20514

Розбивання квадратних матриць на клітки першим способом

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Одним з найважливіших завдань є завдання знаходження вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. коефіцієнтів Х шукане рішення записане у вигляді стовпця з n елементів F стовпець вільних членів з mелементів. Якщо A прямокутна m ´ n матріца рангу до те рішення може не існувати або бути не єдиним. В разі неіснування рішення має сенс узагальнене рішення що дає мінімум сумі квадратів нев'язок див.

Украинкский

2013-07-25

41.5 KB

0 чел.

Розбивання квадратних матриць на клітки першим способом.

Квадратні матриці. Степенью A n М. А називається твір n співмножників, рівних А . Вираження віда a 0 А n + a 1 A n-1 + ... + a n E , де a 0 , a 1 ..., a n — числа, називається значенням полінома a 0 t n + a i t n-1 + ... + a n E від квадратної М. А . Правила дій над поліномами від даної М. А нічим не відрізняються від правил дій над алгеброю многочленами. Можна розглядати і аналітичні функції від М. В частковості, якщо

 

є ряд (наприклад ), що сходиться на всій комплексній плоскості, то і безконечний ряд  виявляється таким, що сходиться при будь-який М. А , його суму природно рахувати равной f(A) . Якщо ж ряд f(t) сходиться в деякому кінцевому крузі збіжності, тоf(A) задається цим рядом для досить «малих» М.

  Аналітичні функції від М. грають велику роль в теорії диференціальних рівнянь. Так, система звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, записаних в матричних позначеннях у вигляді

 

(тут Х — стовпець з невідомих функцій), має решеніє х = e At C , де З — стовпець з довільних постійних.

  Ненульовий стовпець Х такий, что AX = l Х , називається власним вектором М. А . У цій рівності коефіцієнт l може бути лише одним з коріння многочлена

 

який називається характеристичним многочленом М. А . Це коріння називається власними значеннями, або характеристичними числами, М. А . Коефіцієнти характеристичного многочлена виражаються через суми деякого мінору М. А. Зокрема, p 1 = a 11 + ... + a 1n = Sp A (слід A ) . Справедливе співвідношення Келі — Гамільтона: якщо j( f ) є характеристичний многочлен М. А , то j( A )= 0, так що М. А є «коренем» свого характеристичного многочлена.

  М. А називається подібною М. В, якщо існує така неособлива М. З , що В  =  С -1  . Легко перевіряється, що подібні М. мають однакові характеристичні многочлени.

 М. — корисний апарат для дослідження багатьох завдань теоретичної і прикладної математики. Одним з найважливіших завдань є завдання знаходження вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. У матричних позначеннях такі системи записуються у вигляді

  AX = F ,

де A є М. коефіцієнтів, Х — шукане рішення, записане у вигляді стовпця з n елементів, F — стовпець вільних членів з mелементів. Якщо А — квадратна неособлива М., то система має єдине решеніє Х = A -1 F . Якщо A прямокутна ( m ´ n -матріца рангу до , те рішення може не існувати або бути не єдиним. В разі неіснування рішення має сенс узагальнене рішення, що дає мінімум сумі квадратів нев'язок (див. Найменших квадратів метод ). За відсутності єдиності точного або узагальненого рішення часто вибирають нормальне рішення тобто вирішення з найменшою сумою квадратів компонент. Нормальне узагальнене рішення знаходиться по формулі Х = A + F . Найбільш важливий випадок перевизначеної системи: до  =  n  <  m . В цьому випадку узагальнене рішення єдине. Прі до  =  m  <  n (недовизначена система) точних рішень нескінченно багато і формула дає нормальне рішення.

  Не менш важливим для багаточисельних застосувань (у теорії диференціальних рівнянь, в теорії малих коливань, в квантовій механіці і т. д.) є завдання вирішення повної або часткової проблеми власних значень. Тут шукаються всі або частина власних значень М. і що належать їм власні або кореневі (деякі узагальнення власних) вектори. До цього завдання близько примикає і узагальнена проблема власних значень, в якій шукаються числа і вектори такі, что AX  = l BX ( А і В — задані М.), і багато родинних проблем.

  З повною проблемою безпосередньо зв'язано також завдання про приведення перетвореннями подібності квадратною М. до канонічеськjй форми. Такою формою буде diag (l 1 ..., l n ), якщо М. має n різних власних значень l 1 ..., l n , або форма Жордана [див. Нормальна (жорданова) форма матриці ] в загальному випадку.

  Зважаючи на велику практичну важливість поставлених завдань для їх чисельного вирішення є велике число різних методів. Поряд із знаходженням чисельного рішення поважно оцінювати якість знайденого рішення і досліджувати стійкість вирішуваного завдання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69225. Предмет, метод та завдання статистики 187.5 KB
  Статистика - самостійна суспільна наука, яка має свій предмет и метод дослідження. Виникла вона з практичної необхідності суспільного життя. Уже в давньому світі з’явилась необхідність підраховувати чисельність жителів держави; рахувати людей, пригодних до військової справи...
69226. Графічний метод зображення статистичних даних 334.5 KB
  Вимоги до статистичного графіка та його основні елементи. Слід нагадати що побудова графіка виправдана якщо він дає будьякі переваги порівняно з цифрами які зведені в ряди або таблиці. Основні елементи графіка.
69227. Статистичне зведення та групування 188 KB
  Значення коефіцієнтів наведено в таблиці. Статистичні таблиці їх значення в статистиці види таблиць. Статистичні таблиці призначені для найбільш раціонального наочного та систематизованого викладення результатів зведення і групування статистичних даних.
69228. Індекси. Суть індексів, їх особливості як узагальнюючих показників 143.5 KB
  Термін індекс (іпdех) є синонімом певної узагальнюючої характеристики. Наприклад, індекс реальних доходів населення за рік, індекс курсової вартості цінних паперів за місяць, регіональний індекс злочинності тощо. Кожний індекс є співвідношенням двох значень показника...
69229. Історія формування та розвитку статистики. Статистика у феодальному суспільстві та в епоху відродження. Розповсюдження товарно–грошових відносин та розвиток статистики 74 KB
  Історія вітчизняної соціально-економічної статистики Розвиток державної статистики визначається багатьма умовами і чинниками економічного соціального організаційного характеру. Становлення державної статистики можна віднести до кінця XVII початку XVIII в.
69230. Організація державної статистики в Україні та її структура 128 KB
  Цей Закон регулює правові відносини в галузі статистики і ведення первинного обліку визначає повноваження та функції органів державної статистики і створює основу для ведення державної інформаційної системи України з метою одержання достовірної статистичної інформації...
69231. Організація міжнародної статистики 155.5 KB
  Таким чином послідовна розробка міжнародних рекомендацій в області статистики дозволила МСІ закласти наукові основи міжнародних класифікацій по найважливіших розділах статистики і їх застосуванні але вже опосередковано через діяльність Ліги Націй і через ООН...
69232. Статистика продуктивності праці 120 KB
  Статистика продуктивності праці. Поняття продуктивності праці та завдання її статистичного вивчення. Показники рівня продуктивності праці та методи їх обчислення. Індексний метод у вивченні динаміки продуктивності праці.
69233. Робота з масивами і матрицями 86.72 KB
  При роботі з таблицями часто виникає ситуація, коли необхідно використати одну й ту ж операцію або формулу до деякого діапазону комірок, які утворюють інтервал масиву (масив-інтервал). MS Excel надає різні засоби для розв’язку такого типу задач.