20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R’={O’ ’1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=fM в репере R’ равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

52 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38587. Учет и анализ реализации продукции растениеводства на ООО «Ярево-агро» Поставского района Витебской области 813.5 KB
  АСПЕКТЫ УЧЕТА И АНАЛИЗА РЕАЛИЗАЦИИ ПРОДУКЦИИ РАСТЕНИЕВОДСТВА. Общие принципы организации реализации продукции растениеводства и задачи ее учета. Вопросы учета и анализа реализации продукции растениеводства в экономической литературе. Договорные основы и направления реализации продукции растениеводства.
38588. ПРОГРАММА ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАБИЛИТАЦИИ У ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА С ДЕТСКИМ ЦЕРЕБРАЛЬНЫМ ПАРАЛИЧОМ В УСЛОВИЯХ РЕАБИЛИТАЦИОННОГО ЦЕНТРА «ТАЛИСМАН» 435 KB
  ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА по направлению 032102 “Адаптивная физическая культура†ПРОГРАММА ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАБИЛИТАЦИИ У ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА С ДЕТСКИМ ЦЕРЕБРАЛЬНЫМ ПАРАЛИЧОМ В УСЛОВИЯХ РЕАБИЛИТАЦИОННОГО ЦЕНТРА ТАЛИСМАН Студентка АЗ0851 группы Прядеина Вера Витальевна Научный руководитель: к. ПСИХОЛОГОПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДЕТЕЙ С ДЕТСКИМ ЦЕРЕБРАЛЬНЫМ ПАРАЛИЧОМ 1. Психологическая характеристика детей больных детским церебральным параличом. Программа физической реабилитации у детей с ДЦП.
38589. Синтез и некоторые превращения 3-(о-нитрофенокси)метилоксирана 1.12 MB
  3 Направление реакции раскрытия цикла несимметричных [5] окисей [6] 1. В соответсвии с указанной целью были поставлены задачи: 1 синтез оксирана в различных условиях соотношений реагентов природы растворителя способов проведения реакции; 2 исследование превращения оксирана при действии различных реагентов в альдегиды окисмы нитрилы ацетали; 3 установление строения полученных соединений. Присоединение к эпоксидной группе под каталитическим влиянием щелочи протекает следующим образом: Это превращение идет таким же образом если вместо...
38590. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС ИЗГОТОВЛЕНИЯ ТУМБЫ ДЛЯ ОБУВИ 986 KB
  Характеристика изделия представлена схема тумбы для обуви которая изготовлена из ЛДСП древесностружечные плиты облицованные различным плёночным материалам; изображение ЛДСП представлено на Рисунке 3 толщиной 16 мм. На Рисунке 2 представлено несхематичное изображение тумбы а её возможный реальный вид. Для разметки:...
38591. Реконструкция истории изучения российских университетов в отечественной исторической науке 419.5 KB
  Основные этапы становления и развития университетской системы в России в исследовательской литературе с. Университеты в дореволюционной России – явление сложное и многогранное. В дореволюционной России функционировали следующие университеты: Московский СанктПетербургский Казанский Киевский Харьковский Дерптский Варшавский. История университетского образования в России составляет одно из важных направлений которое активно исследуется в современной историографии.
38592. Разработка электронного датчика микроклимата на микроконтроллере типа Tiny13 фирмы Atmel 496.5 KB
  обеспечение распределения горячего воздуха СО2 инсектицидов просушки влажных листьев. Для комфортной работы стол должен удовлетворять следующим условиям: высота стола должна быть выбрана с учетом возможности сидеть свободно в удобной позе при необходимости опираясь на подлокотники; нижняя часть стола должна быть сконструирована так чтобы программист мог удобно сидеть не был вынужден поджимать ноги; поверхность стола должна обладать свойствами исключающими появление бликов в поле зрения программиста; конструкция стола должна...
38593. Сушена сировина рослинного та тваринного походження, її використання в сфері підприємств ресторанного господарства типу Бістро 234.5 KB
  Функціональнотехнологічні властивості сировини рослинного та тваринного походження.3 Розрахунок сировини готової продукції допоміжних матеріалів та тари . Підприємства на яких здійснюється сушіння сировини можуть бути наступних типів: чисто сушильні заводи комбіновані де паралельно з сушкою сировини виробляють харчові концентрати і об'єднані сушильноконсервні заводи.1 Функціональнотехнологічні властивості сировини тваринного та рослинного походження Фізикохімічні біохімічні та...
38594. Разработка технологического процесса работы вокзала малой мощности 817 KB
  На территории РК размещено большое число железнодорожных станций разъездов депо и других хозяйственных подразделений участков пути постов контактной сети электрифицированных линий устройств связи и сигнализации от бесперебойной и согласованной Работы которых зависит выполнение планов перевозок пассажиров и грузов. Важнейшим требованием к работе железнодорожного транспорта является обеспечение полной безопасности движения поездов а также безопасности пассажиров и персонала сохранности перевозимых грузов. Железнодорожный транспорт ...