20554

Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Переменные целевой функции f0xmin 1 Где x nмерный вектор независимых переменных: x=x1x2xn могут быть наложены ограничения различного вида Ограничения в форме равенства 2 называется уравнениями связи. Рассмотрим задачу о минимуме f0x при наличии уравнения связи fx=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. она лежит на линии fx=0 удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к точке x где x точка минимума целевой функции.

Русский

2013-07-31

120 KB

11 чел.

 Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа.

Переменные целевой функции f0(x)min (1) Где xn-мерный вектор независимых переменных: x=x1,x2,…,xn могут быть наложены ограничения различного вида

Ограничения в  форме равенства (2) называется уравнениями связи. А неравенство (3) называется ограничителями.  Т.о. независимые переменные x связаны дополнительными условиями и такая задача о минимуме целевой функции, наз-ся задачей на условный экстремум функции. Представим целевую функцию линиями уровня.

Картинка.

Рассмотрим задачу  о минимуме f0(x) при наличии  уравнения связи f(x)=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. Решением задачи будет точка x0, т.к. она лежит  на линии f(x)=0, удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к  точке x*, где x* - точка минимума целевой  функции. Если бы не было уравнения связи, то для определения точки минимума x* достаточно было бы выполнить необходимое условие экстремума в этой точке: .

При наличии уравнения связи решение задачи, т.е. определение точки x0 строится другим методом: окружим т. x0 некоторым подмножеством:линеаризуем уравнение связи на этом множестве окрестности точки x0 , т.е. представим уравнение в виде линейной части разложения в ряд тейлора. Для простоты рассуждений, рассмотрим уравнение связи от 2 переменных: и разложим его в ряд Тейлора в окрестности точки х0: f(x0) +. Так как множество и точка х0 удовлетворяет уравнению связи, то   следовательно - уравнение связи в окрестности точки х0 . условие минимума целевой функции в точке х0  Разложим левую часть неравенства(5) так же в ряд Тейлора и удержим только линейную часть этого ряда.  и подставим это в неравенство (5) :  Следовательно (условие минимума). Таким образом в окрестности точки х0 мы имеем новое уравнение связи в форме (4) и условие минимума в форме неравенства(6). Из (4) выразим :

Обозначим: Подставим (7) в (6)

. Условие минимума записалось таким образом. Здесь :  - бесконечность малая величина приращения переменной x2.

При любом произвольном  условие минимума (8) выполняется всегда, если ; Если оно не выполняется, то можно подобрать такое , при котором (8) будет выполнено.

Дополним (9) тождеством следующего вида.

. Обозначим через ур-е (9), (10), примут вид:

   ;    

Полученные условия следуют из условия минимума целевой функции в форме (6) при наличии уравнения связи. При этом, мы удовлетворили уравнению связи, выразив и подставив его в условие минимума, получим систему (11).

Эти уравнения идентичны условию минимума некоторой функции : где - постоянный множитель. Запишем условие экстремума этой функции:

Функция L яв-ся функцией Логранжа, а - множитель Логранжа. Т.о. исходная задача на условный экстремум функции сводится к задаче на безусловный экстремум функции логранжа. Дополним эти уравнения уравнением связи: f(x1,x2)=0. Получим замкнутую систему уравнений для определения x1,x2 и . Множитель определяется из уравнения связи. Т.о. алгоритм решения задачи сводится к следующему :

1) составная функция Логранжа

2) Записывается условие стационарности функции Логранжа  Определяя значение x зависящее от .

3) подставим значение в уравнение связи, находим : .

Вопрос 20. Правило множителей Лагранжа. Пример

Если точка x0 – точка локального минимума целевой функции, то существует такие постоянные множители , . При них функция Логранжа стационарна по x в точке x0 (условие стационарности равняется условию экстремума). Если в задаче число уравнений связи равно m : а   то функция Логранжа составится так:

Пример.  Уравнение связи : одно

Картинка

Линии уровня- концентрические окружности с центром в начале координат.Решим задачу методом множителя логранжа.

