20726

Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования

Доклад

Математика и математический анализ

Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей когда ММо. Предел Vcp = Если он существует то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V. yo y = fxox y = Если существует предел то он называется производной данной функции в данной точке xo. Обозначим приращение функции в точке xo приращению аргумента Если вместо xo произвольная точка x то пишут не указывая в какой точке.

Русский

2013-07-31

123 KB

7 чел.

Математический анализ

5. Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (геометрическая).

О проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая K, которая является графиком функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Опр. Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей, когда ММо.

Так как по определению касательная есть прямая, зададим уравнение этой прямой в виде yk=kx+b.

Находим b из условия yo=f(xo).

b=yo-kxo

yk=yo-k(x-xo)

yk-yo=k(x-xo)

tgα=y/x

ММо, y0, x0.

Угловой коэффициент k

k=  или k =    (1)

Поставленная геометрическая задача сведена к вычислению предела (1). Если существует предел (1), то существует искомая касательная, иначе – не существует.

Задача 2 (физическая).

Пусть материальная точка М движется из точки А в направлении точки В. Причем закон изменения пройденного пути от времени известен, S=S(t), т.е. есть  функция от t.

Требуется найти мгновенную скорость точки М в некоторый момент.

Пусть t=0 – начальный момент времени.

В момент времени t>0 точка М прошла путь S(t).

В момент времени t+t точка М прошла путь S(t+t).

Тогда

Опр. 

Предел Vcp =  

Если он существует, то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V.

V =     (2)

Поставленная физическая задача сведена к вычислению предела (2). С математической точки зрения пределы (1) и (2) ничем не отличаются.

Поэтому было решено пределы такого вида обозначать как самостоятельный математический объект и изучить его свойства математическими методами.

Опр.

Пусть дана функция y = f(x).         

Точка Xo фиксирована и принадлежит D(f), yo=f(xo).

yo +y = f(xo+x)

y =

Если существует предел , то он называется производной данной функции в данной точке xo.

Обозначим

(приращение функции в точке xo / приращению аргумента)

Если вместо xo произвольная точка x, то пишут , не указывая в какой точке.

Геометрический и механический (физический) смысл производной.

Возвращаясь к двум ранее поставленным задачам можно сказать следующее:

  1.  геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке Mo (xo,yo).
  2.  механический смысл производной – мгновенная скорость как производная взятая от функции пути по времени.

Дифференциал функции.

y=f(x),  D(f),  x0D(f).

Опр.

Если приращение f(x) в точке x0 представимо в виде f(x0)=Ax+α(x)*x   (1),

x0, α(x)0, A=const,  то функция f(x) дифференцируема в точке x0.

При  этом слагаемое A*x называется главной линейной частью относительно x этого приращения.

Опр.

Главная линейная часть, приращение функции в точке x0 при A≠0 называется дифференциалом функции в данной точке и обозначается df(x0).

, A≠0.

Теорема.

Для дифференцируемости функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнения равенства f(x0)= x+α(x)*x  (2).    

Доказательство.

Необходимость.

Дано, что f(x) дифференцируема в точке x0.

Следует показать справедливость равенства (2).

Так как f(x) дифференцируема в точке x0, то по определению выполняется (1), в котором положим A=.

Тогда из (1) имеем (2).

Достаточность.

Дано (2).

Показать, что существует .

Из (2) имеем

 

С учетом доказанной теоремы для дифференциала, имеем формулу df(x0)=  (3).

Дифференциал функции равен произведению производной в точке x0 на приращение.

 

Правила дифференцирования.

Пусть с=const, u(x) и v(x) имеют производные в точке x0, x0D(u), x0D(v).

Тогда

1)

2)

3)

4)

5)

доказательство для 5)

f(x)=

доказываем по определению.

f(x+x)=

 

Перейдем к пределу при

Получим:

6) производная сложной функции

пусть даны функции u=g(y), y=f(x) и имеет смысл сложная функция g(f(x)).

Как найти ?

Теорема.

