20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

87 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1401. Исследование особенностей назначения пенсии за выслугу лет федеральным государственным гражданским служащим 134 KB
  Назначения пенсии за выслугу лет федеральным государственным гражданским служащим в Российской Федерации. Правовой статус федерального государственного гражданского служащего по российскому законодательству. Порядок рассмотрения заявления о назначении пенсии за выслугу лет федеральным государственным гражданским служащим
1402. Календарне планування. 673.5 KB
  Календарне планування – використання мережевої моделі для визначення моментів початку і кінця операцій програми. Виявляються критичні операції, які впливають на тривалість програми, і некритичні операції, які мають резерви часу. Резерви часу можна використати для оптимізації потреб в ресурсах.
1403. Перехідні процеси. Загальна характеристика. Закони комутації. 481.5 KB
  Перехідні процеси відбуваються лише у колах, до складу яких входять реактивні елементи.
1404. Разработка приложений в системе C++ Builder 2007 методами визуального программирования 641.48 KB
  Получить навыки работы с системой C++Builder 2007, научиться разрабатывать простейшие приложения средствами системы C++Builder для выполнения в операционной системе Windows, ознакомиться с некоторыми визуальными компонентами системы C++Builder, предназначенными для программирования пользовательского интерфейса.
1405. Программирование пользовательского интерфейса с использованием меню и стандартных диалоговых окон 240.3 KB
  Компоненты главного и контекстного меню. Компоненты стандартных диалоговых окон открытия и сохранения файлов. Компонент стандартного диалогового окна для выбора цвета. Компонент стандартного диалогового окна для выбора шрифта. Компонент стандартного диалогового окна для установки параметров принтера. Компонент стандартного диалогового окна для настройки параметров вывода документа на принтера. Компоненты стандартных диалоговых окон поиска и замены текста.
1406. Комплексные стенды для оценки тягово-скоростных и тормозных свойств автомобиля 53.81 KB
  Тормозные и тягово-скоростные свойства автомобиля оказывают комплексное влияние на безопасность, производительность транспортного процесса, топливную экономичность автомобиля и экологию окружающей среды. Необходимость объективного и качественного контроля этих свойств при эксплуатации автомобиля очевидна.
1407. Польові транзистори 557.5 KB
  Польові транзистори - це транзистори, які керуються полем вхідного сигналу. Струм у навантаженні створюється носіями заряду одного типу. Розрізняють польові канальні транзистори, або транзистори з p-n переходом, та МДН транзистори, або метал-діелектрик-напівпровідник, з ізольованим затвором. Якщо роль діелектрика відіграє двоокис кремнію, тоді мають МОП транзистори.
1408. Операційні підсилювачі (ОП, ОУ) 366.5 KB
  Операційні підсилювачі (ОП, ОУ) - це різновид ППС у інтегральному виконанні. Як правило використовується схема ППС з диференційним входом. ОП має інвертуючі та неінвертуючі входи.
1409. Абай Кунанбаев как основоположник казахской письменной литературы 25 KB
  Кунанбаев (1845, Чингизские горы, ныне Семипалатинской области - 1904, там же), казахский поэт-просветитель, родоначальник новой письменной казахской литературы