20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

52 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81801. Традиционность науки и виды научных традиций. Традиции и новации 29.55 KB
  Традиции и новации. Кун впервые рассмотрел традиции как основной конституирующий фактор развития науки. Он обосновал казалось бы противоречивый феномен: традиции являются условием возможности научного развития. традиции.
81802. Традиции и революции в науке. Научные революции как пререстройка оснований науки 30.76 KB
  Научные революции как пререстройка оснований науки. Этапы развития науки связанные с перестройкой исследовательских стратегий задаваемых основаниями науки см. Перестройка оснований науки сопровождающаяся научными революциями может явиться вопервых результатом внутридисциплинарного развития в ходе которого возникают проблемы неразрешимые в рамках данной научной дисциплины. В зависимости от того какой компонент основания науки перестраивается различают две разновидности научной революции: а идеалы и нормы научного исследования...
81803. Глобальные научные революции, их социокультурные предпосылки 33.12 KB
  Так создание механической картины мира сопровождалось борьбой двух научно-исследовательских программ – ньютоновской и картезианской. Сущностные основания регулярного воспроизводства такой фазы развития науки как революция следующие при этом каждое последующее основание вытекает из предыдущего..
81804. Первая научная революция и формирование научного типа рациональности 29.03 KB
  В ходе этой революции сформировался особый тип рациональности получивший название научного. Научный тип рациональности радикально отличаясь от античного тем не менее воспроизвел правда в измененном виде два главных основания античной рациональности: вопервых принцип тождества мышления и бытия вовторых идеальный план работы мысли. Тип рациональности сложившийся в науке невозможно реконструировать не учитывая тех изменений которые произошли в философском понимании тождества мышления и бытия.
81805. Смена типов научной рациональности 41.37 KB
  С научной картиной мира связывают широкую панораму знаний о природе включающую в себя наиболее важные теории гипотезы и факты. Структура научной картины мира предлагает центральное теоретическое ядро фундаментальные допущения и частные теоретические модели которые постоянно достраиваются. Когда речь идет о физической реальности то к сверхустойчивым элементам любой картины мира относят принципы сохранения энергии постоянного роста энтропии фундаментальные физические константы характеризующие основные свойства универсума: пространство...
81807. Главные характеристики современной, постнеклассической науки 33.24 KB
  В ходе развития науки в последней трети XX в. Ее фундамент составляют ставшие общенаучными принципы развития и системности. Такое понимание процессов развития исходит из синергетики. Вопервых принцип развития эволюции в современной науке получил статус фундаментальной мировоззренческой и методологической константы.
81808. Новые стратегии научного поиска. Глобальный эволюционизм и современная научная картина мира 33.72 KB
  Концепция глобального эволюционизма оформилась в 80е гг. Наряду со стремлением к объединению представлений о живой и неживой природе социальной жизни и технике одной из целей глобального эволюционизма явилось стремление интегрировать естественнонаучное обществоведческое гуманитарное а также техническое знание. В этом своем качестве концепция глобального эволюционизма претендует на создание нового типа целостного знания сочетающего в себе научнометодологические и философские основания. Обоснованию глобального эволюционизма...
81809. Этические проблемы науки XXI века. Проблемы гуманитарного контроля в науке и высоких технологиях. Экологическая этика 29.07 KB
  Проблемы гуманитарного контроля в науке и высоких технологиях. Этические проблемы в области биоэтики оформились как чрезвычайно острые требуюшие своего неотлагательного решения и реакции общества. Проблемы биоэтики возникли на стыке биологии и медицины.