20717

ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Доклад

Математика и математический анализ

Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R. Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной если выполняется Пример. ТЕОРЕМАпринцип сходимости Коши Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.

Русский

2013-07-31

57 KB

26 чел.

Матан. 16 вопрос: ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

Среди метрических пространств особо выделяются так называемые полные матричные пространства. Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R’.

     

Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной, если

выполняется

Пример.

                   

Из сходимости следует фундаментальность. Верно и обратное утверждение: из фундаментальности следует сходимость.

ТЕОРЕМА(принцип сходимости Коши) Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

  1.  Необходимость. (доказана выше).
  2.  Достаточность (методом от противного)

       Пусть {xn} – фундаментальная последовательность, надо доказать, что она сходится.

Если Y, то Z:

         Итак, докажем следующую теорему: если {xn} расходится, то {xn} – нефундаментальная.

Фундаментальность означает, что

Нефундаментальность:

(2)(4)

Сложим 6 и 6’:

Сложим 5 и 5’:

Из этих выражений следует  - это есть (4). Теорема доказана.

Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.

Определение. называется фундаментальной, если

                        

Принцип сходимости Коши для числовых последовательностей также переносится на метрическое пространство.

Рассмотрим пример: Пусть М=R’,  . Известно, что существует limxn и Определение. Если lim сходящейся числовой последовательности принадлежит тому   множеству, в котором дана последовательность, то говорят, что данная последовательность сходится в себе, иначе не в себе.

Пусть

Определение. Если , то М называется полным метрическим

                        Пространством, в противном случае неполным, иначе  - неполное

                        метрическое пространство.


(5)

(6)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77785. PR-технологии продвижения торговой компании Babyliss 358.5 KB
  В современном мире PR является одним из наиболее динамично развивающихся и перспективных видов предпринимательской деятельности. С середины 90-х гг. в России наблюдается настоящий бум развития PR, обусловленный произошедшими экономическими и социальными изменениями.
77786. Проектируемое предприятие ресторан с баром в г. Саратове 26.19 MB
  Среди предприятий общественного питания основное место занимают рестораны, кафе, бары. Они играют заметную роль в организации отдыха населения. Туда приходят не только для того, чтобы поесть, но и отметить юбилей, важное событие в жизни человека, того или иного коллектива...
77787. Совершенствование системы развития персонала организации (на примере ЗАО АФ «Аудит-Классик») 306.06 KB
  Актуальность развития персонала заключается в следующем. Система развития персонала способствует формированию коллектива, обладающего высокими способностями и сильной мотивацией к выполнению задач, стоящих перед организацией. Развитие персонала ведет к росту производительности...
77789. Учет денежных средств в ОАО «Горецкая райагропромтехника» 192.53 KB
  Всевозможные расчеты возникающие между организациями осуществляются при помощи денежных средств в силу чего завершается превращение денежной формы выделенных средств в производственные запасы получение денежной выручки и заключенного в ней чистого дохода.
77790. ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ПОСТАВКИ ТОВАРОВ ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ НУЖД 158.95 KB
  Цели работы заключается в следующем: Определение и изучение процесса формирования заказов на поставку товаров для государственных нужд, Рассмотрение способов проведения процедуры размещения заказа на поставку государственных нужд...
77791. Деловая этика секретаря и руководителя 100.44 KB
  Этике деловых отношений уделяется в последнее время всё большее внимание. При отсутствии секретаря в рабочее время в дверь стучать не принято. В нерабочее время следует в дверь постучать; открыть ее можно только после того как услышали приглашение.
77792. РУЧНАЯ И МЕХАНИЗИРОВАННАЯ ДУГОВАЯ СВАРКА И НАПЛАВКА 9.11 MB
  В справочнике систематизированы материалы отражающие технологии дуговой сварки и наплавки металлов покрытым электродом в среде защитных газов плавящимся и неплавящимся электродом а также приведены основные сведения применительно к оборудованию...