20554

Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Переменные целевой функции f0xmin 1 Где x – nмерный вектор независимых переменных: x=x1x2xn могут быть наложены ограничения различного вида Ограничения в форме равенства 2 называется уравнениями связи. Рассмотрим задачу о минимуме f0x при наличии уравнения связи fx=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. она лежит на линии fx=0 удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к точке x где x точка минимума целевой функции.

Русский

2013-07-31

120 KB

8 чел.

 Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа.

Переменные целевой функции f0(x)min (1) Где xn-мерный вектор независимых переменных: x=x1,x2,…,xn могут быть наложены ограничения различного вида

Ограничения в  форме равенства (2) называется уравнениями связи. А неравенство (3) называется ограничителями.  Т.о. независимые переменные x связаны дополнительными условиями и такая задача о минимуме целевой функции, наз-ся задачей на условный экстремум функции. Представим целевую функцию линиями уровня.

Картинка.

Рассмотрим задачу  о минимуме f0(x) при наличии  уравнения связи f(x)=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. Решением задачи будет точка x0, т.к. она лежит  на линии f(x)=0, удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к  точке x*, где x* - точка минимума целевой  функции. Если бы не было уравнения связи, то для определения точки минимума x* достаточно было бы выполнить необходимое условие экстремума в этой точке: .

При наличии уравнения связи решение задачи, т.е. определение точки x0 строится другим методом: окружим т. x0 некоторым подмножеством:линеаризуем уравнение связи на этом множестве окрестности точки x0 , т.е. представим уравнение в виде линейной части разложения в ряд тейлора. Для простоты рассуждений, рассмотрим уравнение связи от 2 переменных: и разложим его в ряд Тейлора в окрестности точки х0: f(x0) +. Так как множество и точка х0 удовлетворяет уравнению связи, то   следовательно - уравнение связи в окрестности точки х0 . условие минимума целевой функции в точке х0  Разложим левую часть неравенства(5) так же в ряд Тейлора и удержим только линейную часть этого ряда.  и подставим это в неравенство (5) :  Следовательно (условие минимума). Таким образом в окрестности точки х0 мы имеем новое уравнение связи в форме (4) и условие минимума в форме неравенства(6). Из (4) выразим :

Обозначим: Подставим (7) в (6)

. Условие минимума записалось таким образом. Здесь :  - бесконечность малая величина приращения переменной x2.

При любом произвольном  условие минимума (8) выполняется всегда, если ; Если оно не выполняется, то можно подобрать такое , при котором (8) будет выполнено.

Дополним (9) тождеством следующего вида.

. Обозначим через ур-е (9), (10), примут вид:

   ;    

Полученные условия следуют из условия минимума целевой функции в форме (6) при наличии уравнения связи. При этом, мы удовлетворили уравнению связи, выразив и подставив его в условие минимума, получим систему (11).

Эти уравнения идентичны условию минимума некоторой функции : где - постоянный множитель. Запишем условие экстремума этой функции:

Функция L яв-ся функцией Логранжа, а - множитель Логранжа. Т.о. исходная задача на условный экстремум функции сводится к задаче на безусловный экстремум функции логранжа. Дополним эти уравнения уравнением связи: f(x1,x2)=0. Получим замкнутую систему уравнений для определения x1,x2 и . Множитель определяется из уравнения связи. Т.о. алгоритм решения задачи сводится к следующему :

1) составная функция Логранжа

2) Записывается условие стационарности функции Логранжа  Определяя значение x зависящее от .

3) подставим значение в уравнение связи, находим : .

Вопрос 20. Правило множителей Лагранжа. Пример

Если точка x0 – точка локального минимума целевой функции, то существует такие постоянные множители , . При них функция Логранжа стационарна по x в точке x0 (условие стационарности равняется условию экстремума). Если в задаче число уравнений связи равно m : а   то функция Логранжа составится так:

Пример.  Уравнение связи : одно

Картинка

Линии уровня- концентрические окружности с центром в начале координат.Решим задачу методом множителя логранжа.

     x1=3/2     x2=3/2    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25881. Анализ лизинговых и факторинговых операций банка 28 KB
  Лизинг означает форму долгосрочной аренды связанную с передачей в пользование имущества т. При заключении лизингового договора требуется банковская гарантия либо залог или страхование лизингового платежа и имущества которое является объектом лизинговой сделки. По степени окупаемости имущества лизинги могут быть: с полной окупаемостью при котором в течение срока действия одного договора происходит полная выплата лизингодателю стоимости арендуемого имущества; с неполной окупаемостью когда в течение срока действия одного договора окупается...
25882. Анализ наращенных процентов 27.5 KB
  Размер наращенных процентов определяется следующим образом: Разница между процентной маржой при российской и зарубежной системе учета составит: проценты начисленные и полученные банком относящиеся к предыдущему периоду минус проценты фактически уплаченные банком относящиеся к предыдущему периоду проценты наращенные и причитающиеся банку за отчетный период минус проценты наращенные и подлежащие уплате банком проценты начисленные но не уплаченные клиентами в отчетном периоде изза отсутствия средств. Наращенные проценты не...
25883. Анализ начисления и уплаты дивидендом владельцам акций КБ и паевых взносов 22 KB
  Период и величина начисления и уплаты дивидендов владельцам акций КБ обычно определяется на собрании акционеров в момент подведения итогов отч. счетам в разрезе акционеров банка. Затем производится перечисление средств на расчетные счета акционеров КБ. В отдельных случаях при принятии решения собранием акционеров дивиденды причитающиеся акционерам могут быть присоединены к размеру их доли в УК банка однако для проведения в учете таких операций необходимо вопервых письменное распоряжение акционера; вовторых ден.