20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70743. Поверка технических приборов 72 KB
  Методом амперметра или вольтметра при номинальном токе поверяемого прибора измерить его сопротивление. Схема поверки амперметра. Расчёт основных погрешностей поверка амперметра. Показания проверяемого амперметра Iп мА Показания образцового амперметра...
70744. Исследование катушки со стальным сердечником 131.5 KB
  Цель работы: Исследование зависимости параметров и потерь в стали катушки от воздушного зазора и напряжения сети. Схема исследования катушки со стальным сердечником. Провести исследование катушки со стальным сердечником при постоянной величине напряжения...
70745. Исследование параллельного соединения катушки со стальным сердечником и конденсатора 61 KB
  Изменяя напряжение U с помощью автотрансформатора АТ снять вольтамперную характеристику катушки со стальным сердечником. По данным таблицы № 1 в одной системе координат построить вольтамперные характеристики катушки UkI конденсатора UCI и последовательного соединения катушки...
70746. Резонансный контур 718.5 KB
  Частоту свободных колебаний ω0 можно найти из равенства энергии: Учитывая что Um=ω0LIm находим: Период свободных колебаний как известно: Из равенства энергий найдем волновое сопротивление контура: На резонансной частоте реактивные сопротивления конденсатора и индуктивности равны...
70747. Статические характеристики и параметры полупроводниковых приборов 427.5 KB
  Цель работы изучить статические вольтамперные характеристики полупроводниковых диодов и биполярных транзисторов рассчитать основные параметры биполярного транзистора. Если к переходам транзистора не приложено внешних разностей потенциалов то в pnпереходах существует...
70748. Простейшие усилительные каскады и обратная связь в усилителях 848 KB
  Устройство осуществляющее увеличение энергии управляющего сигнала за счет энергии вспомогательного источника источника питаний называется усилителем Общая структурная схема усилителя электрических сигналов представлена на рис.