20548

Понятие оптимизации. Постановка задачи оптимизации. Примеры

Доклад

Математика и математический анализ

Методы оптимизации находят широкое применение при решении задач управления сложными техническими системами широко применяются в космонавтике машиностроении и других отраслях промышленности существующие методы управления и построения систем управления в основном решают одномерные задачи и нашли широкое применение при исследовании устойчивости систем описываемых линейными уравнениями с постоянными коэффициентами и т. Основу современной теории управления составляют математическое описание объекта или системы. Вектор Управления u как и фазовый...

Русский

2013-07-31

98 KB

51 чел.

Понятие оптимизации. Постановка задачи оптимизации. Примеры.

Под оптимизацией понимается получение наивысших результатов в заданных условиях. Методы оптимизации находят широкое применение при решении задач управления сложными техническими системами, широко применяются в космонавтике, машиностроении и других отраслях промышленности существующие методы управления и построения систем управления в основном решают одномерные задачи и нашли широкое применение при исследовании устойчивости систем описываемых линейными уравнениями с постоянными коэффициентами и т.д. Однако , химические технологии и другие технические системы характеризуются многими входами и выходами переменных состояния объекта. Основу современной теории управления составляют математическое описание объекта или системы. Непрерывная система или процесс описываются диф. Уравнением вида:(1), где n- мерный вектор фазовых координат системы или вектор переменных состояний процесса или системы r- мерный вектор управляющих функций системы, t- время.

n- мерный вектор функция состояния системы.

Эта система уравнений описывает поведение объекта его изменения во времени при этом переменных состояния Х в технических системах представляет собой некоторые параметры например температура, давление, концентрация, скорость и др. характеристики объекта.

К этой системе обязательно должны быть записаны граничные условия, характеризующие состояние системы в начальный или конечный момент времени.

Кроме того, переменные состояния Х часто бывают величинами ограниченными, т.е. они не могут принимать сколь угодно больших или малых величин т.е. на эти переменные состояния обычно накладываются ограничения, т.е.  х принадлежит некоторой области дополнительных значений. Вектор Управления u, как и фазовый координаты х, обычно так же ограничены поскольку в качестве управления обычно используют те же параметры в зависимости от условий задачи(температура, давление, расход вещества или веществ), поэтому вектор управления находиться в некоторой допустимой области U.

это составляет основу теории управления. Поведение импульсных систем описывается системой конечно разностных уравнений.

- значение фазовых координат в к+1 момент времени или в к+1 точке пространства; это так же n- мерный вектор фазовых координат процесса.  и  соответственно, вектор фазовых координат и управления в к-ой точке пространства или в к-ый момент времени.

Задача оптимального управления формулируется:

1)Задана система уравнений в форме (1) или (2), описание поведения системы

2)Заданы граничные или начальные условия состояния системы

3)Заданы ограничения на фазовые координаты и управления системы.

Требуется построить такое управление , которое учитывая выше записанные условия Обеспечивает минимум или максимум критерию оптимизации, который может быть записан где F,G – скалярные функции.

Пример: печь в которой сжигается топливо

Входящие параметры расход воздуха, расход топлива, его состав

Выходные параметры температура,

Управляющие параметры соотношение между расходом воздуха и расходом топлива, его нужно менять

Внешние воздействия Температура окружающей среды(внешние условия), Состав топлива

Мерные Вектора

Эта система Алгебраических конечных уравнений как правило для процессов химико- технологических систем уравнений материального и теплового баланса. Для таких систем или процессов задача оптимизации формируется следующим образом : требуется найти вектор управляющих воздействий для процесса описываемого системой уравнений (3) Которая обеспечит минимум или максимум критерия оптимизации или целевой функции:

Для решения таких задач применяют методы математического программирования (линейного и нелинейного статического геометрического и т.д.) В качестве примеров постановки задачи оптимизации рассмотрим :

1.  Оптимальный температурный режим в трубчатом реакторе который заполнен катализатором, на вход поступает сырье, на выходе продукты реакции. В трубчатом реакторе протекает хим. Реакция при этом в каждом сечении реактора концентрация компонентов и температура отличаются друг от друга

Если считать движение реагента не меняется по длине то:

(1) уравнение состояния этого реактора:

где - концентрация i-того компонента реагирующей смеси

- температура в сечении реактора

l- Продольная координата трубчатого реактора

(2)Граничное условия

(3) Ограничение на фазовые координаты концентрация компонентов не отрицательнаi=1,2,…,r

(4)

В качестве управления является температура для процесса описываемого системой (1)-(4) требуется найти температурный профиль по длине реактора  T(l) При котором концентрация целевого продукта на выходе реактора будет максимальна

Это задача Оптимального управления

2.Задача управления температурным режимом печи.

