20713

Числовые ряды. Признаки сходимости

Доклад

Математика и математический анализ

12 Числовые ряды.некоторые действительные числа называется числовым рядом. называются членами ряда. аn nый общий член ряда.

Русский

2013-07-31

58 KB

8 чел.

Мат. Анализ. 12

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Символы вида (1),где а12,...,аn,..–некоторые действительные числа, называется числовым рядом. Числа а12,...,аn,.. называются членами ряда.( аnn-ый (общий) член ряда).

С каждым рядом естественным образом связана некоторая числовая последовательность. Обозначим через S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an+… Получили числовую последовательность (Sn)nN, Sn называется n-ой частичной суммой ряда (1). Верно и обратное утверждение: любая числовая последовательность (Sn)nN задает и при этом только единственным образом числовой ряд, для которого эта последовательность является последовательностью его частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. . S называют суммой ряда (1). Если  не существует или равен , то ряд (1) называют расходящимся.

Числовой ряд (1) называется рядом с положительными членами, если  .  Если ряд (1) с положительными членами, то последовательность (Sn)nN его частных сумм является возрастающей. Обратное тоже верно.

(первый остаток ряда (1))…(n0-ой остаток ряда (1)). Ряд (1) сходится ↔когда сходится любой из его остатков.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. (признак сравнения числовых рядов) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Причем выполнено равенство anbn,nN. Тогда 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то (2) также расходится.   

2.(признак сравнения в предельной форме) Пусть даны 2 ряда с положительными членами  (1) и . Предположим, что существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

1) если l[0;+∞) и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.

2) если l∊(0;+∞] и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Т.о., если l∊(0;+∞), то ряды ведут себя одинаково.

3. (признак Даламбера) Предположим, что для ряда (1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел  Тогда 1) если k<1, то ряд (1) сходится. 2) если k>1, то ряд (1) расходится. 3) если k=1, то данный признак ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

4. Признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Предположим, что существует предел . Тогда 1) если 0≤ k<1, то ряд (1) сходится; 2) если k>1, то ряд (1) расходится; 3) если k>1, то данный признак ответа вопрос сходимости не дает.

Д-во. 1) Пусть число q выбрано так, что  k<q<1. Т.к. по условию , то по определению предела существует n0, такое, что . Или . (*) В правой части неравенства (*) стоит n0-ой остаток сходящегося ряда геометрической прогрессии (т.к. q<1). Тогда по признаку сравнения из неравенства (*) получим, что  стоит n0-ой остаток ряда (1) сходится, следовательно и ряд (1) сходится.

2) Пусть . Следовательно по определению предела существует n0, такое, что . Или аn≥1, n≥n0. Следовательно, . Т.о. n0-ой остаток ряда (1) расходится, следовательно и ряд (1) также расходится.

5. (Интегральный признак коши сходимости ряда с положительными членами)

Пусть 1) функция f(x) – неотрицательна и убывает на луче [1;+∞); 2) f(x) – интегрируема на отрезке [1;А], А≥1.

