20726

Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования

Доклад

Математика и математический анализ

Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей когда ММо. Предел Vcp = Если он существует то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V. yo y = fxox y = Если существует предел то он называется производной данной функции в данной точке xo. Обозначим приращение функции в точке xo приращению аргумента Если вместо xo произвольная точка x то пишут не указывая в какой точке.

Русский

2013-07-31

123 KB

7 чел.

Математический анализ

5. Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (геометрическая).

О проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая K, которая является графиком функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Опр. Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей, когда ММо.

Так как по определению касательная есть прямая, зададим уравнение этой прямой в виде yk=kx+b.

Находим b из условия yo=f(xo).

b=yo-kxo

yk=yo-k(x-xo)

yk-yo=k(x-xo)

tgα=y/x

ММо, y0, x0.

Угловой коэффициент k

k=  или k =    (1)

Поставленная геометрическая задача сведена к вычислению предела (1). Если существует предел (1), то существует искомая касательная, иначе – не существует.

Задача 2 (физическая).

Пусть материальная точка М движется из точки А в направлении точки В. Причем закон изменения пройденного пути от времени известен, S=S(t), т.е. есть  функция от t.

Требуется найти мгновенную скорость точки М в некоторый момент.

Пусть t=0 – начальный момент времени.

В момент времени t>0 точка М прошла путь S(t).

В момент времени t+t точка М прошла путь S(t+t).

Тогда

Опр. 

Предел Vcp =  

Если он существует, то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V.

V =     (2)

Поставленная физическая задача сведена к вычислению предела (2). С математической точки зрения пределы (1) и (2) ничем не отличаются.

Поэтому было решено пределы такого вида обозначать как самостоятельный математический объект и изучить его свойства математическими методами.

Опр.

Пусть дана функция y = f(x).         

Точка Xo фиксирована и принадлежит D(f), yo=f(xo).

yo +y = f(xo+x)

y =

Если существует предел , то он называется производной данной функции в данной точке xo.

Обозначим

(приращение функции в точке xo / приращению аргумента)

Если вместо xo произвольная точка x, то пишут , не указывая в какой точке.

Геометрический и механический (физический) смысл производной.

Возвращаясь к двум ранее поставленным задачам можно сказать следующее:

  1.  геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке Mo (xo,yo).
  2.  механический смысл производной – мгновенная скорость как производная взятая от функции пути по времени.

Дифференциал функции.

y=f(x),  D(f),  x0D(f).

Опр.

Если приращение f(x) в точке x0 представимо в виде f(x0)=Ax+α(x)*x   (1),

x0, α(x)0, A=const,  то функция f(x) дифференцируема в точке x0.

При  этом слагаемое A*x называется главной линейной частью относительно x этого приращения.

Опр.

Главная линейная часть, приращение функции в точке x0 при A≠0 называется дифференциалом функции в данной точке и обозначается df(x0).

, A≠0.

Теорема.

Для дифференцируемости функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнения равенства f(x0)= x+α(x)*x  (2).    

Доказательство.

Необходимость.

Дано, что f(x) дифференцируема в точке x0.

Следует показать справедливость равенства (2).

Так как f(x) дифференцируема в точке x0, то по определению выполняется (1), в котором положим A=.

Тогда из (1) имеем (2).

Достаточность.

Дано (2).

Показать, что существует .

Из (2) имеем

 

С учетом доказанной теоремы для дифференциала, имеем формулу df(x0)=  (3).

Дифференциал функции равен произведению производной в точке x0 на приращение.

 

Правила дифференцирования.

Пусть с=const, u(x) и v(x) имеют производные в точке x0, x0D(u), x0D(v).

Тогда

1)

2)

3)

4)

5)

доказательство для 5)

f(x)=

доказываем по определению.

f(x+x)=

 

Перейдем к пределу при

Получим:

6) производная сложной функции

пусть даны функции u=g(y), y=f(x) и имеет смысл сложная функция g(f(x)).

Как найти ?

Теорема.

Если

1) функция y=f(x) дифференцируема в точке x0

2) функция u=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0),

то сложная функция g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство

Если x0 – произвольная точка, то

.

7) производная обратной функции

Пусть дана функция y=f(x), D(f)=X, E(f)=Y.

Обозначим x=g(y) – обратную функцию для y=f(x).

Как найти

Теорема.

