20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

34 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30883. Память 36 KB
  Память ПАМЯТЬ это свойство ЦНС воспринимать фиксировать сохранять и воспроизводить полученную информацию А Наследуемая генетическая врожденная память 1. Другие наследуемые процессы Б Ненаследуемая индивидуальная приобретенная приобретенная память можно разделить по времени формирования: Мгновенная иконическая сенсорная Краткосрочная оперативная Долгосрочная долговременная МГНОВЕННАЯ иконическая сенсорная объем ее большой срок хранения информации до 010050 секунд формируемый образ сенсорного происхождения представлен...
30884. Функциональная система 130 KB
  Афферентный синтез Принятие решения Акцептор результата действия Эфферентный синтез Целенаправленное действие Полезный приспособительный результат Обратная афферентация В центральной архитектонике функциональной системы условно выделяют несколько стадий: 1. Формирование акцептора результата действия и программы действия. Роль памяти проявляется в извлечении из нее наших знаний врожденных наследуемых и приобретенных о данном факте и варианты действия и прогноза формы способы достижения цели на основе имеющегося опыта...
30885. Звуковые проявления сердечной деятельности 22 KB
  Тоны. Ухом как правило выслушиваются I и II тоны. I тон систолический протяжный 007013 сек низкий в начале фазы изометрического сокращения. Компоненты тона звук захлопывающихся а в клапанов вибрация стенок желудочков и папиллярных мышц.
30886. Электрические проявления сердечной деятельности 45 KB
  Электрические проявления сердечной деятельности Деятельность сердца сопровождается рядом внешних проявлений: Механические 2. Векторкардиография метод регистрации направления электрической оси сердца в ходе сердечного цикла. В 1901 году Эйнтховен с помощью струнного гальванометра впервые зарегистрировал биотоки сердца. Кривая которую Эйнтховен назвал электрокардиограммой регистрировалась с поверхности сердца Тело человека является проводником 2го порядка ионная проводимость следовательно всякое биополе в т.
30887. Функциональная классификация кровеносных сосудов 30.5 KB
  Сердценасос ритмически выбрасывающий кровь в сосуды генератор давления и регулятор расхода крови 2. Сосуды эластического типа принимающие порцию крови за счет растяжения стенок обеспечивают непрерывный пульсирующий ток крови формируют в динамике систолическое и пульсовое давление в большом и малом кругах кровообращения определяют характер пульсовой волны. Сосуды мышечного типа вносят основной вклад в формирования сопротивлению тока крови существенно изменяют свой просвет под действием нервных и гуморальных влияний. Они краны ССС...
30888. Сосудистый тонус 47 KB
  Сосудорасширяющие: а неспецифические метаболиты непрерывно образуются в тканях и в месте образования они всегда препятствуют сужению сосудов а также вызывают их расширение метаболическая регуляция. Сосудосуживающие БАВ при действии в месте выделения образуются специализированными клетками которые входят в состав сосудистого окружения катехоламины серотонин некоторые простагландины эндотелии 1пептид 21на аминокислота продукт инкреции эндотелия сосудов а также тромбоксан А2 выделяемый тромбоцитами при...
30889. Системная гемодинамика 54.5 KB
  Венозный возврат крови к сердцу. Объем циркулирующей крови. Согласно законам гемодинамики количество жидкости Q протекающее через трубку прямо пропорционально разности давлений в начале P1 и в конце Р2 трубы и обратно пропорционально сопротивлению R току жидкости: Если учесть что давление в конце системы Р2 в устьях полых вен в правом предсердии центральное венозное давление близко к нулю то можно записать: где Q количество крови изгнанное сердцем за 1 мин; Ρ величина среднего давления в аорте; R величина общего...
30890. Методы оценки основных показателей гемодинамики 24 KB
  Методы оценки основных показателей гемодинамики Артериальное давление. Боковое измеряется некровавым косвенным методом: а пальпаторный метод РиваРоччи; б аускультативный метод Короткова; в осциллографический метод определяется количественно среднее давление а также систолическое и диастолическое давление. Метод позволяет оценить риск развития гипертонии ее тяжесть дать более точный прогноз развития болезни. Метод разведения красителя.
30891. Регуляция системной гемодинамики 51 KB
  Регуляция системной гемодинамики Система мониторинга АД и ОЦК В организме существует система слежения мониторинга артериального давления и объема циркулирующей крови. Мониторинг осуществляется афферентными системами нервные окончания которых способны воспринимать изменение давления а некоторые из них изменение объема циркулирующей крови. Они информируют об изменениях объема крови. Третья группа вибрационные рецепторы воспринимают изменения давления связанные с вихревым движение крови турбулентностью потока.