20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

31 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20759. Определение режима резания лезвийным инструментом 720.87 KB
  Обработка металлов резанием Практическая работа №4 Определение режима резания лезвийным инструментом Цель работы: ознакомиться с методикой определения режима резания для лезвийной обработки точение строгание сверление зенкерование развертывание фрезерование и т. Порядок проведения Необходимым условием для назначения режимов резания является наличие разработанного технологического процесса по операциям и переходам а также паспортных данных станков. Рекомендуется соблюдать определенную последовательность назначения режимов резания....
20760. Определение твердости металлов По Бринеллю и Роквеллу 237.6 KB
  Лабораторная работа № 1 Тема: Определение твердости металлов По Бринеллю и Роквеллу Выполнил: Учащийся гр. Цель работы: ознакомиться с методами и способами испытаний твердости металлов. Методы измерения твердости: статического и ударного вдавливания царапин отскока и другие. Таблица 1 Сравнительные значения твердости...
20761. Определение механических свойств металлов при испытании на растяжение 184.58 KB
  Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали и схемы определения характеристик прочности Для нагрузки Рпц удлинение образца пропорционально усилию растяжения и при его снятии образец восстанавливает свои первоначальные форму и размеры; Рт усилие предела текучести физического соответствует нагрузке когда деформация образца происходит без ее увеличения;т предел текучести физический. Эти показатели определяют когда пластическая деформация образца достигает 02 от его рабочей длины l0. Усилие Pk меньше P max что...
20762. Микроскопический анализ металлов и сплавов 138.25 KB
  Если в задачу изучения микроструктуры входит определение размера зерна то рекомендуется использовать метод визуального сравнения зерен изучаемой микроструктуры при увеличении х100 со стандартной шкалой размеров зерна по ГОСТ 653982 рис. Устанавливается номер балл зерна затем по номеру используя табл.10 определяется поперечный размер зерна мм его площадь мм2 и количество зерен на площади шлифа в 1 мм2.10 Характеристика оценки зерна в зависимости от его номера Продолжение таблицы 1.
20763. Испытание свойств формовочных смесей 146.22 KB
  Литейное производство Лабораторная работа №12 Испытание свойств формовочных смесей Цель работы: изучение методов определения газопроницаемости и прочности формовочных смесей и влияния состава смеси на ее свойства. Лабораторные бегуны; лабораторный копер; технические весы с разновесами; сушильный шкаф с термометром для измерения температуры до 300 С; приборы для определения пределов прочности смеси при растяжении и сжатии; металлическая гильза с поддоном; выталкиватель; стержневой ящик; мензурка; коробка для смесей; сухой песок; формовочная...
20764. Изучение процесса сварки плавлением. Выбор режима ручной дуговой сварки конструкций из стали 267.5 KB
  Сварка металлов Лабораторная работа №14 Изучение процесса сварки плавлением. Выбор режима ручной дуговой сварки конструкций из стали Цель работы: ознакомиться с процессом зажигания и строением электрической сварочной дуги обозначением покрытых электродов устройством и работой сварочного трансформатора и выпрямителя выбором режима и технологии дуговой сварки покрытыми электродами. Классификация и обозначение покрытых электродов для ручной дуговой сварки Покрытые электроды для ручной дуговой сварки классифицируют по назначению виду и толщине...
20765. Выбор режима полуавтоматической дуговой сварки в углекислом газе 181.34 KB
  Общие сведения 1 Cущность промесса дуговой сварки в углекислом газе Дуговая сварка в углекислом газе является одним из способов сварки в защитных газах. Зашита расплавленного металла сварочной ванны осуществляется струей углекислого газа подаваемого в зону дуги в зазор между мундштуком 2 и соплом 3 горелки для дуговой сварки. Для сварки используется техническая углекислота Рис.
20766. Анализ влияния режима автоматической дуговой сварки под флюсом на форму и размеры шва 179.25 KB
  Сущность процесса дуговой сварки под флюсом Сварка под флюсом выполняется электрической дугой горящей под толстым 3050 мм слоем гранулированного плавленного или керамического сварочного флюса. При автоматической сварке электродная проволока со скоростью равной скорости ее плавления подается в зону сварки осуществляется подача флюса в требуемом количестве и перемещение трактора вдоль кромок свариваемых заготовок с требуемой скоростью сварки рис. Схемы процесса сварки а и электрической дуги б под флюсом При горении дуги 3 рис.
20767. Определение остаточных деформаций при дуговой сварке 85.43 KB
  Для выполнения работы необходимы стальная пластинка размерами 135x22x5 мм марки СтЗ штангенциркуль два индикатора часового типа с приспособлениями для измерения длины и пригиба пластины электроды сварочный пост дуговой сварки с вольтметром и амперметром для регистрации сварочного тока весы с разновесами 0200 г секундомер. Для момента конца сварки заменяем действительное почти экспоненциальное распределение температуры по ширине образца рис. Часть I шириной b находится в состоянии повышенной пластичности часть II шириной h в течение...