20721

Мощность множества. Арифметика счетной мощности

Доклад

Математика и математический анализ

Пусть A некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.

Русский

2013-07-31

59.5 KB

12 чел.

20. Мощность множества. Арифметика счетной мощности.

Мн-ва A и B назыв. эквивалентными, если существует биекция мн-ва A на мн-во B т.е  .  

Биекция – инъекция + сюръекция (одновременно).

Ф-ия (отображение)  назыв. сюръекцией (наложением), сюръективным отображением, если Im(F) = Y  (мн-во X отображ. на Y).   F: XY, Im(F)=

Отображение F назыв. инъективным, если .

Биективное отображение – взаимнооднозначное.  Иногда используют  запись «инъективное отображение X на Y».

Для того чтобы отображение было обратимым необх. и достаточно, чтобы отображ. было биективным. Обратимое отображение (x = ,y =), биективное отображ.-  x=(0;+ ),Y.

Отношение эквивалентности  разбивает все мн-во  на попарно-пересек. классы.

Мощностью мн-ва назыв. символ, который приписывают множествам, каждое из которых  эквивалентно некоторому заданному множеству.

Например, мн-во эквив. мн-ву натур.чисел назыв. счетным мн-вом и обознач.- a.

Тоже самое по Галканову.

Опр1: Если и ,то такое соответствие назыв. взаимнооднозначным соответствием между мн-вами A и B (1-1 –соответствие).

Примеры: 1-1 –соответствие между двумя конечными мн-вами возможно, если они сосотоят из одинакового кол-ва элементов. (A~N)

A={2,4,6,…,2n,…}- мн-во четн.чисел.  N={1,2,3,…,n,…}   

Между точками малой и большой окр-ти можно установить 1-1 соотв.

             

Опр: Если A~N, то оно назыв. счетным мн-вом.

Опр: Если между  мн-вом A и B установлено 1-1 соответствие, то они назыв.       

эквивалентными мн-вами .

Всем счетным мн-вам приписыв. буква – a, кот. называется их мощностью.

Если A~N,то =a.

Пример: мн-во всех четн., нечетн., натур. чисел имеют мощность a.

Три свойства отношения эквивалентности:

  1.  A~A – рефлексивность
  2.  A~BB~A – симметричность
  3.  A~B ^ B~C A~C – транзитивность

___

Теорема1.Для того, чтобы мн-во A было счетным необходимо и достаточно, чтобы оно было  представимо в виде A={a1,a2,…,an…}-(бескон.мно-во попарно-различн.эл-ов) т.е. его элементы представляют собой некоторую последовательность.

Док-во: 

1) НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть A – некоторое счетное мн-во, тогда по определению A~N.

из A берем a =a1, из A берем b =a2  и т.д. A={a1,a2,…}справедливость утверждения.

2) ДОСТАТОЧНОСТЬ. anA .  A-cчетное мн-во.

Т2.Из всякого бесконечного мн-ва можно выделить счетное подмно-во.()

Т3.Если A~сч.мн-во и A’, то A-счетно.

Т4.Сумма конечного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т5. Сумма счетного числа конечных мн-в есть счетное мн-во.

Т6. Сумма счетного числа  счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т7. Мн-во рацион.чисел – счетно.

Т8. Если к бесконечному мн-ву M прибавить конечное или счетное мн-во A новых элементов, то это не изменит его мощности. M+A~M.

Т9. Если бесконечное мн-во S – несчетно и AS –конечно или счетно, то S\A~S.

Т10. Если елементы мн-ва A таковы, что A={ax1,x2,..xn}(x1,xn – индексы), и каждое из этих индексов пробегает счетное мн-во не зависимо от других, то мн-во A-счетно.

следствия из Т 1-10 :

1) Мн-во точек пл-ти с рац.координатами – есть счетное мн-во.

2) Мн-во точек n-мерного евклидова пр-ва с рац. координатами – есть счетное мн-во.

3) Мн-во векторов с m – натур. или рац. координатами – есть счетное мн-во.

4) Мн-во полиномов a0+a1x+a2x2+…+anxnc цел.коэффиц. - есть счетное мн-во.

