20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R={O 1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M=fM в репере R равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

55 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15802. Средний уровень динамического ряда 85.3 KB
  Средний уровень динамического ряда. Способы его исчисления. Средний уровень ряда в статистике Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней исчисленной из значений меняющихся во времени. Методы расчета среднего ...
15803. Средний уровень ряда и способы его расчета 72.58 KB
  Средний уровень ряда и способы его расчета. chronological mean средняя рассчитанная из значений изменяющихся во времени. Используется для расчета среднего уровня моментного ряда. В том случае если имеющиеся данные относятся к фиксированным моментам времени c равными интер...
15804. Средняя арефмитическая и горманическая формы общих индексов 30.52 KB
  Средняя арифметическая и горманическая формы общих индексов. Помимо агрегатных индексов в статистике применяется и другая их форма средневзвешенные индексы. Их используют когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс.
15805. Средняя гармоническая 24.05 KB
  Средняя гармоническая. При расчёте статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае существует только одно истинное среднее значение показателя. Пример. Пусть в фирме специализир...
15806. Средняя ошибка выборки 130.06 KB
  Средняя ошибка выборки Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями которое не превышает б дельта. На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе...
15807. Статистическая таблица. Ее элементы. Виды таблиц 11.94 KB
  Статистическая таблица. Ее элементы. Виды таблиц. Результаты сводки и группировки данных представляют в виде статистических таблиц. Статистическая таблица содержит сводную числовую характеристику исследуемой совокупности по одному или нескольким существенным приз
15808. Проектна технологія як засіб формування інтересу до пізнання молодших школярів 66.5 KB
  Анотація Одним із провідних орієнтирів української освіти і виховання є врахування здібностей нахилів та інтересів школярів у процесі навчальної діяльності що визначено Законом України Про освіту. Завдання створення сприятливих умов для творчого характеру навч
15809. Проблема інтересу до навчання в педагогіці епохи Гуманізму 64.5 KB
  Аспірант Баранова Анастасія Миколаївна Проблема інтересу до навчання в педагогіці епохи Гуманізму Проблема інтересу до навчання в історії педагогічної думки і практиці навчання зявлялась поступово та характеризувалася увагою до певних її аспектів що зумов
15810. Проблема інтересу до навчання в історії російської педагогічної думки 73.5 KB
  УДК 372.4 Аспірант Баранова Анастасія Миколаївна Луганський національний університет імені Тараса Шевченка Проблема інтересу до навчання в історії російської дореволюційної педагогічної думки Проблема інтересу до навчання в історії російської педаго