20727

Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида

Доклад

Математика и математический анализ

И если к равным прибавить равные то получим равные. И если от равных отнимем равные то получим равные. И если неравным прибавить равные то получим неравные. И если удвоим равные то получим равные.

Русский

2013-07-31

28 KB

17 чел.

Вопрос № 12 Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида.

Первые сведения о геометрии были добыты цивилизациями ДР. Востока(Египет, Вавилон, Китай, Индия) связи с развитием земледелия. Геометрия этих стран представляла собой собрание частных решений отдельных задач. Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели вычислять площадь ∆-а, объем 4угольной усеченной пирамиды, площадь круга радиуса R(, π=3.16…) В Др. Греции геометрия начала развиваться в VII-Viвв до н.э.: Фалес(доказал несколько простейших теорем: свойства вертикальных углов, углов при основании равнобедренного ∆-а и др.), пифагорейцы открыли Т о Σ углов ∆-а,существование 5 типов правильных многогранников,..; Демокрит (Т об объемах пирамиды, конуса), Архимед (правило для вычисления площади поверхности шара и др. фигур, объемов ряда тел.

Особая заслуга древнегреческих математиков – постановка задачи о построении системы геометрических знаний (Платон, Аристотель).

Евклид (330-275 гг. до н.э.) – воспитанник школы Платона, один из величайших геометров древности. Он преподавал математику в Александрии. Написанные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненные с таким мастерством, что многие века после Евклида преподавания велись по его книгам.

Начала состоят из 13 книг.

1 кн. посвящена треугольникам, теоремам о ∆-ах, теории параллельных, условия равновеликости ∆-ков и многоугольников, Т Пифагора.

2: превращение многоугольника в равновеликий квадрат.

3: окружность и все о ней

4: вписанные и описанные многоугольники, построение правильных многоугольников.

5: теория пропорций

6: теория подобия треугольников

7-9: арифметика в геометрическом изложении (изучаются основные свойства натуральных чисел, вводится понятия простого и составного числа, НОД, НОК, доказана Т о бесконечности простых чисел)

10: несоизмеримые отрезки

11-13: основы стереометрии, причем 13-я кн. вся посвящена правильным многогранникам .

замечено, что не все математические знания, известные к тому времени, были отражены в книгах, в частности, Т конических сечений, кривые более высоких порядков.

Каждая из книг начиналась с определения всех тех понятий, которые встречаются. Так в начале 1-ой кн. даны 23 определения:

Опр1. Точка есть то, что не имеет частей.

Опр2. Линия есть длина без ширины.

Опр3.Границы линии – суть точки.

Опр4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим  точкам.

Опр5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Опр6. Границы поверхности суть линии.   

Опр7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым на ней лежащим.

Опр8. Плоский угол есть взаимное наклонение 2-х встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

После определений Евклид формулирует предложения, которые принимаются без доказательств, разбивая их на постулаты и аксиомы.

П1 Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точки можно было провести прямую линию.

П2 И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.

П3 И чтоб из любого центра можно было провести окружность любого радиуса.

П4 И чтобы все прямые углы были равны.

П5 И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с другими прямыми образует внутренние односторонние углы, сумма которых <1800 (2-х прямых), эти прямые пересекались бы с той стороны, с какой эта сумма <1800.

А1.Равные порознь третьему равны между собой.

А2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

А3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

А4. И если неравным прибавить равные, то получим неравные.

А5. И если удвоим равные, то получим равные.

А6. И половины равных равны между собой.

А7. И совмещающиеся равны.

А8. И целое больше части.

А9. И две прямые не могут заключать пространство.

