20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R={O 1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M=fM в репере R равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

63 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59504. Така любов буває раз в ніколи... - конкурсна програма до Дня святого Валентина 50.5 KB
  Про кохання не говорять, про нього вже все сказано... Тож сьогодні будемо мовчки вдихати аромат закоханості, насолоджуватися захоплюючим видовищем, представленим на сцені, цікавими і веселими конкурсами, романтичною музикою.
59505. Виховний захід: Свято зустрічі весни 50.5 KB
  Мета. Дати поняття про свято Сорока Святих, актуалізувати знання учнів про обрядові пісні, хороводи. Актуалізувати знання про птахів, користь, яку вони приносять.
59506. Ой весела в нас пора, білосніжная зима (розвага для середньої групи дошкільного закладу) 34.5 KB
  Мета: за допомогою вправ та розвивальних ігор закріпити в дошкільнят навички виконання циклічних вправ: біг по колу один за одним, ходьби на носках і по обмеженій площі, стрибків з місця з просуванням уперед...
59507. Сценарій :“Сію, сію, посіваю...” (народні звичаї та обряди) 48.5 KB
  Урожай дорідний в полі і Христос роздається Рік новий йде новим кроком Всі вітаєм з Новим Роком Здоровя міцного щастя багато чистої води з криниці в полі ярої пшениці Хліба солі на столі і погоди на душі Сію вію посіваю. На щастя на здоровя На Новий рік на нове літо...
59508. Сценарій. Останній дзвоник, святкова лінійка 60.5 KB
  Дорогі випускники! Вмийтеся ще раз у нашу шкільну родину, вслухайтеся востаннє в переспів дзвінка і збережіть у своїй пам’яті ці неповторні хвилини прощання зі школою.
59509. Сценарій: Екологічний “КВК” у дошкільному закладі 35.5 KB
  Хід заняття: Діти заходять в зал оформлений у вигляді лісу Вихователь: Доброго дня тобі Лісовичко а ми до тебе в гості прийшли. Лісовичок: В гості А хто вас кликав Я ще від минулих гостей не оговтався: насмітили все понищили звіряток моїх образили ні Закрита сюди дорога...
59510. Теренкур – ігрова програма 52.5 KB
  Карта маршрутів теренкуру вивішується на загальний огляд. Готуються до прийому дітей пункти теренкуру Кросвордист Астролябія Скаут Міфліказ Апачі Арічамі Посмішка Ноти Вигадувалки. Ведучий: Ласкаво просимо до нас на Теренкур...
59511. Виховний захід: Як Батьківщина й сонечко над нами, отак і мама на землі одна 68.5 KB
  Адже тільки мати була є і залишається для нас живим символом рідного дому рідної землі. Стоїть на землі мати вища й найсвятіша від усіх богинь. Стоїть мати і молиться за народ за своїх синів і дочок за нас з вами і перші слова її молитви...
59512. Шкідливі звички – шлях у безодню 66.5 KB
  Обладнання та оформлення: технічні засоби навчання учнівські реферати брошури книги плакати записи на дошці; Бережи одяг доки новий а здоровя доки молодий. Не піддавайся шкідливій звичці...