20708

Экстремумы и точки перегиба

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.

Русский

2013-07-31

99 KB

8 чел.

Экстремумы и точки перегиба

Определение: Если  , то  называется точкой локального минимума;

- локальный минимум функции.

Определение: Если   то  называется точкой строгого локального минимума.

Определение: Если , то  называется точкой локального максимума.

Определение: Если , то  называется точкой   строгого локального максимума.

Определение: локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами.

Определение: Если , то  называется точкой глобального минимума;

- глобальный минимум функции. Аналогично глобальный максимум.

Теорема Ферма: если

1)  

2)  - точка экстремума;

3) , то .

Доказывается от противного: отрицается условие . Тогда либо

(строго убывает), либо (строго возрастает). Эти утверждения противоречат условию 2 (по определению).

Определение: Если =0, то  - стационарная точка функции .

Если  не существует, то  - критическая точка функции .

Примеры:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в стационарной или критической точке.

Теорема (достаточное условие существования строгого локального экстремума): если

1)определена и непрерывна в ;

2) - стационарная или критическая точка, то  - точка строгого локального максимума (минимума) при изменении знака производной с  «+» на « - » (с « - » на «+»).

Доказательство:

Пусть

строго возрастает;

строго убывает, тогда по определению  - точка локального максимума

Определение: точка на кривой, отделяющая ее вогнутую часть от выпуклой части, называется точкой перегиба.

Теорема (до условие выпуклости и вогнутости): если

1) Функция определена в интервале;

2)  в интервале;

3)  в интервале;

то в этом интервале данная функция – выпуклая.

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба): если

- точка перегиба функции , то , либо не существует.

Доказательство от противного (аналогично теореме Ферма).

Определение:

Если график функции  расположен выше любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале.

Определение: Если график функции  расположен ниже любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54610. В стране сказочных образов 306.5 KB
  Цель: на примере балета С.Прокофьев видеофрагмент из балета Золушка Падешаль Аморозо; П.Чайковский видеофрагмент из балета Щелкунчик Танец феи Драже. Оборудование: музыкальный инструмент музыкальный центр видеофильмы с фрагментами из балетов Золушка и Щелкунчик.
54611. Общественно-политическая лексика к урокам по творчеству И.С. Тургенева 28.5 KB
  Западник сторонник общественного течения в России в 19 веке представители которого признавали западноевропейский путь развития России. в России: интеллигент не принадлежавший к дворянству выходец из других сословий купечества мещанства духовенства крестьянства а также из мелкого чиновничества. Славянофил сторонник направления общественной и философской мысли России в середине 19 века выдвинувшие идею самобытного пути исторического развития России отличного от пути развития западноевропейских стран.
54612. Молодежь в современном обществе 49 KB
  Работа в группах составление минидоклада используя мультимедийный диск составление вопросов по изучаемому материалу 5мин. Выступление представителя группы знакомство класса с изученным материалом 5 мин 3. Проверка знаний: тестовое задание 5мин ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА Этапы урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Конт роль времени Оргмомент Вступительное слово учителя 1 мин. Постановка цели корректировка Формулировка цели урока 3 мин Изучение нового...
54613. Перекрестная эластичность. Эластичность по доходу 26.62 KB
  Под эластичностью спроса по доходам понимается изменение спроса на товар в связи с изменением доходов потребителей. Если рост доходов приводит к росту спроса на товар, то данный товар относится к категории «нормальных», при снижении доходов потребителя и росте спроса на товар – товар относится к категории «низших».
54614. Социум как особенная часть мира. Системное строение общества 66 KB
  Системное строение общества. Для характеристики общества как системы используется понятие подсистема или сфера жизни общества. Черты общества как системы: 1 целостность; 2 наличие и взаимосвязь элементов; 3 качественная определенность т. Признаки общества как динамичной системы: 1 самодостаточность; 2 способность к самовоспроизводству; 3 способность к изменениям саморазвитию как отдельных элементов так и общества в целом.
54615. Стадийный подход 73 KB
  Характерным для традиционного аграрного общества является господство редистрибутивных отношений которые могут выражаться в самых разных формах: централизованное государственное хозяйство древнего Египта и средневекового Китая; русская крестьянская община где редистрибуция выражается в регулярных переделах земли по количеству едоков и т. Эта привязанность проявлялась в том что каждый член общества был включен в какойлибо коллектив и в зависимости каждого от старших по возрасту происхождению общественному положению которые и...
54616. Различные виды чтения применяемые на уроках иностранного языка 57 KB
  Зрелое умение читать предполагает как владение всеми видами чтения так и легкость перехода от одного его вида к другому в зависимости от изменения цели получения информации из данного текста. Это беглое выборочное чтение чтение текста по блокам для более подробного ознакомления с его фокусирующими деталями и частями. Полнота понимания при просмотровом чтении определяется возможностью ответить на вопрос представляет ли данный текст интерес для читающего какие части текста могут оказаться в этом отношении наиболее информативными и должны...
54618. Здоровя – мудрих гонорар 56 KB
  Мати купала своїх діток мила їхні голівоньки різними травами зіллям що позитивно впливало на здоровя і приємно пахло. Це корисно для зміцнення здоров’я та закалювання організму. Що більш шкідливо для здоров’я...