20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72472. Восточные славяне в древности 89 KB
  Славянские народы принадлежат к древнему индоевропейскому единству, включающему такие народы как германские, балтийские, романские, греческие, кельтские, иранские, индийские раскинувшиеся на огромном пространстве от Атлантического океана до Индийского, от Ледовитого океана до Средиземного моря.
72473. ВОЛНОВЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ 609 KB
  Генератор устроен так чтобы деформированное гибкое колесо прижималось к внутренней цилиндрической поверхности жесткого колеса с силой достаточной для передачи нагрузки за счет сил трения. При вращении генератора волна перемещений бежит по окружности гибкого колеса.
72474. Подшипники. Назначение и классификация 473.5 KB
  Подшипники служат опорами для валов и вращающихся осей. Они воспринимают радиальные и осевые нагрузки, приложенные к валу, и передают их на раму машины. При этом вал должен фиксироваться в определенном положении и вращаться вокруг заданной геометрической оси.
72475. ПОДШИПНИКИ КАЧЕНИЯ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ 975.5 KB
  Применение подшипников качения позволило заменить трение скольжения трением качения. Конструкция подшипников качения позволяет изготовлять их в массовых количествах как стандартную продукцию что значительно снижает стоимость производства.
72476. ЧЕРВЯЧНЫЕ ПЕРЕДАЧИ 380 KB
  Существенное отличие червячной передачи от зубчатой заключается в том, что окружные скорости червяка и колеса не совпадают как по величине, так и по направлению. Они направлены друг к другу под углом перекрещивания.
72477. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ 307.5 KB
  Планетарными называют передачи, включающие в себя зубчатые колеса с перемещающимися осями (рис.10.1,а). Передача состоит из центрального колеса с наружными зубьями, центрального колеса b с внутренними зубьями и водила Н, но котором укреплены оси сателлитов g.
72478. ПЕРЕДАТОЧНОЕ ОТНОШЕНИЕ ОДНОСТУПЕНЧАТЫХ И МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ 181 KB
  Масса и габариты редуктора в значительной степени зависят от того, как распределено общее передаточное отношение по ступеням передачи. Лучшие показатели имеют редукторы, у которых диаметры колес (а не шестерен) всех ступеней близки между собой.
72479. МЕХАНИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ 785.5 KB
  Передача состоит из двух шкивов закрепленных на валах и ремня охватывающего шкивы. В зависимости от формы поперечного сечения ремня различают: плоскоременную рис. Основные преимущества ременной передачи: возможность передачи движения на значительное расстояние до 15 м и более...
72480. ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ 740.5 KB
  По форме профиля зуба различают: эвольвентные и круговые передачи. Наиболее распространен эвольвентный профиль зуба, предложенный Эйлером в 1760 году. Он обладает целым рядом существенных, технологических и эксплутационных преимуществ.