Вслед за аксиомами Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их  в строгой логической последовательности, чтобы каждое следующее предложение(Т) можно было бы доказать исходя из постулатов, аксиом и уже доказанных Т. Перечисление определений, аксиом, постулатов, достаточно для строгого логического доказательства всех последующих Т-м называется аксиоматическим обоснованием геометрии. Задача аксиоматического обоснования геометрии, поставленная Евклидом, была решена им стой степенью строгости, которая была доступна античной древности и принимается за образец изложения. Но если рассматривать «Начала» с современной точки зрения, то надо признать это изложение во многом не удовлетворительным. 1)Некоторые из встречающихся в ней понятий сами должны быть определены (граница, длина, ширина). 2)Ни одно из приведенных определений основных понятий в теоремах не используется и они могут быть опущены. 3) Список аксиом и постулатов недостаточен (постулаты не дают возможность обосновать понятия «точка прямой лежит между двумя другими ее точками», «точка лежит внутри ∆-а» и т.д., понятие равенства фигур доказывается с помощью движения, но понятие «движение» не формулируется.) 4) многие ученые пытались доказать 5-й постулат как теорему. И сам Евклид отодвигал использование этого постулата в доказательстве Т-м. До XIX в. было предпринято много попыток доказать V постулат, Но попытки содержали ошибки, т.к. на каком-то этапе доказательства опирались на утверждения, эквивалентные 5-му постулату (две //-е прямые пре пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы; существуют подобные ∆-и; Σ внутренних углов ∆-а равна двум прямым и др.) В XIX в. Лобачевский обосновал утверждение о том, что 5 постулат нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6442. Современная мягкая игрушка 1.12 MB
  Современная мягкая игрушка Игрушка редко становится предметом исследований, чаще всего она понимается только как составная часть игровой реальности, как включенный в игру элемент предметного мира, хотя имеет и собственную, относительно независимую, ...
6443. Тенденции дизайна уличных витрин магазинов 23.49 KB
  Тенденции дизайна уличных витрин магазинов В современном мире невозможно представить крупный мегаполис или центр небольшого города без красочных уличных витрин, которые со всех сторон зазывают приобрести те или иные товары. Само слово витрина...
6444. Влияние деятельности николаевского чугунолитейного, железоделательного и механического завода на индустриальное развитие и становление социума г. Братска и иркутской области 45.27 KB
  Влияние деятельности николаевского чугунолитейного, железоделательного и механического завода на индустриальное развитие и становление социума г. Братска и иркутской области. Никто не оспаривает широкоизвестный очевидный факт о том, что корни нынешн...
6445. Древние строительные технологии Сибири 27.33 KB
  Древние строительные технологии Сибири Первые стоянки древнего человека в Сибири относятся еще к эпохе палеолита(а это около 2 млн. лет назад). Довольно тяжело себе это представить, но это именно так. Но, отнюдь, древний человек жил не в пещерах, а...
6446. Познание мира человеком сквозь призму философии техники и технического прогресса 27.15 KB
  Познание мира человеком сквозь призму философии техники и технического прогресса Познание мира представляет собой все усложняющийся процесс не только преодоления неведомого и накопления истинных знаний, это процесс, сопровождающийся включением в себ...
6447. Адаптация таджикских мигрантов в г. Шелехове иркутской области 27.78 KB
  Адаптация таджикских мигрантов в г. Шелехове иркутской области В конце XX столетия миграционные процессы во всем мире, в том числе и в России, достигли небывалого размаха. Человечество пережило массовое переселение, которого никогда прежде не видела...
6448. Анализ жизненной стратегии студенческой молодёжи г. Иркутска (по результатам социологического исследования) 30.93 KB
  Анализ жизненной стратегии студенческой молодёжи г. Иркутска (по результатам социологического исследования) Формирование жизненной стратегии можно определить как сознательный и творческий процесс выстраивания человеком своего будущего, основанный на...
6449. Анализ семейных ценностей современной российской молодежи 25.94 KB
  Анализ семейных ценностей современной российской молодежи Для большинства людей семейные ценности приблизительно одинаковы: любовь, родительство, верность, доверие, связь с предками, дом. Словом, все то, без чего семью и назвать-то семьей сложно. Бо...
6450. Изменение визуального образа семьи: Анализ фотографий 26.55 KB
  Изменение визуального образа семьи: Анализ фотографий В современное время, благодаря развитию информационных технологий, существует огромное множество семейных фотографий. При этом мало кто задумывается, как раньше запечатляли свою жизнь на фо...