20723

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.

Русский

2013-07-31

62 KB

30 чел.

Матанализ.

Вопрос №2.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности.

Определение: Если каждому  по определённому закону можно поставить в соответствие , то числа, получающиеся при каждом конкретном n, образуют числовую последовательность. При этом x1, x2, …, xn – члены данной последовательности.

Рассмотрим две последовательности:

Заметим, что для 1) – чем больше n, тем больше {Xn}, для 2) – чем больше n, тем меньше {Yn}.

{Xn} сводиться к ∞, при n стремящемся к ∞.

{Yn} сводиться к 0, при n стремящемся к ∞.

Рассмотрим :

  

Определение 1: число a называется пределом последовательности {Xn} или {Xn} → a при n → ∞, если при любом, сколь угодно малом заданном положительном числе ε > 0 существует число δ > 0, зависящее от ε, и для любого n > δ справедливо равенство |xn a|< ε.

Геометрическая интерпретация сходимости {Xn} → a:

Таким образом , после вертикальной прямой x = δ в полосе  будет расположено бесчисленное множество членов последовательности {Xn}, а конечное число членов {Xn} может быть расположено как в полосе, так и вне её до прямой x = δ.

Теорема. Если {Xn} сходится, то её предел единственный (теорема единственности предела).

Рассмотрим отрицание определения 1:

.

Если такое имеет место, то пишут, что последовательность расходится.

Теорема (Необходимое условие сходимости числовой последовательности): если последовательность {Xn} сходится, то она ограничена.

Следствие. Если {Xn} не ограничена, то она расходится.

Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0, то она называется бесконечно малой последовательностью. Обозначение: {αn}, {βn} и т.д.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

  1.  Алгебраическая сумма бесконечно малый последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  2.  Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
  3.  Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  4.  Алгебраическая сумма ограниченной и бесконечно малой последовательности есть ограниченная последовательность.

Теорема (Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы последовательность {Xn} сходилась к числу a необходимо и достаточно выполнения равенства

(1), где αn – бесконечно малое.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {Xn} сходится к числу a.

Дано: . Показать: (1)

Достаточность.

Дано: (1). Показать: .

Теорема доказана полностью.

Признаки сходимостей числовых последовательностей:

  1.  Признак сравнения. Если последовательность {Xn} – сходится и {Xn}>{Yn}, то последовательность {Yn}  также сходится. Если же последовательность {Xn} – расходится и при этом {Xn}<{Yn}{Xn}, то последовательность {Yn} – расходится.
  2.  Признак Даламбера.

.

При этом:

– если k>1, то последовательность расходится;

– если k<1, то последовательность сходится;

– если k=1, то данный признак о сходимости последовательности не даёт.

  1.  Признак Коши.

 

  •  если а конечно, то последовательность сходится,
    •  если бесконечно, то последовательность расходится,
    •  если a=0, то данный признак ответа на сходимость не даёт.
  1.  Необходимый признак сходимости.


Y

X

а + ε

а - ε

δ

a

0

x1

x2

x3

xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24722. Сознание 44 KB
  Задачи: определение понятия сознание функции сознания слои сознания по Зинченко В. психические состояния человека состояния сознания. Ключевые понятия: понятие сознание слои сознания функции сознания психические состояния человека: определение измерения характеристики виды; состояния сознания. Слои сознания по Зинченко В.
24723. Я-ОБРАЗ 52.5 KB
  Общение с собой: Начало психологии активности. Основы общей психологии. Элементы практической психологии.
24725. Предметная область психологии 71.5 KB
  занятие контрольнодиагностические задания Цели: теоретическое и практическое овладение знаниями знакомство с наукой психология связь психологии с другими науками Ключевые понятия: психология как наука предмет психологии задачи психологии. Методология и методы психологии: методология – наука о методах. психологии харакны след принципы: В основе лежат постулаты диалектического материализма Принцип развития психика – непрерывно изменяющ.
24726. Человек как предмет общей психологии 35.5 KB
  Предложите и обоснуйте проект проведения лекции по теме Человек как предмет общей психологии Тема: человек как предмет общей психологии лекция. Цель: человек как предмет общей психологии. Ключевые понятия: объект психологии; предмет психологии; модельное описание психического облика человека: лингвистическая картина психического облика человека описание состава человеческой души: Аристотель Платон Плотин; ингредиенты психического облика; психика. Основные тезисы и краткое их доказательство: Первым и важнейшим объектом психологии...
24727. ТЕМПЕРАМЕНТ 43.5 KB
  Адресат: студенты 1го курса психологического факультета Цели: знакомство студентов с понятием темперамент раскрытие этого понятия через его определение и свойства с помощью темперамента показать психологические личностные различия. Задачи: определение темперамента история представлений о темпераменте свойства темперамента. Ключевые понятия: темперт темпераментные свойства типы ВНД типы темпта.
24728. Личность 41 KB
  Задачи: определение подходов к пониманию личности понятия личность подходов выявляющих ядро личности закономерностей развития личности направления исследования личности. Ключевые понятия: личность; система смыслов черт планов отношений; индивид субъект деятельности индивидуальность; биологическое и социальное социализация личности. и краткое их доказательство: В психологии имеются разные подходы к пониманию личности: она м. Подходы выявляющие ядро личности можно систематизировать след.
24729. Тромбоцитопеническая пурпура 140 KB
  Заболевание начинается исподволь или остро с появления геморрагического синдрома: кровоизлияния в кожу или слизистые оболочки и кровотечения из них. Для ТП характерны кровотечения из слизистых оболочек. Наиболее часто у детей наблюдаются кровотечения из носа маточные кровотечения у девочек в пубертатном возрасте. Реже бывают желудочнокишечные и почечные кровотечения.
24730. Патология периода новорожденности 127 KB
  Слайд 2 Последствия перенесенной энцефалопатии в периоде новорожденности нарушения психики церебральные параличи эпилепсия другие заболевания головного мозга. Некоторые дети перенесшие внутричерепную травму остаются с нарушениями психики с церебральными параличами с эпилепсией и другими заболеваниями головного мозга. Механизм развития патологического процесса при внутричерепной травме новорожденных можно представит в виде следующей схемы: Слайд 4 Схема развития патологического процесса при повреждении нервной системы...