20729

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

Доклад

Математика и математический анализ

Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Русский

2013-07-31

34 KB

63 чел.

Геометрия.

Вопрос №2.

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Лобачевский, как и другие великие математики этого периода (Больяи, Риман), считал, что пятый постулат Евклида можно доказать (есть версия, что сам Евклид пробовал доказать пятый постулат как теорему, но у него не получилось). После многократных неудачных попыток доказательства, как самого пятого постулата, так и его эквивалентов, Лобачевский пошёл другим путём. Он принял всю аксиоматику Евклида, кроме пятого постулата, вместо которого взял его отрицание (этим же путём пошёл Риман) и принял как аксиому. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: Через данную точку P, не лежащую на прямой AB, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в плоскости, определённой прямой AB и точкой P, и не пересекающие прямую AB.

После исследования новой геометрии были выведены следующие факты (простейшие теоремы):

– через точку M, не лежащую на прямой l, можно провести две параллельные прямые (параллельную вправо и параллельную влево). Причём угол α, между нормалью, восстановленной от точки M на прямую l, и одной из параллельных прямых называется углом параллельности;

– все прямые, заключённые между двумя параллельными, также не пересекают прямую l, но не являются параллельными. Они называются расходящимися прямыми (по сути, параллельные прямые это крайние положения расходящихся прямых) или, по-другому, сверхпараллельными. На рисунке это прямая m;

– сумма углов треугольника меньше двух прямых (меньше 1800), а сумма углов четырёхугольника меньше четырёх прямых. Причём на плоскости Лобачевского существует треугольник, сумма углов которого равна 0. На плоскости Лобачевского существуют треугольники, возле которых нельзя описать окружность.

– Треугольник ABC конгруэнтен ABC’, если угол A конгруэнтен углу A’, угол B конгруэнтен углу B’, угол C конгруэнтен углу C’.

Значение угла параллельности выражает функция Лобачевского , которая каждому отрезку ставит в соответствие некоторый угол.

  1.  Значения функции Лобачевского являются острыми углами;
  2.  Функция Лобачевского является убывающей функцией. Если x2>x1, то

То есть функция Лобачевского  является убывающей функцией, определённой на множестве всех неотрицательных чисел, которая принимает значения, заключённые в интервале от 0 до

Одна из моделей плоскости Лобачевского – это верхняя полуплоскость xOy, без оси абсцисс. Прямыми в данном случае считаются перпендикуляры к оси абсцисс и полуокружности с центром на оси X. Перпендикуляры, в частности, можно считать окружностями с бесконечно большими радиусами.

На данной плоскости изображены: примеры прямых l, m, e; треугольник ABC, отрезок KM фрагментом прямой не является.


x2

x1

l

α

M

m

Y

0

A

B

C

K

M

l

e

m


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71046. Назначение IP-адресов. Маски подсети 852 KB
  Одной из наиболее важных тем при обсуждении стека TCP/IP является IP-адресация. IP-адрес представляет собой числовой идентификатор, присваиваемый каждому компьютеру сети IP. Он отражает расположение устройства в сети. IP-адрес является программным, а не аппаратным адресом — последний \"зашит\" в компьютере или плате сетевого интерфейса.
71047. Технология приготовления блюда Тефтели рыбные с гарниром и соусом и кондитерского изделия Рулет бисквитный фруктовый 790.59 KB
  Организация рабочих мест при приготовлении кондитерского изделия. Организация рабочих мест при приготовлении блюда. Подбор необходимого технологического оборудования и производственного инвентаря, используемого для приготовления блюда. Характеристика рабочих мест для приготовления кондитерского изделия.
71048. Изучение методов измерения: прямого преобразования и замещения 159 KB
  Целью работы является изучение методов измерения: дифференциального, прямого преобразования, замещения и их экспериментальное сравнение. При выполнении лабораторной работы студент должен: Знать: цель и содержание предстоящей работы, порядок ее выполнения и основные теоретические положения по данной теме.
71049. Изучение методов измерения: компенсационного, прямого преобразования и замещения 471 KB
  На панели лабораторного стенда установлена монтажная плата с сопротивлениями измерительного моста которые намотаны манганиновой проволокой что обеспечивает независимость их значений от влияния окружающей температуры. На лицевой панели стенда также установлен микроамперметр...
71051. Обработка двумерных массивов 323.5 KB
  Задание к лабораторной работе: Дана действительная квадратная матрица А размера n  n. Вычислить суммы элементов двух главных диагоналей матрицы. Схема алгоритма. Программа на языке Basic Расчет сумм элементов двух главных диагоналей матрицы.
71053. Программирование типовых алгоритмов 203.5 KB
  Задание к лабораторной работе Ввести восемь чисел и вычислить наибольшее среди четных чисел и его номер. Схема алгоритма. Программа на языке Basic Типовые алгоритмы CLS PRINT “Вычисление наибольшего четного числа из восьми введенных“ n = 8 max = -100000...
71054. Программирование простых циклических процессов 148.5 KB
  Составить таблицу значений массы жидкого продукта в емкости, имеющей форму параллелепипеда в зависимости от высоты жидкости в емкости. Высота меняется от 0,5 м до 2 м с шагом 0,5 м. Схема алгоритма. Программа на языке Basic...