20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

31 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47128. Базы данных и СУБД 69.78 KB
  Базы данных и СУБД. Под базой данных понимается множество взаимосвязанных элементарных групп данных информации которые могут обрабатываться одной или несколькими прикладными системами. Трехуровневая архитектура базы данных. Внутренний уровень – это уровень определяющий физический вид базы данных наиболее близкий к физическому хранению и связан со способами сохранения информации на физических устройствах хранения.
47129. Информация. Информационные сообщения 61.07 KB
  Информационным объемом сообщения называется количество битов в этом сообщении. В современной вычислительной технике принято объединять биты в восьмерки, называемые байтами: 1 байт = 8 бит. Наряду с битами и байтами используются и более крупные единицы измерения информационного объема сообщения
47130. Проектні пропозиції щодо покращення стану озеленення та благоустрою території парку «Юність» у Святошинському районі м. Києва 2.27 MB
  Парки, сквери є місцями активного й пасивного відпочинку населення. Особливо великою є роль парків культури і відпочинку. Окрім них у містах влаштовують сквери, бульвари, дитячі парки, міські сади, ботанічні сади, вуличні зелені насадження уздовж тротуарів, прибудинкові зелені насадження, палісадники, зелені насадження на промислових підприємствах, в лікарнях, школах і т. ін.
47133. Транснациональные корпорации 62.66 KB
  Так стороны Конвенции о транснациональных корпорациях признают под понятием транснациональная корпорация юридическое лицо совокупность юридических лиц: имеющее в собственности хозяйственном ведении или оперативном управлении обособленное имущество на территориях двух и более сторон; образованное юридическими лицами двух и более сторон; зарегистрированное в качестве корпорации в соответствии с Конвенцией.С развитием и совершенствованием правового регулирования деликтных отношений такое единообразие в подходе было дополнено...
47134. ФОРМЫ И ФУНКЦИИ ПОДРАЖАНИЯ В ДЕТСТВЕ (По Обуховой) 63.5 KB
  Ими было установлено что подражание или имитация такая форма поведения которая находится в непрерывном изменении и вносит важный вклад в формирование интеллекта личности ребенка помогает ему в освоении норм социальной жизни. Связь подражания ребенка определенного возраста со специфической социальной ситуацией его развития; установили функции отдельных видов подражания; выявили его родство с ориентировочноисследовательской деятельностью. Опираясь на идеи Эльконина и его концепцию периодизации психического развития и Гальперина и его...
47136. Понятие и виды экологических правонарушений 64.24 KB
  Экологическое правонарушение –это противоправное, виновное деяние (действие или бездействие), совершаемое праводееспособным субъектом, причиняющее экологический вред или несущее угрозу причинения либо нарушающее права и законные интересы субъектов экологического права.