20729

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

Доклад

Математика и математический анализ

Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Русский

2013-07-31

34 KB

63 чел.

Геометрия.

Вопрос №2.

Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Лобачевский, как и другие великие математики этого периода (Больяи, Риман), считал, что пятый постулат Евклида можно доказать (есть версия, что сам Евклид пробовал доказать пятый постулат как теорему, но у него не получилось). После многократных неудачных попыток доказательства, как самого пятого постулата, так и его эквивалентов, Лобачевский пошёл другим путём. Он принял всю аксиоматику Евклида, кроме пятого постулата, вместо которого взял его отрицание (этим же путём пошёл Риман) и принял как аксиому. Эта аксиома называется аксиомой Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: Через данную точку P, не лежащую на прямой AB, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в плоскости, определённой прямой AB и точкой P, и не пересекающие прямую AB.

После исследования новой геометрии были выведены следующие факты (простейшие теоремы):

– через точку M, не лежащую на прямой l, можно провести две параллельные прямые (параллельную вправо и параллельную влево). Причём угол α, между нормалью, восстановленной от точки M на прямую l, и одной из параллельных прямых называется углом параллельности;

– все прямые, заключённые между двумя параллельными, также не пересекают прямую l, но не являются параллельными. Они называются расходящимися прямыми (по сути, параллельные прямые это крайние положения расходящихся прямых) или, по-другому, сверхпараллельными. На рисунке это прямая m;

– сумма углов треугольника меньше двух прямых (меньше 1800), а сумма углов четырёхугольника меньше четырёх прямых. Причём на плоскости Лобачевского существует треугольник, сумма углов которого равна 0. На плоскости Лобачевского существуют треугольники, возле которых нельзя описать окружность.

– Треугольник ABC конгруэнтен ABC’, если угол A конгруэнтен углу A’, угол B конгруэнтен углу B’, угол C конгруэнтен углу C’.

Значение угла параллельности выражает функция Лобачевского , которая каждому отрезку ставит в соответствие некоторый угол.

  1.  Значения функции Лобачевского являются острыми углами;
  2.  Функция Лобачевского является убывающей функцией. Если x2>x1, то

То есть функция Лобачевского  является убывающей функцией, определённой на множестве всех неотрицательных чисел, которая принимает значения, заключённые в интервале от 0 до

Одна из моделей плоскости Лобачевского – это верхняя полуплоскость xOy, без оси абсцисс. Прямыми в данном случае считаются перпендикуляры к оси абсцисс и полуокружности с центром на оси X. Перпендикуляры, в частности, можно считать окружностями с бесконечно большими радиусами.

На данной плоскости изображены: примеры прямых l, m, e; треугольник ABC, отрезок KM фрагментом прямой не является.


x2

x1

l

α

M

m

Y

0

A

B

C

K

M

l

e

m


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70066. Введение в право: Учебно – методический комплекс 163.5 KB
  Дается общая характеристика права общая характеристика отраслей права раскрываются основные принципы осуществления правосудия в Российской Федерации. Содействие подготовке компетентных специалистов которые смогут самостоятельно найти нужную норму права разобраться в ней.
70067. МУНИЦИПАЛЬНОЕ ПРАВО 599 KB
  Муниципальное право понятие и предмет муниципального права; правовое регулирование муниципальных отношений; понятие местного самоуправления; общие принципы и функции местного самоуправления; структура и организация работы органов местного самоуправления; финансово-экономические основы...
70068. ОТЕЧЕСТВЕННАЯ ИСТОРИЯ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС 513.5 KB
  Основная цель курса состоит в формировании у обучаемых научных представлений об основных закономерностях исторического процесса о специфике исторического пути России в ряду мировых цивилизаций и становлении на этой базе гражданского самосознания высоких моральных...
70069. ПРАВО СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ 684.5 KB
  Учебный курс имеет своей целью изучение всех важнейших институтов права социального обеспечения, формирование у студентов знаний правовых норм законодательства в сфере социального обеспечения граждан, развитие и закрепление навыков правового мышления...
70070. Учебно-методический комплекс: Основы экономики 666.72 KB
  Цель данного учебного курса – дать обучающимся представления об основах экономической теории, раскрыть механизм функционирования рыночной модели хозяйствования, показать роль и место государственного регулирования в условиях рыночной экономики и в общих чертах изложить...
70071. Правовые основы организации деятельности судебных приставов: Учебно-методический комплекс 291.5 KB
  Учебная дисциплина «Правовые основы организации деятельности судебных приставов» включена в учебный план ПФ РАП по специальности «Правоведение» для студентов факультета непрерывного образования по подготовке специалистов для судебной системы.
70072. Учебно-методический комплекс: Теория государства и права 325.5 KB
  Изучение теории государства и права формирует и развивает юридическое мышление, правовую культуру, а глубокое усвоение системы основных категорий и понятий, в том числе в их отраслевом преломлении способствует приобретению навыков работы с законодательством, практикой его толкования и применения.
70073. ФИНАНСОВОЕ ПРАВО: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС 598.5 KB
  В современных условиях рыночной экономики, замены прежнего механизма управления процессами новыми методами хозяйствования, Финансовое право Российской Федерации выдвигается в число ведущих отраслей отечественного законодательства и играет всё более значительную роль...
70074. Философия: Конспект лекций 1.84 MB
  Философии как специальному, систематизированному знанию несколько тысячелетий. Что касается философствования как особого размышления людей о себе, о смысле жизни и о мире, то его возраст, скорее всего, равен времени существования человечества.