20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R’={O’ ’1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=fM в репере R’ равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

51 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62549. Основные соединения серы 42.31 KB
  Многие характеристики серы помогут нам более детально разобраться в теме сегодняшнего урока. Этап целеполагания и планирования Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим изучение серы и тема нашего урока Основные соединения серы...
62550. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЮБКИ. РАЗРАБОТКА ИДЕЙ И ВЫБОР ЛУЧШЕЙ 1.88 MB
  Главное для нас не ошибиться в подборе фасона конической юбки ткани для ее изготовления и цветовой гамме. Такие юбки могут носить девушки и женщины разных возрастов так как они смотрятся очень модно и стильно кроме того для их пошива можно использовать...
62551. Подготовка к сочинению в жанре спортивного репортажа по картине С.А. Григорьева Вратарь 42.07 KB
  Цели урока: дать понятие о жанровых особенностях репортажа подготовив материал для написания сочинения по картине с описанием действий людей которых изобразил художник...
62552. Все в твоих руках! 25.03 KB
  Но для начала давайте ответим на вопрос что такое здоровье вообще ответы детей. Таким образом репродуктивное здоровье означает возможность удовлетворенной и безопасной сексуальной жизни способность к воспроизведению рождению детей и возможность решать когда и как часто это делать.
62554. Синонимы 22.43 KB
  Предметные задачи урока: расширить знания детей о синонимах учить правильно употреблять слова-синонимы в речи. Сегодня будем писать гласную которая есть в словах приятель товарищ но нет в слове друг...
62555. Урок развития речи. Письмо 30.47 KB
  Цель: Познакомить учащихся со структурой и стилистическими особенностями письма как эписталярного жанра со значением переписки в жизни людей. Мы научимся правильно писать письма родным близким и знакомым. Познакомимся со структурой письма продолжим развитие устной и письменной речи.
62556. Правописание парных согласных в конце слова 988.38 KB
  Цель урока: обеспечить условия для формирования умения правильно писать слова с парными согласными на конце слова развития орфографической зоркости; развития речи учащихся внимания памяти; развития навыков самоконтроля проверки самооценки...
62557. Повторение изученного в разделе «Синтаксис и пунктуация» 33.22 KB
  Оборудование к уроку: Компьютер; Мультимедийный проектор; Презентация слайдов по теме урока; Карточки с предложениями для их поиска по схемам; Сигнальные карточки; Раздаточный материал заданий; Призы. Синтаксический разбор предложения частичный...