20713

Числовые ряды. Признаки сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

12 Числовые ряды.–некоторые действительные числа называется числовым рядом. называются членами ряда. аn – nый общий член ряда.

Русский

2013-07-31

58 KB

6 чел.

Мат. Анализ. 12

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Символы вида (1),где а12,...,аn,..–некоторые действительные числа, называется числовым рядом. Числа а12,...,аn,.. называются членами ряда.( аnn-ый (общий) член ряда).

С каждым рядом естественным образом связана некоторая числовая последовательность. Обозначим через S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an+… Получили числовую последовательность (Sn)nN, Sn называется n-ой частичной суммой ряда (1). Верно и обратное утверждение: любая числовая последовательность (Sn)nN задает и при этом только единственным образом числовой ряд, для которого эта последовательность является последовательностью его частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. . S называют суммой ряда (1). Если  не существует или равен , то ряд (1) называют расходящимся.

Числовой ряд (1) называется рядом с положительными членами, если  .  Если ряд (1) с положительными членами, то последовательность (Sn)nN его частных сумм является возрастающей. Обратное тоже верно.

(первый остаток ряда (1))…(n0-ой остаток ряда (1)). Ряд (1) сходится ↔когда сходится любой из его остатков.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. (признак сравнения числовых рядов) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Причем выполнено равенство anbn,nN. Тогда 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то (2) также расходится.   

2.(признак сравнения в предельной форме) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Предположим, что существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

1) если l[0;+∞) и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.

2) если l∊(0;+∞] и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Т.о., если l∊(0;+∞), то ряды ведут себя одинаково.

3. (признак Даламбера) Предположим, что для ряда (1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел  Тогда 1) если k<1, то ряд (1) сходится. 2) если k>1, то ряд (1) расходится. 3) если k=1, то данный признак ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

4. Признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Предположим, что существует предел . Тогда 1) если 0≤ k<1, то ряд (1) сходится; 2) если k>1, то ряд (1) расходится; 3) если k>1, то данный признак ответа вопрос сходимости не дает.

Д-во. 1) Пусть число q выбрано так, что  k<q<1. Т.к. по условию , то по определению предела существует n0, такое, что . Или . (*) В правой части неравенства (*) стоит n0-ой остаток сходящегося ряда геометрической прогрессии (т.к. q<1). Тогда по признаку сравнения из неравенства (*) получим, что  стоит n0-ой остаток ряда (1) сходится, следовательно и ряд (1) сходится.

2) Пусть . Следовательно по определению предела существует n0, такое, что . Или аn≥1, n≥n0. Следовательно, . Т.о. n0-ой остаток ряда (1) расходится, следовательно и ряд (1) также расходится.

5. (Интегральный признак коши сходимости ряда с положительными членами)

Пусть 1) функция f(x) – неотрицательна и убывает на луче [1;+∞); 2) f(x) – интегрируема на отрезке [1;А], А≥1.

Тогда несобственный интеграл  сходится или расходится одновременно с числовым рядом  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83100. Валентин Бичко «Казка — вигадка...». Українська народна казка «Кирило Кожум’яка» 78 KB
  Мета. Розширити знання учнів про українські народні казки; формувати вміння розрізняти героїко-фантастичні казки; вдосконалювати уміння читати в особах; виявляти залежність мовної та інтонаційної характеристики дійових осіб від їхньої ролі у творі; вдосконалювати навички швидкого виразного...
83101. Число и цифра 9. Написание цифры 9. Сравнение чисел в пределах 9. Измерение и сравнение длин отрезков 192 KB
  Цель: закреплять знание учениками названий чисел в пределах 10; продлить работу над формированием у учеников умения сравнивать числа и решать задачи; совершенствовать навыки устного счета, проводить простейшие обобщения, формировать умение определять название деревьев по их листьям.
83102. Розповідне речення. Розділові знаки в кінці розповідного речення 119 KB
  Мета. Дати дітям уявлення про розповідне речення; формувати навички інтонування розповідних речень; розвивати мовлення пам’ять увагу учнів; виховувати любов до природи Обладнання. Таблиця до теми Речення Сніжинки ілюстрації зими індивідуальні картки...
83103. Каїн і Авель (біблійна легенда) 74 KB
  Продовжити знайомство учнів із біблійними легендами. Розкрити зміст біблійної історії про Каїна та Авеля, її глибокі народні витоки.Формувати уміння розрізняти ознаки доброго і лихого, усвідомлювати неминучість кари за вчинене зло. Розвивати читацькі навички та зв’язне мовлення молодших школярів.
83104. Людські чесноти: добро, доброта 104.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з людськими чеснотами, вчити характеризувати події та явища, як прояв добра і зла; розкрити моральний зміст доброти; сприяти розвитку в учнів мотивації до добрих, гуманних вчинків, розвивати мислення, творчу уяву, збагачувати словниковий запас...
83105. Святкуємо Різдвяні свята разом із музикою 66.5 KB
  Дидактична мета: закріпити поняття про виражальні та зображальні можливості музики. Розвиваюча мета: розвивати музично-творчі здібності дітей, природну музичність, вокально-хорові навички на основі сприймання художньо-образного музичного матеріалу, інтелектуальну гнучкість.
83106. На сонці тепло, біля матері добре. О.Єфімов «Задачі трапляються різні» 708 KB
  На сонці тепло біля матері добре. Обладнання: мультимедійна дошка проектор презентаційний матеріал картки із завданнями малюнки дітей вправи для розвитку техніки читання азбука почуттів. Вправи на вдосконалення техніки читання картки вправа Ланцюжки. Робота з текстом перед читанням твору.
83107. Урок природознавства «Ґрунт» 263 KB
  Земля на якій ростуть рослини називається ґрунтом. Тож завданням нашої експедиції буде дізнатися: що таке ґрунт; яке значення має ґрунт для всього живого на нашій планеті: рослин тварин людей. З часом вода вітер зміна температури та живі організми сприяли утворенню ґрунту.
83108. Будь обережним. Правила безпечної поведінки вдома (з побутовими приладами, газом, водою, вогнем) 72 KB
  Прибери з кімнати небезпечні предмети Діти називають предметиякі потрібно прибрати з кімнати. Накажи щоб усі діти обережно поводились з електричними приладами сірниками. Отже діти ніколи не залишайте увімкненою газову плиту і не грайтеся зі сірниками.