20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77365. VISUAL SUPPORTING OF PROGRAM PARALLELIZING 26 KB
  We have developed the simple prototype of the system to support visually the parallelizing process. The prototype is realized twofold. One of the realizations has to deal with parallelism of Massage Passing paradigm; another has to deal with Shared Memory parallelization. That is our system works with MPI and OpenMP programs.
77366. ПРОЕКТ СРЕДЫ РАЗРАБОТКИ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ ВИЗУАЛИЗАЦИИ 39.5 KB
  Средства визуализации результатов численного моделирования можно разделить на три класса: Универсальные системы визуализации способные отображать большое многообразие визуальных объектов. Специализированные системы визуализации предметной области вычислительного эксперимента или специфических визуальных сущностей. Специализированные системы визуализации созданные специально для данного исследовательского проекта или даже конкретного пользователя.
77367. РАЗРАБОТКА СРЕДСТВ ВИЗУАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЕТОК 26 KB
  В настоящее время для визуализации сеток на этапе генерации используются средства разработанного в коллективе конструктора специализированных систем визуализации. Для визуализации сеток больших объемов проводится экспериментальная разработка по реализации параллельного программного воксельного рендеринга с применением графических ускорителей. Продолжаются исследования и опытные разработки по применению виртуальной реальности для визуализации сеточных данных. Система интерактивной визуализации параллельных вычислений 14я Международная...
77368. Remote Visualization in Computer Aided Engineering 14 KB
  IMM UrB RS Urls Stte University Computer ided Engineering softwre gin now the incresing distribution. To chieve dditionl productivity engineering clcultions re mde on the specil computing resources which re seprte from the engineers worksttion. It ssumes tht imges re rendered remotely from enduser worksttion close to the plce of ctul engineering computtions.
77369. РАЗРАБОТКА КОМПИЛЯТОРА ДЛЯ ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ RIDE.L 24 KB
  Согласно которой используя статическую типизацию и перегрузку операторов для описания семантики синтаксических конструкций языка на самом языке можно получать эффективный машинный код. Оператор в качестве аргументов получает несколько выражений и одну строковую константу содержащую ассемблерный код в тернарной форме. В общем случае аппликация операторов происходит так: код реализация оператора подставляется по месту обращения; код определяется следующим образом: если выражение это оператор код фрагментов при проходе слева...
77370. Методика распределенных вычислений RiDE 391 KB
  RiDE это методика для программирования в параллельных распределенных средах основанная на модели потока данных dtflow. Иногда при создании подобных решений используется модель потоков данных Dtflow. В различных вариантах методики основанные на моделях потоков данных применяются для создания процессорных архитектур суперкомпьютеров в целом для программной организации вычислительных потоков в рамках одного процесса и взаимодействия процессов в распределенной вычислительной среде. Методика основана на анализе...
77371. Технология параллельного программирования RiDE 34.5 KB
  УрО РАН RiDE это технология программирования в параллельных распределенных средах на основе модели потока данных dtflow. RiDE основана на анализе различных в том числе и собственных моделей потока данных. Технология RiDE базируется на понятиях хранилища задач и правил.
77372. Микроядро RiDE.C 19.5 KB
  Здесь разумно начать с описания микроядра RiDE. Многие особенности микроядра RiDE.C определяет базовый протокол обмена данными между задачами RiDE.
77373. Язык программирования RiDE.L 18 KB
  Традиционно используемые в HPC языки с архитектурой классических компиляторов: C, C++, FORTRAN, Pascal – не позволяют справляться с этой сложностью настолько хорошо, насколько позволяют более поздние языки: Haskell, JavaScript, Oz, Ruby. Но программы, написанные на таких языках недостаточно эффективны во время исполнения