20727

Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида

Доклад

Математика и математический анализ

И если к равным прибавить равные то получим равные. И если от равных отнимем равные то получим равные. И если неравным прибавить равные то получим неравные. И если удвоим равные то получим равные.

Русский

2013-07-31

28 KB

13 чел.

Вопрос № 12 Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида.

Первые сведения о геометрии были добыты цивилизациями ДР. Востока(Египет, Вавилон, Китай, Индия) связи с развитием земледелия. Геометрия этих стран представляла собой собрание частных решений отдельных задач. Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели вычислять площадь ∆-а, объем 4угольной усеченной пирамиды, площадь круга радиуса R(, π=3.16…) В Др. Греции геометрия начала развиваться в VII-Viвв до н.э.: Фалес(доказал несколько простейших теорем: свойства вертикальных углов, углов при основании равнобедренного ∆-а и др.), пифагорейцы открыли Т о Σ углов ∆-а,существование 5 типов правильных многогранников,..; Демокрит (Т об объемах пирамиды, конуса), Архимед (правило для вычисления площади поверхности шара и др. фигур, объемов ряда тел.

Особая заслуга древнегреческих математиков – постановка задачи о построении системы геометрических знаний (Платон, Аристотель).

Евклид (330-275 гг. до н.э.) – воспитанник школы Платона, один из величайших геометров древности. Он преподавал математику в Александрии. Написанные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненные с таким мастерством, что многие века после Евклида преподавания велись по его книгам.

Начала состоят из 13 книг.

1 кн. посвящена треугольникам, теоремам о ∆-ах, теории параллельных, условия равновеликости ∆-ков и многоугольников, Т Пифагора.

2: превращение многоугольника в равновеликий квадрат.

3: окружность и все о ней

4: вписанные и описанные многоугольники, построение правильных многоугольников.

5: теория пропорций

6: теория подобия треугольников

7-9: арифметика в геометрическом изложении (изучаются основные свойства натуральных чисел, вводится понятия простого и составного числа, НОД, НОК, доказана Т о бесконечности простых чисел)

10: несоизмеримые отрезки

11-13: основы стереометрии, причем 13-я кн. вся посвящена правильным многогранникам .

замечено, что не все математические знания, известные к тому времени, были отражены в книгах, в частности, Т конических сечений, кривые более высоких порядков.

Каждая из книг начиналась с определения всех тех понятий, которые встречаются. Так в начале 1-ой кн. даны 23 определения:

Опр1. Точка есть то, что не имеет частей.

Опр2. Линия есть длина без ширины.

Опр3.Границы линии – суть точки.

Опр4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим  точкам.

Опр5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Опр6. Границы поверхности суть линии.   

Опр7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым на ней лежащим.

Опр8. Плоский угол есть взаимное наклонение 2-х встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

После определений Евклид формулирует предложения, которые принимаются без доказательств, разбивая их на постулаты и аксиомы.

П1 Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точки можно было провести прямую линию.

П2 И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.

П3 И чтоб из любого центра можно было провести окружность любого радиуса.

П4 И чтобы все прямые углы были равны.

П5 И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с другими прямыми образует внутренние односторонние углы, сумма которых <1800 (2-х прямых), эти прямые пересекались бы с той стороны, с какой эта сумма <1800.

А1.Равные порознь третьему равны между собой.

А2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

А3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

А4. И если неравным прибавить равные, то получим неравные.

А5. И если удвоим равные, то получим равные.

А6. И половины равных равны между собой.

А7. И совмещающиеся равны.

А8. И целое больше части.

А9. И две прямые не могут заключать пространство.

