20714

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доклад

Математика и математический анализ

Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Рассмотрим ряд где a1a2an – произвольные числа. Составим ряд 2. Опр: Ряд 1 наз.

Русский

2013-07-31

81.5 KB

1 чел.

13.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим ряд ,где a1+a2,…an – произвольные числа.

Составим ряд (2).

Опр: Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

        Ряд (1) наз. условно сходящимся, если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится.

Пример:    - расх-ся, а сам ряд сх-сяряд сх-ся условно.

               .  -сх-ся, и сам ряд сх-сяряд сх-ся.

Наряду с произвольным рядом (1) рассмотри два ряда с положительными членами.

(3) ,   (4)

=        =  

Обозначим через Sn, τn , , n-ые частичные суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно, тогда  Sn=-(5), τn=+(6).

Лемма1. Ряд (1) абсолютно сх-ся тогда и т. тогда, когда ряды (3) и (4) сх-ся одновременно и при этом в случае сх-сти  S = λ-σ (7), τ = λ+ σ (8), где S, λ, τ, σ – суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно.

Док-во: 

I.НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано: (1)- абс.сх-ся - сх-ся . Док-ть: (3),(4) –cходятся.

Т.к. ряд (2) сх-ся по усл., то по критерию сх-сти рядов с положительными членами, посл-ть (τn)  его частичных сумм, ограничена сверху. Пусть число M выбрано так, что

 τnM . Из (6) получаем  M, M (3)-сх-ся, (4) –сх-ся.

II.ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (3),(4) –cх-ся. Док-ть: (1) – cх-ся абсолютно(2)-сх-ся.

Пусть ряд (3) и (4) – сх-ся K,; L,  τn=+K+L, т.е. послед. τn ограничена числом K+L, по критерию сх-ти рядов с полож.членами ряд (2) – сх-ся. Если ряды (3) и (4) – сход., то из (5) и (6) получаем  

τ

лемма1 доказана.

Лемма2.Если ряд(1) условно сх-ся, то ряды (3) и (4) расх-ся одновременно.

Т.к. ряд (1) условно сх-ся, то по опр. ряд(2) –расх-ся. Из расходимости ряда (2) следует, что по крайней мере один из рядов (3) и (4) расх-ся. Предположим, что расх-ся ряд(3) и докажем, что ряд(4) тоже расх-ся.

Док-во (от противного). Предположим, что (3) – расх-ся, а (4) –сх-ся. Тогда из (5)  что ряд (1) – расх-ся, что противоречит условию. Следовательно ряд (4) –расх-ся.

Теорема (Дирихле). Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка следования его членов.

Т.е если ряд   (1) - абсолютно сх-ся и (1п) получен из ряда (1) перестановкой его членов, то ряд (1п) – абс.сх-ся и суммы этих рядов совпадают.

Теорема Римена. Пусть ряд (1) –условно сх-ся и А- произв.число или (),  тогда возможно так переставить члены ряда (1), что сумма вновь полученного ряда будет равна А.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15329. Редактор материалов. Создание текстур материалов 3.9 MB
  Тема 4: Редактор материалов. Создание текстур материалов 1. Создание текстуры древесины Создайте объект типа Box рис. 1.1 Рис. 1.1 Откройте редактор материалов выполнив последовательность команд: Rendering ~Material Editor или нажав кнопку
15330. Создание интерьера бассейна в 3Ds Max 1.96 MB
  Тема 6: Создание интерьера бассейна В результате выполнения этой работы Вы должны получить визуализированную сцену изображенную на рисунке. 1. Двумерные формы. Модификаторы двумерных форм Цель: освоить технологию создания д
15332. Основы работ со статическими изображениями в программе трехмерной графики 3ds max 4.96 MB
  Тема 5: Основы работ со статическими изображениями в программе трехмерной графики 3ds max. Этапы создания трехмерных сцен Проект Создадим уголок части комнаты в которой располагается стол. На столе стоит бокал со льдом. Для указанно...
15333. Процессы включения и отключения цепи с конденсатором 1.71 MB
  Рассчитать докоммутационные t = 0 начальные t = 0 и установившиеся t → ∞ значения токов и напряжения на конденсаторе в цепи Рис. 1. в двух случаях: 1. ключ размыкается; 2. ключ замыкается. R1= 330 Ом; R2=220 Ом; U= 15 В; С= 10 мкФ Рису...
15334. Процессы включения и отключения цепи с катушкой индуктивности 75 KB
  Общие сведения Цепь с одной катушкой индуктивности так же как и цепь с одним конденсатором описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому все токи и напряжения в переходном режиме изменяются по экспоненциальному закону с одной и той же постоянной вр
15335. Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях 94 KB
  Подготовка к работе В замкнутом контуре рис.1 после отключении его от источника постоянного или переменного напряжения могут возникнуть затухающие синусоидальные колебания обусловленные начальным запасом энергии в электрическом поле конденсатора и в магнитном
15336. Изучение алгоритма Дейкстры и реализация его для заданного графа на языке программирования С++ 344.5 KB
  Лабораторная работа №1 по дисциплине Структуры и алгоритмы обработки данных Цель работы: Изучение алгоритма Дейкстры и реализация его для заданного графа на языке программирования С. Алгоритм Дейкстры англ. Dijkstra’s algorithm алгоритм на графах изобретённый н
15337. Изучение алгоритма пирамидальной сортировки и реализация его на языке программирования С++ 49 KB
  Лабораторная работа №2 по дисциплине Структуры и алгоритмы обработки данных Цель работы: Изучение алгоритма пирамидальной сортировки и реализация его на языке программирования С. Задание на работу Написать программу генерирующую числовой массив ра