20730

Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Доклад

Математика и математический анализ

Принцип двойственности. Малый принцип двойственности. Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости. Большой принцип двойственности.

Русский

2013-07-31

56 KB

23 чел.

3. Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Проективные свойства фигур:

1. Длины отрезков не сохраняются.

2. Углы не сохраняются.

3. Площади фигур не сохраняются.

4. Отношения отрезков не сохраняются.

5. Прямолинейное расположение точек сохраняется.

6. Принадлежность точек одному коническому сечению сохраняется.

Малый принцип двойственности. Если на проективной плоскости справедливо некоторое утверждение о точках, прямых и их взаимной принадлежности (инцидентности), то справедливо и двойственное ему утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» – словом «точка», сохранением «принадлежность» («лежит на» → «проходит через»).

Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости.

Большой принцип двойственности. Каждому утверждению относительно точек, прямых и плоскостей и их взаимной принадлежности соответствует двойственное утверждение, которое получается из данного заменой слова «точка» словом «плоскость», слова «прямая» – словом «прямая», а слова «плоскость» – словом «точка» с сохранением свойств взаимной принадлежности, и также справедливым, если справедливо данное.

 Сформулированный принцип двойственности справедлив в пространстве.

Примеры двойственности геометрических фигур по принципу двойственности

Двойственная ей по малому принципу двойственности

Данная фигура

Двойственная ей по большому принципу двойственности

Трехсторонник – фигура, состоящая из трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех точек их взаимного пересечения

1. Трехвершинник – фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех инцидентных (проходящих через них) прямых

Трехгранный угол

Плоский пучок прямых

2. Прямолинейный ряд точек

Пучок плоскостей

Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответствующие вершины (двух) треугольников, проходят через одну точку, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

(рис. из лекций)

Доказательство:

Плоскости ΔABC и ΔABCразличны.

Дано:

Доказать:

A0, B0, C0 принадлежат одной прямой

Доказательство:

AA и BB определяют плоскость γ.

AA и CC определяют плоскость β.

BB и CC определяют плоскость α.

, ч.т.д.

Обратная теорема Дезарга. Если соответственные стороны двух треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников, проходят через одну точкую.

Доказательство:

Каждая пара пересекающихся соответствующих сторон треугольника определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости α, β, γ, которые являются гранями трехгранного угла с вершиной в точке S.

Кроме того:

Следовательно, AA, BB, CC являются ребрами этого трехгранного угла, на которых лежат соответствующие вершины этих треугольников. Т.к. ребра трехгранного угла пересекаются в одной вершине, то это доказывает теорему.


Y

X

Z

A

B

C

y

z

ω

x

y

z

α

β

γ

эΩ

L

m1

m2

m3

mn

M1

M2

Mn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59327. Сценарій фестивалю “Повір у себе” 32.5 KB
  Весна. Цвіте на землі і летить у небесах, як сонячна богиня волі, розбуджує природу, звільняє від снігів і морозів землю, розсіває квіти і квітчає сади. Весна – це поклик молодості, голос радості й щастя, віри й любові, надії й краси, поезії й пісні.
59328. Ток-шоу “Дзеркало” 53.5 KB
  В його програмі будуть висвітлюватися актуальні питання опираючись на твори мистецтва та досвід з власного життя. Яке ще призвання Туди ідуть щоб забезпечити собі безбідне і спокійне життя.
59329. Місце Т. Шевченка в українському національному відродженні 42.5 KB
  Тарас Оксано Подивись що я намалював. Оксана Ой як гарно яка хатинка Тарас а ти мене колинебудь намалюєш Тарас Звичайно. А вірша про тебе складу хочеш Голос мачухи: Тарас Тарас Ой лихо мені.
59330. Повторення таблиць множення і ділення чисел 2 і 3. Складання задач на дві дії за даним виразом. Знаходження значень буквенних виразів 39 KB
  Мета: Виявити обсяг і якість знань про множенні і ділення таблиць 2 і 3, рівень навичок у лічбі та обчислювальній діяльності; Вдосконалити вміння учнів розв’язувати задачі на 2 дії за даним виразом. Розвивати пам’ять, логічне мислення, зв’язне мовлення, увагу.
59332. Мамо, тобі низенько вклонюсь 36.5 KB
  Син: Чому у тебе у косі ясна Забриніла раптом сивина Мати: Од любові од. Син: А в бабусі голова біліш То ж мене бабуся любить більш Мати: В неї діти доньки і сини Додають сердешній сивини. Син: Чом же тітка біла як зима – В неї ж діток не було й нема Мати: Так синочку біла геть вона...
59334. Відкритий урок „Тарас Шевченко” 43 KB
  Портрет Тараса Шевченка рушники серветки. Тарасова доля то правда жива. Тарасе наш Кобзарю всюди Приходиш нині ти як свій Тебе вітають щиро люди На всій Україні моїй.
59335. О слово рідне! України слово! (Сценарій свята мови) 51.5 KB
  О слово рідне України слово Богдана мудрість і Тараса заповіт. О слово рідне Мудру і прадавнє Ти вросло з могутньої землі Тебе валуєви жорстоко розпинали А ти возносилось і не корилось – ні 3 учень. О слово рідне Подарунок мами І пісня ніжна і розрада нам Я всім на світі...