20729

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

Доклад

Математика и математический анализ

Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Русский

2013-07-31

34 KB

61 чел.

Геометрия.

Вопрос №2.

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Лобачевский, как и другие великие математики этого периода (Больяи, Риман), считал, что пятый постулат Евклида можно доказать (есть версия, что сам Евклид пробовал доказать пятый постулат как теорему, но у него не получилось). После многократных неудачных попыток доказательства, как самого пятого постулата, так и его эквивалентов, Лобачевский пошёл другим путём. Он принял всю аксиоматику Евклида, кроме пятого постулата, вместо которого взял его отрицание (этим же путём пошёл Риман) и принял как аксиому. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: Через данную точку P, не лежащую на прямой AB, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в плоскости, определённой прямой AB и точкой P, и не пересекающие прямую AB.

После исследования новой геометрии были выведены следующие факты (простейшие теоремы):

– через точку M, не лежащую на прямой l, можно провести две параллельные прямые (параллельную вправо и параллельную влево). Причём угол α, между нормалью, восстановленной от точки M на прямую l, и одной из параллельных прямых называется углом параллельности;

– все прямые, заключённые между двумя параллельными, также не пересекают прямую l, но не являются параллельными. Они называются расходящимися прямыми (по сути, параллельные прямые это крайние положения расходящихся прямых) или, по-другому, сверхпараллельными. На рисунке это прямая m;

– сумма углов треугольника меньше двух прямых (меньше 1800), а сумма углов четырёхугольника меньше четырёх прямых. Причём на плоскости Лобачевского существует треугольник, сумма углов которого равна 0. На плоскости Лобачевского существуют треугольники, возле которых нельзя описать окружность.

– Треугольник ABC конгруэнтен ABC’, если угол A конгруэнтен углу A’, угол B конгруэнтен углу B’, угол C конгруэнтен углу C’.

Значение угла параллельности выражает функция Лобачевского , которая каждому отрезку ставит в соответствие некоторый угол.

  1.  Значения функции Лобачевского являются острыми углами;
  2.  Функция Лобачевского является убывающей функцией. Если x2>x1, то

То есть функция Лобачевского  является убывающей функцией, определённой на множестве всех неотрицательных чисел, которая принимает значения, заключённые в интервале от 0 до

Одна из моделей плоскости Лобачевского – это верхняя полуплоскость xOy, без оси абсцисс. Прямыми в данном случае считаются перпендикуляры к оси абсцисс и полуокружности с центром на оси X. Перпендикуляры, в частности, можно считать окружностями с бесконечно большими радиусами.

На данной плоскости изображены: примеры прямых l, m, e; треугольник ABC, отрезок KM фрагментом прямой не является.


x2

x1

l

α

M

m

Y

0

A

B

C

K

M

l

e

m


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27348. Воспитательные функции детского коллектива 20 KB
  Воспитательные функции детского коллектива. Функции коллектива. Выделяют три воспитательные функции коллектива: организационную детский коллектив становится субъектом управления своей общественно полезной деятельностью; воспитательную детский коллектив становится носителем и пропагандистом определенных идейнонравственных убеждений; стимулирования коллектив способствует формированию нравственноценных стимулов всех общественно полезных дел регулирует поведение своих членов их взаимоотношения. Типы и структура детского коллектива.
27349. Понятие «педагогическая технология» 19.97 KB
  Структура педагогического общения представляет собой развернутые во времени этапы взаимодействия педагога со своими учениками. Учитель вначале продумывает ход урока и особенности своего общения с классом а затем входит в класс и начинает свое взаимодействие с учениками. Он сначала осуществляет коммуникативную атаку это своеобразная борьба за инициативу в общении и управление процессом общения в ходе урока и только после этого проводит анализ состоявшегося взаимодействия с учащимися. В структуре педагогического общения можно выделить ряд...
27350. Школа как объект управления 18.37 KB
  Школа как объект управления. Школа – это целостная социальная организация. Школа – сложная многокомпонентная система. Школа – открытая система.
27351. Школа и педагогика в России конца XVIII-XX вв 20.98 KB
  Вестернизация российского образования в XVIII веке. были изданы Предварительные правила народного просвещения а затем Устав учебных заведений подведомых университетам 1804 в которых определялась структура образования в стране и система управления учебными заведениями. Создается единая система общего образования. Новая система образования предусматривала 4е ступени: высшая университеты в каждом округе средняя гимназии в каждом губернском городе промежуточная уездные училища по одному в каждом уезде низшая приходские...
27352. Личность в психологии 24.28 KB
  Индивидуальность – одна из сторон личности. Представление о структуре личности в различных психологических теориях Существует ряд психологических теорий описывающих структуру личности. В советской психологии сложилась традиция различения индивида и личности. При некоторых различиях в понимании личности и при общих различиях или подходах эти авторы определяли природу и свойства индивида и проводили линию различия демаркационную линию в одном и том же месте.