Если

1) функция y=f(x) дифференцируема в точке x0

2) функция u=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0),

то сложная функция g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство

Если x0 – произвольная точка, то

.

7) производная обратной функции

Пусть дана функция y=f(x), D(f)=X, E(f)=Y.

Обозначим x=g(y) – обратную функцию для y=f(x).

Как найти

Теорема.

Если

  1.  функция f(x) строго монотонна и непрерывна в X
  2.  в точке x0X существует

то в соответствующей точке y0=f(x0) также существует производная от  обратной функции, равная

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16955. Перевод ЭБ из состояния «Горячий останов» в состояние Холодный останов 147.5 KB
  Лекция № 15 Тема: Перевод ЭБ из состояния Горячий останов в состояние Холодный останов. План лекции Введение 1.Подготовка РУ к расхолаживанию. 2.Расхолаживание 1 контура. 3. Расхолаживание 1 контура системой TQ122232. 4.Окончательное расхолаживание 1 контура
16956. Перевод ЭБ из состояния «работа на мощности» в состояние «горячий останов» 81 KB
  Тема: Перевод ЭБ из состояния работа на мощности в состояние горячий останов. План лекции Введение 1. Подготовка к снижению мощности и снижение мощности реактора. 2. Останов турбогенератора. 3. Разгрузка реактор...
16957. Перевод ЭБ из режима «Холодный останов» в режим «останов для ремонта» и «останов для перегрузки» 83 KB
  Тема: Перевод ЭБ из режима Холодный останов в режим останов для ремонта и останов для перегрузки. План лекции Введение 1.Дренирование 1 контура и консервация ПГ. 2.Подготовка ЭБ к ремонту. 3.Подготовка РУ к перегрузке топлива. ...
16958. Задачи и организационная структура управления эксплуатацией АЭС 84.5 KB
  Тема: Задачи и организационная структура управления эксплуатацией АЭС. План лекции Введение 1.Задачи эксплуатации АЭС. 2.Типовая организационная структура управления эксплуатацией АС. Выводы по лекции. Литература: 1.Острековский В.А. Эксплуатация АС. Москв
16959. Эксплуатационно-техническая документация на АЭС 106 KB
  PAGE 12 Лекция №3. Тема: Эксплуатационнотехническая документация на АЭС. План лекции. Введение. 1.Виды эксплуатационнотехнической документации на АЭС. 2.Руководящая документация на АЭС. 3.Пономерная документация на АЭС. 4. Документация опе...
16960. Эксплуатация ЭБ при снижении и повышении нагрузки генератора 120.5 KB
  Лекция № 13 Тема: Эксплуатация ЭБ при снижении и повышении нагрузки генератора. План лекции Введение. Эксплуатация ЭБ при снижении нагрузки. Эксплуатация ЭБ при повышении нагрузки. Выводы по лекции. Литература: Инструкция по эксплуатации...
16961. Перевод ЭБ в состояние холодный останов 83 KB
  Тема: Перевод ЭБ в состояние холодный останов. План лекции Введение Исходное состояние реакторной установки перед подготовкой к пуску после перегрузки топлива. Подготовительные операции по переводу реакторной установки в €œхолодный останов€.
16962. Імпорт таблиць. Встановлення звязків між таблицями 54 KB
  Практична робота №1 Тема: Імпорт таблиць. Встановлення звязків між таблицями. Мета: навчитися імпортувати таблиці MS Excel в таблиці Ms Access а також навчитися звязувати таблиці. Устаткування: ПК. Операційна система Windows СУБД Ms Access. Правила ТБ. Методичні реком...
16963. Імпорт таблиць. Встановлення звязків між таблицями 423.5 KB
  Практична робота №1 Тема: Імпорт таблиць. Встановлення звязків між таблицями. Мета: навчитися імпортувати таблиці MS Excel в таблиці Ms Access а також навчитися звязувати таблиці. Устаткування: ПК. Операційна система Windows СУБД Ms Access. Правила ТБ. Методичні реко