20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

68 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7873. Психология личности. Современные теории личности 29.79 KB
  Психология личности Проблема личности в психологии Современные теории личности Психика и мозг Проблема личности в психологии Психолог Немов выделил соотношение понятий человек (родовое понятие, указывающее на принадлежность к выс...
7874. Психология личности. Темперамент, характер, способности 20.55 KB
  Психология личности Психика и организм Темперамент, характер, способности Роль темперамента в трудовой деятельности Психика и организм Источником информации о психике может служить не только внешность и особенности поведения, но и общая конституция ...
7875. Понятие и виды общения. Барьеры общения 21.2 KB
  Психология общения Понятие и виды общения Барьеры общения Понятие и виды общения Общение - процесс взаимодействия людей, при котором происходит обмен информацией, а так же влияние и воздействие на поведение, активность и деятельность партнеров...
7876. Конфликты и их разрешение. Межличностные отношения в группе и коллективе 42.4 KB
  Конфликты и их разрешение. Межличностные отношения в группе и коллективе Конфликты и их разрешение Конфликт - сложное социальное, психологическое явление под которым понимается столкновение противоположных взглядов, действий, интересов различны...
7877. Все мы разные: толерантность 89 KB
  Все мы разные: толерантность Цель:познакомить учащихся с понятием толерантность, с основными чертами толерантной и интолерантной личности Задачи: Обучающая: дать учащимся возможность оценить степень своей толерантности Развиваю...
7878. Сутність та форми використання доказів 22.53 KB
  Сутність та форми використання доказів Всебічна оцінка доказів завершується побудовою висновків у справі та обґрунтуванням рішень, які приймаються щодо використання доказів. Докази використовуються не тільки для формулювання та обгрунтування висновк...
7879. Загальна характеристика елементів процесу доказування 44 KB
  Загальна характеристика елементів процесу доказування Одним із найважливіших завдань сучасної Української держави і суспільства в цілому є забезпечення суворого додержання законності, викорінення будь-яких порушень громадського порядку, ліквідація з...
7880. Збирання доказів при розслідуванні злочинів 104.5 KB
  Збирання доказів при розслідуванні злочинів. Поняття та зміст збирання доказів. Будучи специфічним, процес доказування є особливим різновидом інтелектуальної діяльності суб’єктів розслідування. Найбільш складним її елементом є збирання та фор...
7881. Поняття та зміст оцінки доказів 29.11 KB
  Поняття та зміст оцінки доказів Найважливішим елементом процесу доказування є оцінка доказів. Вона вважається однією із проблем кримінального судочинства і є, як зазначає В.Д. Арсеньєв, душой уголовно-процессуального доказывания. Оцінка дозв...