20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11789. Работа со специализированными базами данных в Интернете 732.5 KB
  Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Мировые информационные ресурсы Работа со специализированными базами данных в Интернете Методические указания к выполнению лабораторных работ предназначены для студентов специальности 080801.6...
11790. Средства поиска информации в Интернете 907 KB
  Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Мировые информационные ресурсы Средства поиска информации в Интернете Методические указания к выполнению лабораторных работ предназначены для студентов специальности 080801.65 Прикладная инфо
11791. Работа в виртуальной машине Microsoft Virtual PC 259.48 KB
  Отчёт по лабораторной работе №1: Работа в виртуальной машине Microsoft Virtual PC Список причин выключения компьютера раздела Shutdown Event Tracker: Other Planned Выключение или перезагрузка по неизвестной причине. Выберите эту опцию если другие причины выключения/перезагру
11793. Современное состояние и перспективы развития токсикологии отравляющих и аварийно-опасных химических веществ (АОХВ) 106 KB
  В настоящее время в РФ функционирует более 3.5 тыс. объектов, на которых имеются СДЯВ. Суммарная площадь загрязнения при потенциальных авариях может захватить территорию, на которой проживает более трети населения страны. Статистика последних лет свидетельствует, что ежегодно происходит около 50 крупных аварий с выбросов СДЯВ
11794. ОСНОВЫ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ 122.5 KB
  Уровень готовности общества к решению этих задач в значительной степени определяется подготовленностью широких слоев населения к действиям в чрезвычайных ситуациях мирного и военного времени.
11795. Маршрутизация в IP-сетях 85.4 KB
  Лабораторная работа №3 Маршрутизация в IPсетях Цели работы: научиться объединять две сети при помощи компьютера исполняющего роль маршрутизатора; научиться настраивать Windows Server 2003 в качестве маршрутизатора; изучить возможности утилиты route. За...
11796. DHCP-сервер: установка и управление 141.22 KB
  Лабораторная работа № 4. DHCPсервер: установка и управление Цели работы: научиться устанавливать и удалять DHCPсервер; научиться настраивать область действия DHCPсервера; научиться выполнять резервирование адресов. Задание 1. Назначить серверу сетевые ...
11797. МОБИЛИЗАЦИОННАЯ ПОДГОТОВКА ОБЪЕКТОВ ЗДРА-ВООХРАНЕНИЯ 74 KB
  Под мобилизацией в Российской федерации понимается комплекс мероприятий по переводу экономики РФ, экономики субъектов, муниципальных образований, органов государственной власти, органов местного самоуправления и организаций на работу в условиях военного времени