20554

Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Переменные целевой функции f0xmin 1 Где x – nмерный вектор независимых переменных: x=x1x2xn могут быть наложены ограничения различного вида Ограничения в форме равенства 2 называется уравнениями связи. Рассмотрим задачу о минимуме f0x при наличии уравнения связи fx=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. она лежит на линии fx=0 удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к точке x где x точка минимума целевой функции.

Русский

2013-07-31

120 KB

8 чел.

 Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа.

Переменные целевой функции f0(x)min (1) Где xn-мерный вектор независимых переменных: x=x1,x2,…,xn могут быть наложены ограничения различного вида

Ограничения в  форме равенства (2) называется уравнениями связи. А неравенство (3) называется ограничителями.  Т.о. независимые переменные x связаны дополнительными условиями и такая задача о минимуме целевой функции, наз-ся задачей на условный экстремум функции. Представим целевую функцию линиями уровня.

Картинка.

Рассмотрим задачу  о минимуме f0(x) при наличии  уравнения связи f(x)=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. Решением задачи будет точка x0, т.к. она лежит  на линии f(x)=0, удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к  точке x*, где x* - точка минимума целевой  функции. Если бы не было уравнения связи, то для определения точки минимума x* достаточно было бы выполнить необходимое условие экстремума в этой точке: .

При наличии уравнения связи решение задачи, т.е. определение точки x0 строится другим методом: окружим т. x0 некоторым подмножеством:линеаризуем уравнение связи на этом множестве окрестности точки x0 , т.е. представим уравнение в виде линейной части разложения в ряд тейлора. Для простоты рассуждений, рассмотрим уравнение связи от 2 переменных: и разложим его в ряд Тейлора в окрестности точки х0: f(x0) +. Так как множество и точка х0 удовлетворяет уравнению связи, то   следовательно - уравнение связи в окрестности точки х0 . условие минимума целевой функции в точке х0  Разложим левую часть неравенства(5) так же в ряд Тейлора и удержим только линейную часть этого ряда.  и подставим это в неравенство (5) :  Следовательно (условие минимума). Таким образом в окрестности точки х0 мы имеем новое уравнение связи в форме (4) и условие минимума в форме неравенства(6). Из (4) выразим :

Обозначим: Подставим (7) в (6)

. Условие минимума записалось таким образом. Здесь :  - бесконечность малая величина приращения переменной x2.

При любом произвольном  условие минимума (8) выполняется всегда, если ; Если оно не выполняется, то можно подобрать такое , при котором (8) будет выполнено.

Дополним (9) тождеством следующего вида.

. Обозначим через ур-е (9), (10), примут вид:

   ;    

Полученные условия следуют из условия минимума целевой функции в форме (6) при наличии уравнения связи. При этом, мы удовлетворили уравнению связи, выразив и подставив его в условие минимума, получим систему (11).

Эти уравнения идентичны условию минимума некоторой функции : где - постоянный множитель. Запишем условие экстремума этой функции:

Функция L яв-ся функцией Логранжа, а - множитель Логранжа. Т.о. исходная задача на условный экстремум функции сводится к задаче на безусловный экстремум функции логранжа. Дополним эти уравнения уравнением связи: f(x1,x2)=0. Получим замкнутую систему уравнений для определения x1,x2 и . Множитель определяется из уравнения связи. Т.о. алгоритм решения задачи сводится к следующему :

1) составная функция Логранжа

2) Записывается условие стационарности функции Логранжа  Определяя значение x зависящее от .

3) подставим значение в уравнение связи, находим : .

Вопрос 20. Правило множителей Лагранжа. Пример

Если точка x0 – точка локального минимума целевой функции, то существует такие постоянные множители , . При них функция Логранжа стационарна по x в точке x0 (условие стационарности равняется условию экстремума). Если в задаче число уравнений связи равно m : а   то функция Логранжа составится так:

Пример.  Уравнение связи : одно

Картинка

Линии уровня- концентрические окружности с центром в начале координат.Решим задачу методом множителя логранжа.

     x1=3/2     x2=3/2    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63716. Граждане как субъекты гражданских правоотношений. Правоспособность и дееспособность граждан 22.32 KB
  Содержание правоспособности граждан Граждане могут в соответствии с законодательством иметь имущество на праве собственности; наследовать и завещать имущество; заниматься предпринимательской и любой иной не запрещенной законодательными актами деятельностью...
63717. Понятие и признаки юридического лица 15.84 KB
  Юридическим лицом признаётся организация которая имеет в собственности хозяйственном ведении или оперативном управлении обособленное имущество несёт самостоятельную ответственность по своим обязательствам может от своего имени приобретать и осуществлять...
63718. Образование юридического лица 14.71 KB
  Распорядительный юридическое лицо возникает по распоряжению собственника или уполномоченного им органа государственные юридические лица; разрешительный создание организации должно быть разрешено тем или иным компетентным органом например жилищно-строительные кооперативы...
63719. Реорганизация юридического лица 16.12 KB
  Реорганизация юридических лиц является универсальным инструментом при решении многих задач в первую очередь благодаря влекомым ею последствиям а именно: Передача имущества правопреемнику при реорганизации предприятия не признается реализацией товаров не является объектом обложения НДС.
63720. Ликвидация юридического лица 17.43 KB
  Прекращение деятельности юридического лица может произойти вследствие ликвидации либо реорганизации. Ликвидации юридического лица влечет его прекращение без перехода прав и обязанностей в порядке правопреемства к другим лицам.
63721. Коммерческие юридические лица 15.41 KB
  Учредители передавая имущество во вклады утрачивают право собственности на это имущество. Создаются такие предприятия как правило публичными собственниками сохраняющими за собой право собственности на переданное имущество.
63722. Некоммерческие юридические лица 14.37 KB
  Некоммерческие юридические лица Общая характеристика некоммерческих юридических лиц заключается в том что они не имеют в качестве основной цели своей деятельности получение прибыли а так же не в праве распределять полученную прибыль между своими участниками.