20718

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд

Доклад

Математика и математический анализ

Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .

Русский

2013-07-31

130.5 KB

57 чел.

17. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора):

пусть функция  имеет в некотором интервале производные до порядка включительно, а точка находится внутри этого интервала. Тогда для любого x из этого же интервала имеет место формула Тейлора:

, где остаточный член  может быть записан в виде   

(форма Лагранжа).

Используя эту теорему, можно сделать следующий вывод: если функция  имеет на некотором  отрезке производные всех порядков (раз они имеются все, то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной),   то   можно   написать  формулу  Тейлора для любого значения .

Пусть , тогда  

(1) и(2).

Если , то ряд  сходится и его суммой будет функция .

Представление функции в виде ряда  называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при    разложение  в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена.

Нужно отметить,  что остаточный член в формуле Тейлора  для функции  не обязательно является остатком ряда Тейлора (1) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции  еще не следует  его  сходимость  именно   к  этой  функции, поэтому следует обязательно проверять условие (2).

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой:

если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная , что при любых х и n , то функция разлагается в ряд Тейлора

при любом а.

Множество значений x, для которых ряд сходится (сумма это ряда есть конечное число), называется областью сходимости данного числового ряда.

Рассмотрим функцию . Разложим эту функцию в ряд Маклорена .

, то .

Тогда , где . Для остаточного члена при любом значении  получим:

.

Таким образом,  ряд  сходится при любом значении   и его суммой является функция .

Положим , тогда получим , который также сходится для любого значения   и его суммой является функция .

Поступая аналогичным образом можно разложить в ряд Маклорена функции  и :

,.

Областью сходимости этих рядов является вся числовая прямая.

По определению разложения функции  в ряд Маклорена имеем

Пусть, например, требуется найти значение с точностью .

Найдем член этого ряда, который меньше заданной точности:

это пятый член - . Чтобы определить значение  с точностью  нужно взять первые четыре члена ряда. Таким образом .

Чтобы получить значение с произвольной точностью , нужно взять в разложении функции все члены, встречающиеся до первого члена, который будет меньше чем точность .

Рассмотрим функцию   (t – произвольное вещественное число).

Рядом Маклорена функции  будет ряд

.Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

Можно показать, что этот ряд сходится . Аналогично:

 и     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50821. DHTML и JavaScript на web-страницах 560 KB
  Цель работы: ознакомиться с основными возможностями языка JavaScript, синтаксисом, встроенными объектами, событиями DHTML, получить практические навыки программирования на языке JavaScript.
50822. Экспериментальное определение характеристик объекта регулирования, выбор закона регулирования и расчет параметров настроек регулятора 804 KB
  Изучить инженерный метод выбора закона регулирования и расчета параметров настроек регуляторов непрерывного действия. Характеристики объектов регулирования Большинство промышленных объектов можно представить в виде элементов которые являются аккумуляторами вещества или энергии. Динамические и статические свойства объекта регулирования описываются дифференциальными уравнениями.
50823. Скриптовый язык программирования PHP 298 KB
  Он может также использоваться для создания изображений и манипуляций с файлами изображений различных форматов включая gif png jpg wbmp и xpm. Обратите внимание что здесь предполагается использование имени...
50824. Проектирование салона швейного предприятия сервиса 156 KB
  Рассчитать численность работающих и площадь салона.Согласно варианту задания дать краткую характеристику приемного салона по зонам.1 Исходные данные для проектирования салона Таблица 4.
50825. Имитационное моделирование. Разработка модели системы массового обслуживания в Arene 807.5 KB
  Практическая часть Исходные данные для рассмотренного в практической части примера: В салон по сборке компьютеров со среднем временем в 15 минут приходит 1 клиент что определяется по экспоненциальному закону чтобы выбрать компьютер ПК. Выбор ПК осуществляется в течении 1520 минут. Отдел по сборке системного блока осуществляет единичный заказ в течение 4050 минут в то время как отдел по подбору соответствующих монитора и периферийных устройств делает свой единичный заказ в течение 540 минут. Определить необходимое минимальное...
50826. Исследование влияния параметров настройки регулятора на качество процесса регулирования 38.5 KB
  Динамические свойства систем автоматического регулирования Требования предъявляемые к поведению стабилизирующих систем автоматического регулирования САР в динамике зависят от их назначения характера воздействий конкретных условий и т. Достаточным условием следует считать качество процесса регулирования которое оценивается видом переходных процессов и ошибками на установившихся режимах.14 рассмотрены показатели качества процесса регулирования: время регулирования tp перерегулирование σ статическая ошибка Δxs=δ остаточное отклонение...
50827. Взаимодействие PHP и MySQL. Механизмы сессий 144 KB
  Цель работы: ознакомиться с основными функциями PHP применяемыми для работы с MySQLсервером изучить и применить на практике механизмы сессий Основные понятия MySQL СУБД MySQL одна из множества баз данных поддерживаемых в PHP. Система MySQL распространяется бесплатно и обладает достаточной мощностью для решения реальных задач. Система MySQL представляет собой сервер к которому могут подключаться пользователи удаленных компьютеров.