20727

Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида

Доклад

Математика и математический анализ

И если к равным прибавить равные то получим равные. И если от равных отнимем равные то получим равные. И если неравным прибавить равные то получим неравные. И если удвоим равные то получим равные.

Русский

2013-07-31

28 KB

12 чел.

Вопрос № 12 Исторический обзор оснований геометрии. «Начала» Евклида.

Первые сведения о геометрии были добыты цивилизациями ДР. Востока(Египет, Вавилон, Китай, Индия) связи с развитием земледелия. Геометрия этих стран представляла собой собрание частных решений отдельных задач. Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели вычислять площадь ∆-а, объем 4угольной усеченной пирамиды, площадь круга радиуса R(, π=3.16…) В Др. Греции геометрия начала развиваться в VII-Viвв до н.э.: Фалес(доказал несколько простейших теорем: свойства вертикальных углов, углов при основании равнобедренного ∆-а и др.), пифагорейцы открыли Т о Σ углов ∆-а,существование 5 типов правильных многогранников,..; Демокрит (Т об объемах пирамиды, конуса), Архимед (правило для вычисления площади поверхности шара и др. фигур, объемов ряда тел.

Особая заслуга древнегреческих математиков – постановка задачи о построении системы геометрических знаний (Платон, Аристотель).

Евклид (330-275 гг. до н.э.) – воспитанник школы Платона, один из величайших геометров древности. Он преподавал математику в Александрии. Написанные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненные с таким мастерством, что многие века после Евклида преподавания велись по его книгам.

Начала состоят из 13 книг.

1 кн. посвящена треугольникам, теоремам о ∆-ах, теории параллельных, условия равновеликости ∆-ков и многоугольников, Т Пифагора.

2: превращение многоугольника в равновеликий квадрат.

3: окружность и все о ней

4: вписанные и описанные многоугольники, построение правильных многоугольников.

5: теория пропорций

6: теория подобия треугольников

7-9: арифметика в геометрическом изложении (изучаются основные свойства натуральных чисел, вводится понятия простого и составного числа, НОД, НОК, доказана Т о бесконечности простых чисел)

10: несоизмеримые отрезки

11-13: основы стереометрии, причем 13-я кн. вся посвящена правильным многогранникам .

замечено, что не все математические знания, известные к тому времени, были отражены в книгах, в частности, Т конических сечений, кривые более высоких порядков.

Каждая из книг начиналась с определения всех тех понятий, которые встречаются. Так в начале 1-ой кн. даны 23 определения:

Опр1. Точка есть то, что не имеет частей.

Опр2. Линия есть длина без ширины.

Опр3.Границы линии – суть точки.

Опр4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим  точкам.

Опр5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Опр6. Границы поверхности суть линии.   

Опр7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым на ней лежащим.

Опр8. Плоский угол есть взаимное наклонение 2-х встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

После определений Евклид формулирует предложения, которые принимаются без доказательств, разбивая их на постулаты и аксиомы.

П1 Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точки можно было провести прямую линию.

П2 И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.

П3 И чтоб из любого центра можно было провести окружность любого радиуса.

П4 И чтобы все прямые углы были равны.

П5 И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с другими прямыми образует внутренние односторонние углы, сумма которых <1800 (2-х прямых), эти прямые пересекались бы с той стороны, с какой эта сумма <1800.

А1.Равные порознь третьему равны между собой.

А2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

А3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

А4. И если неравным прибавить равные, то получим неравные.

А5. И если удвоим равные, то получим равные.

А6. И половины равных равны между собой.

А7. И совмещающиеся равны.

А8. И целое больше части.

А9. И две прямые не могут заключать пространство.

