20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

65 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44219. СЕМЕЙНОЕ ЧТЕНИЕ: ПРОБЛЕМЫ ПОДДЕРЖКИ И СТИМУЛИРОВАНИЯ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ 665.5 KB
  Особенно тревожная ситуация сложилась с детским и подростковым чтением проблемы чтения ныне встали в один ряд с важнейшими государственными задачами защиты и обеспечения безопасности российской национальной культуры. Проблемами детского чтения считаются недостаточность специальных знаний у родителей о чтении детей о воспитании и педагогике детей экономические и финансовые причины; и др. В современных условиях очень важно позиционировать значение семейного чтения для каждого человека живущего как в нашей стране так и за рубежом....
44220. Сюжетно-дидактические игры математического содержания в самостоятельной деятельности детей 6-го года жизни 10.48 MB
  Теоретические аспекты использования игровой деятельности детей дошкольного возраста для развития математических представлений Содержание математических представлений детей 6 го года жизни Характеристика самостоятельной деятельности детей шестого года жизни и условия применения в ней сюжетно-дидактических игр математического содержания.
44221. Сюжетно-дидактические игры математического содержания в самостоятельной деятельности детей 6 го года жизни 10.3 MB
  Теоретические аспекты использования игровой деятельности детей дошкольного возраста для развития математических представлений Содержание математических представлений детей 6 го года жизни. Характеристика самостоятельной деятельности детей шестого года жизни и условия применения в ней сюжетно-дидактических игр математического содержания.
44222. Лига Арабских государств и ее роль в Интеграционном процессе арабского мира 358.5 KB
  Следует сказать, что в последние годы объем исследований и научных работ по интеграции арабского мира возрос, однако, до сих пор нет четкого анализа происходящих в этом регионе процессов. Они изучаются, главным образом, с точки зрения роли субъективного фактора, сознательных намерений тех или иных социальных групп, но в них не выделяются закономерности, тенденции, объективные факторы, обстоятельства.
44224. Охорона праці. Методичні вказівки 371 KB
  МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання розділу дипломного проекту Охорона праці Затверджено на засіданні кафедри безпеки життєдіяльності і інженерної екології Протокол № 3 від 30. Харків ХДТУБА 2010 Методичні вказівки до виконання розділу дипломного проекту Охорона праці для студентів спеціальностей....
44225. Влияние лыжного спорта на развитие физических качеств подростков 15-17 лет 505 KB
  Проблема исследования: ухудшение физических качеств школьников не занимающихся спортом. Объект исследования: физические качества школьников 1517 лет. Целью данной работы является сравнительный анализ физических качеств спортсменов лыжников и школьников не занимающихся спортом 1517 лет между собой. Для этого поставлены следующие задачи: изучить литературные источники по данной теме; изучить место лыжной подготовки в системе общего физического воспитания школьников; определить этапы исследования и развития физических качеств у лыжников...
44226. Психологическая реабилитация женщин после развода 2.94 MB
  Изучить особенности состояния женщин 25 – 32 летнего возраста после развода. Выявить особенности реакции на фрустрации, уровни тревоги и депрессии, а так же состояние самооценки женщин после развода. Определить степень потребности их в психологической реабилитации, и на основе изученного теоретического и практического материала внести коррективы в предложенные ранее программы помощи и реабилитации женщин после развода.
44227. Автоматизована система керування АСК «Радіомайстерня. Ведення обліку радіодеталей» 1.88 MB
  При цьому ємність магнітних стрічок була досить великою але за своєю фізичною природою вони забезпечували послідовний доступ до даних. Магнітні барабани надавали можливість довільного доступу до даних але були обмеженого розміру. До цього кожна прикладна програма яка потребувала зберігання даних у зовнішній памяті сама визначала положення кожної порції даних на магнітній стрічці або барабані і виконувала обміни між оперативною та зовнішньою памяттю за допомогою програмноапаратних засобів низького рівня. Крім того кожній прикладній...