20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

36 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15154. Общество в жизни Татьяны, Онегина и автора 16.29 KB
  Общество в жизни Татьяны Онегина и автора Татьяна простая провинциальная девушка она не красавица но задумчивость и мечтательность выделяют ее среди других людей в обществе которых она чувствует себя одиноко так как они не способны понять ее. Дика печальна...
15155. Один в поле воин, если он-Чацкий 21.21 KB
  Один в поле воин если онЧацкий Образ главного героя комедии сочетает в себе все черты идеального человека: высоко развитое чувство собственного достоинства истинная культура и просвещенность нежелание мириться с несправедливым общественным устоем нена
15156. Основные мотивы лирики А.С. Пушкина 34.62 KB
  Основные мотивы лирики А. С. Пушкина Читая лирику А. С. Пушкина великий русский писатель Н. В. Гоголь задался вопросом: Что же стало предметом поэзии А. С. Пушкина И сам отвечал: Все стало предметом. В своем творчестве поэт обращался к темам любви и дружбы его ...
15157. ГОСУДАРСТВО И ФУНКЦИИ ГОСУДАРСТВА 21.09 KB
  государство и Функции государства Государство особая организация общества объединённого общими социальными культурными интересами занимающая определённую территорию имеющая собственную систему управления сис
15158. День Святой Троицы 19.87 KB
  День Святой Троицы День Святой Троицы Пятидесятница Сошествие Святого Духа один из главных христианских праздников входящий в православии в число двунадесятых праздников. Православная церковь отмечает Троицу на 49 день после Пасх
15159. Камчатка 14.18 KB
  Камчатка полуостров на северовостоке Азии Россия. Омывается на З. Охотским морем на В. Тихим океаном и Беринговым морем. Дл. 1200 км шир. до 450 км площадь 370 тыс. км. Перешейком Парапольский Дол соединяется с материком. Зап. берег изрезан слабо на вост. берегу большие зали
15160. Культура России в конце XIX - начале XX века 22.77 KB
  Культура России в конце XIX начале XX века Конец XIX начало XX в. стали чрезвычайно плодотворным периодом в развитии отечественной ку...
15161. Западный фронт Первой мировой войны 58.13 KB
  Западный фронт Первой мировой войны Первая мировая война 28 июля 1914 11 ноября 1918 один из самых широкомасштабных вооружённых конфликтов в истории человечества. Это название утвердилось в историографии только после начала...
15162. Первобытное и античное общества 15.74 KB
  Первобытное общество период в истории человечества до изобретения письменности после чего появляется возможность исторических исследований основанных на изучении письменных источников. Периоды развития первобытного общества: Каменный век древнейший пери