20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

11 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71758. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВАТТМЕТРОВЫМ МЕТОДОМ МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СТАЛИ 340.5 KB
  Методические указания к лабораторной работе №7 по курсу «Электротехнические материалы» для студентов специальности 1-53 01 05 «Автоматизированные электроприводы» - ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2005 г. Методические указания содержат основные сведения о магнитных свойствах электротехнической стали.
71759. МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ (Часть 2) 2.94 MB
  Изложены основные теоретические положения и методические указания к выполнению следующих лабораторных работ по курсу Материаловедение: Изучение зависимости между структурой и свойствами чугунов Закалка стали Отпуск закаленной стали Изучение зависимости между структурой и свойствами стали...
71760. МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ (Часть 1) 1.87 MB
  Измерение твердости, вследствие быстроты и простоты осуществления, а также возможности без разрушения изделия судить о его свойствах, получило широкое применение для контроля качества металла в металлических изделиях и деталях. Существует целый ряд методов измерения твердости...
71761. МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ (Часть 3) 1.47 MB
  Изложены основные теоретические положения и методические указания к выполнению следующих лабораторных работ по курсу Материаловедение: Химико-термическая обработка стали Цветные металлы и сплавы Выбор стали и назначение режима термической обработки.
71762. Исследование стабильности горения сварочной дуги переменного тока 905 KB
  Применяемое оборудование контрольно измерительные приборы и материалы При проведении лабораторной работы в распоряжении студента: сварочный трансформатор электроды электродо-держатель приспособление для закрепления электрода на штативе осциллограф С117 источник импульсного тока штангенциркуль.
71763. Исследование влияния силы сварочного тока на значения коэффициентов наплавки и расплавления 214.5 KB
  Основы теории тепловых процессов сварочной дуги и массопереноса металла через дуговой промежуток основные параметры электродуговой сварки Сварочная дуга является мощным концентрированным источником тепловой энергии. Однако не вся тепловая энергия выделяющаяся при горении...
71764. Исследование влияния режимов сварки на распределение напряжений, деформаций и температуры в металле заготовки при электрической дуговой сварки плавлением 938 KB
  Теория нагрева металла заготовок и процесс образования деформаций и напряжений при сварке плавлением Сварочная дуга является концентрированным источником тепловой энергии. Теория нагрева металла и распределение температуры в металле заготовки разработана академиком...
71765. Исследование стабильности горения сварочной дуги переменного тока 1.58 MB
  Построение математической модели Для построения математической модели зависимости критической длины от приведенного коэффициента ионизации используется метод наименьших квадратов. Полученная экспериментальная зависимость описывается математической моделью вида...