     x1=3/2     x2=3/2    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31136. Модели реализации объектно-ориентированных программных систем 34.82 KB
  Модели реализации обеспечивают представление системы в физическом мире рассматривая вопросы упаковки логических элементов в компоненты и размещения компонентов в аппаратных узлах. Рисунок 1 обозначение компонента Сходные характеристики: наличие имени; реализация набора интерфейсов; участие в отношения зависимости; возможность быть вложенными; наличие экземпляров экземпляры у компонентов только у диаграмм размещения № Описание различий 1 Классы логические абстракции компоненты физические предметы. 2 Компоненты являются...
31137. Стандартные методы совместного доступа к базам и программам в сложных информационных системах 150.16 KB
  ODBC это программный интерфейс PI доступа к базам данных разработанный фирмой X Open. ODBC это широко распространенный комплекс драйверов фирмы Microsoft для связи с разнородными базами данных удовлетворяющий стандартом ISO. Технологии связи с разнородными базами данных в условиях архитектуры клиент сервер с использованием ODBC. Клиентская часть состоит из: Управляющий модуль ODBC.
31138. Проектирование интегрированных ИС 68.03 KB
  Требование к корпоративным информационным системам: Функциональная часть: это функциональная интеграция и полнота; функциональная локализация; мониторинг функционирования. Организационное обеспечение: модульность; интеграция структуры; информационная безопасность. Применительно к промышленному предприятию состав систем составляющих корпоративную информационную систему во взаимосвязи с пользователями на различных уровнях управления может быть представлен в следующем виде: Интеграция функциональной части системы предполагает решение...
31139. Архитектура ЭИС 33.93 KB
  ЭИС совокупность организационных технических программных и информационных средств объединенных в единую систему с целью сбора обработки хранения и выдачи необходимой информации предназначенной для выполнения функций управления. ЭИС связывает объект и систему управления между собой и внешней средой через информационные потоки: ИП1 нормативная информация создаваемая государственными учреждениями в части законодательства; поток информации о конъюнктуре рынка создаваемые конкурентами потребителями поставщиками; ИП2 отчетная...
31140. Общая характеристика процесса проектирования ИС 32.86 KB
  Экономикоорганизационные принципы: Принцип эффективности ИС. Принцип стандартизации. Принцип системного подхода. Принцип интеграции.
31141. Технология проектирования ИС 82.83 KB
  Состав компонентов технологии проектирования Таким образом проектирование ИС задается регламентированной последовательностью технологических операций выполняемых в процессе создания проекта на основе того или иного метода в результате чего стало бы ясно не только что должно быть сделано для создания проекта но и как кому и в какой последовательности это должно быть сделано. Методология проектирования ИС предполагает наличие некоторых концепций принципов проектирования реализуемых набором методов проектирования которые в свою очередь...
31142. Понятия и процессы ЖЦ ПО 43.11 KB
  Он охватывает работы по созданию ПО и его компонентов в соответствии с данными требованиями включая оформление проектной и эксплуатационной документации подготовку материалов необходимых для проверки работоспособности и соответствующего качества программных продуктов материалов необходимых для организации обучения персонала и т. Определение компонентов ее оборудования ПО и операций выполняемых эксплуатирующим систему персоналом. Разработка и документирование программных интерфейсов ПО и БД разработка предварительной версии...
31143. Модель ЖЦ 86.63 KB
  Стадия создания ПО это часть процесса создания ПО ограниченная некоторыми временными рамками и заканчивающаяся выпуском конкретного продукта модели ПО программных компонентов и документация определяемого заданными для данной стадии требованиями. Состав ЖЦ ПО обычно включает следующие стадии: Формирование требований к ПО. TOBE как должно быть модель SIS с устраненными недостатками Результат стадии техникоэкономическое обоснование. Стадии 2 и 3 иногда объединяют в одну и называют технорабочим проектированием или системным...
31144. Структурная парадигма проектирования ИС 61.9 KB
  Основными компонентами диаграмм потоков данных являются: Внешняя сущность это материальный предмет или физическое лицо являющееся источником или приемником информации например заказчики клиенты бухгалтерия. Хранилище данных это абстрактное устройство для хранения информации которую можно в любой момент поместить в него и через некоторое время извлечь причем способы помещения и извлечения могут быть любыми. Хранилище данных может быть реализовано физически в виде микрофиши ящика в картотеке таблицы в оперативной памяти файла...