20713

Числовые ряды. Признаки сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

12 Числовые ряды.некоторые действительные числа называется числовым рядом. называются членами ряда. аn nый общий член ряда.

Русский

2013-07-31

58 KB

8 чел.

Мат. Анализ. 12

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Символы вида (1),где а12,...,аn,..–некоторые действительные числа, называется числовым рядом. Числа а12,...,аn,.. называются членами ряда.( аnn-ый (общий) член ряда).

С каждым рядом естественным образом связана некоторая числовая последовательность. Обозначим через S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an+… Получили числовую последовательность (Sn)nN, Sn называется n-ой частичной суммой ряда (1). Верно и обратное утверждение: любая числовая последовательность (Sn)nN задает и при этом только единственным образом числовой ряд, для которого эта последовательность является последовательностью его частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. . S называют суммой ряда (1). Если  не существует или равен , то ряд (1) называют расходящимся.

Числовой ряд (1) называется рядом с положительными членами, если  .  Если ряд (1) с положительными членами, то последовательность (Sn)nN его частных сумм является возрастающей. Обратное тоже верно.

(первый остаток ряда (1))…(n0-ой остаток ряда (1)). Ряд (1) сходится ↔когда сходится любой из его остатков.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. (признак сравнения числовых рядов) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Причем выполнено равенство anbn,nN. Тогда 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то (2) также расходится.   

2.(признак сравнения в предельной форме) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Предположим, что существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

1) если l[0;+∞) и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.

2) если l∊(0;+∞] и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Т.о., если l∊(0;+∞), то ряды ведут себя одинаково.

3. (признак Даламбера) Предположим, что для ряда (1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел  Тогда 1) если k<1, то ряд (1) сходится. 2) если k>1, то ряд (1) расходится. 3) если k=1, то данный признак ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

4. Признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Предположим, что существует предел . Тогда 1) если 0≤ k<1, то ряд (1) сходится; 2) если k>1, то ряд (1) расходится; 3) если k>1, то данный признак ответа вопрос сходимости не дает.

Д-во. 1) Пусть число q выбрано так, что  k<q<1. Т.к. по условию , то по определению предела существует n0, такое, что . Или . (*) В правой части неравенства (*) стоит n0-ой остаток сходящегося ряда геометрической прогрессии (т.к. q<1). Тогда по признаку сравнения из неравенства (*) получим, что  стоит n0-ой остаток ряда (1) сходится, следовательно и ряд (1) сходится.

2) Пусть . Следовательно по определению предела существует n0, такое, что . Или аn≥1, n≥n0. Следовательно, . Т.о. n0-ой остаток ряда (1) расходится, следовательно и ряд (1) также расходится.

5. (Интегральный признак коши сходимости ряда с положительными членами)

Пусть 1) функция f(x) – неотрицательна и убывает на луче [1;+∞); 2) f(x) – интегрируема на отрезке [1;А], А≥1.

Тогда несобственный интеграл  сходится или расходится одновременно с числовым рядом  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4387. Операторы в языке С++ 130.5 KB
  Операторы в языке С++ Математические операторы В языке С++ операторы управляют последовательностью выполнения выражений, возвращают результаты вычислений или ничего не делают (пустые операторы). Операторы последовательного действия выполняют о...
4388. Использование циклов в языке С++ 55.5 KB
  Использование циклов в языке С++ Оператор goto Для решения ряда задач требуется многократное повторение одних и тех же действий. На практике это реализуется либо с помощью рекурсии, либо с помощью итерации. Итерация – это повторение одних...
4389. Использование массивов в языке С++ 43.5 KB
  Использование массивов в языке С++ Одномерные массивы Массив (array) – это набор элементов, способных хранить данные одного типа. Каждый элемент хранения называется элементом массива. Объявляя массив, необходимо сначала указать тип храним...
4390. Указатели и ссылки в языке С++ 57.5 KB
  Указатели и ссылки в языке С++ Указатели Обычно программисту не нужно знать реальный адрес каждой переменной, поскольку компилятор способен сам позаботиться о таких подробностях. Но если необходимость в этой информации все же возникает, то пол...
4391. Некоторые простые алгоритмы в языке С++ 61.5 KB
  Некоторые простые алгоритмы в языке С++ Поиск максимального (или минимального) числа из выборки чисел Предположим, что мы имеем массив из n элементов. Необходимо найти элемент с максимальным (или минимальным) числовым значением. Задача поиска ...
4392. Численное решение уравнений в языке С++ 168.5 KB
  Численное решение уравнений в языке С++ Теоретические основы Предположим, нам нужно решить кубическое уравнение Это означает, что нужно найти корни уравнения – такие числа, которые обращают уравнение в ноль...
4393. Поиск на графе в С++ 116.5 KB
  Поиск на графе в С++ Представление графа в виде матрицы смежности Граф (graph) – это графическая схема, представляющая собой совокупность вершин (vertexes), соединенных между собой ребрами (edges). Иногда вершины также называют узлами (no...
4394. Анализ алгоритмов на примере программы на языке С++ 169.5 KB
  Анализ алгоритмов на примере программы на языке С++ Обычно одну и ту же задачу можно решить различными способами. Среди различных алгоритмов, с помощью которых можно решить задачу, естественно выбрать один – наилучший. Обычно лучшим считается т...
4395. Бизнес план компьютерного клуба Chicago 301 KB
  Резюме Данный бизнес-план представляет собой проект организации компьютерного клуба в г. Луганске на кв. Жукова д 2 кв 3. Специфической чертой планируемого клуба будет наличие доступа в интернет и возможность создания для клиентов компакт-дисков и D...