20726

Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования

Доклад

Математика и математический анализ

Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей когда ММо. Предел Vcp = Если он существует то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V. yo y = fxox y = Если существует предел то он называется производной данной функции в данной точке xo. Обозначим приращение функции в точке xo приращению аргумента Если вместо xo произвольная точка x то пишут не указывая в какой точке.

Русский

2013-07-31

123 KB

14 чел.

Математический анализ

5. Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (геометрическая).

О проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая K, которая является графиком функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Опр. Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей, когда ММо.

Так как по определению касательная есть прямая, зададим уравнение этой прямой в виде yk=kx+b.

Находим b из условия yo=f(xo).

b=yo-kxo

yk=yo-k(x-xo)

yk-yo=k(x-xo)

tgα=y/x

ММо, y0, x0.

Угловой коэффициент k

k=  или k =    (1)

Поставленная геометрическая задача сведена к вычислению предела (1). Если существует предел (1), то существует искомая касательная, иначе – не существует.

Задача 2 (физическая).

Пусть материальная точка М движется из точки А в направлении точки В. Причем закон изменения пройденного пути от времени известен, S=S(t), т.е. есть  функция от t.

Требуется найти мгновенную скорость точки М в некоторый момент.

Пусть t=0 – начальный момент времени.

В момент времени t>0 точка М прошла путь S(t).

В момент времени t+t точка М прошла путь S(t+t).

Тогда

Опр. 

Предел Vcp =  

Если он существует, то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V.

V =     (2)

Поставленная физическая задача сведена к вычислению предела (2). С математической точки зрения пределы (1) и (2) ничем не отличаются.

Поэтому было решено пределы такого вида обозначать как самостоятельный математический объект и изучить его свойства математическими методами.

Опр.

Пусть дана функция y = f(x).         

Точка Xo фиксирована и принадлежит D(f), yo=f(xo).

yo +y = f(xo+x)

y =

Если существует предел , то он называется производной данной функции в данной точке xo.

Обозначим

(приращение функции в точке xo / приращению аргумента)

Если вместо xo произвольная точка x, то пишут , не указывая в какой точке.

Геометрический и механический (физический) смысл производной.

Возвращаясь к двум ранее поставленным задачам можно сказать следующее:

  1.  геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке Mo (xo,yo).
  2.  механический смысл производной – мгновенная скорость как производная взятая от функции пути по времени.

Дифференциал функции.

y=f(x),  D(f),  x0D(f).

Опр.

Если приращение f(x) в точке x0 представимо в виде f(x0)=Ax+α(x)*x   (1),

x0, α(x)0, A=const,  то функция f(x) дифференцируема в точке x0.

При  этом слагаемое A*x называется главной линейной частью относительно x этого приращения.

Опр.

Главная линейная часть, приращение функции в точке x0 при A≠0 называется дифференциалом функции в данной точке и обозначается df(x0).

, A≠0.

Теорема.

Для дифференцируемости функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнения равенства f(x0)= x+α(x)*x  (2).    

Доказательство.

Необходимость.

Дано, что f(x) дифференцируема в точке x0.

Следует показать справедливость равенства (2).

Так как f(x) дифференцируема в точке x0, то по определению выполняется (1), в котором положим A=.

Тогда из (1) имеем (2).

Достаточность.

Дано (2).

Показать, что существует .

Из (2) имеем

 

С учетом доказанной теоремы для дифференциала, имеем формулу df(x0)=  (3).

Дифференциал функции равен произведению производной в точке x0 на приращение.

 

Правила дифференцирования.

Пусть с=const, u(x) и v(x) имеют производные в точке x0, x0D(u), x0D(v).

Тогда

1)

2)

3)

4)

5)

доказательство для 5)

f(x)=

доказываем по определению.

f(x+x)=

 

Перейдем к пределу при

Получим:

6) производная сложной функции

пусть даны функции u=g(y), y=f(x) и имеет смысл сложная функция g(f(x)).

Как найти ?

Теорема.

Если

1) функция y=f(x) дифференцируема в точке x0

2) функция u=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0),

то сложная функция g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство

Если x0 – произвольная точка, то

.

7) производная обратной функции

Пусть дана функция y=f(x), D(f)=X, E(f)=Y.

Обозначим x=g(y) – обратную функцию для y=f(x).

Как найти

Теорема.

