20713

Числовые ряды. Признаки сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

12 Числовые ряды.–некоторые действительные числа называется числовым рядом. называются членами ряда. аn – nый общий член ряда.

Русский

2013-07-31

58 KB

6 чел.

Мат. Анализ. 12

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Символы вида (1),где а12,...,аn,..–некоторые действительные числа, называется числовым рядом. Числа а12,...,аn,.. называются членами ряда.( аnn-ый (общий) член ряда).

С каждым рядом естественным образом связана некоторая числовая последовательность. Обозначим через S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an+… Получили числовую последовательность (Sn)nN, Sn называется n-ой частичной суммой ряда (1). Верно и обратное утверждение: любая числовая последовательность (Sn)nN задает и при этом только единственным образом числовой ряд, для которого эта последовательность является последовательностью его частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. . S называют суммой ряда (1). Если  не существует или равен , то ряд (1) называют расходящимся.

Числовой ряд (1) называется рядом с положительными членами, если  .  Если ряд (1) с положительными членами, то последовательность (Sn)nN его частных сумм является возрастающей. Обратное тоже верно.

(первый остаток ряда (1))…(n0-ой остаток ряда (1)). Ряд (1) сходится ↔когда сходится любой из его остатков.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. (признак сравнения числовых рядов) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Причем выполнено равенство anbn,nN. Тогда 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то (2) также расходится.   

2.(признак сравнения в предельной форме) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Предположим, что существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

1) если l[0;+∞) и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.

2) если l∊(0;+∞] и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Т.о., если l∊(0;+∞), то ряды ведут себя одинаково.

3. (признак Даламбера) Предположим, что для ряда (1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел  Тогда 1) если k<1, то ряд (1) сходится. 2) если k>1, то ряд (1) расходится. 3) если k=1, то данный признак ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

4. Признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Предположим, что существует предел . Тогда 1) если 0≤ k<1, то ряд (1) сходится; 2) если k>1, то ряд (1) расходится; 3) если k>1, то данный признак ответа вопрос сходимости не дает.

Д-во. 1) Пусть число q выбрано так, что  k<q<1. Т.к. по условию , то по определению предела существует n0, такое, что . Или . (*) В правой части неравенства (*) стоит n0-ой остаток сходящегося ряда геометрической прогрессии (т.к. q<1). Тогда по признаку сравнения из неравенства (*) получим, что  стоит n0-ой остаток ряда (1) сходится, следовательно и ряд (1) сходится.

2) Пусть . Следовательно по определению предела существует n0, такое, что . Или аn≥1, n≥n0. Следовательно, . Т.о. n0-ой остаток ряда (1) расходится, следовательно и ряд (1) также расходится.

5. (Интегральный признак коши сходимости ряда с положительными членами)

Пусть 1) функция f(x) – неотрицательна и убывает на луче [1;+∞); 2) f(x) – интегрируема на отрезке [1;А], А≥1.

Тогда несобственный интеграл  сходится или расходится одновременно с числовым рядом  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11727. Проводники. Сложной проводники 11.88 KB
  Лабораторная работа № 17 Проводники. Сложной проводники. Цели работы: закрепить умения и навыки формирования простых и сложных проводок. Выполнил: Романов П. Н. Группа: 091ПО Преподаватель: Афанасьева Г. Ю. Дата: 16.01.13 Ход работы: ...
11728. Ввод типовых операций 12.1 KB
  Лабораторная работа №16 Ввод типовых операций Цели работы: закрепить умения и навыки создания типовой операции работы с управляющими элементами типовой операции ввода типовой операции. Выполнил: Романов П. Н. Группа: 091ПО Преподаватель: Афана...
11729. Проектирование структуры. Нормализация таблиц 162.76 KB
  Лабораторная работа №1 Проектирование структуры. Нормализация таблиц. Цель: формирование практических умений и навыков логического проектирования базы данных: структуры базы данных; структуры таблиц входящих в состав базы данных; связей между таблицами. Закреплен
11730. Создание серверной части приложения: Файлы базы данных, таблицы 14.8 KB
  Лабораторная работа №2 Создание серверной части приложения: Файлы базы данных таблицы. Цель: формирование практических умений и навыков применения языка TransactSQL для создания объектов базы данных собственно самой базы данных таблиц входящих в состав базы данных; р
11731. Визуальное проектирование структуры базы данных: таблицы, индексы 36.07 KB
  Лабораторная работа №3 Визуальное проектирование структуры базы данных: таблицы индексы. Цель: формирование практических умений и навыков работы с SQL Server в графическом режиме через SQL Manager: создание структуры таблицы наложение ограничений на поля просмотр таблиц ...
11732. Визуальное проектирование базы данных: условие ссылочной целостности, взаимосвязи 25.23 KB
  Лабораторная работа №4 Визуальное проектирование базы данных: условие ссылочной целостности взаимосвязи. Цель: закрепить практические умения и навыки установления условий ссылочной целостности взаимосвязей между таблицами один к одному один ко многим многие ко м...
11733. Клиентская часть: размещение не визуальных компонентов соединения с базой данных 17.34 KB
  Лабораторная работа №5 Клиентская часть: размещение не визуальных компонентов соединения с базой данных. Цель: закрепить практические умения и навыки управления не визуальными компонентами отображения соединения с базой данных. Закрепление навыков работы в среде п...
11734. Клиентская часть: размещение визуальных компонентов отображения таблиц 16.53 KB
  Лабораторная работа № 6 Клиентская часть: размещение визуальных компонентов отображения таблиц Цель: закрепить практические умения и навыки управления визуальными компонентами отображения таблиц организации запроса. Закрепление навыков работы в среде программир...
11735. Запросы на добавление данных 20.59 KB
  Лабораторная работа № 7 Запросы на добавление данных Цель: формирование практических умений и навыков составления запросов на добавление данных с помощью TransactSQL оператор Insert и с помощью SQLManager в графическом режиме. Закрепить практические умения и навыки работы с т...