20730

Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Доклад

Математика и математический анализ

Принцип двойственности. Малый принцип двойственности. Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости. Большой принцип двойственности.

Русский

2013-07-31

56 KB

23 чел.

3. Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Проективные свойства фигур:

1. Длины отрезков не сохраняются.

2. Углы не сохраняются.

3. Площади фигур не сохраняются.

4. Отношения отрезков не сохраняются.

5. Прямолинейное расположение точек сохраняется.

6. Принадлежность точек одному коническому сечению сохраняется.

Малый принцип двойственности. Если на проективной плоскости справедливо некоторое утверждение о точках, прямых и их взаимной принадлежности (инцидентности), то справедливо и двойственное ему утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» – словом «точка», сохранением «принадлежность» («лежит на» → «проходит через»).

Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости.

Большой принцип двойственности. Каждому утверждению относительно точек, прямых и плоскостей и их взаимной принадлежности соответствует двойственное утверждение, которое получается из данного заменой слова «точка» словом «плоскость», слова «прямая» – словом «прямая», а слова «плоскость» – словом «точка» с сохранением свойств взаимной принадлежности, и также справедливым, если справедливо данное.

 Сформулированный принцип двойственности справедлив в пространстве.

Примеры двойственности геометрических фигур по принципу двойственности

Двойственная ей по малому принципу двойственности

Данная фигура

Двойственная ей по большому принципу двойственности

Трехсторонник – фигура, состоящая из трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех точек их взаимного пересечения

1. Трехвершинник – фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех инцидентных (проходящих через них) прямых

Трехгранный угол

Плоский пучок прямых

2. Прямолинейный ряд точек

Пучок плоскостей

Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответствующие вершины (двух) треугольников, проходят через одну точку, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

(рис. из лекций)

Доказательство:

Плоскости ΔABC и ΔABCразличны.

Дано:

Доказать:

A0, B0, C0 принадлежат одной прямой

Доказательство:

AA и BB определяют плоскость γ.

AA и CC определяют плоскость β.

BB и CC определяют плоскость α.

, ч.т.д.

Обратная теорема Дезарга. Если соответственные стороны двух треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников, проходят через одну точкую.

Доказательство:

Каждая пара пересекающихся соответствующих сторон треугольника определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости α, β, γ, которые являются гранями трехгранного угла с вершиной в точке S.

Кроме того:

Следовательно, AA, BB, CC являются ребрами этого трехгранного угла, на которых лежат соответствующие вершины этих треугольников. Т.к. ребра трехгранного угла пересекаются в одной вершине, то это доказывает теорему.


Y

X

Z

A

B

C

y

z

ω

x

y

z

α

β

γ

эΩ

L

m1

m2

m3

mn

M1

M2

Mn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82847. Навколишнє середовище (довкілля) тварин. Як тварини пристосувалися до різних умов навколишнього середовища. Охорона тварин 143 KB
  Мета: формувати елементарні поняття про навколишнє середовище тварин та необхідні умови для їх життя уявлення про деякі ознаки пристосування тварин до умов навколишнього середовища та пристосування до захисту від ворогів у природі...
82848. Дієслова близькі та протилежні за значенням 59 KB
  Дієслова близькі та протилежні за значенням. Поглиблювати знання про дієслова; розвивати в учнів уміння добирати дієслова близькі та протилежні за значенням; вчити вживати дієсловасиноніми у власному мовленні; збагачувати лексичний запас учнів; учити складати розповідь за серією малюнків використовуючи...
82849. Розповідні речення 49.5 KB
  Розширити уявлення учнів про речення; розпочати ознайомлення з типами речень за метою висловлювання; ознайомити учнів з розповідними реченнями їх характерними ознаками оформленням на письмі; розвивати вміння визначати розповідні речення в мовленні правильно записувати їх за інтонаційними ознаками...
82851. Слова, що означають назви предметів 40 KB
  Мета: узагальнити і систематизувати значення по вивченій темі, розвивати увагу, пам’ять, зв’язне мовлення, вміння аналізувати, узагальнювати і виділяти головне, виховувати старанність, інтерес до навчання, бережливе ставлення до природи.
82852. Слова, що означають назви предметів. Складання усної розповіді за малюнком 105 KB
  Закріпити знання учнів про слова що означають назви предметів. Сьогодні ми будемо закріплювати знання про слова що означають назви предметів будемо розпізнавати ці слова і ставити до них питання. Дрізд до дятла Добрий день Дуб здоровий не впаде Дятел дзьобом дріботить: Двісті років простоїть...
82853. Головні слова у реченні. Складання речень за графічними схемами 98 KB
  Мета: формувати поняття головні слова в реченні вчити знаходити їх у реченні; закріплювати знання про речення його види за метою висловлювання; розвивати інтерес до мовних явищ мовлення та мислення; розвивати вміння аналізувати доводити синтезувати інформацію; виховувати любов до своїх рідних...
82854. Слова, близькі за значенням (синоніми) 75.5 KB
  Мета: ознайомити учнів із синонімами (словами, близькими за значенням), визначити їх роль у мовленні, познайомити з окремими стійкими сполученнями слів; вчити спостерігати за роллю слів, що мають декілька значень, звучать і пишуться однаково; збагачувати словниковий запас...
82855. Мандрівка до квітучого саду. (Складання тексту-опису квітки або казки) 72.5 KB
  Мета: познайомити учнів з походженням деяких назв квітів, із значенням квітів в житті людей; вчити добирати вдалі образні вислови, порівняння, збагачувати активний і пасивний словник дітей; працювати творчо; виховувати прагнення берегти і примножувати красу рідної землі.