20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R’={O’ ’1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=fM в репере R’ равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

51 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9313. Договор проката 26.5 KB
  Тема №13: Договор проката. Понятие договора. Договор проката - соглашение, по которому арендодатель, осуществляющий сдачу имущества в аренду в качестве постоянной предпринимательской деятельности, обязуется...
9314. Договор аренды транспортных средств. 38 KB
  Тема №14: Договор аренды транспортных средств. -1- Понятие и виды договора. Выделение договора аренды транспортных средств в качестве одного из видов договора аренды продиктовано особенностями его предмета. ...
9315. Договор финансовой аренды (лизинга) 30.5 KB
  Тема №15: Договор финансовой аренды (лизинга) -1- Понятие и содержание договора. По договору финансовой аренды (лизинга) арендодатель обязуется приобрести в собственность указанное арендатором имущество у определе...
9316. Договор аренды зданий и сооружений. Договор аренды предприятия 39 KB
  Тема №16: Договор аренды зданий и сооружений. Договор аренды предприятия. Понятие и исполнение договора аренды здания или сооружения. По договору аренды здания/сооружения арендодатель обязуется передать во временное ...
9317. Жилищное право 70.5 KB
  Тема №17: Жилищное право. ЖК РФ от 29 декабря 2004 года. Градостроительный кодекс 29.12.04 Закон РФ от 4 июля 1991 о приватизации Закон РСФСР от 18 октября 1991 о реабилитации жертв политических репрессий Закон РФ от 19.02.1993 года о вын...
9318. Права и обязанности сторон по договору найма 46 KB
  Тема №18: Права и обязанности сторон по договору найма. права и обязанности сторон по договору найма. права и обязанности сторон по договору коммерческого найма поднайм Наймодатель жилого помещения имеет...
9319. Изменение жилищных правоотношений 43 KB
  Тема №19: Изменение жилищных правоотношений. основания изменения договора социального найма основания расторжения договора социального найма расторжение договора коммерческого найма...
9320. Приватизация жилья 24 KB
  Тема №20: Приватизация жилья. Приватизация - бесплатная передача в собственность граждан РФ на добровольной основе занимаемых или жилых помещений в государственном...
9321. Безвозмездное пользование имуществом 42.5 KB
  Тема №21: Безвозмездное пользование имуществом. Понятие и элементы договора (договор ссуды) По договору безвозмездного пользования имущества одна сторона ссудодатель обязуется передать или передает вещь в безвозмезд...