20708

Экстремумы и точки перегиба

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.

Русский

2013-07-31

99 KB

8 чел.

Экстремумы и точки перегиба

Определение: Если  , то  называется точкой локального минимума;

- локальный минимум функции.

Определение: Если   то  называется точкой строгого локального минимума.

Определение: Если , то  называется точкой локального максимума.

Определение: Если , то  называется точкой   строгого локального максимума.

Определение: локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами.

Определение: Если , то  называется точкой глобального минимума;

- глобальный минимум функции. Аналогично глобальный максимум.

Теорема Ферма: если

1)  

2)  - точка экстремума;

3) , то .

Доказывается от противного: отрицается условие . Тогда либо

(строго убывает), либо (строго возрастает). Эти утверждения противоречат условию 2 (по определению).

Определение: Если =0, то  - стационарная точка функции .

Если  не существует, то  - критическая точка функции .

Примеры:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в стационарной или критической точке.

Теорема (достаточное условие существования строгого локального экстремума): если

1)определена и непрерывна в ;

2) - стационарная или критическая точка, то  - точка строгого локального максимума (минимума) при изменении знака производной с  «+» на « - » (с « - » на «+»).

Доказательство:

Пусть

строго возрастает;

строго убывает, тогда по определению  - точка локального максимума

Определение: точка на кривой, отделяющая ее вогнутую часть от выпуклой части, называется точкой перегиба.

Теорема (до условие выпуклости и вогнутости): если

1) Функция определена в интервале;

2)  в интервале;

3)  в интервале;

то в этом интервале данная функция – выпуклая.

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба): если

- точка перегиба функции , то , либо не существует.

Доказательство от противного (аналогично теореме Ферма).

Определение:

Если график функции  расположен выше любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале.

Определение: Если график функции  расположен ниже любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38336. Міжнародне приватне право 244.5 KB
  Поняття суб’єкт об’єкт та джерела міжнародного приватного права. Субєкти МПрП це учасникицивільних правовідносин ускладнених іноземним елементом: 1 фізичні особи громадяни особи без громадянства апатриди; іноземні громадяни особи які мають подвійне громадянство біпатриди; 2 юридичні особи державні організації приватні фірми підприємства науководослідні та інші організації; 3 держави; 4 нації і народи які борються за свободу і незалежність і створення власної державності в особі своїх керівних органів до них...
38337. Критерии социальной стратификации, ее виды 14.93 KB
  В социологии выделяют три базовых вида социальной стратификации современного общества - экономическую, политическую и социально-профессиональную.
38338. Міжнародне публічне прво 309.5 KB
  Воно включає в себе такі компоненти як володіння природними ресурсами та їх експлуатація виробництво та розподіл товарів міжнародні угоди господарського чи фінансовог характеру кредити та фінанси та ін. Для маркировки невеливих товарів розроблений стандарт штрихкоду EN8 у тілі повідомлення якого кодується тільки 8 цифр замість 13. Показником лібералізму є свобода звичаєва категорія руху товарів послуг та капіталів економічні свободи. Особливістю розвитку світового експорту сировинних товарів є також нижчі темпи зростання торгівлі...
38340. Менеджмент. Сутність менеджменту 1.29 MB
  Планування в організації. В українському законодавстві організації які мають статус юридичної особи називають підприємствами товариствами асоціаціями об’єднаннями тощо. За способом і метою утворення організації поділяють на формальні та неформальні. За кількістю цілей виділяють прості організації мають одну ціль і складні організації ставлять перед собою комплекс взаємопов’язаних цілей яких в економіці переважна більшість.
38341. Менеджмент как теория управления 74.87 KB
  Управление с точки зрения философии это функция биологических социальных технических организационных систем которые обеспечивает сохранение их структуры и поддерживает определенный режим деятельности; с точки зрения экономических понятий – это процесс распределения движения ресурсов в организации с заранее заданной целью по заранее разработанному плану с непрерывным контролем результатов. 2 менеджмент это процесс достижения целей организации с помощью других людей. Менеджер это человек который занимает постоянную управляющую...
38342. Бизнес-планирование инвестиционных проектов 34.5 KB
  Бизнесплан это стандартный документ в котором детально обосновывается концепция инвестиционного проекта приводятся основные технические экономические финансовые и социальные характеристики. Бизнесплан позволяет обобщить результаты которые будут достигнуты в результате внедрения инвестиционного проект определить его эффективность и жизнеспособность установить направления возможного детального развития. Бизнесплан является основанием для получения финансовых ресурсов правовой и организационной поддержки.
38344. ПРАВО ВНЕШНИХ СНОШЕНИЙ 118.5 KB
  Институтом этой отрасли является право на внешние сношения вытекающее из суверенитета государства право на участие в жизни международного сообщества на основе суверенного равенства. Право государства на внешние сношения основано на международноправовых нормах и существует независимо от внутреннего права которое может обходить область внешних сношений молчанием. Согласно принципу невмешательства государства не имеют права вмешиваться не только во внутренние но и во внешние дела другого государства входящие в его суверенную...