20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

36 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6612. Методы графического представления результатов анализа в системе менеджмента качества 1.36 MB
  Методы графического представления результатов анализа в системе менеджмента качества Диаграмма ПРИЧИНЫ - РЕЗУЛЬТАТ (Диаграммы Исикавы) Любой этап производственного процесса характеризуется получением какого-либо результата. Результат может ус...
6613. Статистические методы системы качества 440.15 KB
  Статистические методы системы качества. Контрольные карты При организации любого производственного процесса возникает задача установки предельно допустимых характеристик изделия, в рамках которых произведенная продукция удовлетворяет своему предназн...
6614. Основные этапы сертификации производства авиационных двигателей 122.22 KB
  Основные этапы сертификации производства авиационных двигателей Основой эффективной деятельности в современных условиях хозяйствования является сертификация производства, цель которой обеспечение производства и ремонта двигателей заданного качества ...
6617. Язык и речь. Речевая культура 67 KB
  Язык и речь. Речевая культура. План: Педагогическая риторика как наука. Понятие языка в современной лингвистике. Язык и речь. Речевая культура. Педагогическая риторика как наука Возрождение педагогической риторики началось в ...
6618. Формы существования языка (язык национальный / язык литературный) 105 KB
  Формы существования языка (язык национальный / язык литературный) План: Понятие о национальном языке Понятие о литературном языке Устная и письменная формы русского литературного языка. Язык создается народом и обслуживает его из...
6619. Фонетические и акцентологические нормы и особенности их выполнения в образцовой речи 87 KB
  Фонетические и акцентологические нормы и особенности их выполнения в образцовой речи План: Орфоэпия как раздел фонетики Становление орфоэпических норм русского литературного языка Особенности произношения отдельных слов русского ...
6620. Русская лексика и культура речи 106.5 KB
  Русская лексика и культура речи План: Точность и богатство речи как её необходимые качества Изобразительные свойства лексических явлений: многозначности, омонимии, синонимии, антонимии. Речевые ошибки, связанные с нарушением лекси...