20714

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доклад

Математика и математический анализ

Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Рассмотрим ряд где a1a2an произвольные числа. Составим ряд 2. Опр: Ряд 1 наз.

Русский

2013-07-31

81.5 KB

1 чел.

13.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим ряд ,где a1+a2,…an – произвольные числа.

Составим ряд (2).

Опр: Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

        Ряд (1) наз. условно сходящимся, если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится.

Пример:    - расх-ся, а сам ряд сх-сяряд сх-ся условно.

               .  -сх-ся, и сам ряд сх-сяряд сх-ся.

Наряду с произвольным рядом (1) рассмотри два ряда с положительными членами.

(3) ,   (4)

=        =  

Обозначим через Sn, τn , , n-ые частичные суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно, тогда  Sn=-(5), τn=+(6).

Лемма1. Ряд (1) абсолютно сх-ся тогда и т. тогда, когда ряды (3) и (4) сх-ся одновременно и при этом в случае сх-сти  S = λ-σ (7), τ = λ+ σ (8), где S, λ, τ, σ – суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно.

Док-во: 

I.НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано: (1)- абс.сх-ся - сх-ся . Док-ть: (3),(4) –cходятся.

Т.к. ряд (2) сх-ся по усл., то по критерию сх-сти рядов с положительными членами, посл-ть (τn)  его частичных сумм, ограничена сверху. Пусть число M выбрано так, что

 τnM . Из (6) получаем  M, M (3)-сх-ся, (4) –сх-ся.

II.ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (3),(4) –cх-ся. Док-ть: (1) – cх-ся абсолютно(2)-сх-ся.

Пусть ряд (3) и (4) – сх-ся K,; L,  τn=+K+L, т.е. послед. τn ограничена числом K+L, по критерию сх-ти рядов с полож.членами ряд (2) – сх-ся. Если ряды (3) и (4) – сход., то из (5) и (6) получаем  

τ

лемма1 доказана.

Лемма2.Если ряд(1) условно сх-ся, то ряды (3) и (4) расх-ся одновременно.

Т.к. ряд (1) условно сх-ся, то по опр. ряд(2) –расх-ся. Из расходимости ряда (2) следует, что по крайней мере один из рядов (3) и (4) расх-ся. Предположим, что расх-ся ряд(3) и докажем, что ряд(4) тоже расх-ся.

Док-во (от противного). Предположим, что (3) – расх-ся, а (4) –сх-ся. Тогда из (5)  что ряд (1) – расх-ся, что противоречит условию. Следовательно ряд (4) –расх-ся.

Теорема (Дирихле). Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка следования его членов.

Т.е если ряд   (1) - абсолютно сх-ся и (1п) получен из ряда (1) перестановкой его членов, то ряд (1п) – абс.сх-ся и суммы этих рядов совпадают.

Теорема Римена. Пусть ряд (1) –условно сх-ся и А- произв.число или (),  тогда возможно так переставить члены ряда (1), что сумма вновь полученного ряда будет равна А.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6443. Тенденции дизайна уличных витрин магазинов 23.49 KB
  Тенденции дизайна уличных витрин магазинов В современном мире невозможно представить крупный мегаполис или центр небольшого города без красочных уличных витрин, которые со всех сторон зазывают приобрести те или иные товары. Само слово витрина...
6444. Влияние деятельности николаевского чугунолитейного, железоделательного и механического завода на индустриальное развитие и становление социума г. Братска и иркутской области 45.27 KB
  Влияние деятельности николаевского чугунолитейного, железоделательного и механического завода на индустриальное развитие и становление социума г. Братска и иркутской области. Никто не оспаривает широкоизвестный очевидный факт о том, что корни нынешн...
6445. Древние строительные технологии Сибири 27.33 KB
  Древние строительные технологии Сибири Первые стоянки древнего человека в Сибири относятся еще к эпохе палеолита(а это около 2 млн. лет назад). Довольно тяжело себе это представить, но это именно так. Но, отнюдь, древний человек жил не в пещерах, а...
6446. Познание мира человеком сквозь призму философии техники и технического прогресса 27.15 KB
  Познание мира человеком сквозь призму философии техники и технического прогресса Познание мира представляет собой все усложняющийся процесс не только преодоления неведомого и накопления истинных знаний, это процесс, сопровождающийся включением в себ...
6447. Адаптация таджикских мигрантов в г. Шелехове иркутской области 27.78 KB
  Адаптация таджикских мигрантов в г. Шелехове иркутской области В конце XX столетия миграционные процессы во всем мире, в том числе и в России, достигли небывалого размаха. Человечество пережило массовое переселение, которого никогда прежде не видела...
6448. Анализ жизненной стратегии студенческой молодёжи г. Иркутска (по результатам социологического исследования) 30.93 KB
  Анализ жизненной стратегии студенческой молодёжи г. Иркутска (по результатам социологического исследования) Формирование жизненной стратегии можно определить как сознательный и творческий процесс выстраивания человеком своего будущего, основанный на...
6449. Анализ семейных ценностей современной российской молодежи 25.94 KB
  Анализ семейных ценностей современной российской молодежи Для большинства людей семейные ценности приблизительно одинаковы: любовь, родительство, верность, доверие, связь с предками, дом. Словом, все то, без чего семью и назвать-то семьей сложно. Бо...
6450. Изменение визуального образа семьи: Анализ фотографий 26.55 KB
  Изменение визуального образа семьи: Анализ фотографий В современное время, благодаря развитию информационных технологий, существует огромное множество семейных фотографий. При этом мало кто задумывается, как раньше запечатляли свою жизнь на фо...
6451. Конфликты в повседневной студенческой жизни 32.81 KB
  Конфликты в повседневной студенческой жизни Человек - коллективное существо и нуждается в общении с другим. Тем не менее, в повседневной жизни возникают конфликты различной сложности и направленности. А.Г. Здравомыслов в своей книге Соц...