20712

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b –нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Русский

2013-07-31

138.5 KB

7 чел.

ГАК. Математический анализ.

Вопрос №11.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция определена на отрезке  . Зададим разбиение  отрезка :=.

Полученные отрезки , ,…, ,…,  будем называть частичными отрезками разбиения .

Выберем произвольно на каждом из частичных отрезков разбиения  точку , .

Составим сумму  (1), где =-длина i-го частичного отрезка разбиения.

Опр. Сумма (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек , .

Введем обозначения:  - диаметр разбиения , множество разбиений  отрезка  обозначим через .

Опр. Число  называется пределом при  интегральной суммы (1) и записывается

, если  ,  (2).

Опр. Если существует конечный предел при  , то функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается   (a и b –нижний и верхний пределы интегрирования,  подынтегральная функция, - подынтегральное выражение).

Таким образом =.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции; механический смысл- длина пути пройденного математической точкой.

 

Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке . Зафиксируем  и возьмем любое .

Будем считать, что  интегрируема на отрезке .

Тогда  зависит только от , т.е.  - это функция определена на интервале  и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. Функция  непрерывна на интервале

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции непрерывно зависит от переменной .

Теорема без доказательства.

Теорема 2. О существовании первообразной у непрерывной функции.

Если непрерывна на , то функция  - есть первообразная этой функции на этом промежутке, т.е. , .

Теорема без доказательства.

Следствие. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на  и - первообразная функции  на отрезке , то  выполняется .

В частности

Доказательство

Так как функция  непрерывна на отрезке , по теореме о существовании первообразной у непрерывной функции (теорема 2) получаем что функция  - есть первообразная функции  на отрезке . Таким образом  и отличаются на постоянную с. Т.е.  или .

Для нахождения постоянной с, пологая что , получим

Т.к. , то . Следовательно .

Таким образом , ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13626. Вам не удастся никогда создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов 14.21 KB
  Вам не удастся никогда создать мудрецов если будете убивать в детях шалунов.Ж.Ж. РуссоЯ думаю что автор хотел указать значение игровой деятельности в жизни человека отметить что игра в жизни человека занимает важное место. В процессе игровой деятельности человек мо
13627. Искусство - диалог, в котором собеседник молчит 14.23 KB
  Искусство диалог в котором собеседник молчит. Г.Ландау В данном выражении имеется сочетание искусство диалог. Диалог является одной из форм общения Таким образом получается что искусство это общение. То есть автор хотел указать что произведения искусства на
13628. История сама по себе не может заставить человека совершить грязное дело 15.68 KB
  История сама по себе не может заставить человека совершить грязное дело П.Сартр категория Философия.Огромный простор для размышлений открывает высказывание П.Сартра о роли человека в формировании истории а также истории в формировании человека. Существуют ли зак
13629. Каждый великий успех науки имеет своим истоком великую дерзость воображения 13.85 KB
  Каждый великий успех науки имеет своим истоком великую дерзость воображения. Д. Дьюи. Вначале дадим определение науки. Наука это систематизированные взгляды на окружающий мир воспроизводящие его существенные стороны в абстрактно-логической форме и основанные на науч...
13630. Вольтер. Как значимы эмоции и чувства! Это ветры, надувающие паруса корабля. Они его иногда топят, но без них он не может существовать 14.7 KB
  Как значимы эмоции и чувства Это ветры надувающие паруса корабля. Они его иногда топят но без них он не может существовать Вольтер По моему мнению высказывание Вольтера известного поэта и философа о том что эмоции и чувства играют немаловажную роль в жизни человека...
13631. Культура - лишь тоненькая яблочная кожура над раскаленным хаосом 14.08 KB
  Культура лишь тоненькая яблочная кожура над раскаленным хаосом.Ф. НицшеЯ глубоко не согласен с данным высказыванием немецкого философа XIX века Ф. Ницше. Данное высказывание принижает значение культуры для человечества. По Ницше инстинктивное бессознательное в челов...
13632. Наука не сводится к сумме фактов, как здание не сводится к груде камней 16.16 KB
  Наука не сводится к сумме фактов как здание не сводится к груде камней.А. ПуанкареНаука является одной из форм духовной культуры. Увеличение дальнейшее совершенствование научных знаний во многом определяет развитие материального производства социальноэкономическ...
13633. Поэт бесконечно уступает художнику в изображении видимого, и музыканту - в изображении невидимого 14.72 KB
  Поэт бесконечно уступает художнику в изображении видимого и музыканту в изображении невидимого. Леонардо да Винчи И поэт и художник и музыкант являются творцами искусства. Мы знаем что искусство особый способ познания и отражения действительности посредством ...
13634. Проповедовать мораль легко, обосновать ее трудно 14.86 KB
  Проповедовать мораль легко обосновать ее трудно. А. Шопенгауэр.Что такое мораль И почему согласно Шопенгауэру обосновать ее трудно Мораль – это часть духовности форма общественного сознания это система норм регулирующих поведение людей основанная на общеприняты