Если

  1.  функция f(x) строго монотонна и непрерывна в X
  2.  в точке x0X существует

то в соответствующей точке y0=f(x0) также существует производная от  обратной функции, равная

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47909. ПОЛЬЩА У 70 – 80-Х РОКАХ ХХ СТ 164 KB
  Для покриття боргів уряд удався до короткотермінових кредитів що лише відсунуло загрозу банкрутства але не ліквідувало його. Намагаючись послабити тиск на споживчий ринок уряд удався до випробуваної політики затягування поясів . під тиском громадськості уряд прийняв рішення про умовне звільнення учасників червневих подій. А почалося все з рішення уряду ввести комерційні ціни на м'ясо щоб у такий спосіб роздобути кошти для виплати боргів західним країнам.
47910. Соціологія рекламної та ПР-діяльності 458 KB
  СФЕРА ВИРОБНИЦТВА ЯК ФАКТОР ПОЯВИ РЕКЛАМИ План. Розглянемо соціологічні умови появи реклами. Реклама як масове явище не могла виникнути раніше ніж виникли ринок виробника товарів ринок інформаційних засобів розміщення реклами та ринок споживачів рекламованих товарів і послуг три основних фактори появи реклами як масового явища. Тому зараз коли історія ринку як елемента соціального розвитку налічує вже тисячоліття така рекламна ситуація називається рекламою на місці продажу та визначається лише як специфічна частина масових рекламних...
47911. Біохімічне обгрунтування методики занять фізичною культурою і спортом з особами різного віку та статі 369 KB
  Перше дитинство 47 років 5. Друге дитинство 812 років хлопчики 811 років дівчинки. Підлітковий пубертатний 1316 років хлопчики вік 1215 років дівчатка. Зрілий вік: I період 2235 років чоловіки 2135 років жінки.
47912. ПОНЯТТЯ ТА ПОТЕНЦІЙНІ ЗАГРОЗИ БЕЗПЕЦІ ПІДПРИЄМНИЦЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ 1.41 MB
  Провідні українські експерти визнають той факт що багаторівнева економіка потребує також різноманітних видів забезпечення економічної фізичної та інших видів безпеки та організації охорони. Це дає можливість вибору для клієнтів аналізу та порівняння різних форм охоронної діяльності і в кінцевому результаті сприяє в цілому підвищенню рівня безпеки підприємницької діяльності в Україні. В умовах збільшення частки приватного капіталу в економіці України розвитку малого та середнього бізнесу а також роздержавлення стратегічних об'єктів...
47913. Призначення випробувань, впливаючі фактори при експлуатації РЕМА і ЕОЗ 1.59 MB
  Призначення випробувань впливаючі фактори при експлуатації РЕМА і ЕОЗ. Слід виділити три групи завдань вирішуваних проведенням випробувань: здобуття емпіричних даних необхідних для проектування апаратури; встановлення відповідності виробу проектним вимогам; визначення граничного стану ЕА. Цілі випробувань не постійні: вони міняються на різних етапах проектування і виготовлення апаратури. Перерахуємо основні цілі випробувань ЕА : Експериментальне підтвердження теоретичних розрахунків прийнятих допущень і гіпотез заданих показників якості...
47914. Сучасний стан охорони праці в Україні. Мета та завдання дисципліни Основи охорони праці 19.12 MB
  Виявити мету та завдання дисципліни Основи охорони праціâ. Визначити правові та організаційні питання охорони праці. Сучасний стан охорони праці в Україні.
47916. Звітність підприємства. Методичні вказівки 334 KB
  Звіт про рух грошових коштів Тема 5 Звіт про власний капітал Тема 6. Фінансова бухгалтерська звітність документи які містять інформацію про фінансовий стан результати діяльності про рух грошових коштів підприємства за звітний період і тому подібне. № 2 Звіт про рух грошових коштів ф. № 4 представляється за станом на 31 грудня Звіт про рух грошових коштів ф.
47917. СУТЬ І ЗМІСТ МАРКЕТИНГУ 1.29 MB
  За ним маркетинг це: спрямування ділового мислення інтегрована орієнтована на споживача і кінцевий результат діяльність фірми довгостроковий максимальний прибуток від реалізації її продукції філософія ділової активності бізнесу в умовах ринкових відносин і конкуренції; оснований на точному знанні передбаченні та врахуванні вимог ринку і побажань споживачів комплекс науково обгрунтованих уявлень про управління виробничозбутовою діяльністю фірми в умовах ринкових відносин; Більш конкретним є функціональний підхід до розуміння...