20729

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

Доклад

Математика и математический анализ

Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Русский

2013-07-31

34 KB

57 чел.

Геометрия.

Вопрос №2.

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Лобачевский, как и другие великие математики этого периода (Больяи, Риман), считал, что пятый постулат Евклида можно доказать (есть версия, что сам Евклид пробовал доказать пятый постулат как теорему, но у него не получилось). После многократных неудачных попыток доказательства, как самого пятого постулата, так и его эквивалентов, Лобачевский пошёл другим путём. Он принял всю аксиоматику Евклида, кроме пятого постулата, вместо которого взял его отрицание (этим же путём пошёл Риман) и принял как аксиому. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: Через данную точку P, не лежащую на прямой AB, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в плоскости, определённой прямой AB и точкой P, и не пересекающие прямую AB.

После исследования новой геометрии были выведены следующие факты (простейшие теоремы):

– через точку M, не лежащую на прямой l, можно провести две параллельные прямые (параллельную вправо и параллельную влево). Причём угол α, между нормалью, восстановленной от точки M на прямую l, и одной из параллельных прямых называется углом параллельности;

– все прямые, заключённые между двумя параллельными, также не пересекают прямую l, но не являются параллельными. Они называются расходящимися прямыми (по сути, параллельные прямые это крайние положения расходящихся прямых) или, по-другому, сверхпараллельными. На рисунке это прямая m;

– сумма углов треугольника меньше двух прямых (меньше 1800), а сумма углов четырёхугольника меньше четырёх прямых. Причём на плоскости Лобачевского существует треугольник, сумма углов которого равна 0. На плоскости Лобачевского существуют треугольники, возле которых нельзя описать окружность.

– Треугольник ABC конгруэнтен ABC’, если угол A конгруэнтен углу A’, угол B конгруэнтен углу B’, угол C конгруэнтен углу C’.

Значение угла параллельности выражает функция Лобачевского , которая каждому отрезку ставит в соответствие некоторый угол.

  1.  Значения функции Лобачевского являются острыми углами;
  2.  Функция Лобачевского является убывающей функцией. Если x2>x1, то

То есть функция Лобачевского  является убывающей функцией, определённой на множестве всех неотрицательных чисел, которая принимает значения, заключённые в интервале от 0 до

Одна из моделей плоскости Лобачевского – это верхняя полуплоскость xOy, без оси абсцисс. Прямыми в данном случае считаются перпендикуляры к оси абсцисс и полуокружности с центром на оси X. Перпендикуляры, в частности, можно считать окружностями с бесконечно большими радиусами.

На данной плоскости изображены: примеры прямых l, m, e; треугольник ABC, отрезок KM фрагментом прямой не является.


x2

x1

l

α

M

m

Y

0

A

B

C

K

M

l

e

m


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3786. Жизнь и творчество Карла Брюллова 307.2 KB
  Введение В развитии искусства, в характере и особенностях отдельных его направлений большая роль принадлежит творческим личностям художников, которых история называла великими или замечательными. Этот художники своей деятельностью участвуют в формир...
3787. Илья Репин 53 KB
  Репин родился в 1884 году в маленьком украинском городке Чугуеве, недалеко от Харькова, в семье военного поселянина. С родными местами связаны первые жизненные и художественные впечатления Репина, здесь же он получил и первые профессиональные навыки...
3788. Жизнь и творчество художника А.П. Лежнева 41.5 KB
  Вступление Изобразительное искусство в Башкортостане, как и другие виды искусства, имеет свои истоки. Это – народная традиция, которая нашла отражение в орнаментах, украшениях, узорах, формах предметов бытового назначения. Их цвета созвучны бог...
3789. Жизнь и творчество И.В. Шишкина 103 KB
  Шишкин родился 13 (25) января 1832 года в Елабуге - маленьком городке, расположенном на высоком берегу Камы. Впечатлительный, любознательный, одаренный мальчик нашел незаменимого друга в своем отце. Небогатый купец, И. В. Шишкин был человеком разнос...
3790. Суйменкул Чокморов. Жизнь и творческий путь Суйменкула Чокморова 46.5 KB
  В конце шестидесятых годов кыргызское киноискусство достигло всемирной известности: тогда мировая печать заговорила о чуде кыргызского кино. Именно в эти годы начал свою кинодеятельность Суйменкул Чокморов. Если Ч. Айтматов, Б. Шамшиев, ...
3791. Животный мир как объект охраны и использования 70.5 KB
  Животный мир является составной частью природной среды и выступает как неотъемлемое звено в цепи экологических систем, необходимый компонент в процессе круговорота веществ и энергии природы, активно виляющий на функционирование естественных...
3792. Изучение закона вращательного движения при помощи маятника Обербека 39.5 KB
  Изучение закона вращательного движения при помощи маятника Обербека Цель работы: нахождение с методом определения момента инерции тела, основанном на использовании закона вращательного движения, и определение момента инерции специального тела- маятн...
3793. Определение удельного сопротивления Резистивного провода 72 KB
  Определение удельного сопротивления Резистивного провода Цель работы: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА Краткое описание лабораторной установки. Общий вид маятника Максвелла показан на рис. Установка состоит из основания...