20730

Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Доклад

Математика и математический анализ

Принцип двойственности. Малый принцип двойственности. Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости. Большой принцип двойственности.

Русский

2013-07-31

56 KB

24 чел.

3. Проективные свойства фигур. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Проективные свойства фигур:

1. Длины отрезков не сохраняются.

2. Углы не сохраняются.

3. Площади фигур не сохраняются.

4. Отношения отрезков не сохраняются.

5. Прямолинейное расположение точек сохраняется.

6. Принадлежность точек одному коническому сечению сохраняется.

Малый принцип двойственности. Если на проективной плоскости справедливо некоторое утверждение о точках, прямых и их взаимной принадлежности (инцидентности), то справедливо и двойственное ему утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» – словом «точка», сохранением «принадлежность» («лежит на» → «проходит через»).

Сформулированный принцип двойственности справедлив на плоскости.

Большой принцип двойственности. Каждому утверждению относительно точек, прямых и плоскостей и их взаимной принадлежности соответствует двойственное утверждение, которое получается из данного заменой слова «точка» словом «плоскость», слова «прямая» – словом «прямая», а слова «плоскость» – словом «точка» с сохранением свойств взаимной принадлежности, и также справедливым, если справедливо данное.

 Сформулированный принцип двойственности справедлив в пространстве.

Примеры двойственности геометрических фигур по принципу двойственности

Двойственная ей по малому принципу двойственности

Данная фигура

Двойственная ей по большому принципу двойственности

Трехсторонник – фигура, состоящая из трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех точек их взаимного пересечения

1. Трехвершинник – фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех инцидентных (проходящих через них) прямых

Трехгранный угол

Плоский пучок прямых

2. Прямолинейный ряд точек

Пучок плоскостей

Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответствующие вершины (двух) треугольников, проходят через одну точку, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

(рис. из лекций)

Доказательство:

Плоскости ΔABC и ΔABCразличны.

Дано:

Доказать:

A0, B0, C0 принадлежат одной прямой

Доказательство:

AA и BB определяют плоскость γ.

AA и CC определяют плоскость β.

BB и CC определяют плоскость α.

, ч.т.д.

Обратная теорема Дезарга. Если соответственные стороны двух треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников, проходят через одну точкую.

Доказательство:

Каждая пара пересекающихся соответствующих сторон треугольника определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости α, β, γ, которые являются гранями трехгранного угла с вершиной в точке S.

Кроме того:

Следовательно, AA, BB, CC являются ребрами этого трехгранного угла, на которых лежат соответствующие вершины этих треугольников. Т.к. ребра трехгранного угла пересекаются в одной вершине, то это доказывает теорему.


Y

X

Z

A

B

C

y

z

ω

x

y

z

α

β

γ

эΩ

L

m1

m2

m3

mn

M1

M2

Mn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80311. Ціни та ціноутворення в ринкових умовах 449.5 KB
  Ціни у діяльності промислового підприємства виконують три основні функції: облікововимірювальну стимулюючу розподільчу. Облікововимірювальна функція ціни є засобом обліку й вимірювання витрат суспільної праці на виробництво окремих видів промислової продукції або надання відповідних послуг. Стимулюючу функцію ціни використовують для мотивації підвищення ефективності підприємницької діяльності забезпечення необхідної прибутковості дохідності кожному з учасників процесу товарообміну.
80312. Фінансово-економічні результати й ефективність діяльності 80 KB
  Суть фінансової діяльності підприємства полягає у виникненні грошових відносин, пов’язаних з неперервним кругообігом коштів у формах: витрачання ресурсів, одержання доходів, їх використання, а також із приводу відносин з постачальниками, покупцями продукції, працівниками підприємства, державними органами та ін.
80313. Виробництво, якість і конкурентоспроможність продукції 121.5 KB
  Поняття якості продукції необхідність і значення її підвищення в сучасних умовах Показники і методи оцінювання якості продукції Управління якістю продукції. Стандартизація та сертифікація продукції. Економічна ефективність і шляхи підвищення якості та конкурентоспроможності продукції.
80314. Організаційні основи виробництва 77 KB
  Систематична розробка наукових методів організації виробництва у промисловості почалася наприкінці XIX ст. Особливу роль у розробці наукових основ організації виробництва відіграли роботи Ф.У. Тейлора. Він сформулював принципи організації виробництва і розробив на цій основі систему наукового управління
80315. Впровадження інновацій у сферу виробництва 111 KB
  Процес організації інноваційної діяльності на підприємстві стосується як споживачів інвесторів державних і місцевих органів влади наукових та науковотехнічних організацій постачальників працівників підприємства тощо так і забезпечує вирішення основних завдань підприємства. Сучасне підприємство за певних умов може власними силами розробляти нові вироби здійснювати науководослідні та проектно-конструкторські роботи якщо вони відносно нескладні. Для розробки досить складних виробів проведення довгострокових що потребують значних...
80316. Організація нормування праці 117 KB
  Класифікація витрат робочого часу та склад норми часу. Вивчення затрат робочого часу спостереженням. ЗМІСТ ЛЕКЦІЇ Сутність і завдання нормування праці Необхідною умовою організації праці та виробничих процесів на підприємстві є встановлення точних витрат часу на всі роботи що виконуються на робочих місцях бригад дільниць та цехів. На ефективно працюючих підприємствах норми часу регулюють всі основні технологічні процеси роботи і операції та більшість обслуговуючих.
80317. Організація наукових досліджень та проектних робіт 132 KB
  Планування фінансування і звітність про виконання науководослідних та проектноконструкторських робіт. Види методи й етапи виконання наукових досліджень Основна спрямованість науковотехнічної діяльності одержання нових знань використання їх для створення і вдосконалення засобів знарядь предметів та умов праці й життя людини духовного та культурного розвитку суспільства. Згідно з чинним законодавством держава забезпечує: соціальноекономічні організаційні правові умови для формування та ефективного використання науковотехнічного...
80318. Підприємство в сучасних умовах господарювання 90 KB
  Господарський комплекс, або, інакше кажучи, національна економіка країни, являє собою сукупність взаємопов’язаних галузей, які відрізняють її національне господарство від господарства інших країн. Економіка країни має особливу структуру, формування і розвиток якої відбувається залежно від суспільних потреб
80319. Капітал і виробничі фонди підприємства 319 KB
  Загальна характеристика капіталу та виробничих фондів. Класифікація структура облік та оцінка основних фондів підприємства. Амортизація основних фондів. Загальна характеристика капіталу та виробничих фондів Слово капітал має німецьке походження і означає вартість яка внаслідок використання найманої робочої сили дає додану вартість .