20708

Экстремумы и точки перегиба

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.

Русский

2013-07-31

99 KB

8 чел.

Экстремумы и точки перегиба

Определение: Если  , то  называется точкой локального минимума;

- локальный минимум функции.

Определение: Если   то  называется точкой строгого локального минимума.

Определение: Если , то  называется точкой локального максимума.

Определение: Если , то  называется точкой   строгого локального максимума.

Определение: локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами.

Определение: Если , то  называется точкой глобального минимума;

- глобальный минимум функции. Аналогично глобальный максимум.

Теорема Ферма: если

1)  

2)  - точка экстремума;

3) , то .

Доказывается от противного: отрицается условие . Тогда либо

(строго убывает), либо (строго возрастает). Эти утверждения противоречат условию 2 (по определению).

Определение: Если =0, то  - стационарная точка функции .

Если  не существует, то  - критическая точка функции .

Примеры:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в стационарной или критической точке.

Теорема (достаточное условие существования строгого локального экстремума): если

1)определена и непрерывна в ;

2) - стационарная или критическая точка, то  - точка строгого локального максимума (минимума) при изменении знака производной с  «+» на « - » (с « - » на «+»).

Доказательство:

Пусть

строго возрастает;

строго убывает, тогда по определению  - точка локального максимума

Определение: точка на кривой, отделяющая ее вогнутую часть от выпуклой части, называется точкой перегиба.

Теорема (до условие выпуклости и вогнутости): если

1) Функция определена в интервале;

2)  в интервале;

3)  в интервале;

то в этом интервале данная функция – выпуклая.

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба): если

- точка перегиба функции , то , либо не существует.

Доказательство от противного (аналогично теореме Ферма).

Определение:

Если график функции  расположен выше любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале.

Определение: Если график функции  расположен ниже любой касательной, проведенной к этому графику, то функция называется выпуклой в этом интервале .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46929. Инновационные проекты в управлении стоимостью предприятия 37.38 KB
  Жизненный цикл инновации определяется как промежуток времени от зарождения идеи до снятия с производства реализованного на ее основе инновационного продукта. Инновация в своем жизненном цикле проходит ряд стадий включающих: зарождение сопровождающееся выполнением необходимого объема научноисследовательских и опытноконструкторских работ разработкой и созданием опытной партии новшества; рост промышленное освоение с одновременным выходом продукта на рынок; зрелость стадия серийного или массового производства и увеличение объема...
46930. The simple sentence. The semantic classification of simple sentence 37.5 KB
  The simple sentence s ny sentence in generl is orgnised s system of functionexpressing positions the content of the functions being the reflection of situtionl event. The nomintive prts of the simple sentence ech occupying notionl position in it re subject predicte object dverbil ttribute prentheticl enclosure ddressing enclosure; specil seminotionl position is occupied by n interjectionl enclosure. The ultimte nd highest object of this integrl modifiction is the sentence s whole nd through the sentence the reflection of the...
46932. Профессиональные риски в СР. Проблемы профессионального здоровья специалиста, пути его сохранения и совершенствования 37.5 KB
  Проблемы профессионального здоровья специалиста пути его сохранения и совершенствования. Важнейшая задача органов управления в ведении которых находятся социальные службы и учебные центры осуществляющие подготовку и переподготовку социальных работников не столько содействие им в профессиональном развитии и продвижении по службе а сохранение здоровья социальных работников профилактика их профессиональных заболеваний проведение консультаций относительно профессиональных рисков в социальной работе. Важную роль в освоении профессии...
46935. ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОГРАМИ ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ ДЛЯ 5-9 КЛАСІВ СПЕЦІАЛЬНОГО ЗАГАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ ДЛЯ СЛІПИХ ДІТЕЙ 240.5 KB
  Розглянути особливості проведення занять з дітьми з особливими потребами. Вивчити особливості корекційних занять з дітьми з особливими потребами. Узагальнити дані науково-дослідницької роботи по впровадженню корекційних вправ в процесі фізичного виховання дітей шкільного віку. Проаналізувати особливості фізичного виховання дітей-інвалідів.