20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

11 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43859. Разработка программного обеспечения автоматизированного рабочего места заведующего предметно-цикловой комиссией колледжа педагогического образования 2.53 MB
  В данной работе представлен материал по разработке программного обеспечения автоматизированного рабочего места заведующего предметно-цикловой комиссией колледжа педагогического образования, информатики и права. Данный программный продукт автоматизирует деятельность заведующего ПЦК, позволяя увеличить производительность труда. Описаны основы проектирования, произведен анализ качества разработанной системы.
43860. Проектирование двухступенчатого редуктора 1.13 MB
  Диаграмма изменения суммарного коэффициента запасапрочности промежуточного вала. где σ H limb предел контактной выносливости при базовом числе циклов; [SH] коэффициент безопасности [SH] = 11 для колеса [SH]=12 для шестерни; KHL коэффициент долговечности. Значение коэффициента долговечности определяется по формуле где NHO базовое число циклов перемен напряжений; NHE эквивалентное число циклов перемен напряжений. где МН коэффициент приведения переменного режима нагружения передачи для среднего режима работы МН =...
43861. Проектирование и разработка реляционной базы данных для информационной системы зоомагазина 1.86 MB
  Целью данной курсовой работы является создание реляционной базы данных зоомагазина и разработка приложения для работы с данной базой. В совокупности данная система должна обеспечивать возможности по накоплению и управлению продажами магазина.
43862. Комп’ютерна мережа підприємства «Анамар» 1.08 MB
  Целью данной дипломной работы является проектирование компьютерной сети для предприятия Анамар. Проектируемая сеть имеет одноранговую структуру с топологией звезда при разработке были использованы основные технологии по защите данных и аутентификации пользователей в сети. Рассмотрены все этапы и требования по проектированию компьютерной сети на предприятии. Все требования заказчика по проектируемой сети были реализованы в данном проекте.
43863. Расчет технологического производства телефонаLG KE600 265 KB
  В последнее время производители сотовых телефонов выпускают не мало аппаратов, которые помимо стандартного набора функций предоставляют пользователям возможности воспроизведения музыки в формате MP3. Корейская компания LG не стала исключением и представила на рынке телефон серии KE600 с функцией музыкальный DJ и навигационным вращающимся джостиком
43864. Двухкаскадная пропаново-этановая холодильная установка. Разработать испаритель-конденсатор 1022 KB
  Графические материалы: технологическая схема двукаскадной холодильной установки сборочный чертеж аппарата сборочные чертежи узлов всего 4 листа формата А1. Вид поставки сортамент: листовой прокат лист толстый г катаный ГОСТ 19903 лист тонкий х катаный ГОСТ 19904 полоса ГОСТ 103 трубы труба электросварная квадратная ТУ 14105566 труба электросварная прямоугольная ТУ 14105566. Вид поставки сортамент: фасонный прокат квадрат г катаный ГОСТ 2591 круг г катаный ГОСТ 2590 листовой прокат лист толстый г катаный ГОСТ 19903...
43865. Фундаменты 10-этажного 5-секционного жилого дома на 200 квартир при несущих лесовых грунтах 2.05 MB
  Для отделки стен жилых комнат использованы обои, в коридорах, прихожих и кладовках – улучшенная клеевая окраска; в кухнях и ванных комнатах панели окрашиваются масляной краской, у сантехнического оборудования частично облицовываются керамической плиткой. Выше панели улучшенная клеевая окраска; в санузлах масляная панель, выше улучшенная клеевая окраска.