20699

Еліптичні криві в криптографії

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

1КІ08 Морозов Артем Еліптична крива над полем K це множина точок проективної площини над K що задовольняють рівнянню разом з точкою на нескінченності. Отже кількість точок на кривій – парна 1 точку дає по дві точки можуть давати інші елементи поля і треба не забути про точку на нескінченності. Додавання точок виконується наступним чином: 1 Нейтральний елемент групи: для будьякої точки . 3 Якщо то сумою точок та є 4 Якщо то 5 Якщо то .

Украинкский

2013-07-31

168.01 KB

25 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра ОТ

Лабораторна робота №8

«Еліптичні криві в криптографії»

Виконав ст..гр.1КІ-08

Морозов Артем

Еліптична крива над полем K - це множина точок проективної площини над K,

 що задовольняють рівнянню

разом з точкою на нескінченності.

        Еліптичні криві є одним з основних об'єктів вивчення в сучасній теорії чисел і криптографії. Наприклад, вони були використані Ендрю Вайлзом (спільно з Річардом Тейлором) в доведенні Великої теореми Ферма. Еліптична криптографія є самостійним розділом криптографії, що присвячений вивченню криптосистем на базі еліптичних кривих. Зокрема, на еліптичних кривих заснований російський стандарт цифрового підпису . Еліптичні криві також застосовуються в деяких алгоритмах факторизації (наприклад Алгоритм Ленстри) і тестування простоти чисел.

Для еліптичної кривої знайдемо всі т. Е9 за заданим рівнянням:

Y2=y3+x+6 (mod 11)

#E = 13.

Приклад еліптичної кривої

Розглянемо, коли точка з координатами належить еліптичній кривій. Для цього треба з’ясувати, коли має розв’язки відносно  рівняння . Для цього розглянемо 2 випадки:

1) . В такому випадку рівняння зводиться до , яке завжди має єдиний розв’язок у полі , який можна знайти як .

2) . Розділимо обидві частини рівняння на і відносно маємо рівняння , де . Зауважимо, що можна знайти як . Отримане рівняння має два розв’язки тоді, коли , де

.

Ці розв’язки можна знайти за формулою операції напівсліду: , , і, відповідно, , .

Якщо ж , то рівняння розв’язків не має.

Отже, кількість точок на кривій – парна (1 точку дає , по дві точки можуть давати інші елементи поля, і треба не забути про точку на нескінченності). На цих точках вводиться група. Додавання точок виконується наступним чином:

1) Нейтральний елемент групи: для будь-якої точки .

2) Протилежні елементи: покладемо , .

3) Якщо , то сумою точок  та є

4) Якщо , то

5) Якщо , то .

Візьмен еліптичну криву

Група точок буде складатися з наступних елементів

(4,1); (4,6); (5,0); (6,1); (6,6); O.

Кожна з отриманих точок характеризується порядком, тобто числом k, яка її відображає в точку на нескінченності - Т.О. Для більш детального уявлення складемо таблицю (карту) точок заданої кривої, шляхом множення послідовно на числа від 1 до p-1 = 7-1 = 6:

k (4,1) (4,6) (5,0) (6,1)  (6,6) O

1 (4,1) (4,6) (5,0) (6,1) (6,6) O

2 (6,6) (6,1) O (6,6) (6,1) O

3 (5,0) (5,0) (5,0) O O O

4 (6,1) (6,6) O (6,1) (6,6) O

5 (4,6) (4,1) (5,0) (6,6) (6,1) O

6 O O O O O O

З отриманої таблиці ми можемо отримати порядок кожної точки кривої. Так точки розглянутої кривої мають такими порядками:

(4,1) - 6, (4,6) - 6, (5,0) - 2, (6,1) - 3, (6,6) - 3.