Тогда несобственный интеграл  сходится или расходится одновременно с числовым рядом  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22975. Послідовний інтерфейс 3.66 MB
  Всі ці функції може виконувати спеціальна ВІС що входить до мікропроцесорного комплекту КР580 і має назву Універсальний Синхронно Асинхронний Програмований Прийомопередавач УСАПП типу КР580ВВ51. УСАПП типу КР580ВВ51 в значній мірі є автономним у своїй роботі. Все інше робить сам УСАПП. При видачі даних МП звертається до УСАПП як до зовнішнього пристрою.
22976. Організація пам’яті мікропроцесорної системи 11.06 MB
  Функції виводів цього ОЗП позначено на рис. R визначає напрямок руху інформації чи то запис до ОЗП чи то читання з нього. ОЗП типу КР541РУ2 Це статичний ОЗП на ТТЛ логіці.
22977. Мікропроцесор КР1810ВМ86 (8086) 6.05 MB
  Але у порівнянні з МП80 він має такі істотні відміни: при збереженні тієї ж nМОН технології була досягнута вища ступінь інтеграції і на кристалі 55 х 55 мм розташовано біля 30 тисяч транзисторів; зменшено інерційність логічних елементів і тактову частоту підвищено до 5 8 МГц; завдяки цьому продуктивність мікропроцесора збільшилась на порядок; розширено розрядність шини даних до 16 розрядів; розширено розрядність шини адреси до 20 розрядів таким чином забезпечено можливість адресувати память до 1 Мбайт; розширено у кілька разів...
22978. Переривання 5.91 MB
  Організація переривань Все починається з того що ЗП виставляє сигнал високого рівня логічну одиницю на вхід INT мікропроцесора. Ці дані будуть оброблятися мікропроцесором за підпрограмою обробки переривань яка повинна бути заздалегідь закладена у память мікропроцесора . Замість цього в лічильник команд заноситься адреса команди з якої починається підпрограма обробки переривань. Лише після цього стає можливим введення даних з ЗП і старт підпрограми обробки переривань цих даних.
22979. Прямий доступ до пам’яті (ПДП) 3.8 MB
  Контролер ПДП Забезпечити роботу в режимі захоплення шин можна за допомогою логічних схем та тригерів саме так це зроблено наприклад у €œМікролабі€ але зручніше скористатися спеціальною ВІС контролером прямого доступу до памяті КПДП. Працює КПДП в двох сильно відмінних один від одного режимах: в режимі програмування коли мікропроцесор €œзакладає€ в нього необхідні інструкції і в режимі обміну даними між зовнішнім пристроєм і ОЗП. Схематичне зображення ІМС КПДП типу КР580ВТ57 подано на рис. В режимі програмування вони...
22980. Клавіатура і індикація 5.36 MB
  ОЗП індикації являє собою область операційної памяті в якій стільки комірок скільки знаків може бути розміщено на екрані. Побудова знаків Знаки на екрані дисплею будуються за мозаїчним принципом. Знакоформувач Знакоформувач являє собою ПЗП в якому закладена інформація про структуру утворюваних ним знаків. Таким чином ці три ІМС можуть створювати 96 різних знаків символів.
22981. Робота зі співпроцесором 3.19 MB
  Обгрунтування необхідності співпроцесора Хоча мікропроцесор К1810ВМ86 оперує з 16розрядними числами відносна точність його обчислень не дуже висока. Такий допоміжний процесор має назву співпроцесора. Включення співпроцесора Для спільної роботи зі співпроцесором мікропроцесор МП86 слід включити у максимальний режим = 0.
22982. Тенденції у розвитку мікропроцесорної техніки 1011.5 KB
  Другий шлях полягає навпаки у роздрібненні секціонуванні мікропроцесора на окремі функціональні блоки і модулі кожний з яких виконує свої операції: операційний блок блок мікрокомандного керування блок памяті мікрокоманд та інше. Його система команд майже цілком співпадає з системою команд МП80 і відрізняється від неї лише декількома додатковими командами про які мова йтиме далі. У апаратному відношенні МП85 містить всі ті ж блоки що і МП80 але має крім того: блок керування перериваннями котрий розширює можливість звернення до...
22983. Система команд та методи адресації в мікропроцесорі КР1810ВМ86 1.05 MB
  Серед цього списку можна виявити що деякі команди не змінили ані форми ані змісту наприклад HLT NOP STC IN OUT JMPCALL тощо. Деякі команди зберегли свій зміст але мають дещо іншу мнемоніку: для МП80 INR DCR ANA ORA XRA JZ JNZ JC JNC для МП86 INC DEC AND OR XOR JE JNE JB JNB Зявилися принципово нові команди пoвязані з новими можливостями МП86: MUL множення; DIV ділення; NEG утворення доповняльного коду; NOTінверсія; TEST операція І без фіксації результату тільки заради...