20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

11 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36904. Изучение основных явлений поляризации света 483 KB
  Изучение основных явлений поляризации света. Цель работы: Получение и исследование поляризованного света и исследование свойств обыкновенных и необыкновенных лучей полученных с помощью двояко преломляющего кристалла. Принципиальная схема установки или её главных узлов: 1 упражнение: 2 упражнение: ИС источник света; ИС источник света; П поляроид 1поляризатор; Д...
36905. Изучение физических явлений, лежащих в основе работы полупроводникового фотоэлемента с запирающим слоем, определение зависимости фототока от освещенности, снятие ширины запрещенной зоны полупроводника 713 KB
  Цель работы: Изучение физических явлений лежащих в основе работы полупроводникового фотоэлемента с запирающим слоем определение зависимости фототока от освещенности снятие ширины запрещенной зоны полупроводника. На рисунке выше Ес энергия дна свободной зоны Ев энергия потолка валентной зоны; Fм Fп уровни Ферми металла и полупроводника Ам Ап работы выхода электрона из металла и полупроводника. Если уровень Ферми изолированного металла Fм лежит выше уровня Ферми полупроводника Fп т. Ам Ап то в первый момент их...
36906. Измерение холловской разности потенциалов в полулроводниковой пластине и определение концентрации, подвижности и знака носителей заряда, участвующих в токе 294.5 KB
  Эффект Холла в полупроводниках. Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки: Эффект Холла заключается в возникновении поперечной разности потенциалов при пропускании тока через металлическую или полупроводниковую пластинку помещенную в магнитное поле направленное под некоторым углом к направлению тока. Классическая...
36907. Подтверждение боровской теории строения водородоподобных атомов 255.5 KB
  Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки: В основе теории Бора лежат следующие постулаты: Первый постулат Бора постулат стационарных состояний: существуют некоторые стационарные состояния атома находясь в которых он не излучает энергии. Второй постулат Бора правило квантования орбит утверждает что в стационарном состоянии атома электрон двигаясь по круговой орбите должен иметь квантованные значения момента импульса удовлетворяющие условию где п = 1; 2;...
36908. Изучение процессов генерации и рекомбинации неравновесных носителей заряда в твердых телах при возбуждении их светом, экспериментальная проверка кинетики затухания рекомбинационной люминесценции при наличии центров захвата(ловушек) 658 KB
  Таблицы и графики Результаты измерений и расчетов: tc I1 мА I2 мА I3 мА I4 мА I5 мА Icp мА y = 10 0292 0284 0305 0293 0290 0293 0306 15 0264 0260 0265 0263 0261 0263 0379 20 0237 0238 0241 0243 0235 0239 0446 25 0220 0219 0216 0225 0228 0222 0501 30 0210 0209 0210 0203 0220 021 0543 35 0196 0192 0190 0195 0193 0193 061 40 0187 0185 0180 0179 0182 0183 0653 50 0170 0165 0165 0167 0170 0167 073 60 0158 0154 0156 0153 0154 0155 0796 70 0149 0147 0143 0144 0146...
36909. Кластерный анализ. Агломеративные методы 16.97 KB
  В качестве выбора нового расстояния между кластерами рассмотреть: 1Метод дальнего соседа 2Метод ближнего соседа. 3 Используем метод дальнего соседа. 4 Используем метод ближнего соседа. Решение поставленной задачи: 1Центрируем и нормируем: 2Рассчитаем матрицу расстояний: 1 2 3 4 5 6 Далее поскольку матрицы будут симметричными будут записаны полученные данные только над главной диагональю 3По методу...
36910. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ АВТОМАТИЧЕКСКИХ СИСТЕМ 346.5 KB
  1 Безынерционное звено Рис. 2 Интегрирующее звено Рис. 3 Апериодическое звено 1 порядка Рис. 4 Колебательное звено Переходные ht и передаточные Wp характеристики звеньев имеют вид: Безынерционное звено Wp=k Интегрирующее звено Wp=k p Апериодическое звено Wp=k Tp1 Колебательное звено Wp=k1 T2p22k2Tp1...
36911. Файлы и папки 185 KB
  Скопируйте этот файл с заданием в свою сетевую папку на studdc1 Загрузить программу Проводник. Создайте на своем рабочем столе структуру папок: Для этого щелкните правой кнопкой мыши для вызова контекстного меню выберите команду Создать Папку. Откройте текстовый файл и наберите текст: Переместите файл МОЙ ТЕКСТ в папку SUB. В любой папке доступной на Вашем компьютере выберите три файла вразброс используя для выделения клавишу Ctrl и скопируйте их в папку SUB.
36912. Операционная система MS DOS, конфигурирование и настройка 58.5 KB
  ОС MSDOS основные системные команды. Системные команды MS DOS MSDOS сокр. MSDOS самая известная ОС из семейства DOS ранее устанавливаемая на большинство PCсовместимых компьютеров.