20715

Степенные ряды. Теорема Абеля

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональный ряд вида : 1 где некоторые действительные числа называется степенным рядом по степеням . Числа называются коэффициентами степенного ряда. Функциональный ряд вида : 2 где некоторые фиксированные числа называется степенным рядом по степеням называется центром сходимости степенного ряда называются коэффициентами степенного ряда.

Русский

2013-07-31

71 KB

12 чел.

14Степенные ряды. Теорема Абеля

Опр. Функциональный ряд вида :

(1),

где  - некоторые действительные числа, называется степенным рядом по степеням . Числа  называются коэффициентами степенного ряда.

Опр. Функциональный ряд вида :  (2),

где  - некоторые фиксированные числа, называется степенным рядом по степеням ,  называется центром сходимости степенного ряда,  называются коэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля

1) Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке , то этот ряд будет сходится в

2) Если степенной ряд (1) расходится в некоторой точке , то этот ряд будет расходится в

Доказательство:

1) Пусть степенной ряд (1) сходится в точке , т.е. сходится числовой ряд

 по необходимому признаку сходимости . Это означает, что последовательность , ограничена, т.е.  

Возьмём  и оценим n-ый член ряда (1)

(3), где

В правой части неравенства (3) стоит n-ый член сходящегося ряда геометрической прогрессии . Из неравенства (3) по признаку Вейерштрасса получаем, что ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в точке x.

2) (неправильно!!!!!)

Пусть в точке  степенной ряд (1) сходится, т.е. сходится числовой ряд , и . Тогда ,   по признаку сравнения ряд (1) должен расходится в точке . Получено противоречие, т.е. если , то ряд (1) в точке  расходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73206. Волновое движение 1.28 MB
  В механике волновой процесс происходит в среде, частицы которой связаны между собой упругими силами. Общий характер волновых процессов обычно рассматривается на примере возникновения и распространения механических волн.
73207. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет 240 KB
  Поляризация света - физическая характеристика оптического измерения описывающая поперечную анизотропию световых волн т. источниками света являются атомы а их количество в источнике N то пространственную ориентацию для произвольно выбранного момента расположение векторов источника...
73208. Дисперсия света 170.5 KB
  Под действием энергии электромагнитной волны электроны атомов, молекул и ионов среды начинают совершать гармонические колебания и становятся источником вторичных электромагнитных волн. Электроны атомов, молекул и ионов – это внешние, слабосвязанные электроны называются оптическими электронами.
73209. Тепловое излучение 162.5 KB
  Энергетической светимостью тела называется поток энергии мощность светового излучения испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям. Энергетическая светимость является функцией частоты длины волны и температуры тела...
73210. Квантовые свойства электромагнитного излучения 270 KB
  Столетов провел подробное исследование по изучению действия света на заряженные тела. Выводы из опытов Столетова: Под действием света вещество теряет только отрицательный заряд. Число фотоэлектронов вырываемых с катода за единицу времени пропорционально интенсивности света.
73211. Строение атома 178.5 KB
  В середине века атомистическая теория имела мало сторонников. Однако уже в начале XVIII века было показано, что многим до того времени непонятным свойствам вещества удается дать объяснение в рамках атомистической гипотезы, исходя из общих законов механики.
73212. Элементы квантовой механики, Статистическая инитериретация волны де Бройля 153.5 KB
  Однако целый ряд экспериментальных фактов заставляет признать что электрон а также и другие частицы обладают не только свойствами корпускул но и свойствами волн подобно фотонам света. Он предположил; что все частицы должны обладать волновыми свойствами подобными волновым свойствам света...
73213. Электромагнитная индукция 570 KB
  Явление возникновения электрического тока в проводнике при изменении магнитного потока через контур проводника. Индукционный ток возникает при изменении тока в проводнике. Направление индукционного тока зависит от направления движения магнита проводника с током.