Если

  1.  функция f(x) строго монотонна и непрерывна в X
  2.  в точке x0X существует

то в соответствующей точке y0=f(x0) также существует производная от  обратной функции, равная

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80815. Понятие и система источников экологического права 35.28 KB
  В российской системе права они представлены нормативными актами и нормативными договорами. к Конституции России земельное водное лесное законодательство законодательство о недрах об охране окружающей среды находятся в совместном ведении Российской Федерации и субъектов Российской Федерации. По предметам совместного ведения Российской Федерации и субъектов Российской Федерации как это предусмотрено ст. 2 Конституции России издаются федеральные законы и принимаемые в соответствии с ними законы и иные нормативные правовые акты субъектов...
80816. Общая характеристика Федерального закона «Об охране окружающей среды» 37.01 KB
  Основы управления в области охраны окружающей среды; глава III. Права и обязанности граждан общественных и иных некоммерческих объединений в области охраны окружающей среды; глава IV. Экономическое регулирование в области охраны окружающей среды; глава V.
80817. Природоресурсное законодательство как источник экологического права 27.65 KB
  В отличие от законодательства об окружающей среде в собственном смысле природоресурсное законодательство более развито поскольку как подчеркивалось ранее экологическое законодательство в России развивалось применительно к использованию и охране отдельных природных ресурсов. Природоресурсное законодательство это совокупность законов регулирующих отношения по использованию и охране отдельных природных объектов. Оно включает: Земельный кодекс Российской Федерации; Федеральный закон Об обороте земель сельскохозяйственного назначения...
80818. Понятие экологических правоотношений. Виды, содержание, объекты, субъекты 31.59 KB
  В соответствии с функциями норм права экологические правоотношения формируемые на их основании подразделяются на регулятивные и охранительные. Регулятивные экологические правоотношения направлены на обеспечение развития общественных отношений по природопользованию и охране окружающей среды. Это правоотношения по поводу экологического нормирования экспертизы лицензирования сертификации аудита ведения государственных кадастров природных ресурсов и комплексов мониторинга и др. К охранительным правоотношениям относятся правоотношения по...
80819. МЕХАНИЗМ УПРАВЛЕНИЯ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ 44.01 KB
  Механизм управления – это совокупность средств и методов воздействия на деятельность людей коллективов. Особенность механизма управления состоит в возможности усиливать или ослаблять влияние средств управления выбирать средства воздействия. Механизм управления: средства управления то с помощью чего можно управлять; методы управления способы приведения рычагов в действие.
80820. СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ И ПРОЦЕСС УПРАВЛЕНИЯ 45.39 KB
  Успех управления определяется искусством выбора вида воздействия. Рассмотрим подробнее структурносодержательный аспект управления. Сюда относятся: предвидение планирование либо прогнозирование грядущего состояния объекта управления; организация распределение меж работниками функций и задач предоставление им всего нужного для выполнения рабочих заданий; активизация побуждение людей к работе; координирование согласование усилий работников в процессе выполнения работы; регулирование устранение нежелательных отклонений в...
80821. УПРАВЛЕНИЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ: СУЩНОСТЬ И СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ 44.2 KB
  Анализ рынка труда и управление занятостью. Обеспечение рациональных условий труда в том числе благоприятной для каждого человека социальнопсихологической атмосферы. Управление производительностью труда. Объем работ по каждому из перечисленных видов деятельности зависит от следующих факторов: размеры предприятия; характеристики производимой продукции; ситуация на рынке труда; квалификация персонала; степень автоматизации производства; социальнопсихологическая обстановка на предприятии и за его пределами.
80822. МЕТОДЫ И ТЕХНОЛОГИИ ОЦЕНКИ ПЕРСОНАЛА 45.33 KB
  Оценка персонала имеет своей целью изучить степень подготовленности работника к выполнению именно того вида деятельности которым он занимается а также выявить уровень его потенциальных возможностей с целью оценки перспектив роста а также разработки кадровых мероприятий необходимых для достижения целей кадровой политики. Основным требованием при проведении аттестации являются: отделение критики от самой процедуры оценки. Методы оценки по их направленности: 1.
80823. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ РЕСУРСОВ 46.28 KB
  Кадровое планирование планирование персонала это целенаправленная деятельность по подготовке кадров обеспечению пропорционального и динамичного развития персонала расчету его профессионально-квалификационной структуры определению общей и дополнительной потребности контролю за его использованием. Сущность кадрового планирования заключается в создании условий для предоставления людям рабочих мест в нужный момент времени и в необходимом количестве в соответствии с их способностями склонностями и требованиями бизнеса Основные задачи...