20708

Экстремумы и точки перегиба

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.

Русский

2013-07-31

99 KB

8 чел.

Экстремумы и точки перегиба

Определение: Если  , то  называется точкой локального минимума;

- локальный минимум функции.

Определение: Если   то  называется точкой строгого локального минимума.

Определение: Если , то  называется точкой локального максимума.

Определение: Если , то  называется точкой   строгого локального максимума.

Определение: локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами.

Определение: Если , то  называется точкой глобального минимума;

- глобальный минимум функции. Аналогично глобальный максимум.

Теорема Ферма: если

1)  

2)  - точка экстремума;

3) , то .

Доказывается от противного: отрицается условие . Тогда либо

(строго убывает), либо (строго возрастает). Эти утверждения противоречат условию 2 (по определению).

Определение: Если =0, то  - стационарная точка функции .

Если  не существует, то  - критическая точка функции .

Примеры:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в стационарной или критической точке.

Теорема (достаточное условие существования строгого локального экстремума): если

1)определена и непрерывна в ;

2) - стационарная или критическая точка, то  - точка строгого локального максимума (минимума) при изменении знака производной с  «+» на « - » (с « - » на «+»).

Доказательство:

Пусть

строго возрастает;

строго убывает, тогда по определению  - точка локального максимума

Определение: точка на кривой, отделяющая ее вогнутую часть от выпуклой части, называется точкой перегиба.

Теорема (до условие выпуклости и вогнутости): если

1) Функция определена в интервале;

2)  в интервале;

3)  в интервале;

то в этом интервале данная функция – выпуклая.

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба): если

- точка перегиба функции , то , либо не существует.

Доказательство от противного (аналогично теореме Ферма).

Определение:

Если график функции  расположен выше любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале.

Определение: Если график функции  расположен ниже любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79235. Убийство в состоянии аффекта 33.09 KB
  Объективная сторона данного преступления образует лишение жизни другого человека совершенное в состоянии внезапно возникшего сильного душевного волнения аффекта вызванного насилием издевательством или тяжким оскорблением со стороны потерпевшего либо иными противоправными или аморальными действиями бездействием потерпевшего а равно длительной психотравмирующей ситуацией возникшей в связи с систематическим противоправным или аморальным поведением потерпевшего. Данное убийство является ответной реакцией виновного на противоправное...
79236. Экономическая система Дж. КЕйнса (1883-1946) и ее значение для развития мировой экономической мысли 318 KB
  Книга озаглавлена так для того чтобы мои аргументы и выводы противопоставить аргументам и выводам классической1 теории на которой я воспитывался и которая – как и 100 лет назад – господствует над практической и теоретической экономической мыслью правящих и академических кругов нашего поколения. Я приведу доказательства того что постулаты классической теории применимы не к общему а только к особому случаю так как экономическая ситуация которую она рассматривает является лишь предельным случаем возможных состояний равновесия. ГЛАВА 2...
79237. Неолиберализм. Монетаризм как альтернатива кейнсианству 347 KB
  Оптимальное количество денег В теории денег есть нечто напоминающее японский сад. Стало распространенным утверждение что в теории денег нет ничего менее существенного чем их количество выраженное в долларах фунтах или песо. Действительно если бы единицей счета вместо доллара стал вдруг цент то нам пришлось бы просто умножить количество денег на 100 как и все другие номинальные величины цены активы обязательства; но никаких других эффектов в экономике это не вызвало бы. Совсем иначе обстоит дело с количеством денег в реальном...
79238. Институционализм как идейно-теоретическая база либерального реформизма 181 KB
  И эта основа становится менее прочной как раз тогда когда высокий уровень издержек и длительный период созревания изделий обусловленные современной техникой требуют значительно большей надежности рынков. Назначение книги ОСНОВУ книги составляют три статьи Природа фирмы 1937 Спор о предельных издержках 1946 и Проблема социальных издержек 1960. Чтобы объяснить почему фирмы существуют и что именно они делают я счел необходимым ввести понятие которое я в этой статье обозначил как издержки использования механизма цен издержки...
79239. Экономическая мысль периода генезиса капитализма: меркантилизм как первая концепция рыночных отношений. Экономическая система физиократов 177.5 KB
  Нация распадается на три класса граждан: класс производительный класс собственников и класс непроизводительный. Непроизводительный класс состоит из всех граждан которые заняты другими услугами и видами труда кроме земледелия и затраты которых оплачиваются производительным классом и классом собственников в свою очередь получающим свои доходы от производительного класса. Экономическая таблица охватывает три указанных класса и ежегодно получаемое ими богатство и описывает обмен commerce между ними в следующей форме. Класс собственников...
79240. Классическая политическая экономия. Экономические системы А. Смита (1723-1790) и Д. Рикардо (1772 - 1823 гг.) 152 KB
  Годичный труд каждого народа представляет собою первоначальный фонд который доставляет ему все необходимые для существования и удобства жизни продукты потребляемые им в течение года и состоящие всегда или из непосредственных продуктов этого труда или из того что приобретается в обмен на эти продукты у других народов. Напротив у народов цивилизованных и процветающих – хотя у них большое число людей совсем не работает причем многие неработающие потребляют в десять а часто и в сто раз большего труда чем...
79241. Идеи классической политической экономии в учениях Т. Мальтуса, Ж.-Б. Сэя., Дж. Ст. Милля 192.5 KB
  Это обстоятельство а также внимание оказанное обществом моему Опыту обязывали меня произвести некоторые исторические исследования с целью изучить влияние закона народонаселения на прошедшее и настоящее состояния общества. Нищета и бедствия производимые чрезмерно быстрым размножением населения бы ли уже замечены и жестокие меры против этих бедствий были указываемы со времен Платона и Аристотеля. Не говоря уже о том что сравнение между возрастанием населения и средств потребления не было никем изложено с достаточной силой и ясностью...
79242. Экономическое учение западно-европейских социалистов и демократическая мысль России 1-й половины XIX века 303.5 KB
  Лучшим средством привлечь их на свою сторону будет возможно полное разъяснение этого вопроса; вот цель какую я себе ставлю обращаясь к различным группам человечества разделяемого мною на три класса: первый – это тот к которому имеем честь принадлежать мы с вами; он шествует под знаменем прогресса человеческого духа и состоит из ученых художников и всех людей разделяющих либеральные идеи. Это такое брожение когда все отношения между членами нации становятся непрочными и величайший из всех бичей – анархия – свободно производит свои...
79243. Марксистская политическая экономия. Структура и логика «Капитала» К. Маркса 313 KB
  Но товарная форма продукта труда или форма стоимости товара есть форма экономической клеточки буржуазного общества. Этот его характер не зависит от того много или мало труда стоит человеку присвоение его потребительных свойств. Как потребительная стоимость он не заключает в себе ничего загадочного будем ли мы его рассматривать с той точки зрения что он своими свойствами удовлетворяет человеческие потребности или с той точки зрения что он приобретает эти свойства как продукт человеческого труда. Потому что вопервых как бы...