20708

Экстремумы и точки перегиба

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.

Русский

2013-07-31

99 KB

8 чел.

Экстремумы и точки перегиба

Определение: Если  , то  называется точкой локального минимума;

- локальный минимум функции.

Определение: Если   то  называется точкой строгого локального минимума.

Определение: Если , то  называется точкой локального максимума.

Определение: Если , то  называется точкой   строгого локального максимума.

Определение: локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами.

Определение: Если , то  называется точкой глобального минимума;

- глобальный минимум функции. Аналогично глобальный максимум.

Теорема Ферма: если

1)  

2)  - точка экстремума;

3) , то .

Доказывается от противного: отрицается условие . Тогда либо

(строго убывает), либо (строго возрастает). Эти утверждения противоречат условию 2 (по определению).

Определение: Если =0, то  - стационарная точка функции .

Если  не существует, то  - критическая точка функции .

Примеры:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в стационарной или критической точке.

Теорема (достаточное условие существования строгого локального экстремума): если

1)определена и непрерывна в ;

2) - стационарная или критическая точка, то  - точка строгого локального максимума (минимума) при изменении знака производной с  «+» на « - » (с « - » на «+»).

Доказательство:

Пусть

строго возрастает;

строго убывает, тогда по определению  - точка локального максимума

Определение: точка на кривой, отделяющая ее вогнутую часть от выпуклой части, называется точкой перегиба.

Теорема (до условие выпуклости и вогнутости): если

1) Функция определена в интервале;

2)  в интервале;

3)  в интервале;

то в этом интервале данная функция – выпуклая.

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба): если

- точка перегиба функции , то , либо не существует.

Доказательство от противного (аналогично теореме Ферма).

Определение:

Если график функции  расположен выше любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале.

Определение: Если график функции  расположен ниже любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66456. Совершенствование системы управления персоналом в ГУ ЦЗН 244 KB
  Актуальность выбранной темы определяется тем, что в современной российской действительности в процессе реализации задач эффективного государственного управления учреждения столкнулись с множеством проблем, ключевой из которых является низкая эффективность системы управления персоналом.
66457. Причин высокого уровня инфляции в России на протяжении многих лет 154.5 KB
  Целью дипломной работы является поиск возможных причин высокого уровня инфляции в России на протяжении многих лет. Причиной дипломной является интерес к тому факту что уровень инфляции в Европе и США является в последние годы низким...
66458. Разработка и оценка действующего механизма управления прибылью в условиях малого предприятия ООО «Флер де Элен» 347.5 KB
  Целью данной работы является изучение теоретических основ управления прибылью анализ разработка и оценка действующего механизма управления прибылью в условиях малого предприятия ООО Флер де Элен планирование финансовых результатов определение направлений их совершенствования и поиск путей увеличения чистой прибыли.
66459. Анализ эффективности управления кредитными операциями коммерческого банка (на примере АБ Капитал) 772 KB
  Анализ эффективности управления кредитными операциями коммерческого банка на примере АБ Капитал Поэтому перед российскими коммерческими банками при увеличении конкурентной борьбы за потенциальных заемщиков возникла необходимость планирования своей кредитной деятельности.
66461. Структурно-семантичні та прагматичні особливості парантезу в оповіданнях У.Фолкнера 209 KB
  Робоча гіпотеза, яка висувається в дослідженні полягає в тому, що експресивна функція парантетичних внесень, експресивний характер є результатом нашарування текстових характеристик на статичну природу речення. Тому парантези — це не тільки, навіть не стільки належність речення, скільки належність тексту.
66462. Розробка рекомендацій щодо підвищення дохідності КБ «Фінанси та кредит» 5.49 MB
  Метою нашої роботи є вивчення і аналіз роботи по проведенню валютно-розрахункових операцій на прикладі КБ Фінанси та кредит здійснення розрахунків по експортно-імпортних операціях залучення клієнтів та збільшення прибутків банку. Національна мережа банківського обслуговування банку...
66463. Шляхи покращення банківського кредитування фізичних осіб 713.5 KB
  Об'єктивні відхилення фактичної потреби господарюючих суб'єктів у фінансуванні їх господарської діяльності від наявності (надлишку або нестачі) вільних ресурсів залежать від багатьох факторів, серед яких: капіталомісткість виробничої діяльності; сезонність виробництва...