20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

12 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54519. Экономические блага и их классификация 18.69 KB
  Для удовлетворения потребностей людей служит благо. Благо — это средство удовлетворения потребностей человека. Именно ради удовлетворения конкретных потребностей людей в благах и осуществляется хозяйственная деятельность в любой стране.
54520. Расскажи сказку 48 KB
  Кто их сочиняет Какие имена композиторов вы знаете А какие музыкальные сказки вы знаете Вы знаете что Пушкин написал Сказка о царе Султане а Римский Корсаков написал музыкальную сказку о Царе Султане Но сегодня мы будем говорить о С. Беседа Начнём сегодня сказочный урок с того что послушаем сказку Прокофьева. Внимательно слушаем а потом вы расскажете какую же сказку нарисовала музыка А весёлая это сказка или грустная Кто главные герои Няня стала рассказывать с самого начала или позже Так добрая это...
54521. Від симфонії до скульптури 2.43 MB
  Чи можна стверджувати що окремий вид мистецтва живопис музика література скульптура є кращим ніж інші бесіда з використанням ілюстрацій з різних видів мистецтва висновок: Ні не можна тому що: Живопис скульптура достовірно зображує предметні явища Література розкриває зміст певних понять Музика передає душевний стан людини його настрій Всі види мистецтва доповнюють один одного підсилюючи сприйняття...
54523. My favourite film 272 KB
  What do we usually do in our free time? Well, yes, we read books and magazines, listen to music, walk with our friends and watch TV. So, out lesson will be connected with TV programs, especially with films. We’ll speak about types of films, work over some texts, do different tasks, speak about your favourite films and present your project works.
54524. Meet My Friend 96 KB
  Brother Rabbit took the two carrots to Brother Goat’s house. Brother Goat was not at home. Brother Rabbit put the carrots on the table and went away. Brother Goat saw the carrots on the table and thought; “Oh, what good friend I have. I should be a good friend too. It’s winter now. Brother Rabbit has not got any food to eat. I must help him.” So he ate one carrot, took the other and ran to Brother Rabbit’s house.
54525. My Land 50 KB
  Objectives: to expand students’ vocabulary to involve students into reading, writing, communicative activities, to develop students’ thinking
54526. MY NATIVE LAND-OUR GLORIOUS DONBAS 1.37 MB
  To begin with, I want to draw your attention to the quotation on the blackboard: He, who loves not his land, can love nothing. These wonderful words belong to the great poet G.G. Byron. His love to his land was deep and passionate. He could not imagine his life without his Highlands. He was so devoted to it, for him there was nothing like his Homeland. I think these Byron's words can be the motto of our lesson.
54527. MY SCHOOL LIFE 66.5 KB
  Do you know what schools are in Great Britain. Let`s watch the video about schools in England and while watching write down the number of the pictures 1-7 in the order that you see them and write a subject under each picture.