20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

36 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68729. Ведущие теоретические ориентации зарубежной социальной психологии: психоанализ, бихевиоризм, интеракционизм, когнитивная ориентация, гуманистическая ориентация 30.5 KB
  Функционализм (или функциональная психоло гия) возник под влиянием эволюционной теории в биологии Ч. Дарвина и эволюционной теории социального дарвинизма Г. Спенсера. Г. Спенсер полагал, что основным законом социального развития является закон выживания наиболее приспособленных обществ и социальных групп.
68730. Средневековая философия Запада и Востока – это прежде всего философия общества, для которого характерно господство теологии и религии 41.5 KB
  Характерной чертой средневековой философии является meoцентризм обращение к Богу его сущности как первопричины и первоосновы мира. Бог создал мир из ничего. государственность которая основана на любви к себе доведенной до абсолюта презрения к Богу и град божий духовную общность которая основана...
68731. Хронические расстройства питания у детей раннего возраста 110.5 KB
  Известно что хронические расстройства питания у детей могут проявляться в виде в различных формах в зависимости от характера нарушений трофики и возраста: Группировка гипотрофий: Дети первых двух лет жизни:I. Гипотрофия хроническое расстройство питания с дефицитом массы тела относительно роста.
68732. Античная Греция: институт проксении 34 KB
  В отношениях между полисами и их гражданами особую роль выполнял такой институт как проксении своеобразный вид гостеприимства. Проксения существовала между отдельными лицами родами племенами и целыми государствами. Проксеном являлся гражданин одного полиса оказывавший услуги гражданам или официальным лицам...
68733. Сущность, задачи и структура финансовой политики государства 21.1 KB
  Сущность задачи и структура финансовой политики государства Финансовая политика совокупность целенаправленных действий с использованием финансовых отношений финансов. Задачами финансовой политики является:обеспечение условий для формирования максимально возможных финансовых ресурсов...
68734. Хирургическая операция. Оперативная хирургическая техника 27.93 KB
  Хирургические инструменты. Абсолютные когда отказ от операции приведет к ухудшению состояния или смерти. А абсолютные к экстренной операции жизненные когда отказ от операции приведет к ухудшению состояния или к смерти в настоящий момент: асфиксии острые кровотечения острые...
68736. Служба охраны труда на предприятии, её структура, права и обязанности 32 KB
  Служба охраны труда предприятия либо работник на которого возложены эти обязанности руководствуются следующими документами: − типовым положением о службе охраны труда на предприятии; − квалификационными характеристиками должностей начальника отдела охраны труда и инженера по охране труда.
68737. Соотношение понятий и функций: СО и реклама, СО и пропаганда, СО и маркетинг, СО и паблисити, СО и реклама 38 KB
  Реклама разновидность массовой коммуникации в которой создаются и распространяются тексты однонаправленного и неличного характера оплаченные идентифицированным рекламодателем и адресованные аудитории с целью побудить ее к нужному выбору.