20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

53 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27259. Ціна як економічна категорія, її функції, види. Ціноутворюючі фактори 52.77 KB
  Тому ціна як категорія кількісна це грошове вираження вартості товару. Це знайшло своє відображення у багаточисельності теорій присвячених вартості і цінам. Теорія трудової вартості. Суть цієї теорії в тому що субстанція і величина вартості як основа мінової вартості і цін визначається працею Вартість це втілена в товари праця.
27260. Ринок, його риси і функції. Структура та інфраструктура ринку 21.96 KB
  Ринок це сукупність економічних відносин що виникають між виробниками і споживачами у процесі вільного еквівалентного обміну виробленими благами послугами який організований за законами товарного виробництва і грошового обігу. З цього визначення ринку випливає що поперше ринок завжди обумовлюється природою виробництва хоч йому властива значна самостійність і він активно впливає на всі відтворювальні процеси їх кінцеві результати та ефективність. Потретє ринок означає систему саморегулювання економіки що стимулює розвиток...
27261. Ринкова економіка та її характерні ознаки. Модель економічного кругообігу 17.48 KB
  На розвиток економіки країни велику роль відіграє розвиток та розміщення продуктивних сил. У результаті еволюції економічних систем сформувалися три їх основні типи: система вільного ринку адміністративнокомандна система або централізована та система змішаної економіки. Ринкова економіка це така економічна система в якій всі питання економіки вірішують через ринок ціни прибуток та витрати. Основними перевагами ринкової економіки є приватна власність на засоби виробництва ринковий механізм регулювання економічних процесів що базується...
27262. Ринковий механізм і його елементи. Попит, пропозиція, рівноважна ціна 13.37 KB
  Ринковий механізм і його елементи. Ринковий механізм це механізм взаємозв'язку і взаємодії основних елементів ринку: попиту пропозиції ціни конкуренції іосновних економічних законів ринку. Ринковий механізм діє на основі економічних законів: попитупропозиції рівноважної ціни конкуренції корисності вартостіприбутку тощо див. Важливо зазначити що ринковий механізм проявляється якпримусовий механізм оскільки змушує підприємців які переслідують одну ціль отримання прибутку діяти врештірешт накористь споживачів.
27263. Домогосподарство як економічний суб’єкт та його двоїста роль в економіці 16.24 KB
  На їх оплату використовується значна частина доходів. Отже розгляньмо структуру доходів домашніх господарств і їх використання. У ринковій економіці на основі функціонального розподілу доходів населення отримує їх у формі заробітної плати доходів від власності прибутків і ренти. Основним джерелом доходів населення є оплата праці.
27264. Підприємство(фірма), його ознаки та функції. Класифікація підприємств за різними класифікаційними ознаками 18.25 KB
  Підприємництво можна визначити як уміння починати та вести справу генерувати і використовувати ініціативу зважуватися на ризик долати протидію середовища тощо. Підприємництво це багатопланове явище що може бути описаним з економічної та політичної точок зору. У зв’язку із цим можна дати таке тлумачення терміна підприємництво. Щодо Закону України Про підприємництво то там зазначено що підприємництво це самостійна ініціатива систематична на власний ризик діяльність з виробництва продукції виконання робіт надання послуг та...
27265. Зміст, основні принципи, види та функції підприємства 75.87 KB
  Залежно від виконуваних функцій у найзагальнішому вигляді розрізняють такі види підприємництва за суб'єктами діяльності рис. Визначення змісту підприємництва Рис. Суб'єкти підприємництва Рис. Об'єкт підприємництва сукупність певних видів економічної діяльності в межах якої шляхом комбінації ресурсів підприємець домагається максимізації доходу.
27266. Недоліки ринку і необхідність сполучення ринкового механізму з державним регулюванням економіки. Економічні функції держави та система методів державного впливу на економіку 25.09 KB
  На сучасному етапі основними завданнями державних органів управління в Україні є: створення умов для зайнятості працездатного населення і забезпечення соціального захисту громадян; охорона навколишнього середовища та забезпечення раціонального природокористування; формування фінансовобюджетної політики та її реалізація; кредитногрошове регулювання контроль за грошовим обігом; проведення цінової політики; здійснення зовнішньоекономічної діяльності та організація міжурядових відносин створення державного валютного фонду; розвиток місцевого...
27267. Економічні потреби та їх класифікація. Закон зростання потреб 27.11 KB
  Економічні потреби та їх класифікація. Закон зростання потреб. Кінцевою метою виробництва є задоволення різноманітних потреб людини як особистості споживача і виробника. Виробництво яке працює не з метою задоволення потреб людини чи суспільства тобто заради власне виробництва є безглуздою витратою обмежених ресурсів землі корисних копалин довкілля економічних благ і робочої сили.