20514

Розбивання квадратних матриць на клітки першим способом

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Одним з найважливіших завдань є завдання знаходження вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. коефіцієнтів Х шукане рішення записане у вигляді стовпця з n елементів F стовпець вільних членів з mелементів. Якщо A прямокутна m ´ n матріца рангу до те рішення може не існувати або бути не єдиним. В разі неіснування рішення має сенс узагальнене рішення що дає мінімум сумі квадратів нев'язок див.

Украинкский

2013-07-25

41.5 KB

0 чел.

Розбивання квадратних матриць на клітки першим способом.

Квадратні матриці. Степенью A n М. А називається твір n співмножників, рівних А . Вираження віда a 0 А n + a 1 A n-1 + ... + a n E , де a 0 , a 1 ..., a n — числа, називається значенням полінома a 0 t n + a i t n-1 + ... + a n E від квадратної М. А . Правила дій над поліномами від даної М. А нічим не відрізняються від правил дій над алгеброю многочленами. Можна розглядати і аналітичні функції від М. В частковості, якщо

 

є ряд (наприклад ), що сходиться на всій комплексній плоскості, то і безконечний ряд  виявляється таким, що сходиться при будь-який М. А , його суму природно рахувати равной f(A) . Якщо ж ряд f(t) сходиться в деякому кінцевому крузі збіжності, тоf(A) задається цим рядом для досить «малих» М.

  Аналітичні функції від М. грають велику роль в теорії диференціальних рівнянь. Так, система звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, записаних в матричних позначеннях у вигляді

 

(тут Х — стовпець з невідомих функцій), має решеніє х = e At C , де З — стовпець з довільних постійних.

  Ненульовий стовпець Х такий, что AX = l Х , називається власним вектором М. А . У цій рівності коефіцієнт l може бути лише одним з коріння многочлена

 

який називається характеристичним многочленом М. А . Це коріння називається власними значеннями, або характеристичними числами, М. А . Коефіцієнти характеристичного многочлена виражаються через суми деякого мінору М. А. Зокрема, p 1 = a 11 + ... + a 1n = Sp A (слід A ) . Справедливе співвідношення Келі — Гамільтона: якщо j( f ) є характеристичний многочлен М. А , то j( A )= 0, так що М. А є «коренем» свого характеристичного многочлена.

  М. А називається подібною М. В, якщо існує така неособлива М. З , що В  =  С -1  . Легко перевіряється, що подібні М. мають однакові характеристичні многочлени.

 М. — корисний апарат для дослідження багатьох завдань теоретичної і прикладної математики. Одним з найважливіших завдань є завдання знаходження вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. У матричних позначеннях такі системи записуються у вигляді

  AX = F ,

де A є М. коефіцієнтів, Х — шукане рішення, записане у вигляді стовпця з n елементів, F — стовпець вільних членів з mелементів. Якщо А — квадратна неособлива М., то система має єдине решеніє Х = A -1 F . Якщо A прямокутна ( m ´ n -матріца рангу до , те рішення може не існувати або бути не єдиним. В разі неіснування рішення має сенс узагальнене рішення, що дає мінімум сумі квадратів нев'язок (див. Найменших квадратів метод ). За відсутності єдиності точного або узагальненого рішення часто вибирають нормальне рішення тобто вирішення з найменшою сумою квадратів компонент. Нормальне узагальнене рішення знаходиться по формулі Х = A + F . Найбільш важливий випадок перевизначеної системи: до  =  n  <  m . В цьому випадку узагальнене рішення єдине. Прі до  =  m  <  n (недовизначена система) точних рішень нескінченно багато і формула дає нормальне рішення.

  Не менш важливим для багаточисельних застосувань (у теорії диференціальних рівнянь, в теорії малих коливань, в квантовій механіці і т. д.) є завдання вирішення повної або часткової проблеми власних значень. Тут шукаються всі або частина власних значень М. і що належать їм власні або кореневі (деякі узагальнення власних) вектори. До цього завдання близько примикає і узагальнена проблема власних значень, в якій шукаються числа і вектори такі, что AX  = l BX ( А і В — задані М.), і багато родинних проблем.

  З повною проблемою безпосередньо зв'язано також завдання про приведення перетвореннями подібності квадратною М. до канонічеськjй форми. Такою формою буде diag (l 1 ..., l n ), якщо М. має n різних власних значень l 1 ..., l n , або форма Жордана [див. Нормальна (жорданова) форма матриці ] в загальному випадку.

  Зважаючи на велику практичну важливість поставлених завдань для їх чисельного вирішення є велике число різних методів. Поряд із знаходженням чисельного рішення поважно оцінювати якість знайденого рішення і досліджувати стійкість вирішуваного завдання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4581. Управление затратами предприятия на примере ООО «Кормилец» 184.81 KB
  Дать характеристику и классификацию издержек обращения в торговых предприятиях; изучить методы управления затратами; дать характеристику деятельности ООО «Кормилец»; сделать анализ финансового состояния предприятия; разработать план мероприятия по управлению затратами; дать оценку эффективности данных мероприятий...
4582. Сучасні технології захисту інформації в комп’ютерних системах і мережах 2.15 MB
  Частина друга присвячена питанням захисту інформації в комп’ютерних мережах. До її складу входять роботи: Перехоплення мережевого обміну, Сканування TCP/IP мереж, Засоби аналізу захищеності, Міжмережеві екрани, Системи виявлення атак. Лаборатор...
4583. Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач 80 KB
  Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...
4584. Знайомство з системою комп’ютерної математики - математичною матричною лабораторією MATLAB 232.5 KB
  Знайомство з системою комп’ютерної математики - математичною матричною лабораторією MATLAB. Мета роботи: Ознайомитися з основними елементами і складовими частинами системи комп’ютерної математики MatLab® і її робочим і програмним середовищ...
4585. Планування модельних експериментів. Стратегічне планування модельного експерименту 101 KB
  Планування модельних експериментів. Стратегічне планування модельного експерименту. Мета роботи: Ознайомитися з методами стратегічного планування імітаційних експериментів. Планування модельних експериментів Припустимо, три юні натураліст...
4586. Методи управління модельним часом: моделювання з постійним кроком і по особливих станах 101 KB
  Методи управління модельним часом: моделювання з постійним кроком і по особливих станах. Мета роботи: Вивчити методи управління модельним часом. Ознайомитися і програмно реалізувати алгоритми управління модельним часом з постійним кроком і по особли...
4587. Субтрактивне змішування кольорів. Диск Максвелла 38.52 KB
  Субтрактивне змішування кольорів. Диск Максвелла. Виконання роботи. Визначення координат ахроматичної точки. Підібрали такі розміри зовнішніх секторів з кольорами Cyan, Magenta, Yellow, що їх суміш дала ахроматичний колір. Отримали наступні коорд...
4588. Розрахунок припусків на механічну обробку оптичних деталей 47 KB
  Розрахунок припусків на механічну обробку оптичних деталей Мета роботи: Ознайомити студентів з методикою розрахунків припусків на розміри оптичних поверхонь деталей при їх обробці в оптичному виробництві. Завдання 1. Ознайомитись з видами припусків ...
4589. Інсталювання та налагодження мережевих компонент однорангової мережі Windows 9x. 103 KB
  Інсталювання та налагодження мережевих компонент однорангової мережі Windows 9x, Робота в одноранговій мережі. Керування доступом на рівні ресурсів. Використання спільних каталогів та мережевого принтера. Методичні вказівки з курсу Операційні ...