5) Мн-во алгебраич.чисел счетно. (Число назыв. алгебраическим, если оно не явл. корнем многочлена с целыми коэффицентами, иначе оно трансцендентное).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20321. Основные этапы развития сцены 40.5 KB
  Читай Базанова Основные этапы развития сцены и ее техники Базанов В.Между тем в мире происходят интересные процессы поиска современной сценической архитектуры техники и технологии сцены. А поскольку театр является заказчиком проекта то его специалистам необходимо знать не только основы построения сцены и ее оборудования но и современные тенденции развития и обогащения театрального пространства.
20322. Русский театр второй половины XIX века 314.5 KB
  в истории русского театра наступает новая эпоха на сцене появляются пьесы великого русского драматурга А. Драматургия Островского это целый театр и в этом театре выросла плеяда талантливейших актеров прославивших русское театральное искусство. на сцене Малого театра когда была сыграна комедия Не в свои сани не садись. После первой постановки комедии Не в свои сани не садись Островский все свои пьесы отдает на сцену Малого театра.
20323. Театрально-декорационное искусство на современном этапе 97 KB
  Сценография как синоним декорационного искусства. Поэтому как считают некоторые исследователи он не отвечая сути современного искусства лишь характеризует определенный период развития сценического оформления базирующийся на чисто живописных приемах станковой живописи. Вот почему в настоящее время синонимом декорационного искусства стал термин сценография. К тому же если история декорационного искусства создается в основном на изучении эскизного материала художников то история сценической графики должна ориентироваться на всю...
20324. Культура эпохи Просвещения в Западной Европе и России 469.5 KB
  Западноевропейская культура эпохи Просвещения 3 2. Главные ценности эпохи Просвещения 4 3. Особенности Просвещения в странах Европы 8 3.
20325. Русский театр конца XX века 203 KB
  Началом того театра который нам привычен и знаком следует считать времена оттепели. Знаменитый двадцатый съезд КПСС перевернувший всю страну своим осуждением культа личности перевернул и театр. Появление театра ориентированного на современную драматургию и пытающего осмыслить происходящее сегодня было только делом времени.
20326. Костюм сценический и бытовой 307.5 KB
  В понятие одежды входят платье то что покрывает непосредственно тело человека обувь головные уборы. Основная функция одежды защитная физическая и моральная защита и утилитарнопрактическая так как одежда всегда связана с какойлибо практической деятельностью человека имеет определенное назначение помогая человеку приспосабливаться к окружающему миру. Любой предмет одежды это вещь которой пользуются и которая выполняет одну или несколько функций. Ношение одежды это процесс потребления данного продукта.
20327. Романтизм в европейской и русской культуре. Философско-эстетические принципы и художественная практика 7.05 MB
  Для Аристотеля эстетика это проблемы поэтики и общефилософские вопросы природы красоты и искусства; для Платона вопросы государственного контроля над искусством и роли последнего в воспитании человека. Для Тертуллиана и Фомы Аквинского эстетика аспект богословия решение задачи: с помощью искусства нацелить человека на служение Богу. У Гегеля эстетика сужает свой предмет до обширного царства прекрасного строже говоря до искусства и притом не всякого а именно изящного искусства. А свое назначение эстетика видит в определении...
20328. Основные тенденции развития русского театра 60-70-х годов XX века 62.5 KB
  Соцреалистический диктат сказался и на театре. От постановщиков требовали сдачу спектакля по частям это вело к мелочной опеке над авторами вносило нервозность в театральные коллективы и затягивало постановку новых спектаклей. Театры ставили в сезон не более 23 новых пьес.
20329. Освещение современного спектакля 59 KB
  Различные виды декорационного оформления требуют соответствующих приемов освещения. Плоскостные живописные декорации требуют общего равномерного освещения которое создается осветительными приборами общего света софиты рампа переносные приборы. Спектакли оформленные объемными декорациями требуют местного прожекторного освещения создающего световые контрасты подчеркивающего объемность оформления. При использовании смешанного вида декорационного оформления соответственно применяется смешанная система освещения.