20726

Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования

Доклад

Математика и математический анализ

Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей когда ММо. Предел Vcp = Если он существует то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V. yo y = fxox y = Если существует предел то он называется производной данной функции в данной точке xo. Обозначим приращение функции в точке xo приращению аргумента Если вместо xo произвольная точка x то пишут не указывая в какой точке.

Русский

2013-07-31

123 KB

7 чел.

Математический анализ

5. Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (геометрическая).

О проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая K, которая является графиком функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Опр. Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей, когда ММо.

Так как по определению касательная есть прямая, зададим уравнение этой прямой в виде yk=kx+b.

Находим b из условия yo=f(xo).

b=yo-kxo

yk=yo-k(x-xo)

yk-yo=k(x-xo)

tgα=y/x

ММо, y0, x0.

Угловой коэффициент k

k=  или k =    (1)

Поставленная геометрическая задача сведена к вычислению предела (1). Если существует предел (1), то существует искомая касательная, иначе – не существует.

Задача 2 (физическая).

Пусть материальная точка М движется из точки А в направлении точки В. Причем закон изменения пройденного пути от времени известен, S=S(t), т.е. есть  функция от t.

Требуется найти мгновенную скорость точки М в некоторый момент.

Пусть t=0 – начальный момент времени.

В момент времени t>0 точка М прошла путь S(t).

В момент времени t+t точка М прошла путь S(t+t).

Тогда

Опр. 

Предел Vcp =  

Если он существует, то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V.

V =     (2)

Поставленная физическая задача сведена к вычислению предела (2). С математической точки зрения пределы (1) и (2) ничем не отличаются.

Поэтому было решено пределы такого вида обозначать как самостоятельный математический объект и изучить его свойства математическими методами.

Опр.

Пусть дана функция y = f(x).         

Точка Xo фиксирована и принадлежит D(f), yo=f(xo).

yo +y = f(xo+x)

y =

Если существует предел , то он называется производной данной функции в данной точке xo.

Обозначим

(приращение функции в точке xo / приращению аргумента)

Если вместо xo произвольная точка x, то пишут , не указывая в какой точке.

Геометрический и механический (физический) смысл производной.

Возвращаясь к двум ранее поставленным задачам можно сказать следующее:

  1.  геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке Mo (xo,yo).
  2.  механический смысл производной – мгновенная скорость как производная взятая от функции пути по времени.

Дифференциал функции.

y=f(x),  D(f),  x0D(f).

Опр.

Если приращение f(x) в точке x0 представимо в виде f(x0)=Ax+α(x)*x   (1),

x0, α(x)0, A=const,  то функция f(x) дифференцируема в точке x0.

При  этом слагаемое A*x называется главной линейной частью относительно x этого приращения.

Опр.

Главная линейная часть, приращение функции в точке x0 при A≠0 называется дифференциалом функции в данной точке и обозначается df(x0).

, A≠0.

Теорема.

Для дифференцируемости функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнения равенства f(x0)= x+α(x)*x  (2).    

Доказательство.

Необходимость.

Дано, что f(x) дифференцируема в точке x0.

Следует показать справедливость равенства (2).

Так как f(x) дифференцируема в точке x0, то по определению выполняется (1), в котором положим A=.

Тогда из (1) имеем (2).

Достаточность.

Дано (2).

Показать, что существует .

Из (2) имеем

 

С учетом доказанной теоремы для дифференциала, имеем формулу df(x0)=  (3).

Дифференциал функции равен произведению производной в точке x0 на приращение.

 

Правила дифференцирования.

Пусть с=const, u(x) и v(x) имеют производные в точке x0, x0D(u), x0D(v).

Тогда

1)

2)

3)

4)

5)

доказательство для 5)

f(x)=

доказываем по определению.

f(x+x)=

 

Перейдем к пределу при

Получим:

6) производная сложной функции

пусть даны функции u=g(y), y=f(x) и имеет смысл сложная функция g(f(x)).

Как найти ?

Теорема.

Если

1) функция y=f(x) дифференцируема в точке x0

2) функция u=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0),

то сложная функция g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство

Если x0 – произвольная точка, то

.

7) производная обратной функции

Пусть дана функция y=f(x), D(f)=X, E(f)=Y.

Обозначим x=g(y) – обратную функцию для y=f(x).

Как найти

Теорема.

Если

  1.  функция f(x) строго монотонна и непрерывна в X
  2.  в точке x0X существует

то в соответствующей точке y0=f(x0) также существует производная от  обратной функции, равная

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68777. Финансовая математика: предмет, принцип «временной стоимости денег», виды процентных ставок 625 KB
  Относительный показатель характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени процентная ставка. к сумме увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов таким образом исходная база постоянно увеличивается. Три варианта расчета простых процентов.
68779. Постановки задач однокритериальной оптимизации 467 KB
  Задачи однокритериальной оптимизации делятся на задачи безусловной (когда ищется оптимальное решение, удовлетворяющее целевой функции) и условной (ищется оптимальное решение, удовлетворяющее некоторым ограничениям и целевой функции) оптимизации.
68781. Интервенция и гражданская война 131 KB
  В январе 1924г была принята первая Конституция СССР согласно которой высшим органом власти объявлялся Съезд Советов СССР. СССР в системе международных отношений накануне II Мировой и Великой Отечественной войн I Политика военного коммунизма Экономическая политика Советского...
68782. ВВЕДЕНИЕ В ИСТОРИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ 1.9 MB
  Можно с уверенностью утверждать что сегодня как и в давние времена именно достоверность рекомендуемых экономистами теоретических изысканий предопределяет степень результативности реализуемой в данной стране социально-экономической стратегии.
68783. ИСТОРИЯ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН 1.32 MB
  Наука история возникла на самой заре цивилизации. Историческое знание сделало огромные успехи в течение XVIII и особенно XIX веков. Многие выдающиеся умы нашли на этом поприще свое призвание и признание. Благодаря их трудам поднялись из забвения великие цивилизации Древнего востока, Древней Греции и Древнего Рима...
68784. ИСТОРИЯ ИСКУССТВ 218 KB
  Хронологические границы периода возникновения искусства: Основные черты первобытного искусства: Древние цивилизации: Основные достижения древних цивилизаций в сфере культуры и искусства: Определение основных понятий и явлений: Искусство Культура Виды искусств Петроглифы Мегалиты Зиккурат Эпос...
68785. ИСТОРИЯ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ В РОССИИ 1.61 MB
  Если в конце прошлого века самая распространенная сейчас энергия - электрическая - играла, в общем, вспомогательную и незначительную в мировом балансе роль, то уже в 1930 году в мире было произведено около 300 миллиардов киловатт-часов электроэнергии.