20554

Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Переменные целевой функции f0xmin 1 Где x nмерный вектор независимых переменных: x=x1x2xn могут быть наложены ограничения различного вида Ограничения в форме равенства 2 называется уравнениями связи. Рассмотрим задачу о минимуме f0x при наличии уравнения связи fx=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. она лежит на линии fx=0 удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к точке x где x точка минимума целевой функции.

Русский

2013-07-31

120 KB

10 чел.

 Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа.

Переменные целевой функции f0(x)min (1) Где xn-мерный вектор независимых переменных: x=x1,x2,…,xn могут быть наложены ограничения различного вида

Ограничения в  форме равенства (2) называется уравнениями связи. А неравенство (3) называется ограничителями.  Т.о. независимые переменные x связаны дополнительными условиями и такая задача о минимуме целевой функции, наз-ся задачей на условный экстремум функции. Представим целевую функцию линиями уровня.

Картинка.

Рассмотрим задачу  о минимуме f0(x) при наличии  уравнения связи f(x)=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. Решением задачи будет точка x0, т.к. она лежит  на линии f(x)=0, удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к  точке x*, где x* - точка минимума целевой  функции. Если бы не было уравнения связи, то для определения точки минимума x* достаточно было бы выполнить необходимое условие экстремума в этой точке: .

При наличии уравнения связи решение задачи, т.е. определение точки x0 строится другим методом: окружим т. x0 некоторым подмножеством:линеаризуем уравнение связи на этом множестве окрестности точки x0 , т.е. представим уравнение в виде линейной части разложения в ряд тейлора. Для простоты рассуждений, рассмотрим уравнение связи от 2 переменных: и разложим его в ряд Тейлора в окрестности точки х0: f(x0) +. Так как множество и точка х0 удовлетворяет уравнению связи, то   следовательно - уравнение связи в окрестности точки х0 . условие минимума целевой функции в точке х0  Разложим левую часть неравенства(5) так же в ряд Тейлора и удержим только линейную часть этого ряда.  и подставим это в неравенство (5) :  Следовательно (условие минимума). Таким образом в окрестности точки х0 мы имеем новое уравнение связи в форме (4) и условие минимума в форме неравенства(6). Из (4) выразим :

Обозначим: Подставим (7) в (6)

. Условие минимума записалось таким образом. Здесь :  - бесконечность малая величина приращения переменной x2.

При любом произвольном  условие минимума (8) выполняется всегда, если ; Если оно не выполняется, то можно подобрать такое , при котором (8) будет выполнено.

Дополним (9) тождеством следующего вида.

. Обозначим через ур-е (9), (10), примут вид:

   ;    

Полученные условия следуют из условия минимума целевой функции в форме (6) при наличии уравнения связи. При этом, мы удовлетворили уравнению связи, выразив и подставив его в условие минимума, получим систему (11).

Эти уравнения идентичны условию минимума некоторой функции : где - постоянный множитель. Запишем условие экстремума этой функции:

Функция L яв-ся функцией Логранжа, а - множитель Логранжа. Т.о. исходная задача на условный экстремум функции сводится к задаче на безусловный экстремум функции логранжа. Дополним эти уравнения уравнением связи: f(x1,x2)=0. Получим замкнутую систему уравнений для определения x1,x2 и . Множитель определяется из уравнения связи. Т.о. алгоритм решения задачи сводится к следующему :

1) составная функция Логранжа

2) Записывается условие стационарности функции Логранжа  Определяя значение x зависящее от .

3) подставим значение в уравнение связи, находим : .

Вопрос 20. Правило множителей Лагранжа. Пример

Если точка x0 – точка локального минимума целевой функции, то существует такие постоянные множители , . При них функция Логранжа стационарна по x в точке x0 (условие стационарности равняется условию экстремума). Если в задаче число уравнений связи равно m : а   то функция Логранжа составится так:

Пример.  Уравнение связи : одно

Картинка

Линии уровня- концентрические окружности с центром в начале координат.Решим задачу методом множителя логранжа.

     x1=3/2     x2=3/2    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83384. Тьюторство и менторство в учебном процессе 58.2 KB
  В связи с инновационными изменениями в современной системе образования: переходом в режим открытости индивидуализации вариативности возникает потребность перехода к образовательным программам нового поколения введению в педагогическую практику образовательных событий позволяющих обучающимся выбрать собственный...
83385. Методические указания и задания: Бухгалтерский (финансовый) учет 168.5 KB
  Учебная задача данного курса – это дать студентам знания и навыки в области овладения основами бухгалтерского учета различных объектов, необходимые и достаточные для дальнейшего и более углубленного изучения бухгалтерского учета на предприятиях различных организационно-правовых форм...
83386. Бухгалтерский финансовый учет: Методические указания 255 KB
  В процессе написания работы студенту необходимо проявить высокий общеобразовательный уровень, четко и логично излагать свои мысли хорошим литературным языком. Студент должен продемонстрировать свою способность применять теоретические знания для успешного решения конкретных практических вопросов...
83387. Анализ взаимосвязи объема производства, себестоимости и прибыли в управленческом учете 389.13 KB
  Целью настоящей работы является изучение точки безубыточности, как одного из инструментов, позволяющего выявить взаимосвязь «объем производства – себестоимость – прибыль». Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: Рассмотрены различные подходы к определению и расчету...
83388. Проблемы обеспеченности доходами бюджетов субъектов Российской Федерации 237 KB
  В настоящее время в мире к федеративным государствам где в разной степени реализуются принципы бюджетного федерализма относятся свыше 20 государств: Швейцария Германия США Канада Россия Австрия Бельгия Аргентина Бразилия Венесуэла Мексика Австралия Индия и др.
83389. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 294.73 KB
  В первой части курсовой работы рассчитываем LC – фильтр, полагая, что его элементы имеют пренебрежимо малые потери. Тип фильтра, вид аппроксимации, режим работы (вид нагрузки) и исходные требования к характеру ослабления фильтра определяются трехзначным кодовым числом.
83390. Расчет производственной программы предприятия 549 KB
  Целью написания данной курсового проекта является расчет производственной программы условного предприятия, потребной численности персонала, расходов и доходов, прибыли и рентабельности. Работа выполняется студентом в последовательности, указанной в настоящих методических указаниях.
83391. Роль художественных произведений в формировании социальной компетентности у младших школьников 94.07 KB
  Возможно, социальную компетентность можно воспитывать по-разному, но давайте подумаем раньше при наших бабушках, дедушках, мам и пап еще не было компьютеров и телевизоров и дети, росли, читая книги, и через художественные произведения все понимали, что делать хорошо, а что плохо.
83392. Акустико-эмиссионный способ диагностирования колесных пар железнодорожного подвижного состава и устройство для его осуществления 28.09 MB
  Для грузовых вагонов норма статической нагрузки на рельсы от колёсной пары значительно меньше чем у пассажирских и составляет 1764 кН. Главным образом он возникает у колёс пассажирских вагонов из-за значительной перегрузки элементов колёсной пары и рельсового пути. Для анализа причин появления дефектов и разработки мер по их устранению большое значение имеет классификация которая устанавливает...