних операцій.

Позначимо як lij, uij, aij елементи матриць L,U та A відповідно. З означення LU-розбиття lij=0 (j>i), uij=0 (j<i), uii=1. Очевидно, що

,

(тут n — розмір матриці А)

Звідки легко в явній формі отримати вирази для елементів матриць L та U:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6197. Философия в эпохи Средневековья и Возрождения 104 KB
  Философия в эпохи Средневековья и Возрождения. Вопрос 1 Философия Аврелия Августина и Фомы Аквинского. Люби, и тогда делай, что хочешь (А. Августин). Истина должна быть конечной целью вселенной (Ф.Аквинский). Жизнь и труды А. Августина. Апогеем разв...
6198. Защищенный документооборот и технологические системы обработки и хранения конфиденциальных документов 165 KB
  Защищенный документооборот и технологические системы обработки и хранения конфиденциальных документов 1. Конфиденциальность документов 1. Понятие о конфиденциальной информации и конфиденциальности документов В современной российской рыно...
6199. Коллекции данных и их обработка на языке С# и в среде Net 219 KB
  Коллекции В некоторых ситуациях возникает потребность хранения более одного элемента в коллекциях данных. Может понадобиться хранить группу или коллекцию, некоторым образом включенную в более крупную конструкцию. Язык С# и среда Net представляют мно...
6200. Основные теоремы дифференциального исчисления 64.72 KB
  Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение...
6201. Философия как универсальный научный метод 103.5 KB
  Философия как универсальный научный метод. Природой можно руководить, лишь подчиняясь ей (Ф. Бэкон). Вопрос 1 Проблемы философии Нового времени и эмпиризм Ф. Бэкона. Проблемы философии Нового времени в контексте развития науки. Исторически, Новое вр...
6202. Генетика прокариот 96 KB
  Генетика прокариот 1. Организация прокариотической клетки. Размножение прокариот. 2. Геномика прокариот. 3. Вирусы. Геномика вирусов. Разнообразие форм и жизненных циклов вирусов. Рекомбинация в разных группах вирусов. 4. Рекомбинация у прокариот: т...
6203. Реклама как вид маркетинговой коммуникации в журналистике 105.5 KB
  Реклама как вид маркетинговой коммуникации в журналистике Существует великое множество определение рекламы. По мнению Ф. Котлера реклама представляет собой неличные формы коммуникации, осуществляемые через посредство платных средств распростр...
6204. Потребительское поведение 81.5 KB
  Потребительское поведение Закон убывающей предельной полезности. Процесс рационального выбора. Потребительские предпочтения. Кривые безразличия и бюджетные ограничения. Равновесие потребителя. Закон спроса имеет очень большое значение, ...
6205. Пузырчатка. Герпетиформный дерматит Дюринга. Склеродермия. Доброкачественные и злокачественные новообразования кожи 236 KB
  Пузырчатка. Герпетиформный дерматит Дюринга. Красная волчанка. Склеродермия. Определение Этиология Классификация по клиническим формами разновидностям Тактика среднего медицинского работника при данных заболеваниях Прин...