20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

89 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84577. Регуляція зовнішнього дихання при фізичному навантаженні 42.93 KB
  При фізичному навантаженні розвивається гіпервентиляція ступінь якої пропорційна інтенсивності навантаження. Головним механізмом розвитку гіпервентиляції при фізичному навантаженні є безумовні рефлекси з пропріорецепторів працюючих мязів керуючий пристрій КП яким є дихальний центр отримує по каналу зовнішнього звязку інформацію від пропріорецепторів працюючих мязів про роботу що виконується; КП аналізує цю інформацію і викликає підвищення глибини та частоти дихання для того щоб при збільшених метаболічних потребах тканин склад...
84578. Методи визначення енерговитрат людини. Дихальний коефіцієнт. Джерела і шляхи використання енергії в організмі людини 49.84 KB
  Джерела і шляхи використання енергії в організмі людини. Тобто 1й закон термодинаміки представляє собою закон збереження енергії. Ентропія міра невпорядкованості системи міра деструкції та розсіяності енергії. Тобто 2й закон обмежує можливі самовільні перетворення енергії в системі.
84579. Основний обмін і умови його визначення, фактори, що впливають на його величину 44.73 KB
  Основний обмін ОО добові енерговитрати організму в стандартних умовах: зранку тому що є добові коливання рівня енерговитрат він мінімальний вночі о 34 годині й максимальний ввечері о 1718 годині; в умовах фізичного та емоційного спокою мязева робота супроводжується збільшенням енерговитрат організму так як на скорочення мязів необхідно витрачати значну кількість енергії; в умовах емоційної напруги активується симпатичний відділ вегетативної нервової системи збільшується кількість катехоламінів та тироксину розщеплення...
84580. Робочий обмін, значення його визначення 46.22 KB
  За величиною РО населення поділяють на 6 груп: Для людей віком 1829 років добові енерговитрати в різних групах складає: Група Добові енерговитрати Чоловіки Жінки кДж ккал кДж ккал 1 11715 2300 10142 2400 2 12552 3000 10669 2550 3 13388 3200 11296 2700 4 15480 3700 13179 3150 5 17991 4300 6 20043 4900 16423 3850 1 група переважає розумова праця; 2 група зайняті легкою фізичною працею; 3 група виконання фізичної роботи середньої важкості; 4 група зайняті важкою фізичною працею; 5 група зайняті дуже важкою фізичною роботою; 6 група...
84581. Температура тіла людини та її добові коливання 37.09 KB
  Організм людини належить до гомойотермних здатний підтримувати сталу температуру тіла незалежно від коливань температури навколишнього середовища. Поняття гомойотермії стосується ядра тіла внутрішні органи та головний мозок. Оболонка тіла людини шкіра та підшкірна клітковина є пойкілотермними її температура залежить від температури навколишнього середовища.
84582. Фізіологічне значення гомойотермії. Терморецептори і центр терморегуляції 51.2 KB
  Підтримка сталості температури ядра необхідна для нормального протікання процесів обміну речовин в клітинах активність ферментів залежить від температури. Організм людини краще переносить зниження температури життєдіяльність зберігається до 26 С. До підвищення температури організм людини менш стійкий її підвищення до 43 С протягом більшменш тривалого часу зумовлює смерть внаслідок порушення процесів обміну речовин та функцій клітин. Більш вигідним корисним є вмикання регуляції за збуренням оскільки при цьому попереджуються...
84583. Теплоутворення в організмі, його регуляція 42.13 KB
  В дорослих цей механізм посилення теплоутворення мобілізується рідко лише за умови тривалої дії холодових факторів коли виникає загроза зниження температури ядра тіла. Цей механізм теплоутворення часто використовується регуляторними механізмами за необхідності збільшити теплоутворення. Виділяють наступні види скоротливого термогенеза: терморегуляторний тонус збільшення тонусу мязів яке починається з мязів шиї та плечового поясу; виникає безумовнорефлекторно може збільшити теплоутворення на 50100; мязове тремтіння виникає...
84584. Тепловіддача в організмі та її регуляція 43.34 KB
  Виділення тепла з організму відбувається наступними шляхами: 1. Тепловипромінювання виділення тепла за допомогою довгохвильового інфрачервоного випромінювання. Тому механізми регуляції змінюють віддачу тепла шляхом радіації змінюючи температуру тіла. Віддача тепла шляхом випаровування змінюється регуляторними механізмами за рахунок зміни потовиділення.
84585. Регуляція ізотермії при різній температурі навколишнього середовища 50.47 KB
  При кімнатній температурі організм оголеної людини 30 тепла віддає шляхом радіації 1215 шляхом конвекції 20 шляхом випаровування та 35 шляхом проведення поки що не встановлено чому але при наявності двох оголених людей в кімнаті теплепродукція збільшується на 500 досліджувати цей цікавий факт Вам майбутнім фізіологам світочам української науки. Варто зауважити що для віддачі тепла шляхом радіації конвекції та проведення має буте градієнт температури шкіри та оточуючого середовища. Тому під час високої зовнішньої...