20720

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .

Русский

2013-07-31

72.5 KB

5 чел.

19 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Случай 2 показывает, что решение состоит из двух частных решений с константами.

Вопрос о том, является ли это решение общим, приводит к понятию линейной независимости системы частных решений (линейно независимых функций) (1) и фундаментальной системы решений (2).

1. С помощью определителя Вронского можно показать, что для линейной независимости системы необходимо и достаточно, чтобы .

2. Совокупность всех линейно-независимых частных решений уравнения  называется фундаментальной системой решений этого уравнения, тогда  есть общее решение для уравнения .

Таким образом, для решения   нужно:

  1.  найти частные решения;
  2.  выяснить их линейную независимость ;
  3.  найти общее решение согласно .

Решение уравнения : . Используем подстановку Эйлера .

Тогда получим .

Пусть теперь нужно решить неоднородное уравнение

Для решения применим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).

Решение (общее) будем искать в виде

Таким образом, для решения нужно:

  1.  Найти частные решения ,
  2.  Найти их производные, подставить в систему уравнений и решить ее относительно ,
  3.  Интегрировать полученные решения (здесь добавляются константы),
  4.  Написать общее решение в виде .

Пример:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30632. Духовный облик любимых героев Л.Н. Толстого в романе «Война и мир» 14.35 KB
  В романе Война и мир Толстой очень четко разделяет героев на любимых нелюбимых и тех к кому он достаточно равнодушен.Толстой использует весь арсенал художественных средств и приемов позволяющих воссоздать сложную картину внутреннего мира героев диалектику души. Изображая главных героев писатель создает как бы ряд моментальных рентгеновских снимков их души.
30633. Евангельские мотивы в романе М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита» 15.42 KB
  Евангельские истории художественно преображены Булгаковым в главах представляющих собою роман в романе произведение мастера о Понтии Пилате и Иешуа ГаНоцри. Многие из них измененные имена Нового и Ветхого Завета: Иешуа Понтий Пилат Иуда Марк Аврелий Кот Бегемот имеет параллель своего имени в Библии Азазелло падший ангел в Ветхом завете.Свобода и несвобода в философском аспекте поставлена в спорах Иешуа и ГаНоцри с могущественным римским прокуратором Понтием Пилатом в душе которого происходит борьба человеческого и...
30634. Какова роль евангельского сюжета о воскрешении Лазаря в понимании идеи романа Ф.М. Достоевского «Преступление и наказание» 12.72 KB
  В центре Преступления и наказания помещен эпизод чтения XI главы Евангелия от Иоанна о воскрешении Лазаря.Образ воскресения Раскольникова действительно связан с евангельским повествованием о воскрешении Лазаря Христом которое читает Раскольникову Соня. Сама же Соня при чтении мысленно сравнивает его с иудеями присутствовавшими при совершении неслыханного чуда воскрешения уже смердящего Лазаря и уверовавшими во Христа.
30635. Женские образы и судьбы в русской классической литературе 16.26 KB
  Только в русской литературе обращается так много внимания на изображение внутреннего мира и сложных переживаний женской души. Ее любовь к русскому народу к патриархальной старине к русской природе проходит через все произведение. Все эти черты воспитала в ней связь с русским народом и русской природой создавшими поистине русскую женщину человека большой душевной красоты.
30636. Земное и вечное в стихотворении А.А. Ахматовой «Приморский сонет» 15.8 KB
  Ахматовой Приморский сонет.Облик героини поэзии Ахматовой предстает в житейской простоте но в нем заключается пафос сильной личности. Ее лирическая героиня не отражает персональной судьбы Ахматовой а отражает проявление женской доли женского голоса. Предметный мир воспринимается уже в ином виде: три ступеньки кажутся вечностью любимый прием Ахматовой оксюморон темный дом свечи горевшие равнодушножелтым огнем.
30637. Изображение народного характера в рассказе А.И. Солженицына «Матренин двор» 12.62 KB
  Солженицына является то что он исследует русский характер. Но главным в образе героини является доброта доброе расположение духа добрая улыбка побеждающая в душе все тяготы и заботы. Неслучайно Солженицын хотел назвать свой рассказ Не стоит село без праведника поскольку именно Матрена является истинным праведником: она тот самый праведник без которого не стоит село. Реалистическая достоверность изображенных событий накладывает особый отпечаток на образ Матрены ее жизнь является не только символом праведности но и ощутимым...
30638. Интерьер как средство характеристики героя 18.61 KB
  Интерьер его домика состоящего из шести крошечных комнат говорит о том что перед нами маленький человек очевидно небогатый который не претендует на значимость любит уют. И действительно толстоногий стол заваленный почерневшими от старинной пыли бумагами говорит о том что Василий Иванович занимается работой но делает это время от времени. О том что Василий Иванович интересуется естественными науками и физическими опытами говорит сломанная электрическая машина но это увлечение осталось в прошлом так как она до сих...
30639. «Испытание любовью» как средство характеристики героя в произведениях отечественной классики 19 века 14.36 KB
  Но можем сказать что испытание любовью открыло насколько изменился Онегин.Ещё одним героем прошедшим через испытание любовью является Печорин Лермонтова Герой нашего времени. В таких случаях жизнь мстит за себя: в крепости Печорин пытается заглушить тоску сердца любовью к дикарке Бэле но очень скоро убеждается в бесплодности своих усилий.
30640. Стихотворение М.Ю. Лермонтова «Родина». (Восприятие, истолкование, оценка.) 15.68 KB
  Лермонтова Родина. Ни в одном произведении Лермонтов не достигал такой поэтической ясности как в стихотворении Родина написанном в 1841 году. Родина отразила целый комплекс народных понятий и представлений сложившихся на протяжении столетий и выявившихся как разум народа в отличие от предрассудков предубеждений мгновенного настроения толпы или тех чувств которые несли на себе печать векового рабства и порабощения. И как богат этот опыт как он многосторонен как утонченно и благородно народное чувство и как велик его разум...