20726

Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования

Доклад

Математика и математический анализ

Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей когда ММо. Предел Vcp = Если он существует то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V. yo y = fxox y = Если существует предел то он называется производной данной функции в данной точке xo. Обозначим приращение функции в точке xo приращению аргумента Если вместо xo произвольная точка x то пишут не указывая в какой точке.

Русский

2013-07-31

123 KB

14 чел.

Математический анализ

5. Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (геометрическая).

О проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая K, которая является графиком функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Опр. Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей, когда ММо.

Так как по определению касательная есть прямая, зададим уравнение этой прямой в виде yk=kx+b.

Находим b из условия yo=f(xo).

b=yo-kxo

yk=yo-k(x-xo)

yk-yo=k(x-xo)

tgα=y/x

ММо, y0, x0.

Угловой коэффициент k

k=  или k =    (1)

Поставленная геометрическая задача сведена к вычислению предела (1). Если существует предел (1), то существует искомая касательная, иначе – не существует.

Задача 2 (физическая).

Пусть материальная точка М движется из точки А в направлении точки В. Причем закон изменения пройденного пути от времени известен, S=S(t), т.е. есть  функция от t.

Требуется найти мгновенную скорость точки М в некоторый момент.

Пусть t=0 – начальный момент времени.

В момент времени t>0 точка М прошла путь S(t).

В момент времени t+t точка М прошла путь S(t+t).

Тогда

Опр. 

Предел Vcp =  

Если он существует, то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V.

V =     (2)

Поставленная физическая задача сведена к вычислению предела (2). С математической точки зрения пределы (1) и (2) ничем не отличаются.

Поэтому было решено пределы такого вида обозначать как самостоятельный математический объект и изучить его свойства математическими методами.

Опр.

Пусть дана функция y = f(x).         

Точка Xo фиксирована и принадлежит D(f), yo=f(xo).

yo +y = f(xo+x)

y =

Если существует предел , то он называется производной данной функции в данной точке xo.

Обозначим

(приращение функции в точке xo / приращению аргумента)

Если вместо xo произвольная точка x, то пишут , не указывая в какой точке.

Геометрический и механический (физический) смысл производной.

Возвращаясь к двум ранее поставленным задачам можно сказать следующее:

  1.  геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке Mo (xo,yo).
  2.  механический смысл производной – мгновенная скорость как производная взятая от функции пути по времени.

Дифференциал функции.

y=f(x),  D(f),  x0D(f).

Опр.

Если приращение f(x) в точке x0 представимо в виде f(x0)=Ax+α(x)*x   (1),

x0, α(x)0, A=const,  то функция f(x) дифференцируема в точке x0.

При  этом слагаемое A*x называется главной линейной частью относительно x этого приращения.

Опр.

Главная линейная часть, приращение функции в точке x0 при A≠0 называется дифференциалом функции в данной точке и обозначается df(x0).

, A≠0.

Теорема.

Для дифференцируемости функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнения равенства f(x0)= x+α(x)*x  (2).    

Доказательство.

Необходимость.

Дано, что f(x) дифференцируема в точке x0.

Следует показать справедливость равенства (2).

Так как f(x) дифференцируема в точке x0, то по определению выполняется (1), в котором положим A=.

Тогда из (1) имеем (2).

Достаточность.

Дано (2).

Показать, что существует .

Из (2) имеем

 

С учетом доказанной теоремы для дифференциала, имеем формулу df(x0)=  (3).

Дифференциал функции равен произведению производной в точке x0 на приращение.

 

Правила дифференцирования.

Пусть с=const, u(x) и v(x) имеют производные в точке x0, x0D(u), x0D(v).

Тогда

1)

2)

3)

4)

5)

доказательство для 5)

f(x)=

доказываем по определению.

f(x+x)=

 

Перейдем к пределу при

Получим:

6) производная сложной функции

пусть даны функции u=g(y), y=f(x) и имеет смысл сложная функция g(f(x)).

Как найти ?

Теорема.

Если

1) функция y=f(x) дифференцируема в точке x0

2) функция u=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0),

то сложная функция g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство

Если x0 – произвольная точка, то

.

