20554

Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа

Доклад

Математика и математический анализ

Переменные целевой функции f0xmin 1 Где x – nмерный вектор независимых переменных: x=x1x2xn могут быть наложены ограничения различного вида Ограничения в форме равенства 2 называется уравнениями связи. Рассмотрим задачу о минимуме f0x при наличии уравнения связи fx=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. она лежит на линии fx=0 удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к точке x где x точка минимума целевой функции.

Русский

2013-07-31

120 KB

8 чел.

 Условный экстремум функции. Постановка задачи. Вывод функции Лагранжа.

Переменные целевой функции f0(x)min (1) Где xn-мерный вектор независимых переменных: x=x1,x2,…,xn могут быть наложены ограничения различного вида

Ограничения в  форме равенства (2) называется уравнениями связи. А неравенство (3) называется ограничителями.  Т.о. независимые переменные x связаны дополнительными условиями и такая задача о минимуме целевой функции, наз-ся задачей на условный экстремум функции. Представим целевую функцию линиями уровня.

Картинка.

Рассмотрим задачу  о минимуме f0(x) при наличии  уравнения связи f(x)=0. Уравнение связи на плоскости представляются в виде линий пересечения. Решением задачи будет точка x0, т.к. она лежит  на линии f(x)=0, удовлетворяет уравнению связи и расположена ближе всех к  точке x*, где x* - точка минимума целевой  функции. Если бы не было уравнения связи, то для определения точки минимума x* достаточно было бы выполнить необходимое условие экстремума в этой точке: .

При наличии уравнения связи решение задачи, т.е. определение точки x0 строится другим методом: окружим т. x0 некоторым подмножеством:линеаризуем уравнение связи на этом множестве окрестности точки x0 , т.е. представим уравнение в виде линейной части разложения в ряд тейлора. Для простоты рассуждений, рассмотрим уравнение связи от 2 переменных: и разложим его в ряд Тейлора в окрестности точки х0: f(x0) +. Так как множество и точка х0 удовлетворяет уравнению связи, то   следовательно - уравнение связи в окрестности точки х0 . условие минимума целевой функции в точке х0  Разложим левую часть неравенства(5) так же в ряд Тейлора и удержим только линейную часть этого ряда.  и подставим это в неравенство (5) :  Следовательно (условие минимума). Таким образом в окрестности точки х0 мы имеем новое уравнение связи в форме (4) и условие минимума в форме неравенства(6). Из (4) выразим :

Обозначим: Подставим (7) в (6)

. Условие минимума записалось таким образом. Здесь :  - бесконечность малая величина приращения переменной x2.

При любом произвольном  условие минимума (8) выполняется всегда, если ; Если оно не выполняется, то можно подобрать такое , при котором (8) будет выполнено.

Дополним (9) тождеством следующего вида.

. Обозначим через ур-е (9), (10), примут вид:

   ;    

Полученные условия следуют из условия минимума целевой функции в форме (6) при наличии уравнения связи. При этом, мы удовлетворили уравнению связи, выразив и подставив его в условие минимума, получим систему (11).

Эти уравнения идентичны условию минимума некоторой функции : где - постоянный множитель. Запишем условие экстремума этой функции:

Функция L яв-ся функцией Логранжа, а - множитель Логранжа. Т.о. исходная задача на условный экстремум функции сводится к задаче на безусловный экстремум функции логранжа. Дополним эти уравнения уравнением связи: f(x1,x2)=0. Получим замкнутую систему уравнений для определения x1,x2 и . Множитель определяется из уравнения связи. Т.о. алгоритм решения задачи сводится к следующему :

1) составная функция Логранжа

2) Записывается условие стационарности функции Логранжа  Определяя значение x зависящее от .

3) подставим значение в уравнение связи, находим : .

Вопрос 20. Правило множителей Лагранжа. Пример

Если точка x0 – точка локального минимума целевой функции, то существует такие постоянные множители , . При них функция Логранжа стационарна по x в точке x0 (условие стационарности равняется условию экстремума). Если в задаче число уравнений связи равно m : а   то функция Логранжа составится так:

Пример.  Уравнение связи : одно

Картинка

Линии уровня- концентрические окружности с центром в начале координат.Решим задачу методом множителя логранжа.

