20712

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b –нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Русский

2013-07-31

138.5 KB

6 чел.

ГАК. Математический анализ.

Вопрос №11.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования.

Пусть функция определена на отрезке  . Зададим разбиение  отрезка :=.

Полученные отрезки , ,…, ,…,  будем называть частичными отрезками разбиения .

Выберем произвольно на каждом из частичных отрезков разбиения  точку , .

Составим сумму  (1), где =-длина i-го частичного отрезка разбиения.

Опр. Сумма (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке  соответствующей данному разбиению  отрезка  и данному выбору точек , .

Введем обозначения:  - диаметр разбиения , множество разбиений  отрезка  обозначим через .

Опр. Число  называется пределом при  интегральной суммы (1) и записывается

, если  ,  (2).

Опр. Если существует конечный предел при  , то функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается   (a и b –нижний и верхний пределы интегрирования,  подынтегральная функция, - подынтегральное выражение).

Таким образом =.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции; механический смысл- длина пути пройденного математической точкой.

 

Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке . Зафиксируем  и возьмем любое .

Будем считать, что  интегрируема на отрезке .

Тогда  зависит только от , т.е.  - это функция определена на интервале  и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 1. Функция  непрерывна на интервале

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции непрерывно зависит от переменной .

Теорема без доказательства.

Теорема 2. О существовании первообразной у непрерывной функции.

Если непрерывна на , то функция  - есть первообразная этой функции на этом промежутке, т.е. , .

Теорема без доказательства.

Следствие. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция  непрерывна на  и - первообразная функции  на отрезке , то  выполняется .

В частности

Доказательство

Так как функция  непрерывна на отрезке , по теореме о существовании первообразной у непрерывной функции (теорема 2) получаем что функция  - есть первообразная функции  на отрезке . Таким образом  и отличаются на постоянную с. Т.е.  или .

Для нахождения постоянной с, пологая что , получим

Т.к. , то . Следовательно .

Таким образом , ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36011. Понятие о современном русском литературном языке. Литературный язык и его признаки. Разновидности общенационародного языка, лежащие за границами литературного языка 36 KB
  Литературный язык и его признаки. Разновидности общенационародного языка лежащие за границами литературного языка. Понятие о современном русском литературном языке.
36012. Метод обучения 36 KB
  Пятая группа: исследовательские методы. Эти методы предполагали самостоятельную работу учеников направленную на познание информации при помощи индивидуального разрешения проблемы. Сюда входили и методы организации и осуществления познавательной деятельности учащихся через выполнение логических операций. Также сюда входили методы самоуправления учебной деятельности ребят организация их самостоятельной работы.
36013. Тепловые процессы и аппараты 4.31 MB
  Основы передачи тепла и основные закономерности. Перенос энергии в форме тепла, происходящей между телами, имеющими различную температуру, называется теплообменом. Движущей силой любого процесса теплообмена является разность температур более нагретого и менее нагретого тел
36014. Специфика строения и физиологии клеток растений 35.5 KB
  фотосинтез протекает при участии фотосинтезирующих пигментов обладающих уникальным свойством преобразования энергии солнечного света в энергию химической связи в виде аТФ. Строение хлоропласта: во внутренней мембране тилакоидов гран содержатся фотосинтетические пигменты а также белки цепи переноса электронов и молекулы фермента АТФсинтетазы. К ней относятся: поглощение хлорофиллом квантов света образование молекулы АТФ и фотолиз воды. При достижении критической величины разности потенциалов сила электрического поля начинает...
36015. Динамика экосистем. Экологические сукцессии 35.5 KB
  Экологические сукцессии. Затем по мере появления растений растущих более медленно скорость сукцессии снижается. Постепено по мере смыкания крон березы светолюбивые виды характерные для начальных стадий сукцессии начинают исчезать и уступают место теневыносливым. Антропогенные сукцессии сукцессии происходящими в результате воздействия человека на природные экосистемывыпас скота рубка лесов распашка земель.
36017. Оператор SELECT. Переименование атрибутов и отношений в операторе SELECT. Ключевое слово WHERE. Сортировка результатов запросы по значению атрибута 31 KB
  Раздел WHERE используется совместно с SQL DML операторами в следующей форме: SQLDMLвыражение FROM TBLE_NME WHERE predicte Все записи для которых значением предиката раздела WHERE является истина будут задействованы или возвращены в SQL DML выражении или запросе. Типы предикатов используемых в предложении WHERE: сравнение с использованием реляционных операторов = равно не равно = не равно больше меньше = больше или равно = меньше или равно BETWEEN IN LIKE CONTINING IS NULL EXIST NY LL SELECT first_nme lst_nme dept_no FROM...
36018. Происхождение кириллицы. Буквенный состав русского алфавита, значение букв и принцип функционирования русской графики 35.5 KB
  Кирилл взял славянские буквы и 8 греческих и написал кириллицу. Черноризец Хребр – черты и резы – своеобразные русские буквы. Глаголица – 43 буквы кириллица – 38. На тот момент в ней было по видимому 43 буквы.
36019. ТЕОРИЯ ЭКОНОМИКО-ГЕОГРАФИЧЕСКОГО ПОЛОЖЕНИЯ 35 KB
  Страны лидеры в мировой добыче и экспорте нефти природного газа железной руды и Т. Специализированная продукция вывозится в другие страны а ей навстречу идут потоки других товаров. Половина внешнеторгового оборота приходится на страны Западной Европы имеющие обширную взаимную торговлю в рамках единого Европейского союза. ТЕОРИЯ ЭКОНОМИКОГЕОГРАФИЧЕСКОГО ПОЛОЖЕНИЯ Районирование стран регионов территорий внутри страны важнейший метод исследования географии можно проводить по оценке их особенностей в природе экономике размещению...