Висновки: В даній лабораторній роботі було ознайомлено з основними поняттями про еліптичні криві , вивчено основні підходи до використання еліптичних кривих в криптографії.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47993. Психологія спілкування 739 KB
  Навчальна дисципліна Психологія спілкування є складовою психологопедагогічного циклу підготовки фахівців з економіки як до викладацької так і до професійноспеціалізованої діяльності. Вивчення студентами дисципліни Психологія спілкування передбачає оволодіння теоретичними положеннями в галузі основ спілкування психології особистості і групи засад навчального і фахового спілкування; спрямоване на підготовку фахівців як для викладацької діяльності так і для керування колективом робітників а також щодо високоякісного виконання іншої...
47994. Кримінальний процес 3.55 MB
  У сфері боротьби зі злочинністю застосовуються різні засоби – економічні, соціально-політичні, правові. Серед останніх особливе місце займають кримінально-правові та кримінально-процесуальні засоби
47995. Конспект лекцій з кримінального процесу 317 KB
  Розрізняють три історичні форми кримінального процесу: 1 Змагальний або обвинувальний коли порушення справи весь її хід визначається діями обвинувача. Відповідно у цій формі процес поділяється на дві частини: розслідування і розгляд справи. Порушення кримінальної справи. Попередній розгляд справи суддею.
47996. ПР-жанри та ПР-технології 617 KB
  І хоча в командах кандидатів багато працювали за гроші або за іншу плату наприклад студенти таким чином намагалися домогтися прихильності викладачів все ж безоплатна допомога своїм кандидатам превалювала. Приклад сформованої практики зв'язків з громадськістю дають виборчі кампанії США які схожі на добре поставлену виставу: численна аудиторія американців абсолютно різного віку та расової приналежності скандує ім'я кандидата піднімаючи над головою прапори та вигукуючи гасла часом супроводжуючи це й піснями. Політична реклама може мати...
47997. Сутність маркетингу та його сучасна концепція. Системи та характеристики сучасного маркетингу 531 KB
  Маркетинг почали трактувати як концепцію управління орієнтовану на умови ринку що змінюються. Основні особливості маркетингу на даному етапі: системний комплексний підхід до вирішення завдань що стоять перед підприємствами; орієнтація на довгостроковий комерційний успіх; глобалізація даної концепції; високі темпи розвитку інфраструктури маркетингу; удосконалення інструментарію маркетингу; зміщення зусиль в маркетингу в сторону м’яких†факторів успіху; вивчення попиту...
47998. Соціологія та соціологічні теорії 219.5 KB
  Тобто людина не існує в одномірному просторі аналізує можливі альтернативи. Тобто будьяка людина є громадянином. Побачивши що всі тварини дбайливо всім забезпечені а людина гола і не взута без ложа і без зброї Прометей краде премудре вміння Гефеста і Афіни. Людина – недостатня істота бо їй бракує надійної системи інстинктів що забезпечує автоматизм поведінкових реакцій як це здійснюється у тварин.
47999. Основи класичної фотографії 269.5 KB
  Після смерті Ньепса 1837 року відкрив надійний спосіб прояву і закріплення прихованого зображення на светлочутливій до світла срібній пластинці. На сучасному етапі розвитку фотографія з технічного способу фіксації зображення об'єктів зйомки перетворилася на спосіб створення справжніх витворів мистецтва і отримала широке застосування як спосіб наукового дослідження у всіх галузях науки і техніки. Після припинення дії світла результат його дії зберігається у вигляді так званого прихованого зображення.Можливість отримання геометрично точного...
48000. Основи метрології 1.46 MB
  Метрологією metron міра і logos – поняття вчення називають науку про вимірювання фізичних величин і про способи забезпечення єдиності і необхідної точності цих вимірювань. Лансберг у передмові до першого тому “Елементарного підручника фізики†писав що будьяка властивість яка вводиться у фізиці дістає конкретний зміст тільки тоді коли з нею пов’язується прийом спостереження й вимірювання без якого ця властивість не може застосовуватися в дослідженні реальних фізичних явищ. Отже вимірювання роблять властивості фізичних об’єктів такими що до...