Вслед за аксиомами Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их  в строгой логической последовательности, чтобы каждое следующее предложение(Т) можно было бы доказать исходя из постулатов, аксиом и уже доказанных Т. Перечисление определений, аксиом, постулатов, достаточно для строгого логического доказательства всех последующих Т-м называется аксиоматическим обоснованием геометрии. Задача аксиоматического обоснования геометрии, поставленная Евклидом, была решена им стой степенью строгости, которая была доступна античной древности и принимается за образец изложения. Но если рассматривать «Начала» с современной точки зрения, то надо признать это изложение во многом не удовлетворительным. 1)Некоторые из встречающихся в ней понятий сами должны быть определены (граница, длина, ширина). 2)Ни одно из приведенных определений основных понятий в теоремах не используется и они могут быть опущены. 3) Список аксиом и постулатов недостаточен (постулаты не дают возможность обосновать понятия «точка прямой лежит между двумя другими ее точками», «точка лежит внутри ∆-а» и т.д., понятие равенства фигур доказывается с помощью движения, но понятие «движение» не формулируется.) 4) многие ученые пытались доказать 5-й постулат как теорему. И сам Евклид отодвигал использование этого постулата в доказательстве Т-м. До XIX в. было предпринято много попыток доказать V постулат, Но попытки содержали ошибки, т.к. на каком-то этапе доказательства опирались на утверждения, эквивалентные 5-му постулату (две //-е прямые пре пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы; существуют подобные ∆-и; Σ внутренних углов ∆-а равна двум прямым и др.) В XIX в. Лобачевский обосновал утверждение о том, что 5 постулат нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29369. зыки проектирования как составная часть лингвистического обеспечения САПР 29.5 KB
  Языки проектирования – языки предназначенные для описания информации об объекте и процессе проектирования. а Входные языки предназначены для задания исходной информации об объектах и целях проектирования. Эти языки представляют собой совокупность языков описания объектов описания заданий и описания процессов.
29370. Определение формальной грамматики 49 KB
  Конечное множество символов неделимых в данном рассмотрении в теории формальных грамматик называется словарем или алфавитом а символы входящие в множество буквами алфавита. Последовательность букв алфавита называется словом или цепочкой в этом алфавите. Если задан алфавит A то обозначим A множество всевозможных цепочек которые могут быть построены из букв алфавита A. Формальной порождающей грамматикой Г называется следующая совокупность четырех объектов: Г = { Vт VA I VA R } где Vт терминальный алфавит словарь; буквы этого...
29371. Классы формальных грамматик 47 KB
  В теории формальных языков выделяются 4 типа грамматик которым соответствуют 4 типа языков. Эти грамматики выделяются путем наложения усиливающихся ограничений на правила грамматики Грамматики типа 0 Грамматики типа 0 которые называют грамматиками общего вида не имеют никаких ограничений на правила порождения. Грамматики типа 1 Грамматики типа 1 которые называют также контекстнозависимыми грамматиками не допускают использования любых правил. Грамматики типа 1 значительно удобнее на практике чем грамматики типа 0 поскольку в левой части...
29372. Синтаксические диаграммы 53 KB
  Каждое появление терминального символа x в цепочке ai изображается на диаграмме дугой помеченной этим символом x заключенным в кружок. Каждому появлению нетерминального символа A в цепочке ai ставится в соответствие на диаграмме дуга помеченная символом заключённым в квадрат.an изображается на диаграмме следующим образом: 5. an изображается на диаграмме так: 6.
29373. Языковые процессоры и их основные типы 29.5 KB
  Совмещение этих требований в одном языке оказалось трудной задачей поэтому появились средства для преобразования текстов с языка понятного человеку на язык устройства. В первом случае его называют интерпретатором входного языка а во втором компилятором. Интерпретатор последовательно читает предложения входного языка анализирует их и сразу же выполняет а компилятор не выполняет предложения языка а строит программу которая может в дальнейшем быть запущена для получения результата. Такое задание предполагает определение правил построения...
29374. Фазы трансляции программ 32.5 KB
  На вход лексического анализатора подаётся последовательность символов входного языка. ЛА выделяет в этой последовательности простейшие конструкции языка которые называют лексическими единицами лексемами. Генератор каждому символу действия поступающему на его вход ставит в соответствие одну или несколько команд выходного языка. В качестве выходного языка могут быть использованы команды устройства команды ассемблера либо операторы какоголибо другого языка.
29375. Основные функции сканера 34 KB
  Лексический анализ программ – один из основных этапов фаз трансляции программ – выделение в исходной программе элементарных единиц языка таких как идентификаторы константы ключевые слова символы операций разделители и др. Лексический анализ завершается преобразованием выделенных единиц языка в некоторую унифицированную форму обычно числовую.Часть транслятора которая выполняет лексический анализ называется сканером лексический анализатор. Лексический анализатор сканер должен распознать идентификаторы константы ключевые слова...
29376. Принципы работы сканера 95.5 KB
  Синтаксис целых констант представляется: целое ::=цифра знак цифра целое цифра знак ::= Для представления грамматики состояния целых констант диаграмма имеет вид:Вершины соответствуют состояниям автомата и определяются нетерминальными символами. Построим диаграмму состояний для автомата который распознает лексемы трех типов: целые константы десятичные константы идентификаторы идентр ::=буква идентр буква идентр цифра десятичная константа: дес.число цифра смеше число цифра смеше число ::= целое целое ::=цифра знак цифра целое цифра...