20714

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доклад

Математика и математический анализ

Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Рассмотрим ряд где a1a2an – произвольные числа. Составим ряд 2. Опр: Ряд 1 наз.

Русский

2013-07-31

81.5 KB

1 чел.

13.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим ряд ,где a1+a2,…an – произвольные числа.

Составим ряд (2).

Опр: Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

        Ряд (1) наз. условно сходящимся, если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится.

Пример:    - расх-ся, а сам ряд сх-сяряд сх-ся условно.

               .  -сх-ся, и сам ряд сх-сяряд сх-ся.

Наряду с произвольным рядом (1) рассмотри два ряда с положительными членами.

(3) ,   (4)

=        =  

Обозначим через Sn, τn , , n-ые частичные суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно, тогда  Sn=-(5), τn=+(6).

Лемма1. Ряд (1) абсолютно сх-ся тогда и т. тогда, когда ряды (3) и (4) сх-ся одновременно и при этом в случае сх-сти  S = λ-σ (7), τ = λ+ σ (8), где S, λ, τ, σ – суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно.

Док-во: 

I.НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано: (1)- абс.сх-ся - сх-ся . Док-ть: (3),(4) –cходятся.

Т.к. ряд (2) сх-ся по усл., то по критерию сх-сти рядов с положительными членами, посл-ть (τn)  его частичных сумм, ограничена сверху. Пусть число M выбрано так, что

 τnM . Из (6) получаем  M, M (3)-сх-ся, (4) –сх-ся.

II.ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (3),(4) –cх-ся. Док-ть: (1) – cх-ся абсолютно(2)-сх-ся.

Пусть ряд (3) и (4) – сх-ся K,; L,  τn=+K+L, т.е. послед. τn ограничена числом K+L, по критерию сх-ти рядов с полож.членами ряд (2) – сх-ся. Если ряды (3) и (4) – сход., то из (5) и (6) получаем  

τ

лемма1 доказана.

Лемма2.Если ряд(1) условно сх-ся, то ряды (3) и (4) расх-ся одновременно.

Т.к. ряд (1) условно сх-ся, то по опр. ряд(2) –расх-ся. Из расходимости ряда (2) следует, что по крайней мере один из рядов (3) и (4) расх-ся. Предположим, что расх-ся ряд(3) и докажем, что ряд(4) тоже расх-ся.

Док-во (от противного). Предположим, что (3) – расх-ся, а (4) –сх-ся. Тогда из (5)  что ряд (1) – расх-ся, что противоречит условию. Следовательно ряд (4) –расх-ся.

Теорема (Дирихле). Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка следования его членов.

Т.е если ряд   (1) - абсолютно сх-ся и (1п) получен из ряда (1) перестановкой его членов, то ряд (1п) – абс.сх-ся и суммы этих рядов совпадают.

Теорема Римена. Пусть ряд (1) –условно сх-ся и А- произв.число или (),  тогда возможно так переставить члены ряда (1), что сумма вновь полученного ряда будет равна А.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59268. A HAPPY NEW YEAR 49.5 KB
  Another popular way of celebrating the New Year is to go to a New Year’s dance. Most hotels and dance halls hold a special dance on New Year’s Eve. The hall is decorated, there are several different bands and the atmosphere is very gay.
59269. У гості до колобка 25.5 KB
  Вчити фіксувати характерні особливості персонажів: Колобок круглий він котиться Ведмедик клишоногий перевальцем ходить Лисичка руденька хитра; долати перешкоди: купи хмизу горбочки та пеньки у лісі.
59270. Ой єсть в лісі калина 33.5 KB
  З чим тебе порівняти Чи з весняним ранком чи з бездонним небом чи з веселим шумом червоної калини Гарна калина в усі пори року. Червона калина символ України. Галузочка до галузки зацвіла калина.
59271. Методрозробка практичного заняття з латинської мови 75 KB
  Навчальна мета: навчити студентів правильно читати латинські слова з вмінням вірного пояснення вимови голосних дифтонгів; правильно читати медичні терміни у склад яких входить буква –у і.
59272. Люблю рідну матусю 50 KB
  Непорочна як лілея біла Із ДитяткомНемовлятком Пречистая Діва. Друга мати це найкраща на світі країна Земля наша наша славна НенькаУкраїна. Третя мати що ж про неї гарного сказати Це ласкава люба мила рідна моя мати.
59273. Структура (Розробка) проведення уроку у добукварний період. Буква Р 27 KB
  Звуковий та звукобуквенний аналіз слів. Вдосконалювати навички звуко-буквенного аналізу слів творити різні форми слова складати речення з власними назвами моделювати ці речення.
59274. Сценарій урочистої шкільної лінійки 48.5 KB
  Що велике це свято, велике, бо ж глянь скільки народу зібралося. А радісне яке... Що й в двох словах не передаси. Як згадаю ті недоспані ночі, важкенні контрольні, незрозумілі приклади і задачі, каверзні формули і диктанти...
59275. СЦЕНАРІЙ ШКІЛЬНОГО СВЯТА БУКВАРЯ 64 KB
  Є святкових днів багато На листках календаря А між ними й наше свято Вшанування Букваря. Дівчинка: День вітання і прощання Свято перших букварів Перша сходинка зростання Для найменших школярів.
59276. Тарас Шевченко 49 KB
  Діти чому Шевченка називають Кобзарем Колись у сиву давнину ходили по Україні старі люди часто вони були сліпі співали про тяжке життя про героїчні подвиги козаків. Діти багато віршів Тараса Шевченка покладено на музику.