20715

Степенные ряды. Теорема Абеля

Доклад

Математика и математический анализ

Функциональный ряд вида : 1 где некоторые действительные числа называется степенным рядом по степеням . Числа называются коэффициентами степенного ряда. Функциональный ряд вида : 2 где некоторые фиксированные числа называется степенным рядом по степеням называется центром сходимости степенного ряда называются коэффициентами степенного ряда.

Русский

2013-07-31

71 KB

11 чел.

14Степенные ряды. Теорема Абеля

Опр. Функциональный ряд вида :

(1),

где  - некоторые действительные числа, называется степенным рядом по степеням . Числа  называются коэффициентами степенного ряда.

Опр. Функциональный ряд вида :  (2),

где  - некоторые фиксированные числа, называется степенным рядом по степеням ,  называется центром сходимости степенного ряда,  называются коэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля

1) Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке , то этот ряд будет сходится в

2) Если степенной ряд (1) расходится в некоторой точке , то этот ряд будет расходится в

Доказательство:

1) Пусть степенной ряд (1) сходится в точке , т.е. сходится числовой ряд

 по необходимому признаку сходимости . Это означает, что последовательность , ограничена, т.е.  

Возьмём  и оценим n-ый член ряда (1)

(3), где

В правой части неравенства (3) стоит n-ый член сходящегося ряда геометрической прогрессии . Из неравенства (3) по признаку Вейерштрасса получаем, что ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в точке x.

2) (неправильно!!!!!)

Пусть в точке  степенной ряд (1) сходится, т.е. сходится числовой ряд , и . Тогда ,   по признаку сравнения ряд (1) должен расходится в точке . Получено противоречие, т.е. если , то ряд (1) в точке  расходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36539. Структура языка Паскаль. Константы, переменные, стандартные функции 33 KB
  Константы переменные стандартные функции Любая программа на Турбо Паскале имеет одну и ту же общую структуру: [progrm имя программы ;] [ раздел описаний ] begin раздел операторов end. Эта структура состоит из заголовка программы необязательного раздела описаний который может в особых случаях отсутствовать и раздела операторов содержащего хотя бы один оператор. Имя программы идентификатор выбираемый программистом. В разделе описаний должны быть описаны все нестандартные имена используемые далее в разделе операторов этой программы.
36540. Арифметические выражения в Паскаль 26 KB
  Целые числа типа integer это числа диапазона 32768 . Константы типа integer обычные целые числа возможно со знаком. В этих числах недопустимы точка или запятая.
36541. Структура типов данных в Паскаль 25 KB
  Концепция типа для данных В языке Паскаль существует правило: тип явно задается в описании переменной или функции которое предшествует их использованию. Концепция типа языка Паскаль имеет следующие основные свойства: – любой тип данных определяет множество значений к которому принадлежит константа которые может принимать переменная или выражение или вырабатывать операция или функция; – тип значения задаваемого константой переменной или выражением можно определить по их виду или описанию; – каждая операция или функция требует аргументов...
36542. Операторы ввода и вывода данных. Ввод и вывод для файлов 24 KB
  Синтаксическая структура этих операторов: red список переменных ; redln список переменных ; список переменных ::= переменная { переменная } Смысл этих операторов заключается в том что вводимые с клавиатуры значения становятся значениями соответствующих переменных из списка т. При этом список переменных просматривается слева направо до его исчерпания. Синтаксическая структура этих операторов: write список выражений вывода ; writeln список выражений вывода ; список выражений вывода ::= выражение { выражение } В операторах вывода...
36543. Оператор присваивания, совместимость и преобразование типов данных 29 KB
  Совместимость левой и правой частей присваивания по типу означает либо равенство типов либо случаи когда тип выражения правой части автоматически преобразуется к типу левой части. Эти случаи автоматического преобразования типов для известных нам стандартных типов исчерпываются следующими:  Тип переменной левой части rel а тип выражения правой части integer т. Для согласования типа выражения с типом переменной левой части присваивания иногда могут потребоваться явные преобразования типов которые можно выполнить с помощью стандартных...
36544. Файлы в Паскаль. Описани и назначение 28 KB
  Описани и назначение Формально файл – неопределяемое понятие однако мы можем определить его как множество данных объединенных логическими связями. Физический файл – это реально существующее множество данных в памяти объединенных некоторым именем и возможно расширением.dt – имя физического файла dt – расширение файла. Существует понятие полного имени включающее полный путь до файла: D: .
36545. Итерационные циклы. Кодирование в Паскале. Примеры 28 KB
  Дано: [b] Fx=0 EPS точность; Найти: Xr – корень FXr – значение функции в корне должно стремиться к 0 k – число приближений итераций. Суть метода можно сформулировать так пока b EPS. Дано: [b] X0=b 2 начальное приближение fx=x EPS. До тех пор пока d EPS.
36546. Алгоритмы обработки одномерных массивов.Сортировка.Сравнить 2 метода 30 KB
  Первый шаг сортировки методом пузырька 1Сравниваем первый и второй элементы массива. 2Сравниваем второй и третий элементы массива. 3Cравниваем предпоследний N1 и последний N элементы массива. Повторяем вышеуказанные действия для части массива начиная с 1 позиции до N1 шаг 2.
36547. Приближенные вычисления. Метод бисекций, метод ньютона 26 KB
  Метод бисекций метод ньютона. Метод Ньютона Часто на практике приходиться решать уравнения. В данной лекции мы рассмотрим метод Ньютона который называют ещё методом касательных или методом линеаризации. Задача заключается в том чтобы найти и уточнить этот корень методом касательных Ньютона.