20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

34 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67690. Разработка схем трехразрядного счетчика 491 KB
  Основной функцией счётчика является прибавление единицы к некоторому коду. У каждого счётчика есть диапазон значений который определяется количеством триггеров входящих в его состав. Основные параметры которые необходимо улучшать в счётчиках это быстродействие и время задержки.
67691. Скремблеры. Системы криптографической защиты информации 817.9 KB
  Суть скремблирования заключается в побитном изменении проходящего через систему потока данных. Скремблирование широко применяется во многих видах систем связи для улучшения статистических свойств сигнала и осуществляется на последнем этапе цифровой обработки.
67692. Управление списками в MS Excel: создание списка «Автомобили», сортировка, отбор, анализ данных 2.43 MB
  Форма данных представляет собой средство для поиска и редактирования записей, которые удовлетворяют простому или множественному критерию сравнения. В форме данных условия в критерии должны соответствовать логической операции и, для поиска некоторого фрагмента текста...
67693. Автоматизация учета продажи товаров на примере магазина детских товаров «Аистенок» 3.05 MB
  Компьютер облегчает учет сокращая время требующееся на оформление документов и обобщение накопленных данных для анализа хода торговой деятельности необходимого для управления ею.; участие в разработке и осуществлении мероприятий направленных на соблюдение финансовой...
67694. Имитационное моделирование систем массового обслуживания 219 KB
  Время обслуживания также представляет случайную величину. Поток заявок Выбывающие из поступающих системы обслуживания на обслуживание клиенты Очередь Блок обслуживания Обслуживающая система Рис. Цели и допущения положенные в основу разработки имитационной модели Имитационная модель не должна копировать фактическое...
67695. Передатчик судовой подвижной службы, предназначенный для связи береговых служб с морскими судами и между судами 301.27 KB
  Рассчитать передатчик судовой подвижной службы, рассчитанный для связи береговых служб с морскими судами и между судами. Максимальная мощность сигнала в антенне (Pa) – 1500 Вт. Диапазон рабочих частот 0.4-5 МГц Нагрузка – несимметричный фидер с волновым сопротивлением 75 Ом.
67696. Скремблеры 195.23 KB
  Главной целью при разработке систем передачи речи является сохранение тех ее характеристик которые наиболее важны для восприятия слушателем. Безопасность связи при передаче речевых сообщений основывается на использовании большого количества различных методов закрытия сообщений меняющих...
67697. Карибська криза 1962 року 145.5 KB
  Кубинська революція відбулася незалежно від будьяких значних починань радянської політики і поступово створила в зоні американського впливу соціалістичну державу відносини з якою у США складалися чим далі тим гірше. Обидва полюси СРСР і США були непримиренними ворогами.
67698. ИЗУЧЕНИЕ КИНЕТИКИ ЭЛЕКТРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ЗАЩИТЕ СТАЛИ ФОСФАТНЫМИ ПЛЁНКАМИ 127.09 KB
  Причиной возникновения и протекания процессов коррозии является термодинамическая неустойчивость материалов к определенным компонентам, находящихся в окружающей их среде. Результатом коррозии являются продукты коррозии (например, ржавчина), испорченное оборудование, разрушение конструкций.