20729

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

Доклад

Математика и математический анализ

Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Русский

2013-07-31

34 KB

59 чел.

Геометрия.

Вопрос №2.

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Лобачевский, как и другие великие математики этого периода (Больяи, Риман), считал, что пятый постулат Евклида можно доказать (есть версия, что сам Евклид пробовал доказать пятый постулат как теорему, но у него не получилось). После многократных неудачных попыток доказательства, как самого пятого постулата, так и его эквивалентов, Лобачевский пошёл другим путём. Он принял всю аксиоматику Евклида, кроме пятого постулата, вместо которого взял его отрицание (этим же путём пошёл Риман) и принял как аксиому. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: Через данную точку P, не лежащую на прямой AB, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в плоскости, определённой прямой AB и точкой P, и не пересекающие прямую AB.

После исследования новой геометрии были выведены следующие факты (простейшие теоремы):

– через точку M, не лежащую на прямой l, можно провести две параллельные прямые (параллельную вправо и параллельную влево). Причём угол α, между нормалью, восстановленной от точки M на прямую l, и одной из параллельных прямых называется углом параллельности;

– все прямые, заключённые между двумя параллельными, также не пересекают прямую l, но не являются параллельными. Они называются расходящимися прямыми (по сути, параллельные прямые это крайние положения расходящихся прямых) или, по-другому, сверхпараллельными. На рисунке это прямая m;

– сумма углов треугольника меньше двух прямых (меньше 1800), а сумма углов четырёхугольника меньше четырёх прямых. Причём на плоскости Лобачевского существует треугольник, сумма углов которого равна 0. На плоскости Лобачевского существуют треугольники, возле которых нельзя описать окружность.

– Треугольник ABC конгруэнтен ABC’, если угол A конгруэнтен углу A’, угол B конгруэнтен углу B’, угол C конгруэнтен углу C’.

Значение угла параллельности выражает функция Лобачевского , которая каждому отрезку ставит в соответствие некоторый угол.

  1.  Значения функции Лобачевского являются острыми углами;
  2.  Функция Лобачевского является убывающей функцией. Если x2>x1, то

То есть функция Лобачевского  является убывающей функцией, определённой на множестве всех неотрицательных чисел, которая принимает значения, заключённые в интервале от 0 до

Одна из моделей плоскости Лобачевского – это верхняя полуплоскость xOy, без оси абсцисс. Прямыми в данном случае считаются перпендикуляры к оси абсцисс и полуокружности с центром на оси X. Перпендикуляры, в частности, можно считать окружностями с бесконечно большими радиусами.

На данной плоскости изображены: примеры прямых l, m, e; треугольник ABC, отрезок KM фрагментом прямой не является.


x2

x1

l

α

M

m

Y

0

A

B

C

K

M

l

e

m


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78863. Эволюция концепции науки в позитивизме 29.5 KB
  Эволюция концепции науки в позитивизме. Позитиви́зм философское учение и направление в методологии науки определяющее единственным источником истинного действительного знания эмпирические исследования и отрицающее познавательную ценность философского исследования. Сущность позитивистской концепции соотношения философии и науки отражается во фразе О. Эталоном научного знания для позитивизма является естествознание методы которого автоматически переносятся на другие науки в том числе социальногуманитарные.
78864. Проблемы развития науки в постпозитивизме 13.56 KB
  Проблемы развития науки в постпозитивизме. философии науки развивается течение постпозитивизма. Постпозитивисты Поппер Мун Лакатос Фейрабенб Полани подвергли критике позитивистский идеал факта введя в анализ науки историческое социологическое и культурологическое измерение. Постпозитивизм общее название используемое в философии науки для обозначения множества методологических концепций пришедших на смену тем которые были присущи методологии логического позитивизма.
78865. Специфика социально-гуманитарного познания 14.44 KB
  Предмет социального познания мир человека а не просто вещь как таковая. Все указанные и им подобные моменты входят в процесс социального исследования и неизбежно сказываются на содержании получаемых в этом процессе знаний. между объектом и субъектом социального познания стоят письменные источники хроники документы и т. Текстовая природа социального познания характерная его черта.
78866. Философия в системе социально-гуманитарного знания 28.5 KB
  Философия в системе социально-гуманитарного знания. При изучении социально-культурных процессов и явлений общество культура человек в современной науке принято делать отличия социально-гуманитарного знания от естественного...
78867. Методы в социально-гуманитарных науках 13 KB
  Методы в социальногуманитарных науках. Разновидностью включенного наблюдения является этнометодология суть которой состоит в том чтобы результаты описания и наблюдения социальных явлений и событий дополнить идеей их понимания. В социальногуманитарных науках широко применяется сравнительный компаративистский метод опять же с учетом специфики их предмета. Так в психологии этот метод реализуется в двух вариантах: а Сопоставление различных групп по возрастам деятельности и другим параметрам метод поперечных срезов.
78868. Место проблемы человека в системе социально-гуманитарного знания 28.5 KB
  Место проблемы человека в системе социальногуманитарного знания Построить социальную онтологию отвлекаясь от человеческих индивидов как субъектов социального процесса невозможно. Поэтому главное внимание социальная философия уделяет исследованию человека как предпосылки и субъекта социальноисторического процесса. Что такое человек Каковы его природа и сущность Каковы характерные особенности и направленность эволюции человека Все это суть проблемы философской антропологии учения о человеке исследующего своеобразие человеческого...
78869. Концепция социальной рациональности Макса Вебера 29 KB
  Концепция социальной рациональности Макса Вебера. Вебер внёс существенный вклад в такие области социального знания как общая социология методология социального познания политическая социология социология права социология религии экономическая социология теория капитализма. Свою концепцию Вебер называл понимающей социологией. Вебер в этом плане решительно расходится с Дюркгеймом полагая что реальным действующим лицом может быть не мифическое коллективное сознание государство или класс а конкретный индивид.
78870. Феноменологическая программа исследования знания 32.5 KB
  Феномен и логос учение о феноменах явлениях это обозначение философского движения появившегося в начале 20 века а также своеобразной практики осмысления пытающейся проникнуть к истокам человеческого опыта и познания. Ее отличительными чертами являются: нацеленность на вскрытие и приведение к непосредственной очевидности тех пластов нашего опыта которые в обыденной жизни остаются незримыми зачастую будучи основанием зримых; экспликация и истолкование смыслового содержания этого опыта и его сущностных структур; преимущественно...
78871. Герменевтический подход в социально-гуманитарном познании 29 KB
  Рикер понимает теорию операций понимания в их соотношении с интерпретацией текстов; слово герменевтика означает не что иное как последовательное осуществление интерпретации. Таким образом нужно установить соотношение между понятиями интерпретации и понимания. Цель понимания совершить переход от этого выражения к тому что является основной интенцией знака и выйти вовне через выражение. Согласно Дильтею виднейшему после Шлейермахера теоретику герменевтики операция понимания становится возможной благодаря способности которой наделено...