20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80338. Економіка тваринництва 85.5 KB
  Показниками ефективності галузі скотарства є: Технологічна ефективність: середньорічний надій молока від однієї корови; середньодобовий та річний приріст живої ваги ВРХ; затрати кормів на 1 ц молока та на 1 ц приросту живої ваги ВРХ. Економічна ефективність: трудомісткість виробництва 1ц молока та 1 ц приросту живої ваги ВРХ. собівартість виробництва 1 ц молока 1 ц приросту живої ваги ВРХ та 1 ц живої ваги ВРХ. середня ціна реалізації 1 ц молока 1 ц живої ваги ВРХ.
80339. ВІДШКОДУВАННЯ ШКОДИ У КРИМІНАЛЬНОМУ ПРОВАДЖЕННІ 66.24 KB
  Поняття та види шкоди яка підлягає відшкодуванню у кримінальному провадженні. Поняття значення предмет та підстави цивільного позову про відшкодування майнової моральної шкоди завданої кримінальним правопорушенням. Відшкодування майнової моральної шкоди завданої незаконними рішеннями діями чи бездіяльністю правоохоронних органів та суду.
80340. Обстеження публічно-недоступних місць, житла чи іншого володіння особи як негласна слідча (розшукова) дія 49.06 KB
  Обстеження публічнонедоступних місць житла чи іншого володіння особи як негласна слідча розшукова дія. Поняття суть мета правова основа та принципи обстеження публічнонедоступних місць житла чи іншого володіння особи. Саме тому єдиним джерелом доказової інформації є матеріали негласних слідчих розшукових дій зокрема обстеження публічнонедоступних місць житла чи іншого володіння особи. Це обумовлює необхідність детального вивчення правової основи вимог та принципів обстеження публічнонедоступних місць житла чи іншого володіння...
80341. ПРОЦЕСУАЛЬНІ СТРОКИ І ВИТРАТИ 46 KB
  Вони дисциплінують учасників кримінального провадження роблять процес динамічним і прогнозованим. Стандарти здійснення судочинства і зокрема визначення та дотримання строків у кримінальному процесі містяться і в інших міжнародноправових документах насамперед тих що стосуються порядку провадження кримінального судочинства у яких регламентації та дотриманню процесуальних строків приділено значну увагу: Міжнародному пакті про громадянські та політичні права 1966 р. Процесуальні витрати виникають у результаті здійснення кримінального...
80342. Спостереження за особою, річчю або місцем 32.9 KB
  Спостереження – один з основних способів пізнання світу. За його допомогою людина вивчає навколишню місцевість, розташовані на ній обєкти і предмети, визначає зміни, які на ній відбуваються, та на основі своїх спостережень вчиняє певні дії.
80343. Виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації 30.17 KB
  Виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації. Правові засади виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації У КПК України гл. 272 передбачено такий вид негласних слідчих розшукових дій як виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації. Під час досудового розслідування тяжких або особливо тяжких злочинів можуть бути отримані відомості речі і...
80344. ЗАХОДИ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ КРИМІНАЛЬНОГО ПРОВАДЖЕННЯ 113.69 KB
  Зважаючи на вимоги кримінально-процесуальної форми, необхідність дотримання принципу законності, вивчення питань, що стосуються обрання, зміни та скасування заходів забезпечення кримінального провадження є запорукою успішної та ефективної роботи органів досудового розслідування, дотримання прав громадян та недопущення їх порушень.
80345. Загальні положення досудового розслідування 42.48 KB
  Поняття стадії досудового розслідування. Форми досудового розслідування: дізнання та досудове слідство. Поняття та характеристика загальних положень досудового розслідування.
80346. Контроль за вчиненням злочину 40.62 KB
  В Україні проведення контрольованої поставки здійснюється згідно з положеннями пункту 1 частини першої статті 271 Кримінального процесуального кодексу України у порядку визначеному нормативноправовими актами Міністерства внутрішніх справ України податкової міліції Державної податкової служби України Служби безпеки України Державної митної служби України погодженими з Генеральною прокуратурою України та зареєстрованими у Міністерстві юстиції України. У Законі України Про оперативнорозшукову діяльність далі –ОРД у пункті 2 частини...