20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A – некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

10 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70114. ОЗНАЙОМЛЕННЯ З КОЛОРИТОМ І ТЕХНІКОЮ ВИКОНАННЯ ВИШИВОК, ВИКОРИСТАННЯ ЇХ У ПОБУТІ ТА ОДЯЗІ. РОБОТИ НАРОДНИХ МАЙСТРІВ 68 KB
  Використання домотканого полотна що має перпендикулярне переплетення ниток обумовлювало і загальний характер полтавської вишивки геометричні або геометризовані орнаментальні форми вирішені великими рельєфними масами.
70115. Текстовий процесор Microsoft Word. Робота з таблицями, графічними зображеннями та редактором формул 1010 KB
  Мета роботи:Ознайомитись з основними поняттями та принципами роботи з текстовим процесором Microsoft Word. Навчитись налаштовувати робоче середовище процесора, форматувати текст, працювати з графічними зображеннями, таблицями та підпрограмою Microsoft Equation.
70116. Формирование и развитие организаций 553.5 KB
  Факторы влияющие на развитие организаций № Факторы Способствуют Затрудняют 1 Природные ресурсы России 2 Трудовые ресурсы России 3 Территория страны 4 Национальный менталитет 5 Международные отношения 6 Государственно-политическое устройство страны...
70117. Подсчет суммы элементов квадратной матрицы, полученной из клавиатуры 55.5 KB
  Написать одну программу, с помощью которой можно задать размер квадратной матрицы. При этом размер должен быть нечётным числом и больше 7. При помощи генератора случайных чисел инициализировать матрицу целыми числами в диапазоне от -20 до +5.
70118. Изучение оператора цикла For 53 KB
  Это условие проверяется перед началом выполнения цикла, а затем—после каждого прибавления шага к счётчику цикла в операторе Next. Если оно выполнено, управление передается на оператор, следующий за Next, нет—выполняются операторы из тела цикла.
70119. Применение текстовых и календарных функций 40.5 KB
  Дан список сотрудников фирмы, содержащий паспортные данные (фамилию, имя, отчество, дату рождения, дату зачисления в состав фирмы). По этому списку составить список, содержащй следующие данные (фамилию и инициалы, возраст, рабочий стаж в фирме).
70121. ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ДИАГРАММЫ. ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 2.07 MB
  Перед вызовом Мастера диаграмм предпочтительно выделить диапазоны ячеек содержащих информацию которая должна использоваться при создании диаграммы.2 Мастер диаграмм осуществляет пошаговое руководство процессом создания диаграммы.