20730

Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Доклад

Математика и математический анализ

Принцип двойственности. Малый принцип двойственности. Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости. Большой принцип двойственности.

Русский

2013-07-31

56 KB

24 чел.

3. Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Проективные свойства фигур:

1. Длины отрезков не сохраняются.

2. Углы не сохраняются.

3. Площади фигур не сохраняются.

4. Отношения отрезков не сохраняются.

5. Прямолинейное расположение точек сохраняется.

6. Принадлежность точек одному коническому сечению сохраняется.

Малый принцип двойственности. Если на проективной плоскости справедливо некоторое утверждение о точках, прямых и их взаимной принадлежности (инцидентности), то справедливо и двойственное ему утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» – словом «точка», сохранением «принадлежность» («лежит на» → «проходит через»).

Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости.

Большой принцип двойственности. Каждому утверждению относительно точек, прямых и плоскостей и их взаимной принадлежности соответствует двойственное утверждение, которое получается из данного заменой слова «точка» словом «плоскость», слова «прямая» – словом «прямая», а слова «плоскость» – словом «точка» с сохранением свойств взаимной принадлежности, и также справедливым, если справедливо данное.

 Сформулированный принцип двойственности справедлив в пространстве.

Примеры двойственности геометрических фигур по принципу двойственности

Двойственная ей по малому принципу двойственности

Данная фигура

Двойственная ей по большому принципу двойственности

Трехсторонник – фигура, состоящая из трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех точек их взаимного пересечения

1. Трехвершинник – фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех инцидентных (проходящих через них) прямых

Трехгранный угол

Плоский пучок прямых

2. Прямолинейный ряд точек

Пучок плоскостей

Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответствующие вершины (двух) треугольников, проходят через одну точку, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

(рис. из лекций)

Доказательство:

Плоскости ΔABC и ΔABCразличны.

Дано:

Доказать:

A0, B0, C0 принадлежат одной прямой

Доказательство:

AA и BB определяют плоскость γ.

AA и CC определяют плоскость β.

BB и CC определяют плоскость α.

, ч.т.д.

Обратная теорема Дезарга. Если соответственные стороны двух треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников, проходят через одну точкую.

Доказательство:

Каждая пара пересекающихся соответствующих сторон треугольника определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости α, β, γ, которые являются гранями трехгранного угла с вершиной в точке S.

Кроме того:

Следовательно, AA, BB, CC являются ребрами этого трехгранного угла, на которых лежат соответствующие вершины этих треугольников. Т.к. ребра трехгранного угла пересекаются в одной вершине, то это доказывает теорему.


Y

X

Z

A

B

C

y

z

ω

x

y

z

α

β

γ

эΩ

L

m1

m2

m3

mn

M1

M2

Mn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

526. Параллельное хеширование на GPU в реальном времени 84 KB
  Эффективный алгоритм параллелизма данных для построения больших хеш-таблиц на миллионы элементов в режиме реального времени. Гибридная хеш-таблица основана на современных идеях из теории хеширования. Компромисс между сроками строительства, временем доступа и рационального использования пространства.
527. Тест стиральных Порошков-концентратов 83 KB
  Активную основу стирального порошка составляют поверхностноактивные вещества (сокращенно ПАВ), их доля – 1525%, самый простой пример ПАВ – мыло. Задача ПАВ состоит в смачивании загрязненной ткани моющим раствором и ослаблении связи загрязнения и ткани.
528. Деятельность отдела по подбору персонала ОАО Альфа-Банк 94 KB
  Во время прохождения практики у меня была возможность непосредственно ознакомиться со структурой реально работающей организации, специализацией отдела, где я работал, а также проявить себя как молодого специалиста. В данном отчете представлены различные аспекты моей практики и мои впечатления о ней.
529. Пунктуаційні норми в писемному мовленні фахівців технічної сфери 96.5 KB
  Система правил письмового оформлення структури пропозиції. Утворення логіко-граматичного каркасу письмового висловлювання і точне вираження складних думок, які можуть бути виражені засобами усного мовлення.
530. Холодная штамповка. Формообразование заготовок из порошковых материалов 68.21 KB
  Формообразующие операции листовой штамповки. Схемы листовой штамповки при помощи эластичной среды и жидкости. Формообразование заготовок из порошковых материалов. Высокоскоростные методы штамповки.
531. Облік товарів у виробництві 78.5 KB
  Поняття, класифікація та оцінка товарів. Бухгалтерське відображення, операцій, пов'язаних з рухом товарів. Порядок списання товарів при їх вибутті. Торговельні, збутові підприємства на рахунку 28.
532. Изучение многовалютного алгоритма банкира 120 KB
  Изучение тупиковых ситуаций в операционных системах и алгоритма банкира, как средства обхода тупиков. Пример с участием пяти процессов и трех видов ресурсов, требуемых для завершения данных процессов.
533. Система Дело, клиент для мобильного телефона 124 KB
  Описание функций, преимуществ и недостатков. Пример встроенного инструментария. Руководитель может через удобный web-интерфейс удаленно контролировать работу исполнителей, а так же обеспечить формирование единого информационного пространства в рамках территориально распределенной организации.
534. Получение дешевой электроэнергии 92 KB
  Мы рассмотрели, каким способом можно создать такой аппарат; узнали сколько нужно потратить на него времени, денег, кто поможет собрать такой аппарат. Выбрали подходящий способ создания такого аппарата. Собрали этот аппарат. Проанализировали его эффективность в работе.