20712

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Русский

2013-07-31

138.5 KB

7 чел.

ГАК. Математический анализ.

Вопрос №11.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция определена на отрезке  . Зададим разбиение  отрезка :=.

Полученные отрезки , ,…, ,…,  будем называть частичными отрезками разбиения .

Выберем произвольно на каждом из частичных отрезков разбиения  точку , .

Составим сумму  (1), где =-длина i-го частичного отрезка разбиения.

Опр. Сумма (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек , .

Введем обозначения:  - диаметр разбиения , множество разбиений  отрезка  обозначим через .

Опр. Число  называется пределом при  интегральной суммы (1) и записывается

, если  ,  (2).

Опр. Если существует конечный предел при  , то функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается   (a и b –нижний и верхний пределы интегрирования,  подынтегральная функция, - подынтегральное выражение).

Таким образом =.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции; механический смысл- длина пути пройденного математической точкой.

 

Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке . Зафиксируем  и возьмем любое .

Будем считать, что  интегрируема на отрезке .

Тогда  зависит только от , т.е.  - это функция определена на интервале  и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. Функция  непрерывна на интервале

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции непрерывно зависит от переменной .

Теорема без доказательства.

Теорема 2. О существовании первообразной у непрерывной функции.

Если непрерывна на , то функция  - есть первообразная этой функции на этом промежутке, т.е. , .

Теорема без доказательства.

Следствие. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на  и - первообразная функции  на отрезке , то  выполняется .

В частности

Доказательство

Так как функция  непрерывна на отрезке , по теореме о существовании первообразной у непрерывной функции (теорема 2) получаем что функция  - есть первообразная функции  на отрезке . Таким образом  и отличаются на постоянную с. Т.е.  или .

Для нахождения постоянной с, пологая что , получим

Т.к. , то . Следовательно .

Таким образом , ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79700. Нормативно-правовой акт и его виды 41.5 KB
  Обозначенные отличия нормативно-правового акта от иных источников права являются и выражением основных признаков нормативно-правового акта. Что касается видов, тот требуется более четкого рассмотрения каждого в по отдельности, как закона так и подзаконного акта.
79701. Правотворчество и систематизация законодательства 61 KB
  К способам правотворчества относят: Принятие нормативноправовых актов органами государства Принятие нормативных актов народом путем референдума Заключение различного рода нормативных договоров Признание юридических прецедентов Санкционирование обычаев или норм выработанных негосударственными организациями. В юриспруденции выработан ряд принципов правотворчества выражающихся в следующих закрепленных принципах: Принцип демократизма население должно привлекаться к участию в правотворчестве а его мнение учитываться при разработке и...
79702. ТИПЫ ПРАВА 42.5 KB
  В теории права существуют два подхода к типологии: формационный и цивилизационный. Основное место в классификации подходов отдано рассмотрению типов права, выделяемых в рамках первого - формационного подхода.
79703. ПРАВОВЫЕ СЕМЬИ СОВРЕМЕННОСТИ 65.5 KB
  Современная юридическая наука изучая теорию права предпочитает оперировать не понятием тип права а такими научными категориями как правовая система и правовая семья. Соответственно выделяют следующие основные правовые семьи: романогерманскую континентальную; англосаксонскую семью общего права; семью социалистического права; мусульманскую; африканскую. Строгая иерархия источников форм права среди которых безусловно главным является закон. Деление права на частное и публичное.
79704. Система права и система законодательства 60.5 KB
  Различия, существующие между понятиями «система права» и «правовая система» позволяет отделять два объекта изучения друг от друга: система права представляет собой лишь один из элементов правовой системы государства, наряду с правоотношениями, правосознанием, юридическими принципами и институтами, правовой культурой общества и др
79705. ПРАВОВАЯ НОРМА. ВИДЫ НОРМ ПРАВА. СТРУКТУРА НОРМЫ ПРАВА 104 KB
  Поскольку норма права представляет собой одну из разновидностей социальных норм, целесообразно вспомнить определение понятия «социальная норма» и перечислить уже известные виды социальных норм. Основываясь на знаниях можно определить, что под нормой права
79706. Реализация права. Пробелы в праве и юридические коллизии. Акт применения права 133 KB
  Начиная рассмотрение вопроса о реализации права, следует обратить внимание на то, что издание правовых норм не является самоцелью. Нормы права издаются для того, чтобы они реализовывались, претворялись в жизнь.
79707. Понятие и признаки правоотношения. Юридические факты, их виды. Юридические презумпции и юридические фикции 94 KB
  Под правоотношением в широком смысле понимается возникшая до ее закрепления в закону особая форма социального взаимодействия участники которого обладают определенными правами и обязанностями и реализуют их в целях удовлетворения своих потребностей и интересов в особом порядке не запрещенном государством. Например в англосаксонской правовой системе сначала судьи разрешали отдельные казусы и лишь потом законодатель формулировал их в специальном акте в качестве нормы права. В узком смысле под правоотношением понимается разновидность...
79708. ПРАВОСОЗНАНИЕ И ПРАВОВАЯ КУЛЬТУРА. ПРАВОМЕРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ И ПРАВОНАРУШЕНИЕ 63.5 KB
  Неправомерное поведение в теории права принято называть правонарушением. Последняя наступает тогда когда есть состав правонарушения то есть необходимые и достаточные признаки для наступления юридической ответственности. Отличие же правонарушения от аморального проступка проводится прежде всего по признаку противоправности.