20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17318. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з обєктами БД 67 KB
  Лабораторна робота 4. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з об'єктами БД. 2 год Мета роботи: Додавання оновлення і видалення даних Розмістіть на формі дві кнопки Button які налаштуйте відповідно до таблиці властивостей ...
17319. Компонентне програмування – робота з обєктами БД 1.17 MB
  Лабораторна робота 5 Компонентне програмування – робота з об'єктами БД. Мета роботи: 1. Розробка інформаційної моделі схеми бази даних 2. Відображення даних із зв'язаних таблиць 1. Розробка інформаційної моделі схеми бази даних Розробка діаграми дозволяє візуа...
17320. Робота з XML-документами 22.45 KB
  Парадигми програмування Кредит 2 Лабораторна робота 6. Робота з XMLдокументами Мета роботи: Створення і обробка XMLдокументів Завдання для самостійної роботи 1. Виконати приклади лекцій 910 і продемонструвати їхню роботу. 2. Створити проекти з аналогічною функц...
17321. Основы XML 470 KB
  PAGE 13 Лекция 7. Основы XML План 1. Определение и структура XMLдокумента 2. Создание XMLдокумента 3. Способы отображения XMLдокумента. 4. Правила создания корректного XMLдокумента 1. Определение и структура XMLдокумента Любой документ можно представи
17322. Работа с XML в .NET 399.72 KB
  Лекция 8. Работа с XML в .NET План 1. Классы для работы с XML .NET 2. Чтение и запись потоков данных Xml 2.1. Использование класса XmlReader 2.2. Методы чтения данных 2.3. Контроль типов данных при чтении Xmlдокумента 3. Создание XMLдокумента в Visual Studio 1. Классы для работы с XML .NET Мно
17323. Создание XML-документов в .NET 123.45 KB
  Лекция 9. Создание XMLдокументов в .NET План 1. Использование класса XmlWriter запись потоков данных Xml 2. Использование DOM в .Net 2.1. Чтение XMLдокумента с помощью XmlNodeList 2.2. Вставка элементов узлов в XML документ 3. Обработка атрибутов 3.1. Извлечение атрибутов с помощью XmlRead...
17324. Элементы функционального программирования в C# 115.85 KB
  Лекция 10. Элементы функционального программирования в C План 1. Элементы функционального программирования в C 2. Делегаты 3. Лямбдавыражения и лямбдафункции 1. Элементы функционального программирования в C Даже из названия функциональное программирован...
17325. Язык LINQ 145.16 KB
  Лекция 11. Язык LINQ План 1. Основы языка LINQ 2. LINQ: обобщения и интерфейсы 3. Основные операции запроса 4. Преобразования данных с LINQ 5. Связи типов в операциях запроса 6. Синтаксис запроса или синтаксис метода 1. Основы языка LINQ Language Integrated Query LINQ – проект Microsoft по ...