20727

Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида

Доклад

Математика и математический анализ

И если к равным прибавить равные то получим равные. И если от равных отнимем равные то получим равные. И если неравным прибавить равные то получим неравные. И если удвоим равные то получим равные.

Русский

2013-07-31

28 KB

13 чел.

Вопрос № 12 Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида.

Первые сведения о геометрии были добыты цивилизациями ДР. Востока(Египет, Вавилон, Китай, Индия) связи с развитием земледелия. Геометрия этих стран представляла собой собрание частных решений отдельных задач. Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели вычислять площадь ∆-а, объем 4угольной усеченной пирамиды, площадь круга радиуса R(, π=3.16…) В Др. Греции геометрия начала развиваться в VII-Viвв до н.э.: Фалес(доказал несколько простейших теорем: свойства вертикальных углов, углов при основании равнобедренного ∆-а и др.), пифагорейцы открыли Т о Σ углов ∆-а,существование 5 типов правильных многогранников,..; Демокрит (Т об объемах пирамиды, конуса), Архимед (правило для вычисления площади поверхности шара и др. фигур, объемов ряда тел.

Особая заслуга древнегреческих математиков – постановка задачи о построении системы геометрических знаний (Платон, Аристотель).

Евклид (330-275 гг. до н.э.) – воспитанник школы Платона, один из величайших геометров древности. Он преподавал математику в Александрии. Написанные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненные с таким мастерством, что многие века после Евклида преподавания велись по его книгам.

Начала состоят из 13 книг.

1 кн. посвящена треугольникам, теоремам о ∆-ах, теории параллельных, условия равновеликости ∆-ков и многоугольников, Т Пифагора.

2: превращение многоугольника в равновеликий квадрат.

3: окружность и все о ней

4: вписанные и описанные многоугольники, построение правильных многоугольников.

5: теория пропорций

6: теория подобия треугольников

7-9: арифметика в геометрическом изложении (изучаются основные свойства натуральных чисел, вводится понятия простого и составного числа, НОД, НОК, доказана Т о бесконечности простых чисел)

10: несоизмеримые отрезки

11-13: основы стереометрии, причем 13-я кн. вся посвящена правильным многогранникам .

замечено, что не все математические знания, известные к тому времени, были отражены в книгах, в частности, Т конических сечений, кривые более высоких порядков.

Каждая из книг начиналась с определения всех тех понятий, которые встречаются. Так в начале 1-ой кн. даны 23 определения:

Опр1. Точка есть то, что не имеет частей.

Опр2. Линия есть длина без ширины.

Опр3.Границы линии – суть точки.

Опр4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим  точкам.

Опр5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Опр6. Границы поверхности суть линии.   

Опр7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым на ней лежащим.

Опр8. Плоский угол есть взаимное наклонение 2-х встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

После определений Евклид формулирует предложения, которые принимаются без доказательств, разбивая их на постулаты и аксиомы.

П1 Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точки можно было провести прямую линию.

П2 И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.

П3 И чтоб из любого центра можно было провести окружность любого радиуса.

П4 И чтобы все прямые углы были равны.

П5 И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с другими прямыми образует внутренние односторонние углы, сумма которых <1800 (2-х прямых), эти прямые пересекались бы с той стороны, с какой эта сумма <1800.

А1.Равные порознь третьему равны между собой.

А2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

А3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

А4. И если неравным прибавить равные, то получим неравные.

А5. И если удвоим равные, то получим равные.

А6. И половины равных равны между собой.

А7. И совмещающиеся равны.

А8. И целое больше части.

А9. И две прямые не могут заключать пространство.

Вслед за аксиомами Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их  в строгой логической последовательности, чтобы каждое следующее предложение(Т) можно было бы доказать исходя из постулатов, аксиом и уже доказанных Т. Перечисление определений, аксиом, постулатов, достаточно для строгого логического доказательства всех последующих Т-м называется аксиоматическим обоснованием геометрии. Задача аксиоматического обоснования геометрии, поставленная Евклидом, была решена им стой степенью строгости, которая была доступна античной древности и принимается за образец изложения. Но если рассматривать «Начала» с современной точки зрения, то надо признать это изложение во многом не удовлетворительным. 1)Некоторые из встречающихся в ней понятий сами должны быть определены (граница, длина, ширина). 2)Ни одно из приведенных определений основных понятий в теоремах не используется и они могут быть опущены. 3) Список аксиом и постулатов недостаточен (постулаты не дают возможность обосновать понятия «точка прямой лежит между двумя другими ее точками», «точка лежит внутри ∆-а» и т.д., понятие равенства фигур доказывается с помощью движения, но понятие «движение» не формулируется.) 4) многие ученые пытались доказать 5-й постулат как теорему. И сам Евклид отодвигал использование этого постулата в доказательстве Т-м. До XIX в. было предпринято много попыток доказать V постулат, Но попытки содержали ошибки, т.к. на каком-то этапе доказательства опирались на утверждения, эквивалентные 5-му постулату (две //-е прямые пре пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы; существуют подобные ∆-и; Σ внутренних углов ∆-а равна двум прямым и др.) В XIX в. Лобачевский обосновал утверждение о том, что 5 постулат нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47159. Формирование принципов редактирования в издательской практике России 40–50-х годов XIX века 70.5 KB
  Журналы расходились по всем концам России становились умственной и духовной пищей передавались из рук в руки зачитывались до дыр. Современники не случайно называли действовавший устав чугунным понимая опасность такой ситуации в России. Белинского в теорию редактирования В работах Белинского поднимаются вопросы о целях и задачах печати в России особенно это касается вопросов создания журнала его популярности отличий журнала от газеты характере журнала и его отделов и т.
47161. Государственный экологический контроль. Права государственных экспертов 71.28 KB
  Государственный контроль в области охраны окружающей среды государственный экологический контроль осуществляется федеральными органами исполнительной власти и органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации. Государственный контроль в области охраны окружающей среды государственный экологический контроль осуществляется в порядке установленном Правительством Российской Федерации. В случае если при строительстве реконструкции капитальном ремонте объектов капитального строительства предусмотрено осуществление...
47162. Subordinate clauses of adverbial positions 71.5 KB
  Adverbial clauses are usually classified according to their meaning, that is, according to the relation they bear to the main clause. They differ from nominal and attributive clauses in that they are introduced by conjunctions with a more distinct meaning
47163. Загальна характеристика судової системи України. Місцеві державні адміністрації, їх повноваження 66 KB
  Конституційний Суд України є єдиним органом конституційної юрисдикції в Україні. Система судів загальної юрисдикції відповідно до Конституції України будується за принципами територіальності і спеціалізації. Систему судів загальної юрисдикції складають:1 місцеві суди;2 апеляційні суди Апеляційний суд України;3 Касаційний суд України був визнаний неконституційним за рішенням Конституційного Суду України;4 вищі спеціалізовані суди;5 Верховний Суд України.
47164. Предпринимательские функции государства. Особенности функционирования государственных предприятий и их виды 71.9 KB
  Теория безработицы. Причины и формы безработицы. Последствия безработицы закон Оукена. Взаимосвязь инфляции и безработицы.
47166. Региональный уровень организации управления 72 KB
  Многозначность понятия региона отражена в нормативных актах Российской Федерации например в утвержденных 3 июня 1996 года Основных положениях региональной политики в РФ. В данном документе регион трактуется как часть территории Российской Федерации обладающая общностью природных социальноэкономических национальнокультурных и иных условий. Регион может совпадать с границами территории субъекта федерации либо объединять территории нескольких субъектов Российской Федерации. Регионы как субъекты федерации в федеративном государстве...