20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18743. Особенности работы с временным детским и молодежным коллективами 30.93 KB
  Особенности работы с временным детским и молодежным коллективами. Понятие временного коллектива. Особенности развития временного коллектива. Учет социальнопсихологических и гендерных особенностей детей и молодежи. Формы отрядных дел. Корпоративная культура малой гр...
18744. Организация и координация развития добровольческого (волонтерского) движения 25.71 KB
  Организация и координация развития добровольческого волонтерского движения. Нормативноправовая база регулирующая деятельность волонтерского движения. Волонтёрская деятельность это широкий круг деятельности включая традиционные формы взаимопомощи и самопом...
18745. Особенности занятости и трудоустройства молодежи 24.74 KB
  Особенности занятости и трудоустройства молодежи. Определение понятий занятость и трудоустройство. Роли на рынке труда. Виды занятости молодежи. Активные формы работы с выпускниками учебных заведений по вопросам занятости и трудоустройства. Определение понятия...
18746. Планирование и развитие карьеры молодого человека 25.09 KB
  Планирование и развитие карьеры молодого человека. Определение понятия карьера. Карьера – успешное продвижение вперед в той или иной области деятельности. В широком понимании карьера – это профессиональный прогресс профессиональный рост этапы продвижения служа
18747. Профессиональная ориентация молодёжи 26.18 KB
  Профессиональная ориентация молодёжи. Теоретические аспекты профессионального самоопределения молодежи. Проблема профессионального самоопределения стояла перед молодёжью всегда а сегодня она особенно актуальна так как быстро изменяющиеся условия рынка труда веду...
18748. Государственная семейная политика 25.83 KB
  Государственная семейная политика. Сущность цели задачи принципы и направления государственной семейной политики. Государственная семейная политика ГСП является составной частью социальной политики РФ и представляет собой систему принципов оценок и мер организа
18749. Молодая семья и ее характеристики 21.03 KB
  Молодая семья и ее характеристики. Определение функции особенности проблемы молодой семьи. Молодая семья относится к особым фундаментальным группам общества. Она одновременно является и социальной группой и социальным институтом. Ученым потребовалось немало времен...
18750. Система социального обеспечения молодых семей 21.06 KB
  Система социального обеспечения молодых семей. Социальные проблемы молодой семьи. Социальное обеспечение как технология работы с молодой семьей. Виды и порядок социального обеспечения в связи с отцовством материнством и детством. Учреждения социального обслуживания...
18751. Формы работы с молодой семьей 27.13 KB
  Формы работы с молодой семьей. Информационная методическая медикосоциальная социальнопедагогическая реабилитационная и другие виды работы с молодой семьей. Вся социальная работа с молодыми семьями проводится в основном через территориальные службы социальной