20709

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Доклад

Математика и математический анализ

Опр: Функция называется первообразной для функции на промежутке если . Если первообразная для функции на и с произвольная постоянная то функция также является первообразной для . Если первообразная для функции на и первообразная для функции на то найдется с: . Вывод: Таким образом множество всех первообразных для на представимо в виде Опр: Множество всех первообразных функции на наз.

Русский

2013-07-31

82 KB

5 чел.

Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Основная задача дифференциального исчисления: найти , если известна . Обратная задача: найти функцию , если известна . Отметим, что если прямая задача разрешима, то она разрешима единственным образом. Для обратной задачи единственности нет.

Опр: Функция  называется первообразной для функции  на промежутке , если , . Например, , т.к. .

Лемма 1. Если  — первообразная для функции  на  и с — произвольная постоянная, то функция  также является первообразной для .

Док-во:

Лемма 2. Если  — первообразная для функции  на  и  — первообразная для функции  на  , то найдется с: .

Док-во: Рассмотрим вспомогательную функцию .     .

Вывод: Таким образом множество всех первообразных для   на  представимо в виде  (*)

Опр: Множество (*) всех первообразных функции   на  наз. Неопределенным интегралом от функции   и обозначается , что условно можно записать в виде .

Замечание: Т. о. неопределенный интеграл от функции   на  существует, если существует хотя бы одна  этой функции на данном промежутке.

Свойства неопределенного интеграла.

  1.  , то .

Сумма от суммы двух функций равен сумме интегралов.

Док-во: .

  1.   и  — любое действительное число, то . Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла.

Док-во:  

  1.  . Дифференциал от интеграла равен подъинтегральному выражению.

Док-во:

  1.  

Док-во: