20712

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b –нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Русский

2013-07-31

138.5 KB

6 чел.

ГАК. Математический анализ.

Вопрос №11.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция определена на отрезке  . Зададим разбиение  отрезка :=.

Полученные отрезки , ,…, ,…,  будем называть частичными отрезками разбиения .

Выберем произвольно на каждом из частичных отрезков разбиения  точку , .

Составим сумму  (1), где =-длина i-го частичного отрезка разбиения.

Опр. Сумма (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек , .

Введем обозначения:  - диаметр разбиения , множество разбиений  отрезка  обозначим через .

Опр. Число  называется пределом при  интегральной суммы (1) и записывается

, если  ,  (2).

Опр. Если существует конечный предел при  , то функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается   (a и b –нижний и верхний пределы интегрирования,  подынтегральная функция, - подынтегральное выражение).

Таким образом =.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции; механический смысл- длина пути пройденного математической точкой.

 

Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке . Зафиксируем  и возьмем любое .

Будем считать, что  интегрируема на отрезке .

Тогда  зависит только от , т.е.  - это функция определена на интервале  и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. Функция  непрерывна на интервале

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции непрерывно зависит от переменной .

Теорема без доказательства.

Теорема 2. О существовании первообразной у непрерывной функции.

Если непрерывна на , то функция  - есть первообразная этой функции на этом промежутке, т.е. , .

Теорема без доказательства.

Следствие. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на  и - первообразная функции  на отрезке , то  выполняется .

В частности

Доказательство

Так как функция  непрерывна на отрезке , по теореме о существовании первообразной у непрерывной функции (теорема 2) получаем что функция  - есть первообразная функции  на отрезке . Таким образом  и отличаются на постоянную с. Т.е.  или .

Для нахождения постоянной с, пологая что , получим

Т.к. , то . Следовательно .

Таким образом , ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19636. Организация службы маркетинга на предприятии. Информационные технологии в маркетинге 58.5 KB
  Занятие 7. Организация службы маркетинга на предприятии. Информационные технологии в маркетинге. 1. Организация службы маркетинга на предприятии. Задача управления маркетингом заключается в воздействии на уровень время и характер спроса таким образом чтобы про...
19637. Маркетинговый план. Составление плана и бюджета маркетинговой деятельности предприятия 80.5 KB
  Занятие 8. Маркетинговый план. Составление плана и бюджета маркетинговой деятельности предприятия. Работа № 4. Маркетинговый план. Планирование деятельности является одной из основных функций управления поэтому такой вид деятельности как маркетинговая также п...
19638. Информационное обеспечение маркетинговых исследований. Организация маркетинговых исследований 43.5 KB
  Занятие 10. Информационное обеспечение маркетинговых исследований. Организация маркетинговых исследований. Первичные и вторичные исследования. Информационные системы маркетинговых исследований являются частью общей системы маркетинга на предприятии. Принято с...
19639. Качественные методы исследований. Фокус – группы. Метод Дельфи. Модерация 53.5 KB
  Занятие 11. Качественные методы исследований. Фокус – группы. Метод Дельфи. Модерация. Практическое занятие. Особенностью Качественных исследований необходимы для выяснения реакции потребителей и связаны с получением ответа на вопрос: почему. Они применяются...
19640. Количественные методы ситуационного анализа: опрос, панель, эксперимент. Общая характеристика методов опроса 60.5 KB
  Занятие 12. Количественные методы ситуационного анализа: опрос панель эксперимент. Общая характеристика методов опроса. Разработка форм сбора данных. Типы вопросов и шкал. Составление анкет. Главная задача применения количественных методов состоит в определении чи
19641. Методы вторичного использования информации. Кабинетные исследования. Контент-анализ 51 KB
  Занятие 13. Методы вторичного использования информации. Кабинетные исследования. Контентанализ. Вторичная информация данные собранные ранее для целей отличных от решаемой в настоящий момент проблемы. Достоинства вторичной информации: небольшая стоимость ра...
19642. Комплексные методы маркетинговых исследований. Отчет о выполненных маркетинговых исследованиях 81 KB
  Занятие 14. Комплексные методы маркетинговых исследований. Отчет о выполненных маркетинговых исследованиях. Комплексные смешанные методы которые сочетают возможности качественных и количественных исследований за счет проектирования процессов измерения. К так
19643. Период первобытности 13.21 KB
  Период первобытности в наиболее развитых регионах земли закончился на рубеже 34 тысячелетиий до нашей эры .На смену ему приходит период который называется цивилизация. Строительство городов является одним из первых признаков рождения цивилизации. Окончательно циви
19644. Характеристика цивилизации Древнего Востока 10.39 KB
  Характеристика цивилизации Древнего Востока На рубеже 43 тысячелетия заканчивается период первобытности и мир переходит в эпоху цивилизации. Признаки цивилизации: Государство появление городов письменность ирригация искусственные каналы для орошения полей со...