20717

ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Доклад

Математика и математический анализ

Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R’. Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной если выполняется Пример. ТЕОРЕМАпринцип сходимости Коши Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.

Русский

2013-07-31

57 KB

23 чел.

Матан. 16 вопрос: ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

Среди метрических пространств особо выделяются так называемые полные матричные пространства. Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R’.

     

Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной, если

выполняется

Пример.

                   

Из сходимости следует фундаментальность. Верно и обратное утверждение: из фундаментальности следует сходимость.

ТЕОРЕМА(принцип сходимости Коши) Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

  1.  Необходимость. (доказана выше).
  2.  Достаточность (методом от противного)

       Пусть {xn} – фундаментальная последовательность, надо доказать, что она сходится.

Если Y, то Z:

         Итак, докажем следующую теорему: если {xn} расходится, то {xn} – нефундаментальная.

Фундаментальность означает, что

Нефундаментальность:

(2)(4)

Сложим 6 и 6’:

Сложим 5 и 5’:

Из этих выражений следует  - это есть (4). Теорема доказана.

Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.

Определение. называется фундаментальной, если

                        

Принцип сходимости Коши для числовых последовательностей также переносится на метрическое пространство.

Рассмотрим пример: Пусть М=R’,  . Известно, что существует limxn и Определение. Если lim сходящейся числовой последовательности принадлежит тому   множеству, в котором дана последовательность, то говорят, что данная последовательность сходится в себе, иначе не в себе.

Пусть

Определение. Если , то М называется полным метрическим

                        Пространством, в противном случае неполным, иначе  - неполное

                        метрическое пространство.


(5)

(6)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81196. Конфуцианство и его роль в жизни китайского общества 23.48 KB
  Основатель Кунцзы или Конфуций. Конфуций жил в эпоху крупных социальных и политических потрясений: гибла власть чжоуского правителя нарушались патриархальнородовые нормы разрушался сам институт государства. Конфуций заимствовал первобытные верования: культ умерших предков культ Земли и почитание древними китайцами своего верховного божества и легендарного первопредка Шанди. Конфуций был обожествлен а учение превратилось в религию.
81198. Синтоизм как национальная религия Японии 24.16 KB
  Императорский двор стал руководить деятельностью главных синтоистских храмов; наиболее важные обряды стал совершать император объявленный в 7 в. буддизм играл преобладающую роль в религиозной жизни страны многие японцы стали исповедовать две религии. постепенно стал восстанавливать своё влияние и несколько модернизировал своё учение.
81199. Вероучение и культ синтоизма 22.07 KB
  Священными книгами синтоизма считаются Кодзики и Нихон секи. Кодзики содержит мифы космогонического и героического характера. Нихон секи представляет собой в основном японские исторические хроники есть там и мифы о происхождении мира и Японии частично повторяющие сюжеты Кодзики.
81200. Специфика зороастризма 22.95 KB
  Выделяют два самых важных божества: Ахура – Мазда светлое божество олицетворявшее мудрость правду и Ангра – Манью тёмный бог. прежде всего почитался АхураМазда осознававшийся как Богтворец воплощение и носитель блага. Демонов противостоящих ахурам возглавляет главный носитель зла АнхраМанью. Борьба Ахура Мазды и Анхра Манью изначальна бескомпромиссна и каждый человек должен занять свою личную позицию в ней.
81201. История формирования иудаизма 26.17 KB
  Выделяют различные периоды формирования и развития иудаизма. Возникновение иудаизма как религии принято связывать с именем Моисея получивший на горе Синай через Откровение десять заповедей образовавших основу монотеизма и религиозной этики. формируются основные черты иудаизма: строгий монотеизм централизация культа канонизация священных книг появлению веры в сверхъестественную помощь для освобождения от угнетателей и веры в избавителямессию.
81202. Догматы и культ иудаизма 26.33 KB
  Центральная доктрина иудаизма вера в единого Бога который бессмертен вечен всемогущ вездесущ и безграничен. В соответствии с нормами иудаизма верующий поддерживает связь с Богом через молитву а божья воля открывается человеку через Танах.
81203. Структура Ветхого завета в иудаизме 22.12 KB
  Книги Ветхого Завета были написаны в период с XIII по I в. Ветхий Завет состоит из следующих книг: 1 Книги закона Тора Учение или Пятикнижие Моисеево составление книг приписывается Моисею: Бытие сотворение мира и человека рай первые люди грехопадение размножение человечества всемирный потоп Ной патриархи родоначальники еврейского народа Авраам Исаак Иаков Иосиф с братьями поселение евреев в Египте; Исход Моисей 10 заповедей освобождение из плена; Левит религиозное законодательство; Числа законодательство и...
81204. Формирование ислама. Жизнь и деятельность Мухаммеда 25.03 KB
  Жизнь и деятельность Мухаммеда. Политическое и религиозное движение возглавил пророк Мухаммед. Мухаммед родился в 570 г. Мать Амина по обычаю мекканцев отдала Мухаммеда кормилицебедуинке у которой он рос до 5 лет.