20708

Экстремумы и точки перегиба

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.

Русский

2013-07-31

99 KB

8 чел.

Экстремумы и точки перегиба

Определение: Если  , то  называется точкой локального минимума;

- локальный минимум функции.

Определение: Если   то  называется точкой строгого локального минимума.

Определение: Если , то  называется точкой локального максимума.

Определение: Если , то  называется точкой   строгого локального максимума.

Определение: локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами.

Определение: Если , то  называется точкой глобального минимума;

- глобальный минимум функции. Аналогично глобальный максимум.

Теорема Ферма: если

1)  

2)  - точка экстремума;

3) , то .

Доказывается от противного: отрицается условие . Тогда либо

(строго убывает), либо (строго возрастает). Эти утверждения противоречат условию 2 (по определению).

Определение: Если =0, то  - стационарная точка функции .

Если  не существует, то  - критическая точка функции .

Примеры:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в стационарной или критической точке.

Теорема (достаточное условие существования строгого локального экстремума): если

1)определена и непрерывна в ;

2) - стационарная или критическая точка, то  - точка строгого локального максимума (минимума) при изменении знака производной с  «+» на « - » (с « - » на «+»).

Доказательство:

Пусть

строго возрастает;

строго убывает, тогда по определению  - точка локального максимума

Определение: точка на кривой, отделяющая ее вогнутую часть от выпуклой части, называется точкой перегиба.

Теорема (до условие выпуклости и вогнутости): если

1) Функция определена в интервале;

2)  в интервале;

3)  в интервале;

то в этом интервале данная функция – выпуклая.

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба): если

- точка перегиба функции , то , либо не существует.

Доказательство от противного (аналогично теореме Ферма).

Определение:

Если график функции  расположен выше любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале.

Определение: Если график функции  расположен ниже любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84893. Litter Tracking Imprinting 48.5 KB
  I leave them to their business and watch which ones seem most intense and which ones wander off. I especially note which ones stay the longest and which ones return hours later to search the same track. When this is the same puppy, I know I have a star.
84894. Расчёт показателей эксплуатационной надёжности эталонных конструкций верхнего строения пути 102.2 KB
  Расчёт показателей эксплуатационной надёжности эталонных конструкций верхнего строения пути Расчёт количества эталонных объектов пути Оценка показателей эксплуатационной надежности технического состояния элементов верхнего строения пути на различных участках зависит от видов и типов конструкций находящихся в различных условиях эксплуатации окружающей среды а также изза влияния других факторов. Расчет...
84895. Исследование характеристик машин переменного и постоянного тока в различных режимах работы: учебно-методическое пособие 1.48 MB
  Приведены методики и примеры расчета асинхронного двигателя с фазным и короткозамкнутым ротором в различных режимах работы, а также двигателя постоянного тока. Содержатся основные технические данные двигателей различных типов.
84899. Технология производства светлого пива 899.41 KB
  Актуальность темы работы заключается в том, что во всем мире пиво пользуется большим спросом у населения благодаря приятному вкусу, тонизирующему и жаждоутоляющему действию. Пиво, являясь слабоалкогольным напитком, во многих странах выступает соперником крепких алкогольных изделий.
84900. Тоннель, сооружаемый щитовым способом 379 KB
  Инженерно-геологические изыскания осуществляются с полнотой, которая достаточна для оценки условий строительства и разработки прогноза взаимодействия геологической среды и подземного сооружения.