20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29560. Синтез комбінаційної схеми на логічних елементах 173.83 KB
  4 Основні принципи логічного опису електричних схем Для логічного синтезу комбінаційної схеми необхідно визначити базис перемикальної функції на основі якої будуватиметься схема. Розглянемо методи логічного опису електричної схеми далі ЕС. В залежності від вихідного сигналу ЕС діляться на два види: Схеми “першого родуâ€. Це комбінаційні схеми вихідний сигнал в яких залежить тільки від стану входів в кожний проміжок часу.
29561. РОЗРОБКА МОДЕЛІ РОЛЬОВОЇ ПОЛІТИКИ БЕЗПЕКИ НА ОСНОВІ ІНДИВІДУАЛЬНО–ГРУПОВОГО РОЗМЕЖУВАННЯ ПРАВ ДОСТУПУ 84.48 KB
  2 Базова модель рольового розмежування прав доступу 19 РОЗДІЛ II. Побудова моделі на основі рольової політики розмежування прав доступу 22 2.1 Використання моделей розмежування прав доступу в операційних системах.
29562. Отдача от масштаба. Графические решения. Кривая путь развития фирмы 76.5 KB
  Отдача от масштаба. Графические решения Кривая путь развития фирмы Путь развития и экономия от масштаба производства. Кривая путь развития Если расстояния между изоквантами уменьшаются это свидетельствует о том что существует возрастающая экономия от масштаба т. Возрастающая экономия от масштаба Если расстояния между изоквантами увеличиваются это свидетельствует об убывающей экономии от масштаба рис.
29563. Экономическая и бухгалтерская прибыль. В общем виде прибыль (profit) определяется как разность между совокупной выручкой (total revenue) 130 KB
  1 где TR totl revenue совокупная выручка доход; ТС totl cost совокупные издержки; Pr profit прибыль. Однако сами издержки бывают внешними явными и внутренними неявными. Вычтя из совокупной выручки дохода внешние издержки мы получаем бухгалтерскую прибыль. Бухгалтерская прибыль однако не учитывает внутренние или скрытые издержки.
29564. Правило наименьших издержек 138.5 KB
  Правило наименьших издержек.5 Правило наименьших издержек это условие согласно которому издержки минимизируются в том случае когда последний доллар марка рубль и так далее затраченный на каждый ресурс дает одинаковую отдачу одинаковый предельный продукт. Правило наименьших издержек обеспечивает равновесие положения производителя. В этом положении достигается оптимальная комбинация факторов производства обеспечивающая максимизацию издержек.
29565. Трансакционные издержки 73 KB
  Трансакционные издержки По материалам курсовой Определений понятия трансакционные издержки множество каждый из ученых пытается выделить какуюлибо специфичную сторону данных видов затрат однако в целом обобщая можно сказать что трансакционные издержки представляют собой определенные затраты затраты ресурсов времени на взаимоотношения с внешним окружением. Можно сказать что трансакционные издержки – это цена оплачиваемая экономической системой за несовершенства и провалы рынка и провалы государства. То есть...
29566. Конкурентные и неконкурентные рынки 69.5 KB
  Принимая решение он рассматривает два его следствия: Эффект объема производства. Эффект цены. Если эффект объема производства больше чем эффект цены владелец колодца увеличит предложение воды. Если эффект цены превышает эффект объема производитель откажется от планов увеличения предложения.
29567. Понятия «неопределенность» и «риск». Предпосылки поведения потребителя в условиях неопределенности 365.5 KB
  Понятия неопределенность и риск. Неопределенность как условие риска Неопределенность – одно из центральных понятий в современной теории и практике управления. Неопределенность выступает необходимым и достаточным условием риска в принятии решений. Как отмечается в этимологическом словаре Фасмера термины риск рисковать происходят от греческого rysicon – утес скала; отсюда рисковать – значит взбираться на скалу или лавировать между скалами.
29568. Теория игр в выборе потребителя. Динамические игры. Координационные игры 487.5 KB
  Динамические игры. Координационные игры. думаю главное самое основное рассказать у теории игр большой математический аппарат который нет смысла сейчас изучать главное передать суть теории применительно к выбору потребителя и к решениям принимаемым на предприятиях в условиях олигополии стратегии равновесия выигрыши. Из лекции Бодрова у него только про статические игры: Теория игр анализирует принятие решений экономическими субъектами называемыми в соответствии с установившейся традицией игроками в ситуациях когда на результат...