20714

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доклад

Математика и математический анализ

Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Рассмотрим ряд где a1a2an произвольные числа. Составим ряд 2. Опр: Ряд 1 наз.

Русский

2013-07-31

81.5 KB

1 чел.

13.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим ряд ,где a1+a2,…an – произвольные числа.

Составим ряд (2).

Опр: Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

        Ряд (1) наз. условно сходящимся, если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится.

Пример:    - расх-ся, а сам ряд сх-сяряд сх-ся условно.

               .  -сх-ся, и сам ряд сх-сяряд сх-ся.

Наряду с произвольным рядом (1) рассмотри два ряда с положительными членами.

(3) ,   (4)

=        =  

Обозначим через Sn, τn , , n-ые частичные суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно, тогда  Sn=-(5), τn=+(6).

Лемма1. Ряд (1) абсолютно сх-ся тогда и т. тогда, когда ряды (3) и (4) сх-ся одновременно и при этом в случае сх-сти  S = λ-σ (7), τ = λ+ σ (8), где S, λ, τ, σ – суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно.

Док-во: 

I.НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано: (1)- абс.сх-ся - сх-ся . Док-ть: (3),(4) –cходятся.

Т.к. ряд (2) сх-ся по усл., то по критерию сх-сти рядов с положительными членами, посл-ть (τn)  его частичных сумм, ограничена сверху. Пусть число M выбрано так, что

 τnM . Из (6) получаем  M, M (3)-сх-ся, (4) –сх-ся.

II.ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (3),(4) –cх-ся. Док-ть: (1) – cх-ся абсолютно(2)-сх-ся.

Пусть ряд (3) и (4) – сх-ся K,; L,  τn=+K+L, т.е. послед. τn ограничена числом K+L, по критерию сх-ти рядов с полож.членами ряд (2) – сх-ся. Если ряды (3) и (4) – сход., то из (5) и (6) получаем  

τ

лемма1 доказана.

Лемма2.Если ряд(1) условно сх-ся, то ряды (3) и (4) расх-ся одновременно.

Т.к. ряд (1) условно сх-ся, то по опр. ряд(2) –расх-ся. Из расходимости ряда (2) следует, что по крайней мере один из рядов (3) и (4) расх-ся. Предположим, что расх-ся ряд(3) и докажем, что ряд(4) тоже расх-ся.

Док-во (от противного). Предположим, что (3) – расх-ся, а (4) –сх-ся. Тогда из (5)  что ряд (1) – расх-ся, что противоречит условию. Следовательно ряд (4) –расх-ся.

Теорема (Дирихле). Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка следования его членов.

Т.е если ряд   (1) - абсолютно сх-ся и (1п) получен из ряда (1) перестановкой его членов, то ряд (1п) – абс.сх-ся и суммы этих рядов совпадают.

Теорема Римена. Пусть ряд (1) –условно сх-ся и А- произв.число или (),  тогда возможно так переставить члены ряда (1), что сумма вновь полученного ряда будет равна А.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39042. Фактографические информационные системы 194 KB
  Основными компонентами фактографических систем являются Базы Данных и системы управления Базами Данных СУБД. Ее основные задачи: распределение внешней памяти; определение структуры файла; способы именования файлов и отображение их имен на пространство адресов внешней памяти; обеспечение доступа к данным; обеспечение защиты данных в файлах; способы многопользовательского доступа к файлам. Ограничения файловых информационных систем Разделение и изоляция данных. Обработка данных из разных файлов обычно требует значительных усилий...
39043. Интеллектуальные информационные системы ИИС. Экспертные системы 146 KB
  Основные задачи ИИ Представление знаний и разработка систем основанных на знаниях; Разработка естественно-языковых интерфейсов; Разработка систем машинного перевода; Распознавание образов идентификация неизвестного объекта по его признакам; Создание обучающихся и самообучающихся систем; Программное обеспечение интеллектуальных систем развитие существующих...
39044. Информационные системы в экономике и бизнесе 93 KB
  ; Не удавалось построить оптимальную модель планирования при увеличении количества комплектующих до тысяч единиц нельзя чтобы изза отсутствия одной гайки простаивал конвейер по сборке авиадвигателя каждая из которых характеризуется своей динамикой поведения запасов. Усложнение методов планирования запасов привело к появлению более развитого стандарта планирования потребностей в материалах Mteril Requirement Plnning MRP. Недостаток методики MRP: Отсутствие контроля выполнения плана закупок и механизма корректировки этого плана в...
39045. Понятие информации. Способы измерения и оценки информации 196 KB
  Понятие информации Понятие информации Несмотря на то что информация является базовым понятием информатики и кибернетики дать ей точное определение весьма затруднительно. В настоящее время можно выделить три основных подхода к понятию информации: Общенаучный философский. Рассмотрим например переход вещества из твердого состояния в жидкое здесь можно наблюдать материальные преобразования энергетические затраты а также потерю информации относительно расположения атомов. Другой пример: образовательный процесс который сам по себе...
39046. Основные процессы преобразования информации 114.5 KB
  Основные процессы преобразования информации Информационная деятельность Уже говорилось что по мере развития общества происходит перераспределение трудовых ресурсов из сферы материального производства в сферу информационного. Деятельность по сбору и обработке существующей и созданию новой информации называется информационной деятельностью. Создание информационного продукта это ответ на появление некоторой информационной потребности под которой понимают совокупность элементов информации данных необходимых и достаточных для...
39047. Сбор и предварительная обработка информации 34 KB
  Целью лабораторной работы является получение навыков в поиске научно-технической информации (НТИ) в сети Internet, а также автоматизированного перевода научно-технических документов.
39048. Формирование информационных баз данных 30 KB
  Создать базу данных в MS ccess путем импорта таблиц MS Excel созданных в предыдущих пунктах. Создать форму для ввода данных в базу. Создать запросы: на выборку данных по заданному условию запрос с вычислением.
39049. Создание баз данных в MS Excel 1021 KB
  Писаренко MS Excel Создание баз данных в MS Excel Создание баз данных средствами MS Excel Для создания баз данных БД и работы с ними обычно используются специализированные достаточно сложные программные системы называемые системами управления базами данных СУБД такие как Orcle MS ccess Fox Pro Dbse MS ccess и др. Табличный процессор MS Excel не является специализированным программным средством для...