7) производная обратной функции

Пусть дана функция y=f(x), D(f)=X, E(f)=Y.

Обозначим x=g(y) – обратную функцию для y=f(x).

Как найти

Теорема.

Если

  1.  функция f(x) строго монотонна и непрерывна в X
  2.  в точке x0X существует

то в соответствующей точке y0=f(x0) также существует производная от  обратной функции, равная

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1979. Правовое регулирование коммерческой концессии в Российской Федерации 1.15 MB
  Коммерческая концессия: теоретический и исторический анализ. Правовое регулирование коммерческой концессии: становление и развитие. Договор коммерческой концессии: проблемы и противоречия законодательного регулирования.
1980. УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПРОЦЕССОМ В РЕГИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ, ОРИЕНТИРОВАННЫХ НА ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ 1.15 MB
  Место категории инвестиционный процесс в экономической науке. Сравнительный анализ экономического аспекта инвестиционной привлекательности региона. Обоснование использования коэффициентов расширения для управления инвестиционным процессом в региональных системах, ориентированных на экономический рост. Методические подходы к использованию коэффициентов расширения для прогнозной оценки роста региональной экономической системы.
1981. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ФОРМИРОВАНИЯ КОММУНИКАТНОЙ КУЛЬТУРЫ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ В ВУЗЕ 1.15 MB
  Коммуникативная культура будущего специалиста и совокупность педагогических условий ее развития. Коммуникативная культура преподавателя и ее влияние на профессиональную подготовку студентов вуза. Педагогические условия формирования коммуникативной культуры студентов в учебном процессе вуза.
1982. КОРРЕКТИРОВКА ФОРМИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ ПРИ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ ЭКОНОМИСТОВ В ВУЗАХ 1.15 MB
  Теоретические основы формирования информационной культуры при подготовке специалистов на экономических факультетах в вузах. Практическая реализация корректировки процесса формирования информационной культуры при подготовке специалистов на экономических факультетах в вузах. Особенности проведения педагогического эксперимента по корректировке формирования информационной культуры экономистов специальности 060400 Финансы и кредит
1983. ЕКОНОМІКА ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ 1.15 MB
  Поняття, види і особливості природокористування. Навколишнє природне середовище. Поняття і класифікація природних ресурсів, сутність і функції статистики навколишнього середовища.
1984. Уголовно-правовая характеристика нарушения правил обращения экологически опасных веществ и отходов 1.14 MB
  Правовое регулирование общественных отношений в сфере охраны окружающей среды. Юридическая природа уголовной ответственности за нарушение правил обращения экологически опасных веществ и отходов. Проблемы совершенствования правоприменительной практики и квалификация нарушения правил обращения экологически опасных веществ и отходов.
1985. Управление культурными процессами на кавказских минеральных водах в XIX начале XX веках 1.14 MB
  СТАНОВЛЕНИЕ РЕГИОНАЛЬНОЙ КУЛЬТУРНОЙ ПОЛИТИКИ НА КАВКАЗСКИХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОДАХ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА. ФОРМИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ КУЛЬТУРНОЙ ПОЛИТИКИ НА КАВКАЗСКИХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОДАХ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА. РОЛЬ ОБЩЕСТВЕННЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ КАК НОВЫХ СУБЪЕКТОВ КУЛЬТУРНОЙ ПОЛИТИКИ.
1986. Разработка биотехнологии вакцины чумной живой сухой со сниженным количеством человеко-доз в производственной упаковке (ампуле) 1.14 MB
  Современное состояние и перспективы совершенствования эффективности чумных вакцин. Пути совершенствования биологических показателей вакцины чумной живой на этапах сведения, разлива и лиофилизации бактериальной суспензии. Смыв бактериальной массы с поверхности агара с последующим приготовлением необходимой концентрации микробных клеток, разлив, лиофилизация вакцины. Изучение реактогенности различных образцов вакцины чумной живой сухой.
1987. Политический терроризм: детерминация и формы проявления 1.13 MB
  Политический терроризм: категориальный анализ. Политический терроризм и другие виды политического насилия: грани соотношения. Политический терроризм как форма этнического экстремизма. Основные направления преодоления политического терроризма.