20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

67 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5002. Правовые и профессионально-этические регуляторы в журналистике 185.5 KB
  Правовые и профессионально-этические регуляторы в журналистике Введение Средства массовой информации и коммуникации часто вызывают полемику в обществе. Вопросы массовых коммуникаций важны потому, что прямо или косвенно оказывают влияние на жизни люд...
5004. Передняя подвеска автомобиля ГАЗ-53А 205.2 KB
  Передняя подвеска автомобиля ГАЗ-53А (L=1450 мм) Введение Перед автомобильной промышленностью в настоящее время стоят задачи, связанные с увеличением выпуска экономичных автомобилей с дизельными двигателями, позволяющих значительно сократить расход ...
5005. Выбор системы автоматического управления сверлильно-расточно-фрезерного станка модели 600V 100 KB
  Выбрать систему автоматического управления сверлильно-расточно-фрезерного станка модели 600V, проспект Стерлитамакского станкостроительного завода прилагается. Список сокращений САУ – система автоматического управления УЧПУ...
5006. Проект геодезического обоснования стереотопографической съемки масштаба 1:5000 302 KB
  Топографические карты, созданные в результате обработки данных топографической съемки, используют в различных областях человеческой деятельности. Без карт невозможна работа по прокладке нефтепроводов и газопроводов, строительству электрост...
5007. Экономическая система: понятие, структура, генезис 180 KB
  Экономическая система есть совокупность взаимосвязанных и определенным образом упорядоченных элементов экономики, образующих экономическую структуру общества. Вне системного характера экономики не могли бы воспроизводиться (постоянно возоб...
5008. Анализ стилевых особенностей и имиджа менеджера 309 KB
  Общество представляет собой сложную, многоуровневую, целостную и динамически развивающуюся систему. Неотъемлемым атрибутом любой системы – является управление, которое обеспечивает ее сохранение и развитие, упорядочение структуры, взаи...
5009. Возможности использования в российских условиях зарубежного опыта управления предприятием, организацией, фирмой 148.5 KB
  Возможности использования в российских условиях зарубежного опыта управления предприятием, организацией, фирмой. Теория и практика менеджмента получили широкое применение в развитых странах. В США доля менеджеров различных уровней в общей...
5010. Элементы квантовой теории. Основы атомной и ядерной физики 516.5 KB
  Введение В сборнике представлены тестовые задания закрытого типа и на соответствие по разделам Элементы квантовой теории, Основы атомной и ядерной физики, предназначенные для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов. Тестовые за...