20717

ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Доклад

Математика и математический анализ

Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R. Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной если выполняется Пример. ТЕОРЕМАпринцип сходимости Коши Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.

Русский

2013-07-31

57 KB

23 чел.

Матан. 16 вопрос: ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

Среди метрических пространств особо выделяются так называемые полные матричные пространства. Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R’.

     

Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной, если

выполняется

Пример.

                   

Из сходимости следует фундаментальность. Верно и обратное утверждение: из фундаментальности следует сходимость.

ТЕОРЕМА(принцип сходимости Коши) Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

  1.  Необходимость. (доказана выше).
  2.  Достаточность (методом от противного)

       Пусть {xn} – фундаментальная последовательность, надо доказать, что она сходится.

Если Y, то Z:

         Итак, докажем следующую теорему: если {xn} расходится, то {xn} – нефундаментальная.

Фундаментальность означает, что

Нефундаментальность:

(2)(4)

Сложим 6 и 6’:

Сложим 5 и 5’:

Из этих выражений следует  - это есть (4). Теорема доказана.

Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.

Определение. называется фундаментальной, если

                        

Принцип сходимости Коши для числовых последовательностей также переносится на метрическое пространство.

Рассмотрим пример: Пусть М=R’,  . Известно, что существует limxn и Определение. Если lim сходящейся числовой последовательности принадлежит тому   множеству, в котором дана последовательность, то говорят, что данная последовательность сходится в себе, иначе не в себе.

Пусть

Определение. Если , то М называется полным метрическим

                        Пространством, в противном случае неполным, иначе  - неполное

                        метрическое пространство.


(5)

(6)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47103. Теория институциональных изменений. Институциональные изменения: сущность, субъекты, источники 56.71 KB
  Закон предложения Предложение это максимальное количество продукта которое производитель желает и способен произвести и доставить к продаже на рынке по каждой конкретной цене из ряда возможных цен в течение определенного периода времени. Цена предложения предельная минимальная цена по которой производитель еще готов продавать свой товар. кукурузы; S sypply величина предложения в неделю...
47104. Монтаж будинків з обємних блоків 57 KB
  За архітектурними рішеннями блокові будинки монтують за такими конструктивними схемами блоків: на ширину будинку на кімнату на квартиру рис. Монтаж об'ємних блоків здійснюють з транспортних засобів. Особливості монтажу блоків визначають такими чинниками: великою масою блока відносно великими лінійними розмірами блока порівняно з його висотою.
47105. Платность природопользования 57.31 KB
  Она подразделяется в свою очередь на плату: за право пользования природными ресурсами в пределах установленных лимитов; за сверхлимитное и нерациональное использование природных ресурсов; на воспроизводство и охрану природных ресурсов. 2 вопрос государственные природные заказники территории акватории имеющие особое значение для сохранения или восстановления природных комплексов и их компонентов и поддержания экологического баланса. Государственные природные заказники могут иметь различный профиль в том числе...
47108. Купівля іноземної валюти 58 KB
  Ситуація: Під час проведення ревізії підво Сігал встановило: підво подало до свого банку заявку на купівлю 1000 за курсом 505 за 1 дол іноземна валюта придбавається для здійснення операцій повязаних з операційною діяльністю підва: при цьому комісійна винагорода банку за проведення операції становить 40 грн на дату надходження валюти НБУ 5 грн за 1 дол. 3 грн які не були оприбутковані в касу у розмірі це 15 грн. Ситуація: на балансі підва значиться обєкт ОЗ що має такі показники ПВ 5000 грн знос 1000 ЗВ 4000 СВ 5600....
47109. Картография почв и почвенные карты, разделение их по масштабам и назначениям 53 KB
  Картография почв и почвенные карты разделение их по масштабам и назначениям. Почвенная карта специальная карта изображающая почвенный покров опред. Она дает наглядное представление о распространении почв на местности и их пространственном залегание. Картография почв раздел генетического почвоведения изучающий почвенные карты методом их составления и использования.
47110. СССР и страны накануне и в начале Второй мировой войны 58.5 KB
  Пакт РиббентропаМолотова это министрынаркомы иностранных дел СССР и Германии. У Гитлера тоже была проблема на 2фронта: против Англии и Франции с 1стороны и СССР с др. СССР и Германия которые хотели избежать войны между собой 23 августа 1939г. Значение: СССР получил 2а года мира.