Вслед за аксиомами Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их  в строгой логической последовательности, чтобы каждое следующее предложение(Т) можно было бы доказать исходя из постулатов, аксиом и уже доказанных Т. Перечисление определений, аксиом, постулатов, достаточно для строгого логического доказательства всех последующих Т-м называется аксиоматическим обоснованием геометрии. Задача аксиоматического обоснования геометрии, поставленная Евклидом, была решена им стой степенью строгости, которая была доступна античной древности и принимается за образец изложения. Но если рассматривать «Начала» с современной точки зрения, то надо признать это изложение во многом не удовлетворительным. 1)Некоторые из встречающихся в ней понятий сами должны быть определены (граница, длина, ширина). 2)Ни одно из приведенных определений основных понятий в теоремах не используется и они могут быть опущены. 3) Список аксиом и постулатов недостаточен (постулаты не дают возможность обосновать понятия «точка прямой лежит между двумя другими ее точками», «точка лежит внутри ∆-а» и т.д., понятие равенства фигур доказывается с помощью движения, но понятие «движение» не формулируется.) 4) многие ученые пытались доказать 5-й постулат как теорему. И сам Евклид отодвигал использование этого постулата в доказательстве Т-м. До XIX в. было предпринято много попыток доказать V постулат, Но попытки содержали ошибки, т.к. на каком-то этапе доказательства опирались на утверждения, эквивалентные 5-му постулату (две //-е прямые пре пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы; существуют подобные ∆-и; Σ внутренних углов ∆-а равна двум прямым и др.) В XIX в. Лобачевский обосновал утверждение о том, что 5 постулат нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9873. Профили наклонно-направленных скважин. Предельно допустимые темпы искривления 15.19 KB
  Профили наклонно-направленных скважин. Предельно допустимые темпы искривления. Направленной называют скважину, которую бурили вдоль запроектированной пространственной трассы и попали в заданную цель, а ее забой и фильтровая зона не только располагаю...
9874. Способы ликвидации прихватов бурильных колонн 18.81 KB
  Способы ликвидации прихватов бурильных колонн. 1)Расхаживание и отбивка ротора. Расхаживание - способ ликвидации прихвата, прикотором к БИ прикладывается нагрузка на какое-то значение превышающая его вес (буровик может превышать нагрузку...
9875. Буровые растворы на водной основе, область их использования 16.27 KB
  Буровые растворы на водной основе, область их использования. Вода: В результате использования технической и морской воды вместо глинистого раствора проходка на долото повышается на 15-20%, а механическая скорость проходки повышается 25-40%. Вода как...
9876. Растворы на неводной (УВ) основе. Область их применения 15.43 KB
  Растворы на неводной (УВ) основе. Область их применения. В целях сохранения коллекторских свойств пластов и предупреждения осложнений при бурении стали применять БР на нефтяной основе. Они предназначены для вскрытия и освоения продуктивных пластов и...
9877. Долота режущего режуще-истирающего типа 19.19 KB
  Долота режущего режуще-истирающего типа 1)Пилообразные однолопастное долото. Существует два типа таких долот: Ц и Р. Используется для расширения и проработки скважины, как правило в не очень твердых породах. 2)Двух лопастное долото, обозначается 2Л ...
9878. Конструкция шарошечных долот. Правила эксплуатации и отработка 19.04 KB
  Конструкция шарошечных долот. Правила эксплуатации и отработка. Изобретение шарошечного долота внесло переворот во вращательное бурение. Это наиболее применяемый тип долот при бурении сплошным забоем. Отличается от других типов долот следующим: 1)Ме...
9879. Осложнение в процессе бурения. Виды осложнений и причины их возникновения 18.45 KB
  Осложнение в процессе бурения. Виды осложнений и причины их возникновения. Нарушение нормального процесса бурения, которые требуют без отлагательных и эффективных мер называется осложнением (О). К О относятся: 1)Поглощение буровых и тампонажных раст...
9880. Легкосплавные бурильные трубы. Область их использования. Легко-сплавные бурильные трубы (ЛБТ) 15.41 KB
  Легкосплавные бурильные трубы. Область их использования. Легко-сплавные бурильные трубы (ЛБТ) Увеличение глубины скважины поставило задачу снижения нагрузки на крюке, были созданы трубы из легких сплавов - дюралюминия Д16Т, механические свойств...
9881. УБТ и ведущие трубы, их назначение и конструкция 14.46 KB
  УБТ и ведущие трубы, их назначение и конструкция. Ведущие трубы. Передают вращение от ротора к бурильным трубам. Состоят из толстостенной квадратной штанги, верхнего переводника для соединения с вертлюгом, и нижнего штангового переводника. Наиболее ...