20726

Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования

Доклад

Математика и математический анализ

Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей когда ММо. Предел Vcp = Если он существует то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V. yo y = fxox y = Если существует предел то он называется производной данной функции в данной точке xo. Обозначим приращение функции в точке xo приращению аргумента Если вместо xo произвольная точка x то пишут не указывая в какой точке.

Русский

2013-07-31

123 KB

14 чел.

Математический анализ

5. Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (геометрическая).

О проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая K, которая является графиком функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Опр. Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей, когда ММо.

Так как по определению касательная есть прямая, зададим уравнение этой прямой в виде yk=kx+b.

Находим b из условия yo=f(xo).

b=yo-kxo

yk=yo-k(x-xo)

yk-yo=k(x-xo)

tgα=y/x

ММо, y0, x0.

Угловой коэффициент k

k=  или k =    (1)

Поставленная геометрическая задача сведена к вычислению предела (1). Если существует предел (1), то существует искомая касательная, иначе – не существует.

Задача 2 (физическая).

Пусть материальная точка М движется из точки А в направлении точки В. Причем закон изменения пройденного пути от времени известен, S=S(t), т.е. есть  функция от t.

Требуется найти мгновенную скорость точки М в некоторый момент.

Пусть t=0 – начальный момент времени.

В момент времени t>0 точка М прошла путь S(t).

В момент времени t+t точка М прошла путь S(t+t).

Тогда

Опр. 

Предел Vcp =  

Если он существует, то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V.

V =     (2)

Поставленная физическая задача сведена к вычислению предела (2). С математической точки зрения пределы (1) и (2) ничем не отличаются.

Поэтому было решено пределы такого вида обозначать как самостоятельный математический объект и изучить его свойства математическими методами.

Опр.

Пусть дана функция y = f(x).         

Точка Xo фиксирована и принадлежит D(f), yo=f(xo).

yo +y = f(xo+x)

y =

Если существует предел , то он называется производной данной функции в данной точке xo.

Обозначим

(приращение функции в точке xo / приращению аргумента)

Если вместо xo произвольная точка x, то пишут , не указывая в какой точке.

Геометрический и механический (физический) смысл производной.

Возвращаясь к двум ранее поставленным задачам можно сказать следующее:

  1.  геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке Mo (xo,yo).
  2.  механический смысл производной – мгновенная скорость как производная взятая от функции пути по времени.

Дифференциал функции.

y=f(x),  D(f),  x0D(f).

Опр.

Если приращение f(x) в точке x0 представимо в виде f(x0)=Ax+α(x)*x   (1),

x0, α(x)0, A=const,  то функция f(x) дифференцируема в точке x0.

При  этом слагаемое A*x называется главной линейной частью относительно x этого приращения.

Опр.

Главная линейная часть, приращение функции в точке x0 при A≠0 называется дифференциалом функции в данной точке и обозначается df(x0).

, A≠0.

Теорема.

Для дифференцируемости функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнения равенства f(x0)= x+α(x)*x  (2).    

Доказательство.

Необходимость.

Дано, что f(x) дифференцируема в точке x0.

Следует показать справедливость равенства (2).

Так как f(x) дифференцируема в точке x0, то по определению выполняется (1), в котором положим A=.

Тогда из (1) имеем (2).

Достаточность.

Дано (2).

Показать, что существует .

Из (2) имеем

 

С учетом доказанной теоремы для дифференциала, имеем формулу df(x0)=  (3).

Дифференциал функции равен произведению производной в точке x0 на приращение.

 

Правила дифференцирования.

Пусть с=const, u(x) и v(x) имеют производные в точке x0, x0D(u), x0D(v).

Тогда

1)

2)

3)

4)

5)

доказательство для 5)

f(x)=

доказываем по определению.

f(x+x)=

 

Перейдем к пределу при

Получим:

6) производная сложной функции

пусть даны функции u=g(y), y=f(x) и имеет смысл сложная функция g(f(x)).

Как найти ?

Теорема.

Если

1) функция y=f(x) дифференцируема в точке x0

2) функция u=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0),

то сложная функция g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство

Если x0 – произвольная точка, то

.

7) производная обратной функции

Пусть дана функция y=f(x), D(f)=X, E(f)=Y.

Обозначим x=g(y) – обратную функцию для y=f(x).

Как найти

Теорема.

Если

  1.  функция f(x) строго монотонна и непрерывна в X
  2.  в точке x0X существует

то в соответствующей точке y0=f(x0) также существует производная от  обратной функции, равная

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67112. Гриби – це користь чи отрута? 6.22 MB
  Розповісти учням про позитивні та негативні якості грибів. Навчити учнів правилам техніки безпеки при споживанні та зборі грибів. Засвоїти правила першої допомоги при отруєнні грибами. Розширити вміння учнів працювати в групах, працювати з додатковою літературою.
67113. Гумористично-розважальний захід 44 KB
  Але чи завжди ми прислухаємося до них ІІ ведучий: Сьогодні в нас є чудова нагода поспілкуватися триває тиждень української мови. І ведучий: А я хочу навести цікавий приклад. Може це й правильно ІІ ведучий: Отже нам приємно бачити всіх хто відгукнувся на наше запрошення.
67116. ФІ3ИКА НАВКОЛО НАС 68 KB
  Мета: зацікавити дітей показом цікавих i ефектних дослідів, які можна поясните на основі знанъ з кypcv природознавства та географії. Навчити спостерігати i робити висновки. Проілюструвати єдність законів природи. Зацікавити дітей майбутнім предметом.
67117. Пам’ять священна 49.5 KB
  Повернутися до подій 1941-1945 рр., поглибити знання про події Великої Вітчизняної війни, розвивати в учнів уміння опрацьовувати і порівнювати статистичні дані, аналізувати історичні документи, виховувати в учнів почуття гордості за український народ і його подвиг в роки війни.
67119. Das Fest der Liebe. A Holiday of Love 64.5 KB
  We are gathered here to have a nice time and to have a lot of fun. The decoration of the hall creates the atmosphere of expectation of something special, extraordinary that should happen here! Isn't it? Everything here speaks about love. I just feel myself like in the world of love, smile and happiness!
67120. «Надо химию учить!» Выступление агитбригады 3.73 MB
  Цели мероприятия: профориентационная работа; пропедевтика курса химии; популяризация химических знаний; создание мотивации к изучению предмета химии; профилактика детского травматизма на дороге и дома; пропаганда бережного отношения к природе; обеспечение полезного досуга для учащихся...