20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A – некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

10 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69967. Проблема осмысленности жизни и здоровья в раннем юношеском возрасте 209 KB
  Данная статья посвящена теоретическому анализу проблемы взаимосвязи осмысленности жизни и здоровья. Полетаева 2001 который в свою очередь определяет место здоровья в индивидуальной иерархии терминальных и инструментальных ценностей человека особенности мотивации в области здорового...
69968. КОГНИТИВНЫЕ МОДЕЛИ ЛИЧНОСТИ ЭТАЛОННОГО И РЕАЛЬНОГО УЧЕНИКА В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ СОЗНАНИИ: ПСИХОСЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 90.5 KB
  На примере сравнительного анализа когнитивных моделей личности эталонного и реального учеников доказывается что содержание эталонатеории личности школьника существующей в профессиональном сознании педагога выступает как суррогат знаний препятствующий адекватному познанию учителем личности ребенка.
69969. Психолого – акмеологическая специфика коммуникации в системе «врач-больной» 156.5 KB
  Минск старший преподаватель кафедры юридической психологии Эффективность медицинской помощи во многом зависит от умения врача общаться с пациентом. Взаимоотношения медицинского работника и больного складываются индивидуально в зависимости от особенностей состояния и личности пациента...
69970. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 72 KB
  Теоретические основы формирования содержания профессионального социального образования предполагают рассмотрение следующих вопросов: 1 нормативные основания конструирования содержания профессионального образования; 2 специфика отражения в содержании образования глобальных...
69971. Профессионально-психологическая культура как условие готовности к работе с аномальными и одаренными детьми 34.41 KB
  Профессионально-психологическая культура будущих специалистов рассматривается как условие эффективной педагогической деятельности с данными категориями детей. В данном исследовании нам бы хотелось сделать акцент на необходимости формирования и реализации психологической...
69972. ЭКЗИСТЕНЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ В ИЗУЧЕНИИ ОСОБ С ПСИХОФИЗИЧЕСКИМИ НАРУШЕНИЯМИ 59.5 KB
  В статье дается сущностная характеристика экзистенциальному подходу в образовании лиц с психофизическими нарушениями экстраполируются принципы подхода. Нельзя разработать унифицированную схему обучения всех детей с нарушениями психофизического развития.
69973. ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМНО-АНАЛИТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ОКАЗАНИЮ ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ СТУДЕНЧЕСКОЙ МОЛОДЕЖИ 105 KB
  В последние десятилетия все более актуальной становится проблема оказания адекватной психологической помощи студенческой молодежи в связи с чем возникает потребность в повышении уровня компетенций психологов в области психологического консультирования.
69974. ЛОГИКО-ГЕРМЕНЕВТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СУЩНОСТИ И ЗНАЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ИННОВАЦИОННОЕ РАЗВИТИЕ» 66 KB
  Начало XXI века как в социальной производственной так и в образовательной сфере в научной и производственной литературе в СМИ и других источниках стали широко употребляться такие устойчивые словосочетания как: инновационная деятельность; инновационные направления; инновационные решения...
69975. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОБРАЗНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ ИСТОРИИ 95.5 KB
  Возможности реализации образного образования представлены совокупностью методических приёмов формирования и творческой реконструкции образов исторического прошлого в аспекте реализации познавательной парадигмы образ слово действие.