20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

34 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78951. Правовое регулирование научной деятельности 38 KB
  Правовое регулирование научной деятельности Одним из фундаментальных вопросов современного общества является вопрос об отношении к интеллектуальному труду правовому механизму использования результатов такого труда и регулирования возникающих при этом правоотношений. Правовые аспекты интеллектуальной деятельности лежат в плоскости решения проблем распределения прав на ее результаты с необходимостью охраны и защиты интеллектуальных достижений. Продуктом умственной деятельности оказывается знание. №982 Об использовании результатов...
78952. Философия техники (фт), ее генезис, предмет и задачи 47 KB
  Философия техники фт ее генезис предмет и задачи. Проблема возникновения техники с разделением труда была поставлена Гегелем. Он показал важную роль техники в возникновении капитализма показал разрушительное воздействие машинного производства на человека.Ленк назвал Маркса первым философом техники.
78953. Становление, развитие и специфика технических наук 56.5 KB
  Становление развитие и специфика технических наук. Техника большую часть своей истории была мало связана с наукой; люди могли делать и делали устройства не понимая почему они так работают. Инженеры провозглашая ориентацию на науку в своей непосредственной практической деятельности руководствовались ею незначительно. После многих веков такой автономии наука и техника соединились в XVII веке в начале научной революции.
78954. Сущность и природа техники 47.5 KB
  Сущность и природа техники. Существует 5 основных подходов сущности техники. отношением: Техника и бытие Техника и человек Техника и природа Техника и социокультурный мир Техника и Бог Даются следующие трактовки техники: Онтологическая Хайдеггер. Это характерно для создания техники ремесленным трудом не преминим к современной технике.
78955. Технология и ее связь с техникой 47 KB
  Впервые термин «технология» появился в 70-х годах 18 века в Западной Европе. Если техники – «это», то технология – «как это сделано». Если техника – способ, то технология – способ способа. Если техника – есть ставшее, то технология – способ становления, если техника- способ преобразования мира, то технология – организация использование чел. этих средств. Если техника – артефакт, то технология – метод создания артефактов и учения о нем.
78956. Природа и техника, законы их функционирования и развития 59 KB
  Природа и техника законы их функционирования и развития. Закон необходимое существенное устойчивое повторяющееся отношение связь между явлениями в природе и обществе. Это понятие закона родственно понятию сущности при данных условиях. Закономерность объективно существующая повторяющая существенная связь явлений проявляющаяся в виде тенденций.
78957. Инновации в традиционном и техногенном обществах 29.5 KB
  Инновации в традиционном и техногенном обществах Традиционные общества является исторически первыми. Данный тип общества возник в глубокой древности распространен он и сейчас. Некоторые традиционные общества были поглощены техногенными другие приобрели гибридные черты балансируя между техногенными и традиционными ориентациями. При характеристике традиционных типов общества очевиден тот факт что они обладая замедленным темпом развития придерживаются устойчивых стереотипов своего функционирования.
78958. Ценности классической, неклассической, постнеклассической науки 39.5 KB
  Существуют социальные и внутренние ценности. Социальные ценности делятся на материальные и духовные. удовлетворение своих материальных потребностей научные ценности истина добро зло итд Социальные ценности: частная собственность рыночная экономика деньги итд социальнополитические: свобода слова собраний критики различные права эстетические и философские ценности Внутри научные 1. Социальные и внутринаучные ценности диалектически связаны между собой.
78959. Социальная оценка техники 29 KB
  Социальная оценка техники Введение Узкий смысл понятия техники: под техникой понимается техническое устройство артефакт созданное человеком из элементов природы для решения конкретных культурных задач. Широкий смысл понятия техники: искусственный или организованный прием усиливающий улучшающий или облегчающий действие техника письма техника плавания техника вопросов и т. При изучении вопроса о последствия техники и технологии следует иметь в виду двойственный характер техники. Общая часть Проблемы негативных социальных и других...