20730

Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Доклад

Математика и математический анализ

Принцип двойственности. Малый принцип двойственности. Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости. Большой принцип двойственности.

Русский

2013-07-31

56 KB

24 чел.

3. Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Проективные свойства фигур:

1. Длины отрезков не сохраняются.

2. Углы не сохраняются.

3. Площади фигур не сохраняются.

4. Отношения отрезков не сохраняются.

5. Прямолинейное расположение точек сохраняется.

6. Принадлежность точек одному коническому сечению сохраняется.

Малый принцип двойственности. Если на проективной плоскости справедливо некоторое утверждение о точках, прямых и их взаимной принадлежности (инцидентности), то справедливо и двойственное ему утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» – словом «точка», сохранением «принадлежность» («лежит на» → «проходит через»).

Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости.

Большой принцип двойственности. Каждому утверждению относительно точек, прямых и плоскостей и их взаимной принадлежности соответствует двойственное утверждение, которое получается из данного заменой слова «точка» словом «плоскость», слова «прямая» – словом «прямая», а слова «плоскость» – словом «точка» с сохранением свойств взаимной принадлежности, и также справедливым, если справедливо данное.

 Сформулированный принцип двойственности справедлив в пространстве.

Примеры двойственности геометрических фигур по принципу двойственности

Двойственная ей по малому принципу двойственности

Данная фигура

Двойственная ей по большому принципу двойственности

Трехсторонник – фигура, состоящая из трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех точек их взаимного пересечения

1. Трехвершинник – фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех инцидентных (проходящих через них) прямых

Трехгранный угол

Плоский пучок прямых

2. Прямолинейный ряд точек

Пучок плоскостей

Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответствующие вершины (двух) треугольников, проходят через одну точку, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

(рис. из лекций)

Доказательство:

Плоскости ΔABC и ΔABCразличны.

Дано:

Доказать:

A0, B0, C0 принадлежат одной прямой

Доказательство:

AA и BB определяют плоскость γ.

AA и CC определяют плоскость β.

BB и CC определяют плоскость α.

, ч.т.д.

Обратная теорема Дезарга. Если соответственные стороны двух треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников, проходят через одну точкую.

Доказательство:

Каждая пара пересекающихся соответствующих сторон треугольника определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости α, β, γ, которые являются гранями трехгранного угла с вершиной в точке S.

Кроме того:

Следовательно, AA, BB, CC являются ребрами этого трехгранного угла, на которых лежат соответствующие вершины этих треугольников. Т.к. ребра трехгранного угла пересекаются в одной вершине, то это доказывает теорему.


Y

X

Z

A

B

C

y

z

ω

x

y

z

α

β

γ

эΩ

L

m1

m2

m3

mn

M1

M2

Mn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73061. Определение понятий, виды определений и правила 24.5 KB
  Определение понятий виды определений и правила. Определение понятия логическая операция раскрывающая содержание понятия т. Как логическая операция определение состоит из двух элементов: определяемого понятия понятия содержание которых требуется раскрыть...
73062. Виды умозаключений: дедукция, индукция, аналогия 23 KB
  Умозаключение - форма мышления посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение; это такая мыслительная структура в которой из двух или более истинных исходных суждений называемых посылками на основании определенной логической связи между ними формируется новое истинное суждение.
73063. Системный и синергетический подходы к культуре: М.Каган, Э.Маркарян, Л.Уайт 35 KB
  Различая три основные формы бытия — бытие природы, бытие общества и бытие человека, он полагает, что культура в самом общем, философском плане представляет собою четвертую форму бытия, которая порождена деятельностью человека.
73065. Политическая философия русского либерализма 28.5 KB
  Личность и исторический процесс в историософской концепции Кавелина; проблема собственности и государства в филии права Чичерина Либерализм возник в екатерининскую эпоху окончательно оформился к середине 19 века. Философия личности. Необходима новая филия постороенная на антропологии.
73066. Философия науки, становление и основные этапы развития 31 KB
  Как философская дисциплина она представлена различными концепциями которые предлагают ту или иную модель развития науки различными подходами и взглядами. Развитие философии науки в конце XIX в. выступает одним из решающих импульсов развития самой науки.
73067. Этика долга Канта 33 KB
  Этическая стратегия Канта ориентирована не на то как должны вести себя индивиды в тех или иных ситуациях не на конкретные добродетели а на обязательства которые сохраняются при всех обстоятельствах и применительно ко всем разумным существам.
73068. Этика добродетелей Аристотеля 32.5 KB
  Структура души и виды добродетели. Страстная и разумная части имеют как свои добродетели так и свои пороки. У разумной души имеются свои дианоэтические или интеллектуальные добродетели и свои дианоэтические пороки..
73069. Происхождение и сущность нравственности 29.5 KB
  В морали отражены отношения человека к обществу отношения человека к человеку и требования общества к человеку. Основной функцией морали является регулирование взаимоотношений всех членов общества и социальных групп.