20513

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Поняття матриці яке вже не було похідним від поняття визначник з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін матриця першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр який розглядав матрицю як об’єкт що породжує сімейство мінорів визначників менших матриць утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці. LU розклад матриці представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та...

Украинкский

2013-07-25

66.5 KB

1 чел.

Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом.

Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Китайський текст «Математика в дев'яти книгах»(рус.,eng.) (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання матриць для розв'язання системи рівнянь, включаючи поняття визначника, ще задовго до введення визначників японським математиком Такакадзу Секі(1683) та німецьким математиком Лейбніцем (1693). Габріель Крамер представив своє правило в 1750 році.

Поняття «матриці», яке вже не було похідним від поняття «визначник» з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін «матриця» першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр, який розглядав матрицю, як об’єкт, що породжує сімейство мінорів (визначників менших матриць, утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці).

Вивчення визначників відбувалось в різних галузях математики:

  •  Карл Фрідріх Гаус першим встановив зв’язок між квадратичними формами, лінійними відображеннями та матрицями.
  •  Коші розглядав визначники як многочлени та в 1829 довів, що власні значення симетричних матриць є дійсними числами.

...

Багато теорем доводили спочатку для матриць малих розмірів: теорема Гамільтона — Келі була доведена Келі тільки для матриць 2×2, а Гамільтоном для 4×4.

Фердинанд Ейзенштейн, Якобі, Леопольд Кронекер, Карл Веєрштрас, Вільям Ровен Гамільтон, Фердинанд Георг Фробеніус, Вільгельм Йордан.

LU розклад матриці  представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та верхньої трикутної матриці.

Квадратна матриця A розміру n може бути представлена у вигляді

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру.

LDU розклад матриці — це представлення у вигляді

де D  діагональна матриця, а L та U є одиничними трикутними матрицями, тобто, всі їх діагональні елементи рівні одиниці.

LUP розклад матриці — це представлення в формі

де L та U — нижня та верхня трикутна матриця того ж розміру, а P  матриця перестановки.

Є модифікованим методом Гауса і потребує 2n3 / 3 арифметичних операцій.

Позначимо як lij, uij, aij елементи матриць L,U та A відповідно. З означення LU-розбиття lij=0 (j>i), uij=0 (j<i), uii=1. Очевидно, що

,

(тут n — розмір матриці А)

Звідки легко в явній формі отримати вирази для елементів матриць L та U:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51036. Разработка тестов в программе Excel 37 KB
  Разработка тестов в программе Microsoft Excel на основе индивидуальных данных минимум 6 тестовых заданий. Индивидуальные данные для выполнения работы: 2 вариант Результаты выполнения работы Создала тест в Microsoft Excel 2010 по образцу данному в задании лабораторной работы Контрольные вопросы 1. Какие этапы создания тестовых заданий выделяют в технологии составления компьютерных тестов средствами Excel Можно выделить следующие этапы создание теста.
51038. Автоматизація та компютерно-інтегровані технології. Методичні вказівки 44.28 MB
  По статичним характеристикам перетворення визначити абсолютну відносну та приведену похибки по діапазону вимірювання для обох приладів та побудувати графіки для обох приладів: а реальної статичної характеристики перетворення; б залежності приладів похибок по діапазону вимірювання.
51039. Налоговая декларация. Налоговый контроль 72.01 KB
  Налоговая декларация представляет собой письменное заявление налогоплательщика о полученных доходах и произведенных расходах, источниках доходов, налоговых льготах и исчисленной сумме налога и (или) другие данные, связанные с исчислением и уплатой налога.
51040. Спектры видеоимпульсов 1.48 MB
  ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСОВ Различают импульсы высокочастотных колебаний называемые радиоимпульсами и видеоимпульсы не связанные с высокочастотными колебаниями. В дальнейшем при отсутствии оговорок под импульсами следует понимать видеоимпульсы положительной или отрицательной полярности. Резкий подъем импульса называется фронтом резкий спад срезом а верхняя часть вершиной. Иногда после среза импульса наблюдается выброс противоположной полярности за которым может следовать медленно меняющаяся часть называемая хвостом...