20710

Определенный интеграл и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.

Русский

2013-07-31

157 KB

5 чел.

9 Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Зададим разбиение  отрезка :

. Полученные отрезки будем называть частичными отрезками разбиения . На каждом таком отрезке выберем точку . Пусть  - длина  частичного отрезка разбиения. Составим сумму: . Эта сумма называется интегральной суммой функции  на отрезке , соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек . Пусть  - диаметр, а - множество всех разбиений  отрезка . Число называется пределом   интегральной суммы и записывается: , если .

Если этот предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке , а

значение предела называется определенным интегралом функции на .Записывается

. Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции.

Механический смысл: длина пути, пройденного материальной точкой.

Свойства:

1.Если (постоянна на ), то она интегрируема и .

2.Если  и  интегрируемы на , то  также интегрируема на  и

.

3. Если  интегрируема на  и , то  также интегрируема на  и

.

4. Если  и совпадают на  (всюду, за исключением может быть конечного числа точек), и  интегрируема на , то также интегрируема на  

5. Если  интегрируема на  и , то  интегрируема на.

6.Если  и  интегрируема на двух из трех полученных отрезков, то она интегрируема  и на третьем отрезке, при этом .

7. Если  и  интегрируемы на , и , то .

8. Если  интегрируема на , то  также интегрируема на  .

9. Если  интегрируема на (т.о. ограничена) и , то

.  По свойству 7 имеем, если , то

, а по свойству 1 .

Следствие: теорема об интегральном среднем.

Пусть  непрерывна на  (таким образом интегрируема на ). Тогда .

 

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

   Доказательство: так как   непрерывна на , то по 2-й теореме  Вейерштрассе она достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Пусть  и , то есть . Возможны случаи.

1. . Тогда , тогда :.

2.    , тогда  и  и . По теореме Коши (о промежуточном значении функции , заключенной между значениями непрерывной функции в точках ) получаем, что


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36802. Структура и принцип работы полевых транзисторов, их статических характеристик и дифференциальных параметров 189.18 KB
  В данной лабораторной работе были изучены структура и принцип работы полевых транзисторов, их статические характеристики и дифференциальные параметры. Были определены пороговое напряжение, крутизна сток-затворных характеристик, внутреннее сопротивление транзисторов в режиме насыщения и в линейном режиме, вычислена удельная крутизна МОП-транзистора КП304А.
36803. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ V АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 78 KB
  Тема: ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ V АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ. Умения: Отработать практические навыки и углубить теоретические знания по частным реакциям катионов пятой группы. Нитраты хлориды сульфаты и ацетаты катионов пятой группы хорошо растворимы в воде. Соли других катионов этой же группы также подвергаются гидролизу и имеют кислую реакцию среды.
36804. Исследование интегральных оптронов 930.29 KB
  Справочные данные оптронов: АОД101Б: Обратное выходное напряжение = 100 В Обратное входное напряжение = 35 В Напряжение изоляции = 100 В Постоянный или средний входной ток = 20 мА Импульсный входной ток = 100 мА Температура окружающей среды 60.70 0САОТ101БС: Коммутируемое напряжение = 15 В Обратное входное напряжение = 15 В Напряжение изоляции = 20 В Входной ток = 20 мА Выходной ток при Iвх.
36805. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ VI АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 62.5 KB
  Растворы солей меди II окрашены в голубой цвет растворы солей ртути II и кадмия II – бесцветны. Катионы меди и ртути имеют степень окисления 1 и 2 поэтому они участвуют в реакциях окисления – восстановления. Аммиак образует с раствором соли двухвалентной ртути белый осадок амидохлорида ртути II растворимого в избытке реактива с образованием бесцветного комплексного соединения хлорида тетраамин ртути II HgCl2 2NH4OH = HgNH2Cl 2H2O NH4Cl HgNH2Cl 2NH4OH NH4Cl = [Hg NH34] Cl 2H2O Аммиак в небольших количествах...
36806. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ АНИОНОВ I, II, III АНАЛИТИЧЕСКИХ ГРУПП 95.5 KB
  в отдельных порциях исследуемого раствора. При подкислении азотной кислотой аммиачного раствора хлорида серебра вновь выпадает белый творожистый осадок хлорида серебра. а К 23 мл раствора сульфита натрия прилить столько же хлорида бария образовавшийся осадок испытать на растворимость в соляной и азотной кислотах. Запишите ваши наблюдения: Запишите уравнение в молекулярном и ионном виде: N2SO3 BCl2 = ________________________________________________________________________________ ...
36807. Приготовление стандартного раствора щелочи и установление нормальности и титра по щавелевой кислоте 61.5 KB
  Тема: Приготовление стандартного раствора щелочи и установление нормальности и титра по щавелевой кислоте. Приготовление стандартного раствора щелочи. Установление точной концентрации раствора по щавелевой кислоте. Теоретические основы: Для приготовления стандартного раствора и установления его нормальности и титра используют метод нейтрализации.
36808. Электрические и магнитные явления в организме, электрические воздействия и методы исследования 160.5 KB
  По отклонению стрелки гальванометра пользуясь графиком находят температуры исследуемых объектов Дополнительная информация Общая структурная схема для регистрации съёма и передачи медицинской информации. Х  Чувствительный элемент средства измерений электрод датчик  Усилитель  Передатчик  Приёмник  Выходной измеритель регистрирующий прибор У   устройства для съёма информации Устройства для съема передачи и регистрации медикобиологической...
36809. Приготовление стандартного раствора КМnО4 иустановление его нормальности и титра по щавелевой кислоте 61 KB
  Тема: Приготовление стандартного раствора КМnО4 иустановление его нормальности и титра по щавелевой кислоте. Теоретические основы: Перманганатометрия это метод объемного анализа в котором в качестве стандартного раствора используется раствор перманганата калия. В основе метода лежит использование стандартного раствора КМnО4 . нормальность и титр раствора перманганата калия определяют по щавелевой кислоте которая является восстановителем и отдает при этом 2 электрона.
36810. Установление нормальности и титра тиосульфата по бихромату (метод йодометрия) 57 KB
  Тема: Установление нормальности и титра тиосульфата по бихромату метод йодометрия. Определение нормальности и титра тиосульфата по бихромату калия методом йодометрии. Для определения окислителей используют раствор тиосульфата натрия N2S2O3. Выделившийся йод титруют раствором тиосульфата натрия точно известной нормальности.