20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20980. Рекурсивная обработка списковой информации 23.34 KB
  DEFUN F7_1 L COND NULL L 0 LISTP CAR L F7_1 CAR L F7_1 CDR L T IF NUMBERP CAR L CAR L F7_1 CDR L F7_1 CDR L DEFUN F7 L COND NOT LISTP L Error_Not_list T F7_1 L Определить максимальную глубину списка произвольной структуры. DEFUN F8_1 L COND NULL L 1 ATOM CAR L F8_1 CDR L T MAX 1 F8_1 CAR L F8_1 CDR L DEFUN F8 L COND NOT LIST L Error_Not_list T F8_1 L 1 Найти максимальный элемент в числовом списке...
20981. Конструирующая рекурсия 20.47 KB
  DEFUN F11_2 X L COND NULL L T = 0 REM X CAR L NIL T F11_2 X CDR L DEFUN F11_1 X Y S IF = 2 Y SETQ S NIL SETQ S F11_1 N Y 1 COND AND = 0 REM X Y F11_2 Y S CONS Y S T REVERSE S DEFUN F11 N COND OR NOT INTEGERP N NOT PLUSP N Error_Not_Integer = N 1 NIL T F11_1 N N Реверсировать элементы списка произвольной структуры на всех уровнях. DEFUN F12_1 L COND NULL L ' ATOM CAR L APPEND F12_1 CDR L LIST CAR L LISTP CAR L APPEND...
20982. Последовательные, циклические и итерационные вычисления. 20.74 KB
  DEFUN F16_2 X COND = X 0 1 T X F16_2 X 1 DEFUN F16_3 X K COND = K 0 1 T X F16_2 X K 1 DEFUN F16_1 X K F16_3 X K F16_2 K DEFUN F16 X EPS SETQ X1 F16_1 X 1 SETQ P X1 SETQ K 1 LOOP SETQ K K 1 SETQ X2 F16_1 X K ABS X2 X1 EPS P SETQ P P X2 SETQ X1 X2 Найти последний элемент линейного списка. DEFUN F17 L COND NULL L NIL T LOOP NULL CDR L CAR L SETQ L CDR L Реализовать с помощью LOOP задание № 12. DEFUN F18 L P...
20983. Функционалы 20.7 KB
  DEFUN SORT FileName File1 File2 File3 File4 SETQ F OPENINPUTFILE FileName SETQ F1 OPENOUTPUTFILE File1 SETQ F2 OPENOUTPUTFILE File2 SETQ F3 OPENOUTPUTFILE File3 SETQ F4 OPENOUTPUTFILE File4 IF NOT EQ NIL F LOOP EQ NIL SETQ X READ F SORT_IS_FINISHED COND NUMBERP X WRITE X F1 LISTP X WRITE X F2 ;EQ SYM TYPE X WRITE X F3 T WRITE X F4 ERROR_WRONG_FILE_NAME .
20985. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ С ПОМОЩЬЮ ТРАНСПОРТНЫХ ПРОТОКОЛОВ СЕТИ ИНТЕРНЕТ 74 KB
  dfm AnsiString NIK_server; TForm1 Form1; __fastcall TForm1::TForm1TComponent Owner : TFormOwner { ServerSocket1 Active=true; Memo1 Clear; Memo2 Clear; } void __fastcall TForm1::ServerSocket1ClientConnectTObject Sender TCustomWinSocket Socket { Memo1 Lines Add Клиент присоединился ; } ...
20986. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ С ПОМОЩЬЮ ПРОТОКОЛОВ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОЧТЫ И ПРОТОКОЛОВ ПРИКЛАДНОГО УРОВНЯ 353.5 KB
  None; } } ФУНКЦИИ ПРИЕМА ОТВЕТА ОТ СЕРВЕРА protected string Receive { string reply = ; byte[] buffer = new byte[1024]; int ret = socket.Receivebuffer; while ret 0 { reply = Encoding.GetStringbuffer 0 ret; if IsCompletereply break; ret = socket.Receivebuffer; } return reply; } protected bool IsCompletestring reply { string[] parts = reply.
20987. Знакомство с языком разметки html, серверным программированием на языке PHP, а также основой работы с СУБД 509.5 KB
  Основные задачи сайта: Популяризация сериала Звёздные врата́: Атланти́да в сети интернет. Решение задачи Для создания сайта распишем основные этапы: Этапы создания сайта: Построение будущей структуры сайта Заказ дизайна Вёрстка Интеграция с PHP Запуск сайта на сервере Реализация Построение будущей структуры сайта Регистрация и авторизация – для использования функций сайта пользователь обязан зарегистрироваться используем базу данных Главная – краткий экскурс в историю Актеры и герои – список актеров используем базу данных...
20988. Взаимодействие прикладных программ с помощью транспортных протоколов сети Интернет 862.5 KB
  Необходимо создать приложение (клиент) , который мог бы отправлять сообщения серверу при помощи транспортных протоколов (TCP и UDP). Клиент должен содержать файлы настроек для возможности задания порта и IP адреса сервера.