В печь подается топливо расхода и состава , а также воздух с расходом GB. В печи Происходит реакция горения топлива, что обеспечивает достижения некой температуры печи которая будет зависеть от соотношения расхода воздуха и топлива. T=T()- температура – это функция от . При этом и Т ограничены. Нижние и верхние предельно допустимые значения параметров  Зависимость Т()

Требуется найти такое соотношение чтобы температура печи должна быть максимальна

- оптимальное значение соотношения расходов при котором температура в печи достигает максимального значение.

3. Оптимальное распределение ограниченного ресурса

Требуется распределить ограниченное количество ресурса S  между N потребителями так, чтобы получаемая прибыль I  была максимальной (математически)к такой же задаче приводится задача по распределению ограниченного количества сырья между N параллельно работающими агрегатами так чтобы производительность всей системы была максимальна Si – поток сырья на

 i-й аппарат(i=1,2,…N) Pi- производительность i-го аппарата

1) Математическая модельPi=Pi(Si)- функция от нагрузки на этот аппарат.

Общая производительность этого процесса функция от производительности всех аппаратов.

2) критерий

3) Si ≥0

Общая нагрузка:

Требуется найти такое распределение нагрузок Si (i=1,…,N), при котором функция I достигает максимального значения. Это задача математического программирования.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67239. Плаваючі елементи та очищення 346 KB
  У цій темі ми познайомимося з плаваючими елементами (float) і очищенням (clearing) – двома обов’язковими інструментами сучасного Web-дизайнера. Вони є багатогранними інструментами, які можна використовувати для реалізації обтікання текстом зображень і навіть створення багатостовпцевих компонувань.
67240. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ КОРЫ БОЛЬШИХ ПОЛУШАРИЙ МОЗГА 106.5 KB
  Разные области коры подразделяются в зависимости от выполняемой функции на проекционные соматосенсорная зрительная слуховая моторные и ассоциативные префронтальная теменно-височно-затылочная лимбическая Рис. В каждом пункте переключения происходит переработка передаваемого сигнала каждый такой информационный...
67241. ХИМИКО-ТЕРМИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СТАЛЕЙ 78 KB
  Цементация сталей Насыщение поверхности стали углеродом называется цементацией. В результате цементации в поверхностном слое стали образуются железо-углеродистые фазы соответствующие диаграмме состояния Fe Fез С. Атомарный углерод адсорбируется поверхностью стали и диффундирует в глубь металла.
67242. Роздрібний товарооборот. Товарні запаси торгового підприємства 40.41 KB
  Суть та склад товарних запасів торгових підприємств. Показники що характеризують стан товарних запасів торгового підприємства. Фактори що визначають розмір та швидкість обороту товарних запасів. Нормування та планування товарних запасів.
67243. Формализация и алгоритмизация информационных процессов 89.5 KB
  Сущность машинного моделирования системы состоит в проведении на ЭВМ эксперимента с моделью которая представляет собой некоторый программный комплекс описывающий формально и или алгоритмически поведение элементов системы S в процессе ее функционирования т.
67244. КУЛЬТУРА XVII ВЕКА 47 KB
  На почве этого противоречия кризис вакуум идеалов. Основные противоречия в культуре 17 века: Противоречия в развития национальных культур. Противоречия в экономической жизни неравномерное развитие стран. Противоречия художественной жизни.
67245. Основные ресурсы для обеспечения жизненного цикла сложных программных средств 200.5 KB
  Общее понятие доступные ресурсы обеспечения жизненного цикла ПС включает реальные финансовые временные кадровые и аппаратурные ограничения затрат в условиях которых происходит создание и совершенствование комплексов программ. Эти факторы проявляются как дополнительные характеристики процессов ЖЦ и программных...
67246. Перевантаження бінарних операторів «+» і «=» 118.5 KB
  Перевантаження операторів — одна з найефективніших можливостей мови C++. Вона дозволяє повністю інтегрувати нові класи в існуюче програмне середовище. Після перевантаження операції над об'єктами нових класів виглядають точно так, як і операції над змінними вбудованих типів.
67247. Маркетинговый аудит 45.27 KB
  В рамках такого анализа предстоит оценить эффективность информационных систем маркетинга в компании систем планирования и контроля за исполнением плана маркетинга. Основными вопросами в этом случае могут быть следующие: а информационные системы; б системы планирования; в системы контроля; г разработка новых продуктов.