20708

Экстремумы и точки перегиба

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.

Русский

2013-07-31

99 KB

8 чел.

Экстремумы и точки перегиба

Определение: Если  , то  называется точкой локального минимума;

- локальный минимум функции.

Определение: Если   то  называется точкой строгого локального минимума.

Определение: Если , то  называется точкой локального максимума.

Определение: Если , то  называется точкой   строгого локального максимума.

Определение: локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами.

Определение: Если , то  называется точкой глобального минимума;

- глобальный минимум функции. Аналогично глобальный максимум.

Теорема Ферма: если

1)  

2)  - точка экстремума;

3) , то .

Доказывается от противного: отрицается условие . Тогда либо

(строго убывает), либо (строго возрастает). Эти утверждения противоречат условию 2 (по определению).

Определение: Если =0, то  - стационарная точка функции .

Если  не существует, то  - критическая точка функции .

Примеры:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в стационарной или критической точке.

Теорема (достаточное условие существования строгого локального экстремума): если

1)определена и непрерывна в ;

2) - стационарная или критическая точка, то  - точка строгого локального максимума (минимума) при изменении знака производной с  «+» на « - » (с « - » на «+»).

Доказательство:

Пусть

строго возрастает;

строго убывает, тогда по определению  - точка локального максимума

Определение: точка на кривой, отделяющая ее вогнутую часть от выпуклой части, называется точкой перегиба.

Теорема (до условие выпуклости и вогнутости): если

1) Функция определена в интервале;

2)  в интервале;

3)  в интервале;

то в этом интервале данная функция – выпуклая.

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба): если

- точка перегиба функции , то , либо не существует.

Доказательство от противного (аналогично теореме Ферма).

Определение:

Если график функции  расположен выше любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале.

Определение: Если график функции  расположен ниже любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28111. Определить основные абстракции подсистемы, описание которой наведено в задании. Сделайте синтез информационной системы в виде диаграммы классов по принципу ВСЕ 3.45 MB
  Обеспечить доступ к глобальной сети сетей LAN2 и LAN3 по портм 20 21 80 119 если граничный маршрутизатор разрешает доступ в интернет только маршрутизатору с IP=10.29 запретить доступ сетей LAN2 и LAN3 к ресурсам сети LAN1 порты 139 445.
28112. электрообеспечение учет работ по заявкам жителей плановые ремонтные работы. 2.79 MB
  data Array1 db 1234 Array2 db 1 dup OFFh Array3 dw 1000h 2000h 3000h 4000h 5000h Array4 dw 5 dup0 Array5 dd 12345 Array6 db €œABCDEFG€ 0 mov axArray3 mov ax ptr Array2 mov bl byte ptr Array3 mov cx word ptr Array1 mov dx byte ptr Array5 mov dx dword ptr Array4 mov cx dword ptr Array2 mov si offset Array5 4.
28114. Визначить основні абстракції підсистеми, опис якої наведено у завданні. Виконайте синтез інформаційної системи у вигляді діаграми класів за принципом ВСЕ 3.57 MB
  У порту є кілька доків які можуть приймати кораблі різного класу. Ведеться облік кораблів які входять чи виходять з порту дата вид корабля тоннаж пункт призначення судновласник час знаходження в порту перевезений вантаж. Вхід і вихід з порту відбувається з дозволу начальника порту.