20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53173. Умный хозяин 127 KB
  Осень – пора богатого урожая, его пестрые краски мы видим на нашем рынке. Поработаем со стихотворением С. Михалкова «Овощи» и узнаем, что хозяйка купила на базаре, по цвету овощей выберем себе настроение...
53174. Конкурсна програма на 8 березня «Найвродливіша, найкмітливіша господарочка» 244.5 KB
  2 вед Усіх затьмарять сьогодні красою Ви мабуть згодні зі мною Тож ми радо всім побажаєм: Щоб сонце світило мирно і ясно А наші жінки щоб були прекрасні 1 вед Доброго дня шановні гості учителі та учні нашої школи 2 вед Сьогодні ми зібралися з вами в цій святковій залі щоб провести конкурс краси і молодості. 1 вед Є у нашій школі мама Над всіма найголовніша Треба їй про все подбати...
53175. Світове господарство. Міжнародний географічний поділ праці 141 KB
  Міжнародний географічний поділ праці. Мета: сформувати в учнів систему уявлень про поняття світове господарство міжнародний поділ праці всесвітня інтеграція ; систематизувати знання учнів про закономірності розвитку світового господарства та його структуру; розвивати навички роботи з картою та комп'ютером; сприяти розвитку глобального світосприйняття учнів; формувати комунікативні інформаційні полікультурні соціальні компетентності; сприяти розвитку економічного мислення учнів; виховувати пізнавальний інтерес до предмету. Міжнародний...
53177. Український етикет. Традиції гостинності і вітання на Україні 42.5 KB
  Діти стають у коло разом з вчителем і вітають один одного хором: Привітаємо сонечко: Здрастуй золотаве Усміхнемось один одному Поглянемо ласкаво Хай сьогодні в кожне серце Зустріч додасть тепла А ми друзів привітаємо Побажаємо добра Вчитель: Любі діти у наш клас Завітали люди щирі. Діти разом: Добрий день в добрий час Заходьте будь ласка до нас Дівчина: Гість у дім радість з ним. Діти а в який гарний день прийшли до нас дорогі гості А скажіть будь ласка яке сьогодні число Який день тижня Яка чудова пора року гостює в...
53178. ПРАВИЛА ГОСТИННОСТІ 43.5 KB
  Арбуз в перекладі з тюркської мови огірок віслюка Ведучий 1 Читання ось найкраща розвага. А ось прикрасити кімнату плакатами виготовленими власноруч ми можемо. Ось і читання і розвага: загадки відгадуємо скоромовки швидко вимовляємо. Ось осінні оси ось Я пасу осінніх ос Мала Маринка має мячик маленький мячик мяко скаче.
53179. В гостях у первой учительницы 30.5 KB
  Дорогие друзья Накануне прекрасного весеннего праздника Международного женского дня мы решили провести устный журнал в вашем классе где ваша учительница Наталья Борисовна была и у многих из нас первой. Итак страница первая Цветы любимой учительнице В весенний день когда все ожидают Прекрасный женский праздник в нетерпенье В семье и в классах обсуждают Какой сюрприз преподнести на удивленье Наталья Борисовна Кроме живых цветов мы дарим Вам особый букет: из сказаний и легенд о цветах художественное чтение на музыкальном...
53180. Учимся интересно, говорим правильно 70 KB
  К таким умениям и навыкам можно отнести следующие: умение фиксировать внимание на фонетических особенностях звучащего слова; умение анализировать свою речь с позиций правильности неправильности и оценки дикции; умение давать аргументированную оценку речи других; умение читать и говорить правильно подражая звучащему образцу; внятно и отчетливо произносить звуки и слова; читать написанное с орфоэпической подготовкой и без таковой; правильно и рационально пользоваться орфоэпическими словарями в которых есть произносительные...
53181. Велика Британія в 19 столітті – народження традицій 929 KB
  Queen Victoria came to the throne as a young woman in 1837 and reigned until her death in 1901. Because of the growth of parliamentary government she was less powerful than previous sovereigns but as queen and empress she ruled over more lands and peoples than any previous monarch. Furthermore, she enjoyed the respect and affection of her British subjects.