20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69644. МЕЖЛИЧНОСТНЫЕ И ВНУТРИГРУППОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ В УЧЕБНОЙ ГРУППЕ ПЕРВОКЛАССНИКОВ 190 KB
  Межличностные отношения сверстников младшего школьного возраста зависят от многих социально-психологических факторов, а, прежде всего, от таких как взаимная симпатия, общность интересов, внешние жизненные обстоятельства, гендерные отличия.
69645. Исследование малой рекламы как продвижение ресторанных услуг калининграда 784 KB
  Изучить теоретический материал по специальным дисциплинам: маркетингу и рекламной деятельности ресторана, сервисному обслуживанию ресторана, обобщить теоретический материал, ознакомиться с деятельностью рекламных агентств полного цикла, исследовать рекламную деятельность предприятий общественного питания...
69646. Творчий проект: Таця 7.59 MB
  Перші підноси були величезними - розміром зі стіл, називалися «скатертними» і призначалися для багатьох страв. Потім їх розміри поступово зменшилися. Якщо ж шлях від кухні до їдальні порівняно довгий, необхідно використати підноси з прорізами або ручками.
69647. Виготовлення настінного календаря 576 KB
  Розробка технічного завдання Призначення виробу. Настінний календар призначений для повсякденного використання в побуті та на робочих місцях. Основними вимогами повинні бути практичність та естетичний вигляд.
69648. ОБРЯДОВИЙ РУШНИК 342 KB
  Експлуатаційні показники застосування виробу виду роботи на практиці виходячи призначення виробу цей рушник використовується при обряді хрещення а також функція оберегу. Вплив виробу на якість і ефективність реалізації ним експлуатаційних показників рушник є оберегом для дитини...
69649. Виготовлення іграшкової машинки 1.4 MB
  Розробка технічного завдання Призначення виробу. Цей виріб призначено для дітей віком від 6 до 10 років, Вимоги до матеріалів. Матеріали повинні бути екологічно чисті та нешкідливі для дітей. Ще Машинку треба зробити так щоб дитина ненароком не проковтнула яку не будь деталь...
69650. Розробка творчого проекту на виготовлення декоративної тарелі 5.49 MB
  Призначення проектованого виробу: У наш час декоративні тарелі можна використовувати як посуд для святкового столу що слугує для подання печива цукерок солодощів горіхів різноманітних фруктів а також для підношення на весіллі чарок з напоями медом вином хлібасолі тощо.