20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49332. Синтезирование непрерывной системы управления с астатизмом второго порядка методом желаемой передаточной функции с заданными передаточной функцией объекта 303.87 KB
  Целью выполнения курсовой работы является применение теоретических положений теории управления для синтеза непрерывной системы управления методом желаемой передаточной функции...
49336. Тензометрическая аппаратура 6.05 MB
  Фотоэффект проявляется в электронных переходах двух типов: собственных фундаментальных и примесных рисунок 1. Рисунок 1.1 Собственные 1 и примесные 2 3 фотопереходы электронов в полупроводнике Ел уровень ловушки Рисунок 1. Вблизи этой границы χ растет очень быстро изменяясь как правило на 34 порядка при увеличении энергии кванта на 01 эВ рисунок 1.
49337. Технология и организация строительства дренажной насосной станции 3.52 MB
  Состав сооружений, конструктивные особенности насосной станции тип и число основного и вспомогательного оборудования определяется с учетом назначения насосной станции и технологическими требованиями к ней.
49338. Расчет ЦРРЛ для северо-западного климатического района России в Ленинградской области 321.3 KB
  Ориентировочное значение просвета для короткопролетных микроволновых систем связи должно быть численно равно радиусу первой зоны Френеля которая определяется по формуле: 2 где Ro протяженность пролета км f Рабочая частота ГГц k Относительная координата наивысшей точки на трассе. Выбираю частоты для пролета 99 км: 27 ГГц и для пролета 173 км: 23 ГГц. Анализ данных предварительный выбор диапазонов частот и параметров антеннофидерного тракта АФТ: Для интервала 99 км возможны диапазоны: ...
49339. Анализ установившихся и переходных режимов в линейных электрических цепях 938.06 KB
  Определить и построить амплитудночастотную и фазочастотную характеристики. Используя частотные характеристики определить uвых при заданном uвх. Определить и построить переходную и импульсную характеристики четырехполюсника для входного тока и выходного напряжения. Показать связь переходной и импульсной характеристик для выходного напряжения с передаточной функцией.