20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8807. Валютне регулювання і валютний контроль 96.5 KB
  Валютне регулювання і валютний контроль ПЛАН Зміст і форми валютної політики Інструментивалютної політики Тема для реферату. Зі світового досвіду валютного регулювання і контролю Політик має вміти передрікати, що відбудеться завтра...
8808. Міжнародний ринок обміну валют 192.5 KB
  Міжнародний ринок обміну валют. Сутність валютних операцій На світовому ринку торгівля валютою в основному зосереджена на міжбанківському валютному ринку (Forex) торгівля строковими угодами здійснюється на біржі (Chicago Mercantile Ex...
8809. Міжнародні розрахунки за допомогою акредитива 462 KB
  Міжнародні розрахунки за допомогою акредитива План Сутність та особливості міжнародного акредитива Види акредитивів Сторони-учасники, фази документарного акредитива Витрати за акредитивними операціями Проблеми, переваги...
8810. Міжнародні розрахунки за допомогою інкасо 391 KB
  Міжнародні розрахунки за допомогою інкасо План Сутність та особливості міжнародного інкасо Типи інкасо Сторони-учасники, фази документарного інкасо Витрати за інкасовими операціями Проблеми, переваги та недоліки інкасов...
8811. Міжнародні кредитні операції 194.5 KB
  Міжнародний кредит - це рух позичкового капіталу у сфері міжнародних економічних відносин, повязаний з наданням валютних і товарних ресурсів на умовах повернення, терміновості і сплати відсотків...
8812. Історія виникнення, сучасний стан та розвиток банківської системи 117.7 KB
  Історія виникнення, сучасний стан та розвиток банківської системи 1. Походження та розвиток банків 2. Поняття, призначення та класифікація банків 3. Сучасні банківські системи та їх характеристики 4. Становлення та розвиток банківської системи Украї...
8813. Історія виникнення, сучасний стан та розвиток банківської системи Тестові завдання 22.03 KB
  Історія виникнення, сучасний стан та розвиток банківської системи Тестові завдання 1. Головною метою діяльності банківської системи є: а) одержання прибутку комерційними банками б) забезпечення суспільного нагляду, надійності та стабільності функці...
8814. Банки як субєкти господарювання 382.26 KB
  Створення та реєстрація банку. Організаційна структура банку. Ліцензування банків та банківської діяльності. Реорганізація і ліквідація банку. Банківські обєднання: порядок створення та їх типи...
8815. Банки як субєкти господарювання Тестові завдання 23.1 KB
  Банки як субєкти господарювання Тестові завдання 1. Реєстрація банку - це: а) документ, який надається НБУ в порядку і на умовах, визначених у дозволі б) надання банку статусу юридичної особи відповідно до вимог Закону України Про банки і бан...