20712

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Русский

2013-07-31

138.5 KB

7 чел.

ГАК. Математический анализ.

Вопрос №11.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция определена на отрезке  . Зададим разбиение  отрезка :=.

Полученные отрезки , ,…, ,…,  будем называть частичными отрезками разбиения .

Выберем произвольно на каждом из частичных отрезков разбиения  точку , .

Составим сумму  (1), где =-длина i-го частичного отрезка разбиения.

Опр. Сумма (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек , .

Введем обозначения:  - диаметр разбиения , множество разбиений  отрезка  обозначим через .

Опр. Число  называется пределом при  интегральной суммы (1) и записывается

, если  ,  (2).

Опр. Если существует конечный предел при  , то функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается   (a и b –нижний и верхний пределы интегрирования,  подынтегральная функция, - подынтегральное выражение).

Таким образом =.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции; механический смысл- длина пути пройденного математической точкой.

 

Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке . Зафиксируем  и возьмем любое .

Будем считать, что  интегрируема на отрезке .

Тогда  зависит только от , т.е.  - это функция определена на интервале  и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. Функция  непрерывна на интервале

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции непрерывно зависит от переменной .

Теорема без доказательства.

Теорема 2. О существовании первообразной у непрерывной функции.

Если непрерывна на , то функция  - есть первообразная этой функции на этом промежутке, т.е. , .

Теорема без доказательства.

Следствие. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на  и - первообразная функции  на отрезке , то  выполняется .

В частности

Доказательство

Так как функция  непрерывна на отрезке , по теореме о существовании первообразной у непрерывной функции (теорема 2) получаем что функция  - есть первообразная функции  на отрезке . Таким образом  и отличаются на постоянную с. Т.е.  или .

Для нахождения постоянной с, пологая что , получим

Т.к. , то . Следовательно .

Таким образом , ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64472. Удосконалення основних агротехнічних прийомів вирощування цукрових буряків сучасних гібридів у лівобережній частині Лісостепу України 219 KB
  На сьогодні потенційні біологічні можливості цукрових буряків сучасних гібридів реалізуються в середньому на 50-60 %. Значною мірою це пояснюється невідповідністю окремих агротехнічних прийомів і їх поєднання біологічним вимогам рослин.
64473. Розчини і бетони з добавками ПАР та електроліту форміату натрію 232.5 KB
  Продукт містить від 70 до 90 форміату натрію що дає підставу дослідити ФНТ в цементних розчинах та бетонах в якості електроліту в складі комплексних добавок. Продукт ФНТ і комплексні добавки на його основі у якості дисперсних водорозчинних...
64474. ПІДГОТОВКА МАЙБУТНЬОГО ВЧИТЕЛЯ ТРУДОВОГО НАВЧАННЯ ДО ПРОЕКТНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ У ПРОЦЕСІ ВИВЧЕННЯ СПЕЦІАЛЬНИХ ДИСЦИПЛІН 157 KB
  Вона є найбільш придатною для повноцінного розвитку особистості підготовки її до майбутньої трудової діяльності оскільки дозволяє спрямувати навчання на особистість її потреби та інтереси.
64475. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ФРИКЦІЙНОГО ЗМІЦНЕННЯ ДЕТАЛЕЙ МАШИН 209.5 KB
  Прогресивним напрямком у машинобудуванні є застосування технологічних методів поверхневої обробки та зміцнення робочих поверхонь деталей машин з використанням висококонцентрованих джерел енергії зокрема...
64476. ЗАКОНОМІРНОСТІ ФОРМУВАННЯ СТРУКТУРИ І ВЛАСТИВОСТЕЙ НАДТВЕРДИХ КОМПОЗИТІВ В СИСТЕМІ КУБІЧНИЙ НІТРИД БОРУ – ДИБОРИД ТИТАНУ – АЛЮМІНІЙ В УМОВАХ ВИСОКОГО ТИСКУ 798.14 KB
  Міжнародний стандарт специфікації і застосування твердих інструментальних матеріалів ISO513:2001 ставить вимоги до PCBN в залежності від конкретних операцій і конкретних класів оброблюваних матеріалів.
64477. МЕТОДИКА РОЗВИТКУ РУХОВОЇ ПАМ’ЯТІ У ПРОЦЕСІ ІНСТРУМЕНТАЛЬНОЇ ПІДГОТОВКИ МАЙБУТНЬОГО ВЧИТЕЛЯ МУЗИКИ 295.5 KB
  У царині музичної освіти особливо важливими постають питання вдосконалення виконавсько-інструментальної підготовки майбутніх фахівців одним із провідних компонентів якої виступає рухова память.
64478. РЕАЛІЗАЦІЯ ПРИНЦИПУ ЄДНОСТІ ФІЗИЧНОГО ТА МОРАЛЬНОГО ВИХОВАННЯ НА УРОКАХ ФІЗИЧНОЇ КУЛЬТУРИ У ДІТЕЙ МОЛОДШОГО ШКІЛЬНОГО ВІКУ 216.5 KB
  Соціальні та економічні зміни, які відбуваються у сучасному українському суспільстві, потребують впровадження ефективних методів та засобів виховання, що, забезпечують комплексний розвиток фізичних здібностей і моральних якостей шкільної молоді.
64479. ВИКОРИСТАННЯ ІМУНОСТИМУЛЮЮЧИХ ПРЕПАРАТІВ ДЛЯ ПІДВИЩЕННЯ ПРИРОДНОЇ РЕЗИСТЕНТНОСТІ ТА ПРОФІЛАКТИКИ СТРЕСІВ У ПОРОСЯТ 281 KB
  Для поліпшення стану природної резистентності організму поросят-сисунів можна використовувати різні препарати у тому числі і виготовлені із природної сировини зокрема з тимусу...
64480. КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ МЕТОД ПІДВИЩЕННЯ ВТОМНОЇ ДОВГОВІЧНОСТІ РОЗНІМНИХ БОЛТОВИХ З’ЄДНАНЬ ЕЛЕМЕНТІВ ПЛАНЕРА ЛІТАКА 5.5 MB
  Їх довговічність має бути не меншою за довговічність нерознімних поздовжніх болтових зєднань силових елементів планера виконаних з осьовим і радіальним натягом.