20713

Числовые ряды. Признаки сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

12 Числовые ряды.некоторые действительные числа называется числовым рядом. называются членами ряда. аn nый общий член ряда.

Русский

2013-07-31

58 KB

8 чел.

Мат. Анализ. 12

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Символы вида (1),где а12,...,аn,..–некоторые действительные числа, называется числовым рядом. Числа а12,...,аn,.. называются членами ряда.( аnn-ый (общий) член ряда).

С каждым рядом естественным образом связана некоторая числовая последовательность. Обозначим через S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an+… Получили числовую последовательность (Sn)nN, Sn называется n-ой частичной суммой ряда (1). Верно и обратное утверждение: любая числовая последовательность (Sn)nN задает и при этом только единственным образом числовой ряд, для которого эта последовательность является последовательностью его частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. . S называют суммой ряда (1). Если  не существует или равен , то ряд (1) называют расходящимся.

Числовой ряд (1) называется рядом с положительными членами, если  .  Если ряд (1) с положительными членами, то последовательность (Sn)nN его частных сумм является возрастающей. Обратное тоже верно.

(первый остаток ряда (1))…(n0-ой остаток ряда (1)). Ряд (1) сходится ↔когда сходится любой из его остатков.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. (признак сравнения числовых рядов) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Причем выполнено равенство anbn,nN. Тогда 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то (2) также расходится.   

2.(признак сравнения в предельной форме) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Предположим, что существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

1) если l[0;+∞) и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.

2) если l∊(0;+∞] и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Т.о., если l∊(0;+∞), то ряды ведут себя одинаково.

3. (признак Даламбера) Предположим, что для ряда (1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел  Тогда 1) если k<1, то ряд (1) сходится. 2) если k>1, то ряд (1) расходится. 3) если k=1, то данный признак ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

4. Признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Предположим, что существует предел . Тогда 1) если 0≤ k<1, то ряд (1) сходится; 2) если k>1, то ряд (1) расходится; 3) если k>1, то данный признак ответа вопрос сходимости не дает.

Д-во. 1) Пусть число q выбрано так, что  k<q<1. Т.к. по условию , то по определению предела существует n0, такое, что . Или . (*) В правой части неравенства (*) стоит n0-ой остаток сходящегося ряда геометрической прогрессии (т.к. q<1). Тогда по признаку сравнения из неравенства (*) получим, что  стоит n0-ой остаток ряда (1) сходится, следовательно и ряд (1) сходится.

2) Пусть . Следовательно по определению предела существует n0, такое, что . Или аn≥1, n≥n0. Следовательно, . Т.о. n0-ой остаток ряда (1) расходится, следовательно и ряд (1) также расходится.

5. (Интегральный признак коши сходимости ряда с положительными членами)

Пусть 1) функция f(x) – неотрицательна и убывает на луче [1;+∞); 2) f(x) – интегрируема на отрезке [1;А], А≥1.

Тогда несобственный интеграл  сходится или расходится одновременно с числовым рядом  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22090. Средства массовой информации 40 KB
  СМИ оказывают влияние почти на все сферы и институты общества включая политику здравоохранение образование религию; являются важнейшими инструментами реализации политического процесса. Актуальность данной темы заключается в том что формирование массового общественного сознания и направленное влияние на отдельные группы населения являются политическими функциями СМИ. Таким образом благодаря СМИ формируется общественное мнение состояние массового сознания заключающее в себе скрытое или явное отношение различных социальных общностей к...
22091. ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ СОЦИАЛЬНОГО ПЕДАГОГА В ШКОЛЕ 34 KB
  это деятельность классных руководителей и завучей по воспитательной работе на которых возлагались и задачи социальной работы и социальной педагогики. Но изменились условия жизни в стране отношение к учителю и в новых условиях решать социальные проблемы стало необходимо на качественно новом уровне профессионально. Для обеспечения действенности такой работы социальной службе школы необходимы специалисты способные решать задачи диагностики социолог и психолог и прикладной работы соц.
22092. СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 37 KB
  Последовательность подготовки письменной работы: формирование замысла. поиск и отбор материала; группировка и систематизация материалов; написание текста; обработка работы. Методика работы над рефератом: 1. Второй этап составление календарного плана: сроки подбора и изучение литературы; написание каждого раздела темы; редактирование; оформление; изготовление схем; представление работы руководителю; доработка реферата.
22093. СОЦИАЛИЗАЦИЯ КАК СОЦИАЛНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ЯВЛЕНИЕ 46 KB
  Сущность социализации состоит в том что в ее процессе человек формируется как член того общества к которому он принадлежит. Эмиль Дюркгейм один из первых обративший внимание на проблему социализации подчеркивал что любое общество стремится сформировать человека в соответствии с имеющимися у него моральными интеллектуальными и даже физическими идеалами. Процесс социализации неразрывно связан с общением и совместной деятельностью людей.Парыгин: Процесс социализации вхождение в социальную среду приспособление к ней освоение...
22094. СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ УЧРЕЖДЕНИЯХ ДЛЯ ДЕТЕЙ С НЕДОСТАТКАМИ В УМСТВЕННОМ И ФИЗИЧЕСКОМ РАЗВИТИЯХ 27 KB
  Главной и основной целью всего процесса реабилитации является включение нетипичного ребенка в жизнь социума и его реабилитация. Воздействие идет на тело и психику ребенка. При этом должны учитываться возможность включения компенсаторных механизмов самого ребенка с ограниченными возможностями. Основная цель этого уровня достичь наибольшего физического оздоровления ребенка помочь ему в осознании своей личности поэтому работу необходимо проводить совместно с медицинскими и психологическими службами.
22095. СПЕЦИФИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СОЦИАЛЬНОГО ПЕДАГОГА 26 KB
  Действительно в профессиональной деятельности учителя и соц. Учитель выполняет главным образом образовательную функцию передает молодому поколению знания и социокультурный опыт накопленный обществом. В центре же внимания соц.
22096. СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ С ПОДРОСТКАМИ, СКЛОННЫМИ К СУИЦИДАЛЬНОМУ ПОВЕДЕНИЮ 61 KB
  Суицидальное поведение включает в себя кроме самого суицидального акта еще и покушения попытки и проявления. Суицидальные попытки молодежи в подавляющем большинстве имеют оттенок манипулятивности в чем проявляется принципиальное отличие суицидального поведения у лиц этой возрастной категории. К внешним формам суицидального поведения относят: суицидальные попытки; завершенный суицид.Личко выделяет три типа суицидального поведения у подростков: демонстративное аффективное и истинное.
22097. МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИИ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 73.5 KB
  Выражение соц. технология появилась в 7080е годы в связи с необходимостью разработки социальных проблем в обществе. Социальнопедагогическая технология совокупность приемов и методов применяемых соц.
22098. ОСОБЕННОСТИ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ С ПОДРОСТКАМИ С АДДИКТИВНЫМ ПОВЕДЕНИЕМ 80.5 KB
  Основные понятие и виды аддиктивного поведения 2. Этапы становления аддиктивного поведения. Основные понятия и виды аддиктивного поведения. Аддиктивное поведение одна из форм деструктивного поведения которая выражается в стремлении к уходу от реальности путем изменения своего психического состояния посредством приема некоторых веществ или постоянной фиксации внимания на определенных предметах или активностях видах деятельности что сопровождается развитием интенсивных эмоций.