20729

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

Доклад

Математика и математический анализ

Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Русский

2013-07-31

34 KB

62 чел.

Геометрия.

Вопрос №2.

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Лобачевский, как и другие великие математики этого периода (Больяи, Риман), считал, что пятый постулат Евклида можно доказать (есть версия, что сам Евклид пробовал доказать пятый постулат как теорему, но у него не получилось). После многократных неудачных попыток доказательства, как самого пятого постулата, так и его эквивалентов, Лобачевский пошёл другим путём. Он принял всю аксиоматику Евклида, кроме пятого постулата, вместо которого взял его отрицание (этим же путём пошёл Риман) и принял как аксиому. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: Через данную точку P, не лежащую на прямой AB, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в плоскости, определённой прямой AB и точкой P, и не пересекающие прямую AB.

После исследования новой геометрии были выведены следующие факты (простейшие теоремы):

– через точку M, не лежащую на прямой l, можно провести две параллельные прямые (параллельную вправо и параллельную влево). Причём угол α, между нормалью, восстановленной от точки M на прямую l, и одной из параллельных прямых называется углом параллельности;

– все прямые, заключённые между двумя параллельными, также не пересекают прямую l, но не являются параллельными. Они называются расходящимися прямыми (по сути, параллельные прямые это крайние положения расходящихся прямых) или, по-другому, сверхпараллельными. На рисунке это прямая m;

– сумма углов треугольника меньше двух прямых (меньше 1800), а сумма углов четырёхугольника меньше четырёх прямых. Причём на плоскости Лобачевского существует треугольник, сумма углов которого равна 0. На плоскости Лобачевского существуют треугольники, возле которых нельзя описать окружность.

– Треугольник ABC конгруэнтен ABC’, если угол A конгруэнтен углу A’, угол B конгруэнтен углу B’, угол C конгруэнтен углу C’.

Значение угла параллельности выражает функция Лобачевского , которая каждому отрезку ставит в соответствие некоторый угол.

  1.  Значения функции Лобачевского являются острыми углами;
  2.  Функция Лобачевского является убывающей функцией. Если x2>x1, то

То есть функция Лобачевского  является убывающей функцией, определённой на множестве всех неотрицательных чисел, которая принимает значения, заключённые в интервале от 0 до

Одна из моделей плоскости Лобачевского – это верхняя полуплоскость xOy, без оси абсцисс. Прямыми в данном случае считаются перпендикуляры к оси абсцисс и полуокружности с центром на оси X. Перпендикуляры, в частности, можно считать окружностями с бесконечно большими радиусами.

На данной плоскости изображены: примеры прямых l, m, e; треугольник ABC, отрезок KM фрагментом прямой не является.


x2

x1

l

α

M

m

Y

0

A

B

C

K

M

l

e

m


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31719. Формування моральної свідомості 39 KB
  Для періоду дитинства взагалі характерне засвоєння моральних норм і перетворення останніх на регулятори поведінки та діяльності дитини через наслідування відповідних дій дорослих. 3 погляду педагогіки це орієнтація на максимальне усвідомлення у межах вікових психологічних можливостей дитиною моральних вимог що їх постійно висуває перед нею життя орієнтація на природну творчість дитини. У моральній свідомості учнів розрізняють два взаємопов'язаних рівні: теоретичний система моральних знань того чи іншого рівня узагальненості та рівень...
31720. Соціально-психологічні аспекти виховання 37 KB
  Такі групи називають референтними. Референтні групи можуть бути як реальними так і уявними але особистість завжди орієнтується на їх цінності і стандарти як на еталонні зразки своєї поведінки завжди прагне до визнання з їх боку. Якщо індивід реально входить до складу референтної групи то це створює психологічно сприятливі умови для успішного розвитку особистості в певному напрямку останній зовсім не обовязково має співпадати зі загальною стратегією виховання особливо коли референтній групі притаманна асоціальна спрямованість.
31721. Загальна характеристика процесу учіння 23.5 KB
  Загальна характеристика процесу учіння Учіння виявляється там де дії людини скеровуються свідомою метою засвоїти певні знання навички вміння форми поведінки і діяльності коли субєкт діє з метою засвоєння нового досвіду. Зміст учіння гностична пізнавальна діяльність на основі пізнавальних психічних процесів за допомогою перцептивних мнемічних інтелектуальних імажинативних дій. Існує 3 основних групи мотивів учіння за їх джерелом: Внутрішні зумовлені структурою потреб людини.
31723. Мотивація учіння 27 KB
  Мотивація учіння Будьяка діяльність здійснюється під впливом певних спонукань які є рушієм активності її суб'єкта. Навчальна мотивація визначається специфічними для навчальної діяльності факторами: власне освітньою системою освітнім закладом; організацією навчального процесу; суб'єктивними особливостями тих хто навчається вік стать інтелектуальний розвиток здібності рівень домагань самооцінка взаємодія з іншими тощо; суб'єктивними особливостями педагога насамперед його ставленням до учня до власної справи; специфікою навчального...
31724. Загальна характеристика праці вчителя 28.5 KB
  Загальна характеристика праці вчителя На основі системного підходу до аналізу педагогічної діяльності Н. До структурних компонентів належать суб'єкт та об'єкт педагогічної взаємодії предмет їх спільної діяльності цілі навчання і засоби педагогічної комунікації. Функціональними компонентами педагогічної діяльності на думку Н. Конструктивний компонент розкриває особливості конструювання вчителем власної діяльності та діяльності учнів з урахуванням близьких урок заняття цикл занять цілей навчання і виховання.
31725. Специфіка педагогічного мислення 27.5 KB
  Специфіка педагогічного мислення Педагогічне завдання є структурною одиницею мислення вчителя. Основним компонентом практичного мислення вчителя в якому найяскравіше проявляється внутрішня єдність інтелектуальних емоційних та вольових якостей особистості є процес прийняття педагогічних рішень. Ще одна важлива особливість мислення вчителя полягає в тому що теоретичні знання при розв'язанні педагогічних завдань використовуються як правило у знятому вигляді автоматично скорочено згорнуто. Зумовлено це поперше загальною тенденцією до...
31726. Педагогічне спілкування 28 KB
  Педагогічне спілкування Прагнення до людського спілкування виступає своєрідним внутрішнім стимулом рушієм діяльності особистості. Педагогічне спілкування це система органічної соціальнопсихологічної дії учителявихователя і вихованця в усіх сферах діяльності що має певні педагогічні функції спрямоване на створення оптимальних соціальнопсихологічних умов активної та результативної життєдіяльності особистості. Оптимальним треба вважати таке спілкування педагога з вихованцями у процесі навчальновиховної роботи яке створює найбільш...
31727. Методи педагогічної психології 29 KB
  Недоліки цього методу: пасивність спостерігача фіксація тільки зовнішніх проявів певних дій і вчинків складність кількісної обробки одержаних даних. Позитивні сторони методу в його масовості швидкості одержання інформації легкої обробки даних можливості застосування математичних методів обробки даних і порівняльного аналізу декількох обстежень. Недоліки методу важко розраховувати на повні правильні точні відповіді неможливість втручання в сам процес анкетування немає гарантій недобросовісного заповнення анкет тощо. Позитивні...