20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

31 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79682. Проблемы и препятствия на пути воздействия на трудовую мотивацию персонала. Пути совершенствования мотивации труда 324.5 KB
  Государственное управление заключает в себе огромный материальный и человеческий риск. Это прежде всего высокие затраты, опасность ущемления общественного благосостояния, и, вызванная последним, низкая репутация чиновничества и государства в целом в глазах общественности.
79683. Факторы формирования чувства преданности организации 153.5 KB
  Определение понятия преданность организации. Психологические механизмы лежащие в основе чувства преданности организации. Приверженность организации и самочувствие.
79684. Формирование кадровой политики предприятия связи ОАО Липеком 739.5 KB
  Практика управления предприятием связи Липеком. Кадры управления менеджеры и их роль в процессе деятельности предприятия. Общая характеристика управления кадрами. Статья приложения структуры управления Липекома и статья приложения аудиторской проверки сканированы и отпечатаны с оригинала.
79685. Создание тренинга. Разработка программы тренинга 122 KB
  Разработка программы тренинга. С Заказчиком обсуждаются следующие вопросы: цели и задачи предстоящего тренинга Цели должны представлять направление на долгосрочную перспективу. Но можно по крайней мере оценить достаточно ли было упражнений на отработку навыков помогал ли тренер в процессе этих упражнений изучал ли тренер компанию и группу до тренинга и есть ли посттренинговое сопровождение.
79686. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ БЕЗРАБОТИЦЫ. ВЛИЯНИЕ ЭКОНОМИКИ НА БЕЗРАБОТИЦУ 135 KB
  Закона о занятости населения в Российской Федерации Безработными признаются трудоспособные граждане которые не имеют работы и заработка зарегистрированы в органах службы занятости в целях поиска подходящей работы ищут работу и готовы приступить к ней. В Законе РФ О занятости населения в РФ определена политика государства в области занятости населения права граждан в области занятости а также вопросы регулирования организации занятости и создания государственной службы занятости населения. Международная Организация Труда...
79687. Деятельность кадрового подразделения организации 246.5 KB
  Любая организация существует только тогда, когда есть работающие в ней люди. Открытие какой угодно фирмы, предприятия, учреждения, организации начинается с подбора и оформления работников. Поэтому наличие службы кадров или специально выделенного сотрудника, занимающегося оформлением кадров, обязательно для организации не только любого масштаба, но и любой организационно-правовой формы.
79688. Обучение персонала как фактор повышения эффективности работы организации 785.5 KB
  Исследовать пути создания конкурентных преимуществ организации в рыночных условиях хозяйствования; обосновать важность человеческого ресурса как главного ресурса в организации; рассмотреть понятие кадрового потенциала и пути его повышения; рассмотреть порядок организации работы по обучению персонала и систематизировать методы обучения...
79689. Планирование кадров предприятия и их подбор 233.5 KB
  Любая организация создается для выполнения каких-либо целей и нуждается в управлении, а от того насколько эффективно ею управляют, и зависит достижение поставленных задач. Найти правильные методы налаживания связей между целями организации и людьми, которые их выполняют должен руководитель
79690. Презентационные и коммуникативные навыки тренинг-менеджера 177 KB
  Обычно выделяют четыре основные цели презентации в отношении других людей: сообщить информацию; научить; создать мотивацию; развлечь. Сообщить информацию значит дать другим людям полное представление о том что является предметом презентации.