20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

11 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8575. Постановка и решение проблемы первоосновы мира в натурфилософии античности 30 KB
  Постановка и решение проблемы первоосновы мира в натурфилософии античности. Греческие натурфилософы пытались найти первоначало, первоматерию, то есть вещество, из которого произошел мир. Они полагали, что первоначало (др.-греч. архэ) является перв...
8576. Философия элейской школы 30.5 KB
  Философия элейской школы. Элейская школа (6-сер.5 века до н.э.) Наиболее важными ее представителями были Ксенофан, Парменид и Зенон. Основателем элейской школы считают Парменида и Ксенофана. К заметным представителям данной школы принадлежал т...
8577. Философия софистов и Сократа 30 KB
  Философия софистов и Сократа. Философия софистов. Софистика как философское учение (вт.пол.5 в. до н.э.) Софисты (любящие мудрость) не считали себя философами, они были платными учителями мыслить, говорить, делать. Считали, что нужно анализировать...
8578. Объективный идеализм Платона и его связь с пифагорейской традицией 32.5 KB
  Объективный идеализм Платона и его связь с пифагорейской традицией. Объективный идеализм Платона. Платон (428/427 - 347 гг. до н.э.) - ученик Сократа, которого считают основателем объективного идеализма. Самыми важными проблемами в философии Платона...
8579. Философская система Аристотеля 30.5 KB
  Философская система Аристотеля. Самостоятельная философская позиция Аристотеля началась с критики идеализма Платона. Почему же Аристотель критикует платоновское учение об идеях. Аристотель критикует это учение по нескольким направлениям. Прежде всег...
8580. Научная революция XVII века и особенности философии Нового времени 29 KB
  Научная революция XVII века и особенности философии Нового времени. Научная революция XVII века. Символами общественного прогресса в XVII веке становятся первые буржуазные резолюции в Нидерландах (конец XVI - начало XVII вв.) и Англии (середина...
8581. Философские взгляды Ф. Бэкона 29.5 KB
  Философские взгляды Ф. Бэкона. Фрэнсис Бэкон (1561-1626) - крупный английский философ, предложивший философское обоснование для экспериментальной науки. Главным трудом Бэкона является сочинение Новый Органон. Название этого труда отсылает к логич...
8582. Рационалистическая философия Р. Декарта и Лейбница 33 KB
  Рационалистическая философия Р. Декарта и Лейбница. Рационалистическая философия Р. Декарта. Рене Декарт (1596) - французский философ, стоявший у истоков рационалистической традиции. Исходной точкой в концепции Декарта является сомнен...
8583. Материализм Дж. Локка и Т. Гоббса 27.5 KB
  Материализм Дж. Локка и Т. Гоббса Материалистический сенсуализм усматривает в чувственной деятельности человека связь его сознания с внешним миром, а в показаниях его органов чувств - отражение этого мира. Видными...