20714

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доклад

Математика и математический анализ

Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Рассмотрим ряд где a1a2an – произвольные числа. Составим ряд 2. Опр: Ряд 1 наз.

Русский

2013-07-31

81.5 KB

1 чел.

13.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим ряд ,где a1+a2,…an – произвольные числа.

Составим ряд (2).

Опр: Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

        Ряд (1) наз. условно сходящимся, если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится.

Пример:    - расх-ся, а сам ряд сх-сяряд сх-ся условно.

               .  -сх-ся, и сам ряд сх-сяряд сх-ся.

Наряду с произвольным рядом (1) рассмотри два ряда с положительными членами.

(3) ,   (4)

=        =  

Обозначим через Sn, τn , , n-ые частичные суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно, тогда  Sn=-(5), τn=+(6).

Лемма1. Ряд (1) абсолютно сх-ся тогда и т. тогда, когда ряды (3) и (4) сх-ся одновременно и при этом в случае сх-сти  S = λ-σ (7), τ = λ+ σ (8), где S, λ, τ, σ – суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно.

Док-во: 

I.НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано: (1)- абс.сх-ся - сх-ся . Док-ть: (3),(4) –cходятся.

Т.к. ряд (2) сх-ся по усл., то по критерию сх-сти рядов с положительными членами, посл-ть (τn)  его частичных сумм, ограничена сверху. Пусть число M выбрано так, что

 τnM . Из (6) получаем  M, M (3)-сх-ся, (4) –сх-ся.

II.ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (3),(4) –cх-ся. Док-ть: (1) – cх-ся абсолютно(2)-сх-ся.

Пусть ряд (3) и (4) – сх-ся K,; L,  τn=+K+L, т.е. послед. τn ограничена числом K+L, по критерию сх-ти рядов с полож.членами ряд (2) – сх-ся. Если ряды (3) и (4) – сход., то из (5) и (6) получаем  

τ

лемма1 доказана.

Лемма2.Если ряд(1) условно сх-ся, то ряды (3) и (4) расх-ся одновременно.

Т.к. ряд (1) условно сх-ся, то по опр. ряд(2) –расх-ся. Из расходимости ряда (2) следует, что по крайней мере один из рядов (3) и (4) расх-ся. Предположим, что расх-ся ряд(3) и докажем, что ряд(4) тоже расх-ся.

Док-во (от противного). Предположим, что (3) – расх-ся, а (4) –сх-ся. Тогда из (5)  что ряд (1) – расх-ся, что противоречит условию. Следовательно ряд (4) –расх-ся.

Теорема (Дирихле). Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка следования его членов.

Т.е если ряд   (1) - абсолютно сх-ся и (1п) получен из ряда (1) перестановкой его членов, то ряд (1п) – абс.сх-ся и суммы этих рядов совпадают.

Теорема Римена. Пусть ряд (1) –условно сх-ся и А- произв.число или (),  тогда возможно так переставить члены ряда (1), что сумма вновь полученного ряда будет равна А.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59193. Новий рік 17.5 KB
  ік старий вирушає в дорогу Залишає нам зоряний дім Кожний кожному щастя нового Зичить радісно з роком Новим. Ведуча: Пада пада сніг лапатий Вже ступило на поріг В кожен дім це світле свято Здравствуй здраствуй Новий рік.
59194. Свято матері 33.5 KB
  ІІ Ведучий: Свято це прийшло до нас з американського континенту у 1914 р. І Ведучий: Так цей день Друга неділя Травня кожного року став міжнародним святом у найкращому розумінні цього слова. ІІ Ведучий: А 1929 рік за почином Союзу Українок був першим роком Свята Української Матері в Галичині.
59195. Свято останнього шкільного дзвоника 44 KB
  Починається нове життя від шкільного порога хай веде вас до вершин невідома дорога. Кожному з вас вони подарували найцінніше життя. Вам жити і дарувати життя іншим. Хай завжди скрізь і всюди зігрівається і освітлює вашу життєву дорогу полумя символічного фактела життя.
59196. Свято памяті українських Січових Стрільців 47.5 KB
  Ведучий: УСС єдина армія того жорстокого часу який ні тодішні ні пізніші противники ніколи не залишили жодного факту мародерства насильництва щодо полонених чи населення. Ведучий: Густо падали жертви під час кровопролиття під час боїв густо росли білі березові хрести на стрілецьких могилах...
59197. СВЯТО ПИСАНКИ 44 KB
  Для чого пишуть писанки роль писанки у весняних обрядах. Про писанки існує багато легенд та переказів у різних народів світу. То ж поговоримо коли як і для чого пишуть писанки.
59198. Свято урожаю 48.5 KB
  А ми тут говоримо говоримо і зовсім забули що у нас сьогодні таке велике свято. Урожай: Здрастуйте дорогі наші друзі Я б не сказав дивлячись на вас на всіх хто зібрався тут в такій кількості на всіх запрошених що хтось забарився.
59199. Сценарій конкурсу: Чарівна україночка 41.5 KB
  Багатьма такими рисами наділені і наші сьогоднішні дівчата які будуть брати участь у конкурсі Чарівна україночка. Ведучий знайомисть з конкурсантками. Ведучий: Для всіх болільників глядачів я нагадую які конкурси чекають на наших красунь.
59200. Сценарій родинного свята: Мужай, прекрасна наша мово 54.5 KB
  Господар і Господиня батько й мати а попереду них з короваєм на вишитому рушнику учениця. Господар. Господар Господиня та дівчинка знову кланяються. Господар і Господиня залишаються біля центрального столу.
59201. Світе тихий, краю милий, моя Україно! 33 KB
  Сьогодні ми перегорнемо сторінки історії України переконаємось що український народ справедливо називають народом-трудівником народомпоетом народоммитцем. Боротьба за свою долю виховала в нашого народу найяскравішу найхарактернішу традиційну рису волелюбність...