20712

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b –нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Русский

2013-07-31

138.5 KB

6 чел.

ГАК. Математический анализ.

Вопрос №11.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция определена на отрезке  . Зададим разбиение  отрезка :=.

Полученные отрезки , ,…, ,…,  будем называть частичными отрезками разбиения .

Выберем произвольно на каждом из частичных отрезков разбиения  точку , .

Составим сумму  (1), где =-длина i-го частичного отрезка разбиения.

Опр. Сумма (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек , .

Введем обозначения:  - диаметр разбиения , множество разбиений  отрезка  обозначим через .

Опр. Число  называется пределом при  интегральной суммы (1) и записывается

, если  ,  (2).

Опр. Если существует конечный предел при  , то функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается   (a и b –нижний и верхний пределы интегрирования,  подынтегральная функция, - подынтегральное выражение).

Таким образом =.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции; механический смысл- длина пути пройденного математической точкой.

 

Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке . Зафиксируем  и возьмем любое .

Будем считать, что  интегрируема на отрезке .

Тогда  зависит только от , т.е.  - это функция определена на интервале  и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. Функция  непрерывна на интервале

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции непрерывно зависит от переменной .

Теорема без доказательства.

Теорема 2. О существовании первообразной у непрерывной функции.

Если непрерывна на , то функция  - есть первообразная этой функции на этом промежутке, т.е. , .

Теорема без доказательства.

Следствие. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на  и - первообразная функции  на отрезке , то  выполняется .

В частности

Доказательство

Так как функция  непрерывна на отрезке , по теореме о существовании первообразной у непрерывной функции (теорема 2) получаем что функция  - есть первообразная функции  на отрезке . Таким образом  и отличаются на постоянную с. Т.е.  или .

Для нахождения постоянной с, пологая что , получим

Т.к. , то . Следовательно .

Таким образом , ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5313. Атом водорода 198.5 KB
  Атом водорода В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна где Ze заряд ядра, r расстояние между ядром и электроном. Уравнение Шредингера имеет в этом случае вид Поскольку п...
5314. Изучение рынка земельных участков и выявления его роли в формировании экономической системы 294 KB
  Актуальность изучения земельного рынка обусловлена тем фактором, что Россия располагает огромными земельными ресурсами, но это национальное богатство страны используется крайне неэффективно. Начатая в 1991 году земельная реформа не доведена...
5315. Корпускулярно волновой дуализм 82 KB
  Корпускулярно волновой дуализм Экспериментальные факты свидетельствуют, что в ряде явлений свет проявляет сугубо волновые свойства (дифракция, интерференция, поляризация, дисперсия), а в ряде – чисто корпускулярные (фотоэффект, эффект Комптона)...
5316. Политический режим в современной России (2000-2008) 34 KB
  Новый политический режим (2000-2008), связанный с именем нового президента, стал формироваться после президентских выборов 2000 г. Но еще до выборов стал проявляться политический стиль нового лидер...
5317. Проектирование трёхфазного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором серии 4А 1.3 MB
  Электрические машины имеют чрезвычайно широкое распространение. Они применяются в различных отраслях промышленности, сельского хозяйства, в энергетике, на транспорте, в авиации, в морском и речном флоте, медицине, быту и т.д. Нет ни одной о...
5318. Международное инвестирование. Понятие международных корпораций 71 KB
  На рубеже XX-XXI веков развитие национальных экономик и их взаимоотношения (политические, экономические и др.) приобретают совершенно другое качество. Это обусловлено тем, что современное развитие мировой экономики проходит под воздействие...
5319. Фотоны и фотоэффект. Эффект Комптона 100 KB
  Фотоны. В теории равновесного излучения абсолютно черного тела Планка вводится понятие фотона - кванта света или порции излучения, которая может поглощаться или излучаться только целиком. С другой стороны, по средствам фотонов осуществляется...
5320. Проектирование мехатронных систем 1.98 MB
  Анализ и синтез кинематических параметров мехатронных систем При управлении мехатронным модулем с вращательной кинематической парой часто используется привод поступательного действия, в частности, электрогидравлический с гидроцилиндрами. Целесообраз...
5321. Автоматическое регулирование микроклимата в зданиях и сооружениях на базе нечеткой логики 317 KB
  Автоматическое регулирование микроклимата в зданиях и сооружениях на базе нечеткой логики В статье описывается алгоритм управления системой регулирования воздуха в помещениях зданий и сооружений, построенной на базе контроллера с нечёткой логикой. С...