20699

Еліптичні криві в криптографії

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

1КІ08 Морозов Артем Еліптична крива над полем K це множина точок проективної площини над K що задовольняють рівнянню разом з точкою на нескінченності. Отже кількість точок на кривій – парна 1 точку дає по дві точки можуть давати інші елементи поля і треба не забути про точку на нескінченності. Додавання точок виконується наступним чином: 1 Нейтральний елемент групи: для будьякої точки . 3 Якщо то сумою точок та є 4 Якщо то 5 Якщо то .

Украинкский

2013-07-31

168.01 KB

24 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра ОТ

Лабораторна робота №8

«Еліптичні криві в криптографії»

Виконав ст..гр.1КІ-08

Морозов Артем

Еліптична крива над полем K - це множина точок проективної площини над K,

 що задовольняють рівнянню

разом з точкою на нескінченності.

        Еліптичні криві є одним з основних об'єктів вивчення в сучасній теорії чисел і криптографії. Наприклад, вони були використані Ендрю Вайлзом (спільно з Річардом Тейлором) в доведенні Великої теореми Ферма. Еліптична криптографія є самостійним розділом криптографії, що присвячений вивченню криптосистем на базі еліптичних кривих. Зокрема, на еліптичних кривих заснований російський стандарт цифрового підпису . Еліптичні криві також застосовуються в деяких алгоритмах факторизації (наприклад Алгоритм Ленстри) і тестування простоти чисел.

Для еліптичної кривої знайдемо всі т. Е9 за заданим рівнянням:

Y2=y3+x+6 (mod 11)

#E = 13.

Приклад еліптичної кривої

Розглянемо, коли точка з координатами належить еліптичній кривій. Для цього треба з’ясувати, коли має розв’язки відносно  рівняння . Для цього розглянемо 2 випадки:

1) . В такому випадку рівняння зводиться до , яке завжди має єдиний розв’язок у полі , який можна знайти як .

2) . Розділимо обидві частини рівняння на і відносно маємо рівняння , де . Зауважимо, що можна знайти як . Отримане рівняння має два розв’язки тоді, коли , де

.

Ці розв’язки можна знайти за формулою операції напівсліду: , , і, відповідно, , .

Якщо ж , то рівняння розв’язків не має.

Отже, кількість точок на кривій – парна (1 точку дає , по дві точки можуть давати інші елементи поля, і треба не забути про точку на нескінченності). На цих точках вводиться група. Додавання точок виконується наступним чином:

1) Нейтральний елемент групи: для будь-якої точки .

2) Протилежні елементи: покладемо , .

3) Якщо , то сумою точок  та є

4) Якщо , то

5) Якщо , то .

Візьмен еліптичну криву

Група точок буде складатися з наступних елементів

(4,1); (4,6); (5,0); (6,1); (6,6); O.

Кожна з отриманих точок характеризується порядком, тобто числом k, яка її відображає в точку на нескінченності - Т.О. Для більш детального уявлення складемо таблицю (карту) точок заданої кривої, шляхом множення послідовно на числа від 1 до p-1 = 7-1 = 6:

k (4,1) (4,6) (5,0) (6,1)  (6,6) O

1 (4,1) (4,6) (5,0) (6,1) (6,6) O

2 (6,6) (6,1) O (6,6) (6,1) O

3 (5,0) (5,0) (5,0) O O O

4 (6,1) (6,6) O (6,1) (6,6) O

5 (4,6) (4,1) (5,0) (6,6) (6,1) O

6 O O O O O O

З отриманої таблиці ми можемо отримати порядок кожної точки кривої. Так точки розглянутої кривої мають такими порядками:

(4,1) - 6, (4,6) - 6, (5,0) - 2, (6,1) - 3, (6,6) - 3.

Висновки: В даній лабораторній роботі було ознайомлено з основними поняттями про еліптичні криві , вивчено основні підходи до використання еліптичних кривих в криптографії.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51049. Динамические характеристики морских стационарных буровых платформ 494.63 KB
  Основные определения: Период собственных колебаний Т это время шитого цикла одного свободного затухающего колебания верхнего сечения стержня. Круговая частота собственных колебаний Ω представляет собой число полных свободных колебаний за время 2π секунд и связана с периодом соотношением Ω=2π Т. Экспериментально величины Т и Ω определяются путём обработки осциллографической записи свободных затухающих колебаний. Натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд свободного затухающего колебательного движения называется...
51052. Расчет структурной схемы системы автоматического регулирования с обратной связью 255.04 KB
  ПИДрегулятор формирует управляющий сигнал являющийся суммой трёх слагаемых первое из которых пропорционально входному сигналу второе интеграл входного сигнала третье производная входного сигнала. Алгоритм работы ПИДрегулятора может быть представлен в следующем виде: Уравнения ячеек в Excel yk=I1yk1I2uk1 ek=wyk uk= uk1I7ekJ7ek1 K7ek2 Результаты расчетов n=0.695 Для наиболее ответственных контуров управления объектами рекомендуется использование ПИДрегулятор обеспечивающий наиболее...
51053. ДОЗИМЕТРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 185.4 KB
  Измерение плотности потока β частиц . если поглощенная энергия излучения в некотором объеме среды равна суммарной кинетической энергии ионизирующих частиц электронов и позитронов образованных фотонным излучением в том же объеме среды.3 приведены числовые значения допустимой плотности потока частиц при облучении кожи и тела лиц из персонала βчастицами.3 Допустимые уровни облучения кожи лиц из персонала βчастицами Граничная энергия Мэв Эквивалентная на единичный флюенс доза D1 1010Звсм2 част Допустимая плотность...
51055. Работа с конструктивными точками 1.97 MB
  В Mechаnicаl существуют 3 основных типа тел которые могут быть проанализированы: Твердотельные модели 2D и 3D Поверхностные тела Линейные тела При самостоятельном создании геометрии необходимо запустить раздел двойным нажатием мыши и выбрать систему исчисления в появившемся окне DM. После назначения параметров точки создать ее с помощью Generte Таким образом...