20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R={O 1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M=fM в репере R равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

55 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76444. Правовые последствия отмены усыновления 13.52 KB
  При отсутствии родителей а также если передача ребенка родителям противоречит его интересам ребенок передается на попечение органа опеки и попечительства. Изменение имени отчества или фамилии ребенка достигшего возраста десяти лет возможно только с его согласия. Суд исходя из интересов ребенка вправе обязать бывшего усыновителя выплачивать средства на содержание ребенка.
76445. Опека и попечительства как форма семейного воспитания детей 16.24 KB
  Опекун попечитель назначается органом опеки и попечительства №48ФЗ от 24. В соответствии с Семейным и Гражданским кодексами РФ дети находящиеся под опекой попечительством имеют право на: воспитание в семье опекуна попечителя заботу с их стороны; совместное с ним проживание исключения допускаются с разрешения органа опеки и попечительства когда подопечный достиг возраста 16 лет и раздельное проживание не отразится неблагоприятно на его воспитании и защите прав и интересов; обеспечение условий для содержания воспитания...
76446. Права и обязанности опекунов и попечителей 27.96 KB
  Проживание будущего опекуна или попечителя и его потенциального подопечного по разным адресам может породить проблему выбора места установления опеки и попечительства. При этом в отдельных случаях при наличии заслуживающих внимания обстоятельств допускается установление опеки попечительства по месту проживания кандидата в опекуны и попечители например если он уже привез к себе нуждающегося в помощи гражданина либо не имеет возможности долго находиться в доме будущего подопечного. Но потом личное дело подопечного где хранится вся...
76447. Прекращение опеки и попечительства 15.01 KB
  Прекращение опеки и попечительства связаны с несколькими факторами. Не требует особого решения и прекращение попечительства при достижении подопечным 18ти лет п. Так же основаниями для прекращения попечительства над несовершеннолетними гражданами являются: эмансипация приобретение несовершеннолетним полной дееспособности до достижения им восемнадцатилетнего возраста; вступление в брак несовершеннолетним.
76448. Приемная семья (понятие, значение, приемные дети и приемные родители) 16.33 KB
  Приемная семья дает возможность максимально приблизить воспитание детейсирот и детей оставшихся без попечения родителей к реальной жизни. Она формирует у детей навыки преодоления трудных жизненных ситуаций психологическую защиту и правильное поведение при стрессах а также моральноэтическую установку на создание собственной стабильной семьи что важно и для некоторых взрослых граждан прежде всего для тех кто видит в воспитании детей свое призвание кто небезразличен к судьбе обездоленных детей и считает что у него хватит сил умения и...
76449. Договор о приемной семье 14.61 KB
  152 Семейного кодекса РФ приемной семьей признается опека или попечительство над ребенком которые осуществляются по договору о приемной семье заключаемому между органом опеки и попечительства и приемными родителемями. Так как к отношениям возникающим из договора о приемной семье применяются положения Главы 20 Семейного кодекса РФ об опеке ниже под опекуном попечителем подразумевается и приемныйе родительи. Договор о приемной семье заключается в соответствии с Правилами заключения договора об осуществлении опеки или попечительства...
76450. Основания и последствия прекращения договора приемной семье 14.86 KB
  Прекращение договора о приемной семье. При необходимости срок действия договора может быть продлен по соглашению сторон. Основанием прекращения может быть и неисполнение или ненадлежащее исполнение договора одной из сторон.
76451. Патронатная семья 24.61 KB
  Необходимо отметить, что патронатное воспитание существует ТОЛЬКО при наличии службы, профессионально занимающейся патронатным воспитанием и имеющей «качество» уполномоченной организации органа опеки и попечительства, на которую органом опеки и попечительства возложена работа по патронату.
76452. Предмет и метод семейного права 16.62 KB
  Совокупность этих отношений и составляет предмет семейного права являющегося самостоятельной отраслью российского права. Круг тех отношений которые регулируются нормами семейного права предмет семейного права определен непосредственно в законе Семейном кодексе РФ. Статья 2 СК РФ относит к предмету семейного права установление условий и порядка вступления в брак прекращения брака и признания его недействительным; регулирование личных неимущественных и имущественных отношений между членами семьи: супругами родителями и детьми а также...