20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

53 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70032. Система конкурентного права. Правовая природа отношений, складывающихся в сфере конкуренции 21.5 KB
  Конкурентное право как отрасль законодательства характеризуется конкретным предметом правового регулирования который по экономическому содержанию распадается на две группы отношений: отношения связанные с конкуренцией; 2 отношения в сфере монополий.
70034. Оптимальное распределение потоков мощности в замкнутых контурах электрической сети 62.65 KB
  Параметры режима Z делятся на независимые Y и зависимые X. Число уравнений установившегося режима 2n равно числу зависимых параметров режима Х комплексных напряжений в узлах. Общее число параметров режима Z m входящих в уравнение больше 2n – числа этих уравнений.
70035. Софісти 39 KB
  Увагу софістів перенесено із Космосу природи на проблеми людини суспільства знання. Сократ як і дехто з софістів досліджував проблему людини розглядаючи її як істоту моральну. Сократ стверджував що природа вищий у порівнянні з людиною світ непізнанна а пізнати можна...
70038. Предметы маркетингового анализа 101.82 KB
  Маркетинговый анализ является составным элементом и определенным этапом маркетингового исследования. Цели маркетингового анализа вытекают из целей маркетингового исследования принципы которого в свою очередь распространяются на теорию и практику маркетингового анализа.
70039. История создания гражданской обороны, ее предназначение и основные задачи по защите населения 23.32 KB
  Деятельность гражданской обороны направлена как на защиту от современных средств нападения противника так и на проведение спасательных и неотложных аварийно-восстановительных работ на объектах и в очагах поражения при чрезвычайных ситуациях мирного и военного времени.