20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65215. ОСОБЛИВОСТІ ДІЇ ТА ПІСЛЯДІЇ ІНСЕКТИЦИДІВ НА КОМАХ–ФІТОФАГІВ 204.5 KB
  Для досягнення поставленої мети виконувались такі завдання: оцінити порівняльну токсичність сучасних інсектицидів для комах–фітофагів різних таксономічних груп; вивчити особливості фізіологічної післядії на комах–фітофагів сучасних інсектицидів...
65216. Місцеве самоврядування як чинник розвитку сільських територій 173 KB
  Закріплене в Конституції України положення про визнання та підтримку державою місцевого самоврядування як права територіальної громади самостійно вирішувати питання місцевого значення створює сприятливі умови для активізації діяльності його органів щодо забезпечення розвитку сільських територій.
65217. Нерівноважна термодинаміка мартенситних перетворень в сплавах з термічно та магнітоіндукованим ефектами пам’яті форми 1.24 MB
  Окрім бездифузійності та жорстких орієнаційних співвідношень було відмічено ще низку особливостей цього типу фазових перетворень: Пертворення розповсюджується на широку область температур верхня межа якої була названа мартенситною точкою...
65218. Технологія харчового шроту з безлушпинного ядра насіння соняшнику 535.5 KB
  Сучасна технологія видобування соняшникової олії не передбачає отримання поряд з олією харчового шроту з високим вмістом білків що рівноцінні тваринним. Таким чином розробка технології комплексної переробки безлушпинного ядра насіння соняшнику з метою вилучення...
65219. Розробка основ ресурсозберігаючого процесу сумісного безфільєрного та фільєрного волочіння сталевої низьковуглецевої катанки 278.5 KB
  Основними тенденціями метизної галузі України за останні 20 років є децентралізація виробництва з розширенням асортименту сорторозмірів і перехід на механічне видалення окалини з поверхні катанки в роликових окалиноламачах.
65220. Формування продуктивності сої залежно від технологічних прийомів вирощування в умовах північної частини Степу України 228.5 KB
  Однак врожаї цієї важливої культури ще невисокі що обумовлено як правило недосконалістю елементів технології її вирощування і в першу чергу способів основного обробітку ґрунту та рівня мінерального живлення.
65221. Розроблення основ технології оксидаційного знесірчування дизельних фракцій 286.5 KB
  Єдина на сьогодні широковживана промислова технологія очищування нафтової сировини від сполук сірки гідроочищування ГО має низку недоліків головними з яких є: необхідність використання складного обладнання та дорогого чистого водню...
65222. Особливості перебігу ішемічно-реперфузійного пошкодження структур головного мозку при експериментальному цукровому діабеті в самців-щурів 276.5 KB
  Особливу увагу привертають ішемічні пошкодження головного мозку які складають більшу частку цереброваскулярної патології що зумовлює медикосоціальне значення ішемії мозку Т.Черевко 2003 підкреслює важливість глибокого знання патогенезу...
65223. ПРОЕКТУВАННЯ СУДНОВИХ КОНСТРУКЦІЙ ІЗ ВРАХУВАННЯМ КОНЦЕНТРАЦІЙ НАПРУЖЕНЬ ТА МІСЦЕВИХ ПІДКРІПЛЕНЬ 5.58 MB
  Проблема вдосконалення корпусних конструкцій багато в чому залежить від раціонального використання полегшуючих вирізів з однієї сторони й заходів щодо їхнього підкріплення з іншої.