20713

Числовые ряды. Признаки сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

12 Числовые ряды.–некоторые действительные числа называется числовым рядом. называются членами ряда. аn – nый общий член ряда.

Русский

2013-07-31

58 KB

6 чел.

Мат. Анализ. 12

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Символы вида (1),где а12,...,аn,..–некоторые действительные числа, называется числовым рядом. Числа а12,...,аn,.. называются членами ряда.( аnn-ый (общий) член ряда).

С каждым рядом естественным образом связана некоторая числовая последовательность. Обозначим через S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an+… Получили числовую последовательность (Sn)nN, Sn называется n-ой частичной суммой ряда (1). Верно и обратное утверждение: любая числовая последовательность (Sn)nN задает и при этом только единственным образом числовой ряд, для которого эта последовательность является последовательностью его частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. . S называют суммой ряда (1). Если  не существует или равен , то ряд (1) называют расходящимся.

Числовой ряд (1) называется рядом с положительными членами, если  .  Если ряд (1) с положительными членами, то последовательность (Sn)nN его частных сумм является возрастающей. Обратное тоже верно.

(первый остаток ряда (1))…(n0-ой остаток ряда (1)). Ряд (1) сходится ↔когда сходится любой из его остатков.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. (признак сравнения числовых рядов) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Причем выполнено равенство anbn,nN. Тогда 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то (2) также расходится.   

2.(признак сравнения в предельной форме) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Предположим, что существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

1) если l[0;+∞) и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.

2) если l∊(0;+∞] и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Т.о., если l∊(0;+∞), то ряды ведут себя одинаково.

3. (признак Даламбера) Предположим, что для ряда (1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел  Тогда 1) если k<1, то ряд (1) сходится. 2) если k>1, то ряд (1) расходится. 3) если k=1, то данный признак ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

4. Признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Предположим, что существует предел . Тогда 1) если 0≤ k<1, то ряд (1) сходится; 2) если k>1, то ряд (1) расходится; 3) если k>1, то данный признак ответа вопрос сходимости не дает.

Д-во. 1) Пусть число q выбрано так, что  k<q<1. Т.к. по условию , то по определению предела существует n0, такое, что . Или . (*) В правой части неравенства (*) стоит n0-ой остаток сходящегося ряда геометрической прогрессии (т.к. q<1). Тогда по признаку сравнения из неравенства (*) получим, что  стоит n0-ой остаток ряда (1) сходится, следовательно и ряд (1) сходится.

2) Пусть . Следовательно по определению предела существует n0, такое, что . Или аn≥1, n≥n0. Следовательно, . Т.о. n0-ой остаток ряда (1) расходится, следовательно и ряд (1) также расходится.

5. (Интегральный признак коши сходимости ряда с положительными членами)

Пусть 1) функция f(x) – неотрицательна и убывает на луче [1;+∞); 2) f(x) – интегрируема на отрезке [1;А], А≥1.

Тогда несобственный интеграл  сходится или расходится одновременно с числовым рядом  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71939. Декабризм, и его значение в истории России 365 KB
  Движение декабристов является событием, длительное время приковывающим внимание историков. Это связано с тем, что события более чем 170-летней давности оказали значительное влияние на последующее развитие России; декабристы были первыми русскими революционерами, которые организовали открытое восстание против царизма.
71940. ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЕ И ИНЫЕ НОРМАТИВНЫЕ ПРАВОВЫЕ АКТЫ, УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ ПОРЯДОК РАССЛЕДОВАНИЯ И УЧЕТА НЕСЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ НА ПРОИЗВОДСТВЕ 91 KB
  Формы документов необходимых для расследования и учета несчастных случаев на производстве утвержденные Минтрудом России следующие: извещение о групповом несчастном случае тяжелом несчастном случае несчастном случае со смертельным исходом; акт о несчастном случае...
71941. Пыль. Средства индивидуальной защиты от пыли 179.5 KB
  Для этой цели используется классификация пыли по ее дисперсности и способу образования. Характер действия пыли на организм зависит от физико-химических свойств пылевых частиц. Ядовитые пыли свинца ртути мышьяка и т. растворяясь в биологических средах действуют как введенный в организм...
71942. Пенсии по случаю потери кормильца 24.33 KB
  Пенсии по случаю потери кормильца –- это ежемесячные денежные выплаты алиментарного характера из фонда социальной защиты населения или государственного бюджета назначаемые нетрудоспособным членам семьи умершего кормильца состоявшим на его иждивении в размерах соизмеримых с заработком кормильца.
71943. Альберт Великий 41.55 KB
  После распада Римской Империи, сельское хозяйство на её западных территориях, занятых варварами пришло в упадок. Были утрачены знания и технологии Империи, площадь пахотных земель значительно сократилась.
71944. Александр Васильевич Советов 149.42 KB
  Александр Васильевич Советов возглавлял Вольное Экономическое общество (ВЭО), в котором его первый отдел объединял агрономов, экономистов и естествоиспытателей, таких как Д.И. Менделеев, К.А. Тимирязев, а с 1875 года - Докучаев.
71945. ДЕМОГРАФИЧЕСКАЯ ПОЛИТИКА 111.5 KB
  Она призвана воздействовать на формирование желательного для общества режима воспроизводства населения сохранения или изменения тенденций в области динамики численности и структуры населения темпов их изменений динамики рождаемости смертности семейного состава расселения внутренней...
71947. Понятие сети ССП и ее базовые принципы 180.57 KB
  Пользователи получили доступ к услугам, о которых 10–15 лет назад и не задумывались. E-mail, Интернет, сотовый телефон стали обычными атрибутами повседневной жизни. За короткое время мы так привыкли к практически ежедневному появлению всевозможных новинок, что сами начали выдвигать требования по предоставлению новых услуг и приложений.