20729

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

Доклад

Математика и математический анализ

Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Русский

2013-07-31

34 KB

64 чел.

Геометрия.

Вопрос №2.

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Лобачевский, как и другие великие математики этого периода (Больяи, Риман), считал, что пятый постулат Евклида можно доказать (есть версия, что сам Евклид пробовал доказать пятый постулат как теорему, но у него не получилось). После многократных неудачных попыток доказательства, как самого пятого постулата, так и его эквивалентов, Лобачевский пошёл другим путём. Он принял всю аксиоматику Евклида, кроме пятого постулата, вместо которого взял его отрицание (этим же путём пошёл Риман) и принял как аксиому. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: Через данную точку P, не лежащую на прямой AB, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в плоскости, определённой прямой AB и точкой P, и не пересекающие прямую AB.

После исследования новой геометрии были выведены следующие факты (простейшие теоремы):

– через точку M, не лежащую на прямой l, можно провести две параллельные прямые (параллельную вправо и параллельную влево). Причём угол α, между нормалью, восстановленной от точки M на прямую l, и одной из параллельных прямых называется углом параллельности;

– все прямые, заключённые между двумя параллельными, также не пересекают прямую l, но не являются параллельными. Они называются расходящимися прямыми (по сути, параллельные прямые это крайние положения расходящихся прямых) или, по-другому, сверхпараллельными. На рисунке это прямая m;

– сумма углов треугольника меньше двух прямых (меньше 1800), а сумма углов четырёхугольника меньше четырёх прямых. Причём на плоскости Лобачевского существует треугольник, сумма углов которого равна 0. На плоскости Лобачевского существуют треугольники, возле которых нельзя описать окружность.

– Треугольник ABC конгруэнтен ABC’, если угол A конгруэнтен углу A’, угол B конгруэнтен углу B’, угол C конгруэнтен углу C’.

Значение угла параллельности выражает функция Лобачевского , которая каждому отрезку ставит в соответствие некоторый угол.

  1.  Значения функции Лобачевского являются острыми углами;
  2.  Функция Лобачевского является убывающей функцией. Если x2>x1, то

То есть функция Лобачевского  является убывающей функцией, определённой на множестве всех неотрицательных чисел, которая принимает значения, заключённые в интервале от 0 до

Одна из моделей плоскости Лобачевского – это верхняя полуплоскость xOy, без оси абсцисс. Прямыми в данном случае считаются перпендикуляры к оси абсцисс и полуокружности с центром на оси X. Перпендикуляры, в частности, можно считать окружностями с бесконечно большими радиусами.

На данной плоскости изображены: примеры прямых l, m, e; треугольник ABC, отрезок KM фрагментом прямой не является.


x2

x1

l

α

M

m

Y

0

A

B

C

K

M

l

e

m


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10164. Специфика технического знания и технических наук 53 KB
  Специфика технического знания и технических наук. Поскольку техническое знание ближе всего естественнонаучному то его специфику легче всего усмотреть на основе их сравнения. Техника большую часть своей истории была мало связана с наукой люди могли делать и делал...
10165. Отношение техники и прикладного знания. Типология технических наук 24.5 KB
  Отношение техники и прикладного знания. Типология технических наук. Это одна из причин почему традиционная характеристика техники как прикладного Е сейчас оценивается как устаревшая. Это утверждение может быть признано лишь отчасти справедливым по отношению к не
10166. Периодизация развития техники как философская проблема. Основные способы периодизации развития техники 50.5 KB
  Периодизация развития техники как философская проблема. Основные способы периодизации развития техники. Закономерности исторического развития техники. Проблема периодизации. Предметная сторона Т. Техника и наука. Т как деятельность. ФТ выделяе...
10167. Взаимоотношение науки и техники на различных этапах эволюции техники 50 KB
  Взаимоотношение науки и техники на различных этапах эволюции техники Они не всегда были взаимосвязаны Т долгое время развивалась независимо от всякой науки. Это не означает что в технике не применялись научные знания. Доинженерный период. Но наука не имела дисциплин
10168. Техногенная цивилизация, ее история и перспективы 108 KB
  Техногенная цивилизация ее история и перспективы. Информационное общество это высшая стадия развития техногенной цивилизации. Для характеристики его места в истории вернемся к общим представлениям о развитии культуры. С т.з. современной социальной философии сущ
10169. Чернобыльская радиация в вопросах и ответах 735.41 KB
  Когда в СССР сообщили об аварии на Чернобыльской АЭС Первая информация об аварии прозвучала в программе Время вечером 27 апреля, первая публикация в печати состоялась 28 апреля...
10170. Информационное общество как тип социальной организации 58 KB
  Информационное общество как тип социальной организации. Оценка сущности последней стадии в социальной философии ХХ в. претерпела эволюцию. Первоначально она характеризовалась как постиндустриальное общество Д. Белл технотронное общество З. Бжезинский. В 80х г...
10171. Проблема личности в информационном обществе 150 KB
  Проблема личности в информационном обществе Таким образом можно составить обобщенный свод проблем личности в информационном обществе. 1. Проблемы общения. С одной стороны благодаря Интернету мир превратился в мировую деревню: термин ввел в 70е гг. Маклюэн: все д...
10172. Гуманитарная философия техники. Льюис Мэмфорд: миф машины 44.5 KB
  Гуманитарная философия техникиИнженерная философия техники анализ техники как бы изнутри и в конечном счете интерпретация технического способа бытия человека в мире как парадигматического главного для понимания других типов человеческого мышления и действия мог