     x1=3/2     x2=3/2    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22327. Вимоги, що предявляються до сучасних обчислювальних мереж 84.5 KB
  Хоча всі ці вимоги вельми важливі часто поняття якість обслуговування Quality Service QoS комп'ютерної мережі потрактує більш вузько в нього включаються тільки дві найважливіші характеристики мережі продуктивність і надійність. Незалежно від вибраного показника якості обслуговування мережі існують два підходи до його забезпечення. Перший підхід очевидно покажеться найприроднішим з погляду користувача мережі. Технології frame relay і ATM дозволяють будувати мережі що гарантують якість обслуговування по продуктивності.
22328. Використання вінка Мережа і вилучений доступ до мережі. 58.5 KB
  Розкрійте дерево Мій комп'ютер клацнувши на знаку . Змінювати параметри ідентифікації комп'ютера в мережі. Додавати мережні компоненти. Створення нового мережного підключення Якщо у вашому комп'ютері встановлений мережний адаптер який у свою чергу підключений до локальної мережі коли ви встановлювали Windows 2000 Professional в системі вже повинно бути набудовано працююче мережне підключення так в Windows 2000 називається локальна мережа хоча воно може бути ще не до кінця набудовано.
22329. Робота з вікном Моє мережне оточення 30 KB
  І навіть якщо з вікном Мережне оточення ви не знайомі все одно у вас не повинне виникнути жодних проблем. Вікно Моє мережне оточення це тека яка пропонує ряд параметрів для поглядання комп'ютерів у вашій робочій групі або всій мережі. У вікно Моє мережне оточення ви навіть можете додавати ярлики для часто відвідуваних вами тек або Webсторінок.
22330. Пошук в мережі 37 KB
  Загальний доступ до дисків Коли ви надаєте загальний доступ до диска ви дозволяєте іншим користувачам працювати з його вмістом по мережі. Клацніть правою кнопкою миші на значку диска до якого вирішили надати загальний доступ і виберіть команду Доступ з контекстного меню що з'явилося. На екрані відобразиться діалогове вікно властивостей диска з вибраною вкладкою Доступ. В діалоговому вікні властивостей жорсткого диска виберіть перемикач Загальний доступ.
22331. Адреса и указатели. Операции получения адреса и косвенной адресации. Отождествление массивов и указателей. Адресная арифметика 46.5 KB
  Динамическое выделение памяти под массивы. АДРЕСА И УКАЗАТЕЛИ Во время выполнения всякой программы используемые ею данные размещаются в оперативной памяти ЭВМ причем каждому элементу данных ставится в соответствие его индивидуальный адрес. При реализации многих алгоритмов и представлении сложных логических структур данных часто оказывается полезной возможность непосредственной работы с адресами памяти. Действительно поскольку соседние элементы массива располагаются в смежных ячейках памяти то для перехода от одного его...
22332. Функции в языке Си. Формальные и фактические параметры. Механизм передачи параметров. Возвращаемые значения. Использование указателей в качестве аргументов функций 44.5 KB
  ФУНКЦИИ В ЯЗЫКЕ СИ. Каждая из них в свою очередь есть независимый набор описаний и операторов заключенных между заголовком функции и ее концом. Все объекты определенные в теле функции ограниченном открывающей и закрывающей фигурными скобками являются локальными для этой функции в смысле области видимости и времени существования.
22333. Ввод и вывод в языке Си: общие концепции. Файлы данных и каталоги файлов. Внутренняя организация и типы файлов 76 KB
  h main { FILE stream; if stream = fopen data r == NULL printf Ошибка при открытии файла ; } Имя функции и назначение: fclose закрывает файл предварительно открытый для ввода вывода потоком Формат и описание аргументов: int fclosestream FILE stream; Указатель на открытый файл Возвращаемое значение равно нулю при нормальном завершении операции и EOF в случае возникновения ошибки.h...
22334. Общая структура программы на языке Си. Время существования и видимость переменных. Блоки. Классы памяти. Автоматические, внешние, статические и регистровые переменные. Рекурсивные функции. Реализация рекурсивных алгоритмов 51.5 KB
  ОБЩАЯ СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ СИ. Та функция с которой начинается выполнение программы называется главной функцией. Она по существу является входной точкой программы и должна иметь предопределенное имя main.
22335. Структуры в языке Си: основные понятия. Массивы структур. Указатели на структуры. Вложение структур. Структуры и функции. Объединения. Перечисления. Определение и использование новых типов данных. Классы имен 45 KB
  Указатели на структуры. Структуры и функции. СТРУКТУРЫ В ЯЗЫКЕ СИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ При решении задач вычислительной математики информационного обеспечения и системного программирования очень часто приходится сталкиваться с наборами данных имеющими достаточно сложную логическую организацию.