20726

Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования

Доклад

Математика и математический анализ

Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей когда ММо. Предел Vcp = Если он существует то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V. yo y = fxox y = Если существует предел то он называется производной данной функции в данной точке xo. Обозначим приращение функции в точке xo приращению аргумента Если вместо xo произвольная точка x то пишут не указывая в какой точке.

Русский

2013-07-31

123 KB

10 чел.

Математический анализ

5. Дифференцируемая функция одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (геометрическая).

О проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая K, которая является графиком функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Опр. Касательной к кривой K в точке Mo называется предельное положение секущей, когда ММо.

Так как по определению касательная есть прямая, зададим уравнение этой прямой в виде yk=kx+b.

Находим b из условия yo=f(xo).

b=yo-kxo

yk=yo-k(x-xo)

yk-yo=k(x-xo)

tgα=y/x

ММо, y0, x0.

Угловой коэффициент k

k=  или k =    (1)

Поставленная геометрическая задача сведена к вычислению предела (1). Если существует предел (1), то существует искомая касательная, иначе – не существует.

Задача 2 (физическая).

Пусть материальная точка М движется из точки А в направлении точки В. Причем закон изменения пройденного пути от времени известен, S=S(t), т.е. есть  функция от t.

Требуется найти мгновенную скорость точки М в некоторый момент.

Пусть t=0 – начальный момент времени.

В момент времени t>0 точка М прошла путь S(t).

В момент времени t+t точка М прошла путь S(t+t).

Тогда

Опр. 

Предел Vcp =  

Если он существует, то называется мгновенной скоростью в точке М и обозначается V.

V =     (2)

Поставленная физическая задача сведена к вычислению предела (2). С математической точки зрения пределы (1) и (2) ничем не отличаются.

Поэтому было решено пределы такого вида обозначать как самостоятельный математический объект и изучить его свойства математическими методами.

Опр.

Пусть дана функция y = f(x).         

Точка Xo фиксирована и принадлежит D(f), yo=f(xo).

yo +y = f(xo+x)

y =

Если существует предел , то он называется производной данной функции в данной точке xo.

Обозначим

(приращение функции в точке xo / приращению аргумента)

Если вместо xo произвольная точка x, то пишут , не указывая в какой точке.

Геометрический и механический (физический) смысл производной.

Возвращаясь к двум ранее поставленным задачам можно сказать следующее:

  1.  геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке Mo (xo,yo).
  2.  механический смысл производной – мгновенная скорость как производная взятая от функции пути по времени.

Дифференциал функции.

y=f(x),  D(f),  x0D(f).

Опр.

Если приращение f(x) в точке x0 представимо в виде f(x0)=Ax+α(x)*x   (1),

x0, α(x)0, A=const,  то функция f(x) дифференцируема в точке x0.

При  этом слагаемое A*x называется главной линейной частью относительно x этого приращения.

Опр.

Главная линейная часть, приращение функции в точке x0 при A≠0 называется дифференциалом функции в данной точке и обозначается df(x0).

, A≠0.

Теорема.

Для дифференцируемости функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнения равенства f(x0)= x+α(x)*x  (2).    

Доказательство.

Необходимость.

Дано, что f(x) дифференцируема в точке x0.

Следует показать справедливость равенства (2).

Так как f(x) дифференцируема в точке x0, то по определению выполняется (1), в котором положим A=.

Тогда из (1) имеем (2).

Достаточность.

Дано (2).

Показать, что существует .

Из (2) имеем

 

С учетом доказанной теоремы для дифференциала, имеем формулу df(x0)=  (3).

Дифференциал функции равен произведению производной в точке x0 на приращение.

 

Правила дифференцирования.

Пусть с=const, u(x) и v(x) имеют производные в точке x0, x0D(u), x0D(v).

Тогда

1)

2)

3)

4)

5)

доказательство для 5)

f(x)=

доказываем по определению.

f(x+x)=

 

Перейдем к пределу при

Получим:

6) производная сложной функции

пусть даны функции u=g(y), y=f(x) и имеет смысл сложная функция g(f(x)).

Как найти ?

Теорема.

Если

1) функция y=f(x) дифференцируема в точке x0

2) функция u=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0),

то сложная функция g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство

Если x0 – произвольная точка, то

.

