20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2237. Исследование теоретико-методологических аспектов позиционирования бренда 768.83 KB
  Проанализировать методы и процесс позиционирования бренда; дать оценку состояния бренда предприятия (на примере ОАО Эдельвейс), разработать рекомендации по управлению позиционированием бренда.
2238. Математическая физика 1.55 MB
  Единичное ступенчатое воздействие. Импульсное воздействие. Гармоническое (синусоидальное) воздействие.
2239. Автоматизированный электропривод подачи токарного станка 628.47 KB
  Выбор сглаживающего дросселя. Определение коэффициента передачи и постоянных времени силовых элементов. Расчет статических характеристик САУ. Построение структурно-динамической схемы и синтез регуляторов.
2240. Строительство водопропускного сооружения 1012.54 KB
  Климатические условия района строительства. Строительство русла канала механизированным способом. Состав строительных операций и объемы земляных работ. Обеспечение строительных объектов бетонной смесью. Транспортировка и укладка бетонной смеси. Строительство перепада. Технологический расчет строительства водопропускного сооружения.
2241. Технико–экономический анализ деятельности предприятия 130.29 KB
  Анализ выполнения плана по производственной программе и производственной базе. Анализ трудоемкости ТО-1 по видам работ. Анализ влияния статей себестоимости на общую сумму затрат. Анализ влияния ТЭП на выполнение плана по перевозкам.
2242. Микропроцессорные средства и системы автоматизации и управления 1.32 MB
  Целью курсовой работы по курсу Микропроцессорные средства и системы автоматизации и управления является закрепление знаний по основным разделам курса, приобретение навыков и развития способности студентов в разработки схем управления объектом на базе микропроцессоров.
2243. Расчет электромагнита постоянного тока 1.13 MB
  В данной курсовой работе нам следует проанализировать, насколько эффективно используется сталь электромагнита, сделать соответствующие выводы и предложения по рациональному использованию магнита.
2244. Інженерний аналіз характеристик надійності машин та обладнання 1.04 MB
  Коротка характеристика і умови роботи агрегату (вузла) в цілому та основних видів сполучень. Характеристика конструктивно-технологічних особливостей зміцнювальної (відновлювальної) деталі. Аналіз причин, обґрунтування, визначення та описання провідного виду зношення сполученої поверхні деталі. Визначення статистичних характеристик повного ресурсу сполучення за вихідною масовою інформацією.
2245. Основы религиоведения 1.52 MB
  Религия как общественное явление. Происхождение религии и ее ранние формы. Социальное учение мировых религий. Государственно-церковные отношения. Эволюция религии в современном мире.