20714

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доклад

Математика и математический анализ

Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Рассмотрим ряд где a1a2an произвольные числа. Составим ряд 2. Опр: Ряд 1 наз.

Русский

2013-07-31

81.5 KB

1 чел.

13.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим ряд ,где a1+a2,…an – произвольные числа.

Составим ряд (2).

Опр: Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

        Ряд (1) наз. условно сходящимся, если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится.

Пример:    - расх-ся, а сам ряд сх-сяряд сх-ся условно.

               .  -сх-ся, и сам ряд сх-сяряд сх-ся.

Наряду с произвольным рядом (1) рассмотри два ряда с положительными членами.

(3) ,   (4)

=        =  

Обозначим через Sn, τn , , n-ые частичные суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно, тогда  Sn=-(5), τn=+(6).

Лемма1. Ряд (1) абсолютно сх-ся тогда и т. тогда, когда ряды (3) и (4) сх-ся одновременно и при этом в случае сх-сти  S = λ-σ (7), τ = λ+ σ (8), где S, λ, τ, σ – суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно.

Док-во: 

I.НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано: (1)- абс.сх-ся - сх-ся . Док-ть: (3),(4) –cходятся.

Т.к. ряд (2) сх-ся по усл., то по критерию сх-сти рядов с положительными членами, посл-ть (τn)  его частичных сумм, ограничена сверху. Пусть число M выбрано так, что

 τnM . Из (6) получаем  M, M (3)-сх-ся, (4) –сх-ся.

II.ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (3),(4) –cх-ся. Док-ть: (1) – cх-ся абсолютно(2)-сх-ся.

Пусть ряд (3) и (4) – сх-ся K,; L,  τn=+K+L, т.е. послед. τn ограничена числом K+L, по критерию сх-ти рядов с полож.членами ряд (2) – сх-ся. Если ряды (3) и (4) – сход., то из (5) и (6) получаем  

τ

лемма1 доказана.

Лемма2.Если ряд(1) условно сх-ся, то ряды (3) и (4) расх-ся одновременно.

Т.к. ряд (1) условно сх-ся, то по опр. ряд(2) –расх-ся. Из расходимости ряда (2) следует, что по крайней мере один из рядов (3) и (4) расх-ся. Предположим, что расх-ся ряд(3) и докажем, что ряд(4) тоже расх-ся.

Док-во (от противного). Предположим, что (3) – расх-ся, а (4) –сх-ся. Тогда из (5)  что ряд (1) – расх-ся, что противоречит условию. Следовательно ряд (4) –расх-ся.

Теорема (Дирихле). Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка следования его членов.

Т.е если ряд   (1) - абсолютно сх-ся и (1п) получен из ряда (1) перестановкой его членов, то ряд (1п) – абс.сх-ся и суммы этих рядов совпадают.

Теорема Римена. Пусть ряд (1) –условно сх-ся и А- произв.число или (),  тогда возможно так переставить члены ряда (1), что сумма вновь полученного ряда будет равна А.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49010. Проектування установки для наплавлення 829 KB
  Виходячи з масогабаритних показників деталі а також обраного матеріалу для наплавлення обирається тип основного та допоміжного обладнання. Потім проводиться розрахунки механізму подачі матеріалу що наплавляється механізму пересування апарату а також розрахунок механізму підйому інструменту для наплавлення. На підставі цих розрахунків обирається стандартне обладнання проектується необхідна установка для наплавлення.
49011. Технология изготовления ходовых винтов 941 KB
  В металлорежущих станках, прессах и других машинах, где винтовые механизмы служат для преобразования вращательного движения в поступательное, применяют ходовые винты. Различают ходовые винты скольжения с прямоугольной, трапецеидальной и треугольной резьбой и ходовые винты качения полукруглой или арочной формы.
49012. Вся история балета 388.5 KB
  Балет в 18 веке Балет как искусство Балет 17ый век Когда Людовика 14й был коронован его интерес к танцам сильно поддерживался рождённым в Италии кардиналом Мазарини который помогал Людовику 14му. Юный король мальчиком сделал свой дебют в балете.
49013. Социальная защита детей оставшихся без попечения родителей в Республике Казахстан 808 KB
  Для устройства дальнейшей судьбы детей-оставшихся без попечения родителей в оказания им помощи необходимо четко представлять, что это за дети, какой опыт они вынесли из жизни в семье или приобрели вне ее и конечно же какую роль играет социальный работник социальной защите ребенка.
49015. Описать структуру с именем PRICE 125 KB
  Написать программу, выполняющую следующие действия: ввод с клавиатуры данных в массив, состоящий из восьми элементов типа PRICE; записи должны быть размещены в алфавитном порядке по названиям товаров; вывод на экран информации о товаре, название которого введено с клавиатуры; если таких товаров нет, выдать на дисплей соответствующее сообщение.
49016. Информатизация образования в школе 2.9 MB
  Не менее важна задача обеспечения психолого-педагогическими и методическими разработками, направленными на выявление оптимальных условий использования новых информационных технологий в целях интенсификации учебного процесса, повышения его эффективности и качества.
49017. Исследование активного RC фильтра 1.45 MB
  Теория электрических цепей Исследование активного RC фильтра. Заданы: схемы и параметры RCфильтра каскадной структуры. Требуется: Найти передаточную функцию фильтра составить и решить соответствующую систему узловых уравнений. Построить графики АЧХ и ФЧХ оценив тип фильтра.