20713

Числовые ряды. Признаки сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

12 Числовые ряды.–некоторые действительные числа называется числовым рядом. называются членами ряда. аn – nый общий член ряда.

Русский

2013-07-31

58 KB

6 чел.

Мат. Анализ. 12

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Символы вида (1),где а12,...,аn,..–некоторые действительные числа, называется числовым рядом. Числа а12,...,аn,.. называются членами ряда.( аnn-ый (общий) член ряда).

С каждым рядом естественным образом связана некоторая числовая последовательность. Обозначим через S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an+… Получили числовую последовательность (Sn)nN, Sn называется n-ой частичной суммой ряда (1). Верно и обратное утверждение: любая числовая последовательность (Sn)nN задает и при этом только единственным образом числовой ряд, для которого эта последовательность является последовательностью его частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. . S называют суммой ряда (1). Если  не существует или равен , то ряд (1) называют расходящимся.

Числовой ряд (1) называется рядом с положительными членами, если  .  Если ряд (1) с положительными членами, то последовательность (Sn)nN его частных сумм является возрастающей. Обратное тоже верно.

(первый остаток ряда (1))…(n0-ой остаток ряда (1)). Ряд (1) сходится ↔когда сходится любой из его остатков.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. (признак сравнения числовых рядов) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Причем выполнено равенство anbn,nN. Тогда 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то (2) также расходится.   

2.(признак сравнения в предельной форме) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Предположим, что существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

1) если l[0;+∞) и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.

2) если l∊(0;+∞] и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Т.о., если l∊(0;+∞), то ряды ведут себя одинаково.

3. (признак Даламбера) Предположим, что для ряда (1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел  Тогда 1) если k<1, то ряд (1) сходится. 2) если k>1, то ряд (1) расходится. 3) если k=1, то данный признак ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

4. Признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Предположим, что существует предел . Тогда 1) если 0≤ k<1, то ряд (1) сходится; 2) если k>1, то ряд (1) расходится; 3) если k>1, то данный признак ответа вопрос сходимости не дает.

Д-во. 1) Пусть число q выбрано так, что  k<q<1. Т.к. по условию , то по определению предела существует n0, такое, что . Или . (*) В правой части неравенства (*) стоит n0-ой остаток сходящегося ряда геометрической прогрессии (т.к. q<1). Тогда по признаку сравнения из неравенства (*) получим, что  стоит n0-ой остаток ряда (1) сходится, следовательно и ряд (1) сходится.

2) Пусть . Следовательно по определению предела существует n0, такое, что . Или аn≥1, n≥n0. Следовательно, . Т.о. n0-ой остаток ряда (1) расходится, следовательно и ряд (1) также расходится.

5. (Интегральный признак коши сходимости ряда с положительными членами)

Пусть 1) функция f(x) – неотрицательна и убывает на луче [1;+∞); 2) f(x) – интегрируема на отрезке [1;А], А≥1.

