20730

Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Доклад

Математика и математический анализ

Принцип двойственности. Малый принцип двойственности. Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости. Большой принцип двойственности.

Русский

2013-07-31

56 KB

24 чел.

3. Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Проективные свойства фигур:

1. Длины отрезков не сохраняются.

2. Углы не сохраняются.

3. Площади фигур не сохраняются.

4. Отношения отрезков не сохраняются.

5. Прямолинейное расположение точек сохраняется.

6. Принадлежность точек одному коническому сечению сохраняется.

Малый принцип двойственности. Если на проективной плоскости справедливо некоторое утверждение о точках, прямых и их взаимной принадлежности (инцидентности), то справедливо и двойственное ему утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» – словом «точка», сохранением «принадлежность» («лежит на» → «проходит через»).

Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости.

Большой принцип двойственности. Каждому утверждению относительно точек, прямых и плоскостей и их взаимной принадлежности соответствует двойственное утверждение, которое получается из данного заменой слова «точка» словом «плоскость», слова «прямая» – словом «прямая», а слова «плоскость» – словом «точка» с сохранением свойств взаимной принадлежности, и также справедливым, если справедливо данное.

 Сформулированный принцип двойственности справедлив в пространстве.

Примеры двойственности геометрических фигур по принципу двойственности

Двойственная ей по малому принципу двойственности

Данная фигура

Двойственная ей по большому принципу двойственности

Трехсторонник – фигура, состоящая из трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех точек их взаимного пересечения

1. Трехвершинник – фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех инцидентных (проходящих через них) прямых

Трехгранный угол

Плоский пучок прямых

2. Прямолинейный ряд точек

Пучок плоскостей

Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответствующие вершины (двух) треугольников, проходят через одну точку, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

(рис. из лекций)

Доказательство:

Плоскости ΔABC и ΔABCразличны.

Дано:

Доказать:

A0, B0, C0 принадлежат одной прямой

Доказательство:

AA и BB определяют плоскость γ.

AA и CC определяют плоскость β.

BB и CC определяют плоскость α.

, ч.т.д.

Обратная теорема Дезарга. Если соответственные стороны двух треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников, проходят через одну точкую.

Доказательство:

Каждая пара пересекающихся соответствующих сторон треугольника определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости α, β, γ, которые являются гранями трехгранного угла с вершиной в точке S.

Кроме того:

Следовательно, AA, BB, CC являются ребрами этого трехгранного угла, на которых лежат соответствующие вершины этих треугольников. Т.к. ребра трехгранного угла пересекаются в одной вершине, то это доказывает теорему.


Y

X

Z

A

B

C

y

z

ω

x

y

z

α

β

γ

эΩ

L

m1

m2

m3

mn

M1

M2

Mn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13093. Классный час «Интернет: да или нет» 91 KB
  Классный час Интернет: да или нет Цели: Формирование информационной культуры школьников представления о плюсах и минусах Интернета на основе игрового диспута. Развитие познавательного интереса творческой активности учащихся. Воспитание уважени...
13094. Классный час «А ну-ка, мальчики!» 70.5 KB
  Классный час к 23 Февраля А нука мальчики Цель: Создать атмосферу праздника в игресоревновании. Задачи: Познакомить детей с родами войск. Развитие памяти внимания организованности самостоятельности умений согласовывать интересы в процессе преодолен...
13095. Классный час «Сталинградская битва в военных фотографиях» 54.5 KB
  Классный час на тему Сталинградская битва в военных фотографиях Цели: Познакомить обучающихся с основными этапами Сталинградской битвы. Подвести обучающихся к пониманию значения героической обороны Сталинграда. Оборудование: проектор экр...
13096. Сталинградская битва. Ты хочешь мира? Помни о войне!. Сталинградская битва 24.89 KB
  Литературно-исторический вечер Ты хочешь мира Помни о войне. Сталинградская битва Цели: углубить знания учащихся о ходе Сталинградской битвы; развивать чувство гордости и сопричастности к прошлому своего народа своей страны; воспитывать патриотические ч
13097. Современный этикет. Классный час 58 KB
  Классный час на тему Современный этикет Цели усвоить основные этические требования в поведении и общении с людьми овладеть навыками культурного поведения. Сегодня мы поговори...
13098. Дружба и отношения между мальчиками и девочками. Классный час 32.5 KB
  Классный час на тему Дружба и отношения между мальчиками и девочками Цель: создавать условия для эмоционального роста детей; углубить представления о гендерном равенстве. Задачи: раскрыть значение понятий мужское дело и женское дело; развивать кул
13099. Классный час на тему «Приключение по стране рассказов Н.Н. Носова» 37.79 KB
  Классный час на тему Приключение по стране рассказов Н.Н. Носова. Тема: Приключение по стране рассказов Н.Н. Носова. Цель занятия: в игровой форме провести ознакомление и повторение произведений Н.Н. Носова. Участники: класс Продолжительность: 45 минут ...
13100. Классный час на тему «Что значит быть настоящим другом?» 51.5 KB
  Классный час на тему Что значит быть настоящим другом. 4й класс Цель: помочь детям разобраться в том каким должен быть настоящий друг. Задачи: определить важные для дружбы нравственные качества и содействовать их формированию; провести самооценку учащимися
13101. Сабақтың тақырыбы: БАЛА АБАЙ. 80.5 KB
  7 Ана тілі 2сынып Сабақтың тақырыбы: БАЛА АБАЙ. Сабақтың мақсаты: 1. Оқушыларды қазақтың классик ақыны Абай Құнанбаевтың өмірімен толығырақ таныстыру. 2. Мәтіндегі негізгі идеяны ұғындыру. 3. Әр түрлі ой дамыту стратегиялары арқылы өздік жұмыс і