20712

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Русский

2013-07-31

138.5 KB

7 чел.

ГАК. Математический анализ.

Вопрос №11.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция определена на отрезке  . Зададим разбиение  отрезка :=.

Полученные отрезки , ,…, ,…,  будем называть частичными отрезками разбиения .

Выберем произвольно на каждом из частичных отрезков разбиения  точку , .

Составим сумму  (1), где =-длина i-го частичного отрезка разбиения.

Опр. Сумма (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек , .

Введем обозначения:  - диаметр разбиения , множество разбиений  отрезка  обозначим через .

Опр. Число  называется пределом при  интегральной суммы (1) и записывается

, если  ,  (2).

Опр. Если существует конечный предел при  , то функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается   (a и b –нижний и верхний пределы интегрирования,  подынтегральная функция, - подынтегральное выражение).

Таким образом =.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции; механический смысл- длина пути пройденного математической точкой.

 

Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке . Зафиксируем  и возьмем любое .

Будем считать, что  интегрируема на отрезке .

Тогда  зависит только от , т.е.  - это функция определена на интервале  и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. Функция  непрерывна на интервале

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции непрерывно зависит от переменной .

Теорема без доказательства.

Теорема 2. О существовании первообразной у непрерывной функции.

Если непрерывна на , то функция  - есть первообразная этой функции на этом промежутке, т.е. , .

Теорема без доказательства.

Следствие. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на  и - первообразная функции  на отрезке , то  выполняется .

В частности

Доказательство

Так как функция  непрерывна на отрезке , по теореме о существовании первообразной у непрерывной функции (теорема 2) получаем что функция  - есть первообразная функции  на отрезке . Таким образом  и отличаются на постоянную с. Т.е.  или .

Для нахождения постоянной с, пологая что , получим

Т.к. , то . Следовательно .

Таким образом , ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50816. Язык гипертекстовой разметки HTML 85.5 KB
  На самом деле содержимое контейнера mrquee не ограничивается строками и позволяет перемещать скролировать любые элементы вебстраницы изображения текст таблицы элементы форм и т. Таблицы Элемент tble служит контейнером для элементов определяющих содержимое таблицы. Параметры lign Определяет выравнивание таблицы. bgcolor Цвет фона таблицы.
50817. Определение теплоёмкости металлов методом охлаждения 154.5 KB
  Металлический образец, имеющий температуру более высокую, чем температура окружающей среды, в этой среде охлаждается. Кол-во теплоты q , теряемой образцом металла за единицу времени t может быть записано в виде...
50818. Каскадные листы стилей CSS 330.5 KB
  Значение 0 соответствует полной прозрачности элемента а 1 наоборот его непрозрачности.2 Oper 9 border позволяет одновременно установить толщину стиль и цвет рамки вокруг элемента.
50819. Построение и экспериментальная проверка статической характеристики замкнутой системы 868 KB
  Освоить методику аналитического построения статической характеристики замкнутой САР по статическим характеристикам отдельных элементов. Под статической характеристикой замкнутой САР понимают функциональную зависимость регулируемой величины от задающего и возмущающих воздействий снятую на установившихся режимах. Если регулируемая величина на установившемся режиме не зависит от возмущающих воздействий то такая система называется астатической а если зависит то статической.
50820. Определение теплоёмкости методом Клемана и Дезорма 58.5 KB
  Эта величина, в частности, определяет скорость распространения звука в газах; от неё зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в трубах, сначала суживающихся, а затем резко расширяющихся (сопла Лаваля). Основная идея метода Клемана и Дезорма состоит в следующем.
50821. DHTML и JavaScript на web-страницах 560 KB
  Цель работы: ознакомиться с основными возможностями языка JavaScript, синтаксисом, встроенными объектами, событиями DHTML, получить практические навыки программирования на языке JavaScript.
50822. Экспериментальное определение характеристик объекта регулирования, выбор закона регулирования и расчет параметров настроек регулятора 804 KB
  Изучить инженерный метод выбора закона регулирования и расчета параметров настроек регуляторов непрерывного действия. Характеристики объектов регулирования Большинство промышленных объектов можно представить в виде элементов которые являются аккумуляторами вещества или энергии. Динамические и статические свойства объекта регулирования описываются дифференциальными уравнениями.
50823. Скриптовый язык программирования PHP 298 KB
  Он может также использоваться для создания изображений и манипуляций с файлами изображений различных форматов включая gif png jpg wbmp и xpm. Обратите внимание что здесь предполагается использование имени...