Тогда несобственный интеграл  сходится или расходится одновременно с числовым рядом  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72034. ФОРМУВАННЯ ЕКОНОМІЧНОЇ КУЛЬТУРИ УЧНІВ ОСНОВНОЇ ТА СТАРШОЇ ШКОЛИ 1.22 MB
  Сьогодні виявлено протиріччя між динамікою економічного розвитку країни які висуває вимоги до системної організації процесу економічного навчання та виховання підростаючого покоління і сформованою практикою економічної освіти; між реальним рівнем...
72035. УДОСКОНАЛЕННЯ ЗАСОБІВ ОЧИЩЕННЯ ПРОМИВНИХ ВОД ТА УТИЛІЗАЦІЇ ОСАДУ ВОДОПРОВІДНИХ ФІЛЬТРУВАЛЬНИХ СТАНЦІЙ 225 KB
  У багатьох частинах світу спостерігається дефіцит поступове вичерпання і зростаюче забруднення джерел прісної води. Питне водопостачання здійснюється як з поверхневих близько 70 всієї води так і з підземних джерел. В процесі очищення води тільки поверхневих джерел на спорудах поліпшення її якості щорічно утворюється близько 100 млн.
72036. СТАБІЛЬНИЙ РАНГ ТА ПОВ’ЯЗАНІ З НИМ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ КІЛЕЦЬ І МОДУЛІВ 405.5 KB
  У дисертаційній роботі встановлюються принципові зв’язки методів теорії матриць над кільцями з сучасними досягненнями алгебраїчної К-теорії. При дослідженні проблем алгебри матриць над кільцями неможливо обійтись без застосування результатів К-теорії.
72037. ПРОФІЛАКТИКА, ДІАГНОСТИКА І ЛІКУВАННЯ ПОРУШЕНЬ МЕНСТРУАЛЬНОГО ЦИКЛУ У ДІВЧАТ-ПІДЛІТКІВ З НЕРВОВОЮ АНОРЕКСІЄЮ 290.5 KB
  На сучасному етапі однією з важливих проблем дитячої та підліткової гінекології є профілактика та лікування порушень функції репродуктивної системи у дівчатпідлітків з психоемоційними розладами В. Відомо що порушення менструальної функції в підлітковому віці у дівчат негативно впливають на стан репродуктивної системи...
72038. ОСОБЛИВОСТІ КЛІНІЧНОГО ПЕРЕБІГУ ПОРОЖНИННИХ УТВОРЕНЬ ПІДШЛУНКОВОЇ ЗАЛОЗИ ТА ЇХ ХІРУРГІЧНЕ ЛІКУВАННЯ 174 KB
  Метою роботи було поліпшення результатів хірургічного лікування хворих на порожнинні утворення підшлункової залози при панкреатиті шляхом диференційованого вибору операційних технологій з урахуванням особливостей клінічного перебігу та прогнозування розвитку їх ускладнень.
72039. ПЕДАГОГІЧНІ УМОВИ ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ ДІТЕЙ СТАРШОГО ДОШКІЛЬНОГО ВІКУ У ВЗАЄМОДІЇ ДОШКІЛЬНОГО НАВЧАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ І СІМ’Ї 202 KB
  Трансформаційні процеси у сучасному суспільстві висувають нові вимоги до системи освіти загалом та фізичного виховання дітей зокрема. Економічні й політичні реформи в Україні здійснюються на тлі загострення проблеми захворюваності дітей яка зросла за багатьма показниками: лише третина сучасних...
72040. КРИМСЬКОТАТАРСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ РУХ ЯК СУБ’ЄКТ ПОЛІТИЧНОГО ПРОЦЕСУ В КРИМУ 163 KB
  В останні два десятиліття проблема повернення та облаштування кримських татар питання політикоправового статусу кримсько-татарського народу виступають найважливішими чинниками етнополітичної ситуації на півострові визначаючи діяльність кримсько-татарського національного...
72041. ПІДГОТОВКА МАЙБУТНІХ УЧИТЕЛІВ ПОЧАТКОВИХ КЛАСІВ ДО РОЗВИТКУ ПІЗНАВАЛЬНИХ ІНТЕРЕСІВ УЧНІВ У ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ 865.5 KB
  У державних та міжнародних документах з проблем вищої освіти наголошується на необхідності формування нової генерації педагогічних кадрів, підготовленої до якісного забезпечення освітніх потреб особистості, розвитку її інтелектуального та культурного потенціалу.
72042. ОБГРУНТУВАННЯ ПАРАМЕТРІВ І УДОСКОНАЛЕННЯ СИСТЕМИ ВІДСІЧЕННЯ КОНВЕРТЕРНОГО ШЛАКУ ЕЛЕМЕНТАМИ ПОПЛАВКОВОГО ТИПУ ПРИ ВИПУСКУ СТАЛІ 3.67 MB
  Мінімізація кількості кінцевого шлаку що потрапляє в розливний ківш під час випуску металу з кисневого конвертера є важливим технологічним завданням від успішного вирішення якого значною мірою залежать ефективність подальшої позапічної обробки сталі і виробничі витрати зумовлені...