7) производная обратной функции

Пусть дана функция y=f(x), D(f)=X, E(f)=Y.

Обозначим x=g(y) – обратную функцию для y=f(x).

Как найти

Теорема.

Если

  1.  функция f(x) строго монотонна и непрерывна в X
  2.  в точке x0X существует

то в соответствующей точке y0=f(x0) также существует производная от  обратной функции, равная

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24382. Соотношение логического и исторического в процессе познания 71.5 KB
  Вопрос об отношении логического к историческому или как он сформулирован у Маркса об отношении научного развития к действительному развитию был непосредственно связан с необходимостью материалистически обосновать способ восхождения от абстрактного к конкретному. Если теоретическая реконструкция действительности осуществляется именно способом восхождения от абстрактного к конкретному то сразу же встает вопрос о том на что же должна ориентироваться теория определяя последовательность этого восхождения порядок развития понятий порядок...
24383. Метод восхождения от абстрактного к конкретному 78.5 KB
  Другой источник: Диалектика абстрактного и конкретного Э. Диалектика абстрактного и конкретного История марксистской диалектики. Понятия конкретного и абстрактного у Маркса и критика идеалистического и эмпирического их понимания 2.
24384. Роль интуиции в научном познании. Типы интуиции (А. Бергсон, Н.С. Лосский) 59.5 KB
  Лосский Другой источник: Одной из важнейших проблем гносеологии выступает феномен интуиции. Лосский подчеркивает значимость и революционность своей теории. Лосский ставит вопрос о возможностях и границах нашего познания. Лосский назвал эмпиризмом однако это не тот эмпиризм который мы находим в учениях Ф.
24385. Механизм порождения научного знания: чувственное и рациональное постановка проблемы, ее решение и развитие полученного результата 109 KB
  Другие источники Соотношение чувственного и рационального отражения в процессе познания В процессе познания достаточно четко просматриваются две стороны чувственное отражение и рациональное познание. Поскольку исходным в познании выступает чувственное отражение постольку до последнего времени эти стороны обычно обозначали как ступени познания хотя это и неточно поскольку чувственное в ряде моментов пронизывается рациональным и наоборот. Что же касается ступеней или точнее уровней познания то это скорее эмпирический и теоретический...
24386. Проблемы, гипотезы, теории в развитии научного знания 80 KB
  После сбора соответствующей информации обработки ее начинается этап построения теории. Процедура построения теории зависит от того какого и рода информация и какие процедуры построения положены в ее основание. Далее на основе абстрактных терминов внутри теории строят высказывания позволяющие описывать эмпирические ситуации формулируются так называемые операциональные следствия утверждения теории которые указывают условия приложимости теоретических результатов к эмпирическим ситуациям.
24387. Роль субъекта в научном познании. Талант, гениальность, трудолюбие 86.5 KB
  Составляющие личности учёного нам интересны ещё и потому что между творчеством учёного и особенностями его личности есть самая тесная связь. Задача педагогаучёного – научить молодого человека учиться учиться непрерывно. Нам представляется что возраст учёного науке не помеха да и старость его – это не угасание а в большей мере рост его интеллектуальных сил. А что касается учёногофилософа то к нему мудрость приходит как раз с годами виднее становится и его вклад в сокровищницу культуры.
24388. Взаимосвязь логики открытия и логики обоснования в научном познании 52.5 KB
  Описанный познавательный цикл связывающий два этапа формирования теории не обязательно осуществляется одним исследователем. В принципе их можно рассматривать как некоторого коллективного теоретика который осуществил необходимые операции для построения теории. Первая основывалась на механической картине мира слегка модифицированной применительно к открытиям теории электричества в этой картине предполагалось что взаимодействие тел и зарядов осуществляется путем мгновенной передачи сил в пустоте вторая вводила новую картину физической...
24389. Основы теории мотивации 32.5 KB
  Эти факторы включают потребности мотивы и побуждения n мотивация ориентирована на процесс и имеет отношение к выбору поведения направлению усилий целям и вознаграждениям на которые они рассчитывают выполняя работу Из этого следует что мотивацию можно рассматривать в двух взаимосвязанных направлениях. Иерархия потребностей по Маслоу Абрахам Маслоу 40е годы признавая многообразие человеческих потребностей предложил их классификацию на следующие пять категорий: n физиологические потребности потребность в еде пище жилище...