20699

Еліптичні криві в криптографії

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

1КІ08 Морозов Артем Еліптична крива над полем K це множина точок проективної площини над K що задовольняють рівнянню разом з точкою на нескінченності. Отже кількість точок на кривій парна 1 точку дає по дві точки можуть давати інші елементи поля і треба не забути про точку на нескінченності. Додавання точок виконується наступним чином: 1 Нейтральний елемент групи: для будьякої точки . 3 Якщо то сумою точок та є 4 Якщо то 5 Якщо то .

Украинкский

2013-07-31

168.01 KB

28 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра ОТ

Лабораторна робота №8

«Еліптичні криві в криптографії»

Виконав ст..гр.1КІ-08

Морозов Артем

Еліптична крива над полем K - це множина точок проективної площини над K,

 що задовольняють рівнянню

разом з точкою на нескінченності.

        Еліптичні криві є одним з основних об'єктів вивчення в сучасній теорії чисел і криптографії. Наприклад, вони були використані Ендрю Вайлзом (спільно з Річардом Тейлором) в доведенні Великої теореми Ферма. Еліптична криптографія є самостійним розділом криптографії, що присвячений вивченню криптосистем на базі еліптичних кривих. Зокрема, на еліптичних кривих заснований російський стандарт цифрового підпису . Еліптичні криві також застосовуються в деяких алгоритмах факторизації (наприклад Алгоритм Ленстри) і тестування простоти чисел.

Для еліптичної кривої знайдемо всі т. Е9 за заданим рівнянням:

Y2=y3+x+6 (mod 11)

#E = 13.

Приклад еліптичної кривої

Розглянемо, коли точка з координатами належить еліптичній кривій. Для цього треба з’ясувати, коли має розв’язки відносно  рівняння . Для цього розглянемо 2 випадки:

1) . В такому випадку рівняння зводиться до , яке завжди має єдиний розв’язок у полі , який можна знайти як .

2) . Розділимо обидві частини рівняння на і відносно маємо рівняння , де . Зауважимо, що можна знайти як . Отримане рівняння має два розв’язки тоді, коли , де

.

Ці розв’язки можна знайти за формулою операції напівсліду: , , і, відповідно, , .

Якщо ж , то рівняння розв’язків не має.

Отже, кількість точок на кривій – парна (1 точку дає , по дві точки можуть давати інші елементи поля, і треба не забути про точку на нескінченності). На цих точках вводиться група. Додавання точок виконується наступним чином:

1) Нейтральний елемент групи: для будь-якої точки .

2) Протилежні елементи: покладемо , .

3) Якщо , то сумою точок  та є

4) Якщо , то

5) Якщо , то .

Візьмен еліптичну криву

Група точок буде складатися з наступних елементів

(4,1); (4,6); (5,0); (6,1); (6,6); O.

Кожна з отриманих точок характеризується порядком, тобто числом k, яка її відображає в точку на нескінченності - Т.О. Для більш детального уявлення складемо таблицю (карту) точок заданої кривої, шляхом множення послідовно на числа від 1 до p-1 = 7-1 = 6:

k (4,1) (4,6) (5,0) (6,1)  (6,6) O

1 (4,1) (4,6) (5,0) (6,1) (6,6) O

2 (6,6) (6,1) O (6,6) (6,1) O

3 (5,0) (5,0) (5,0) O O O

4 (6,1) (6,6) O (6,1) (6,6) O

5 (4,6) (4,1) (5,0) (6,6) (6,1) O

6 O O O O O O

З отриманої таблиці ми можемо отримати порядок кожної точки кривої. Так точки розглянутої кривої мають такими порядками:

(4,1) - 6, (4,6) - 6, (5,0) - 2, (6,1) - 3, (6,6) - 3.

Висновки: В даній лабораторній роботі було ознайомлено з основними поняттями про еліптичні криві , вивчено основні підходи до використання еліптичних кривих в криптографії.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13343. Призначення та будова системи карданних передач і шарнірів рівних кутових швидкостей 245.74 KB
  Лабораторна робота №9 Тема : Призначення та будова системи карданних передач і шарнірів рівних кутових швидкостей. Мета: Ознайомитися практично з призначеннями і схемами карданних передач і шарнірів рівних кутових швидкостей. Загальні теоретичні відомості Карда
13344. Призначення та будова системи головних передач і диференціалів 217.43 KB
  Лабораторна робота №10 Тема : Призначення та будова системи головних передач і диференціалів. Мета: Ознайомитися практично з призначеннями і схемами головних передач і диференціалів. Загальні теоретичні відомості Головна передача слугує для збільшення крутного м...
13345. Призначення та будовою рульового керування 420.92 KB
  Лабораторна робота №6 Тема : Призначення та будовою рульового керування. Мета: Ознайомитися практично з призначеннями і видами рульового керування Рульове керування призначається для зміни напряму руху автомобіля повертанням передніх керованих коліс і складаєтьс...
13346. Призначення та будова гальмових систем 165.42 KB
  Лабораторна робота №7 Тема : Призначення та будова гальмових систем. Мета: Ознайомитися практично з призначеннями і схемами різних типів гальм. Загальні теоретичні відомості Експлуатація будьякого автомобіля допускається лише за умови справності його гальмової...
13347. Структурно-функциональные особенности СОК Олимпик 3.89 MB
  Спортивно-оздоровительный комплекс Олимпик находится на территории Воронежской области, в черте города Воронеж. В своей дипломной работе хотелось бы рассказать о городе Воронеже в целом, развитии туризма в нем и о спортивно-оздоровительном комплексе Олимпик...
13348. Вивчення законів збереження імпульсу та енергії при ударі 107 KB
  Лабораторна робота № 1 Тема: Вивчення законів збереження імпульсу та енергії при ударі. Мета: Перевірити виконання законів збереження імпульсу та енергії при пружному ударі. Прилади і матеріали: установки для спостереження та дослідження наслідків удару ...
13349. Вивчення затухаючих коливань і визначення логарифмічного декремента затухання 372.5 KB
  Лабораторна робота № 2 Тема. Вивчення затухаючих коливань і визначення логарифмічного декремента затухання. Мета: ознайомитись з описом затухаючих коливань визначити основні характеристики затухаючих коливань уніфіляра. Теоретичні відомості. Лінійні за...
13350. Визначення опору провідника за допомогою моста сталого струму (моста Уітстона) 581.5 KB
  Лабораторна робота № 3 Тема: Визначення опору провідника за допомогою моста сталого струму моста Уітстона. Мета: ознайомитись з класичним методом вимірювання опору за допомогою мостової схеми. Прилади і пристрої: стрілковий гальванометр з нульовою точкою мага
13351. Изучение особенностей идентификации и рассмотрение фальсификации растительных масел 906 KB
  В связи с актуальностью проблемы идентификации и фальсификации товаров необходимо изучить данную тему глубже. А в качестве объекта исследования хотелось бы обратиться к такой группе товаров как растительные масла. Ведь рынок масложировой продукции