20730

Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Доклад

Математика и математический анализ

Принцип двойственности. Малый принцип двойственности. Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости. Большой принцип двойственности.

Русский

2013-07-31

56 KB

24 чел.

3. Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Проективные свойства фигур:

1. Длины отрезков не сохраняются.

2. Углы не сохраняются.

3. Площади фигур не сохраняются.

4. Отношения отрезков не сохраняются.

5. Прямолинейное расположение точек сохраняется.

6. Принадлежность точек одному коническому сечению сохраняется.

Малый принцип двойственности. Если на проективной плоскости справедливо некоторое утверждение о точках, прямых и их взаимной принадлежности (инцидентности), то справедливо и двойственное ему утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» – словом «точка», сохранением «принадлежность» («лежит на» → «проходит через»).

Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости.

Большой принцип двойственности. Каждому утверждению относительно точек, прямых и плоскостей и их взаимной принадлежности соответствует двойственное утверждение, которое получается из данного заменой слова «точка» словом «плоскость», слова «прямая» – словом «прямая», а слова «плоскость» – словом «точка» с сохранением свойств взаимной принадлежности, и также справедливым, если справедливо данное.

 Сформулированный принцип двойственности справедлив в пространстве.

Примеры двойственности геометрических фигур по принципу двойственности

Двойственная ей по малому принципу двойственности

Данная фигура

Двойственная ей по большому принципу двойственности

Трехсторонник – фигура, состоящая из трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех точек их взаимного пересечения

1. Трехвершинник – фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех инцидентных (проходящих через них) прямых

Трехгранный угол

Плоский пучок прямых

2. Прямолинейный ряд точек

Пучок плоскостей

Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответствующие вершины (двух) треугольников, проходят через одну точку, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

(рис. из лекций)

Доказательство:

Плоскости ΔABC и ΔABCразличны.

Дано:

Доказать:

A0, B0, C0 принадлежат одной прямой

Доказательство:

AA и BB определяют плоскость γ.

AA и CC определяют плоскость β.

BB и CC определяют плоскость α.

, ч.т.д.

Обратная теорема Дезарга. Если соответственные стороны двух треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников, проходят через одну точкую.

Доказательство:

Каждая пара пересекающихся соответствующих сторон треугольника определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости α, β, γ, которые являются гранями трехгранного угла с вершиной в точке S.

Кроме того:

Следовательно, AA, BB, CC являются ребрами этого трехгранного угла, на которых лежат соответствующие вершины этих треугольников. Т.к. ребра трехгранного угла пересекаются в одной вершине, то это доказывает теорему.


Y

X

Z

A

B

C

y

z

ω

x

y

z

α

β

γ

эΩ

L

m1

m2

m3

mn

M1

M2

Mn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66727. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений 220 KB
  Часто приходится находить корни уравнений вида, где f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение - алгебраическое, если в функцию входят функции типа: тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п., то уравнение называется трансцендентным.
66728. Либеральные реформы 60-70гг. XIX в., их противоречивость 34 KB
  Городская реформа 1870 создала городское самоуправление: городскую думу и управу решавшие коммунальные вопросы борьба с пожарами контроль за санитарией проблемы школ приютов лечебниц и др. Судебная реформа стала историческим фактом. Реформа школы в основном была осуществлена двумя актами: 14 июня 1864 г.
66729. Сущность лизинга 59 KB
  Существует множество определений лизинга: Лизинг это приобретение оборудования с предоставлением его в аренду организациям лизингополучателю в обмен на лизинговые платежи. Лизинг предусматривает возможность выкупа оборудования по истечении срока действия лизингового договора или досрочно по остаточной стоимости.
66730. Ивент-менеджеры как профессиональная группа: процесс формирования в современной России 1.37 MB
  Кардинальные экономические, социальные, культурные преобразования конца XX века способствовали трансформации профессиональной структуры российского общества. Так, изменение статусных позиций традиционных профессий, распространение новых форм занятости...
66731. Исследование действия препарата «Байкал ЭМ1» на параметры роста и развития пшеницы на ранних этапах развития в условиях слабого засоления субстрата 428 KB
  Современный мир с растущим населением предъявляет природе всё больше требований. Плодородных земель становится всё меньше. Некогда здоровые плодоносящие земли, в результате неграмотного применения орошения засоляются и становятся непригодными для выращивания важных...
66732. КЛИНИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ УДАРНО-ВОЛНОВОЙ ТЕРАПИИ У ПАЦИЕНТОВ С ИШЕМИЧЕСКОЙ БОЛЕЗНЬЮ СЕРДЦА В СОЧЕТАНИИ С НАРУШЕНИЯМИ СЕРДЕЧНОГО РИТМА 1.02 MB
  Особое положение в общей структуре ИБС занимают больные, ранее перенесшие инфаркт миокарда (ИМ) с исходом в кардиосклероз. Состояние левого желудочка (ЛЖ) после ИМ в значительной мере определяет выживаемость пациентов с ИБС. Возникающая при этом сократительная дисфункция миокарда зачастую приводит...
66733. ВЛИЯНИЕ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И МАТЕРИАЛОВ НА ФОРМИРОВАНИЕ МОДНЫХ ТЕНДЕНЦИЙ В РАЗВИТИИ КОСТЮМА 1.73 MB
  На основе результатов всестороннего анализа использования конкретного инновационного материала и его влияния на форму костюма разработана новая форма пальто на 2011-2012 гг. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи: проводится конкретно-исторический анализ...
66734. Система обеспечения качества вузовского образования: оценка и механизмы управления 310.5 KB
  Особая роль образования в обществе подтверждается эволюцией всей человеческой цивилизации. Человеческий капитал является важнейшим фактором общественного производства и элементом национального богатства, инвестиции в который дают очень высокую отдачу.
66735. Технология получения тонкопленочных структур для оптоэлектроники на основе опытной установки ионно-лучевого осаждения 2.37 MB
  С помощью ионного осаждения можно получать слои самых различных элементов: полупроводников металлов оксидов нитридов. Солнечные элементы полученные с помощью установки ионно-лучевого осаждения будут отличаться качеством и низкой себестоимостью.