20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R’={O’ ’1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=fM в репере R’ равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

50 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12763. Информационные ресурсы общества. Образовательные информационные ресурсы 6.81 MB
  Практическая работа №1 Информационные ресурсы общества. Образовательные информационные ресурсы. Виды профессиональной информационной деятельности человека с использованием технических средств и информационных ресурсов социальноэкономической деятельности....
12764. Дискретное (цифровое) представление текстовой, графической и звуковой информации. Представление информации в различных системах счисления 13.69 KB
  Практическая работа № 3 Тема: Дискретное цифровое представление текстовой графической и звуковой информации. Представление информации в различных системах счисления. Цель: Освоить процессы кодирования и декодирования текстовой информации при помощи таблицы ASCIIко
12765. Модем. Единицы измерения скорости передачи данных. Подключение модема. Создание ящика электронной почты и настройка его параметров. Формирование адресной книги 374.53 KB
  ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7 ТЕМА: Модем. Единицы измерения скорости передачи данных. Подключение модема. Создание ящика электронной почты и настройка его параметров. Формирование адресной книги. ЗАДАНИЕ: Настроить ящик электронной почты в Microsoft Outlook 2007. Узнать ад
12766. АСУ различного назначения, примеры их использования. Демонстрация использования различных видов АСУ на практике в социально-экономической сфере деятельности 57.65 KB
  ТЕМА: АСУ различного назначения примеры их использования. Демонстрация использования различных видов АСУ на практике в социальноэкономической сфере деятельности. ЗАДАНИЕ 1: Найти сведения о станках с ЧПУ в Википедии. Вставить в отчет адреса сайтов на которы
12767. Гипертекстовое представление информации 53.55 KB
  Практическая работа № 15 Гипертекстовое представление информации. Цель: получить представление об OCR – программах распознавания текста познакомиться с возможностями данных программ научиться распознавать отсканированный текст передавать и редактировать его ...
12768. Поисковые системы. Пример поиска информации или информационного объекта в тексте, в файловых структурах, на государственных образовательных порталах 313.2 KB
  Практическая работа № 6 Тема: Поисковые системы. Пример поиска информации или информационного объекта в тексте в файловых структурах на государственных образовательных порталах Цель: поиск нужной информации в тексте в файловых структурах; освоение прием...
12769. Создание архива данных. Извлечение данных из архива. Запись информации на компакт-диски различных видов 14.26 KB
  ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5 Тема: Создание архива данных. Извлечение данных из архива. Запись информации на компактдиски различных видов. Цель: освоить работу с программой – архиватором WinRar и программой для работы с дисками Nero. Задание: Открыть программу WinRar оз
12770. Использование систем проверки орфографии и грамотки 2.13 MB
  Практическая работа № 13 Использование систем проверки орфографии и грамотки. Графические редакторы подразделяются на системы научной иллюстративной и коммерческой графики. Системы научной графики предназначены для афформления научных расчетов содержащих ф...
12771. Форматирование в текстовом редакторе Word 16.27 KB
  Практическая работа N14.Форматирование в текстовом редакторе Word. Шрифт Настройка формата выделенных символов осуществляется в диалоге и включает такие характеристики: шрифтArial Times Courier; начертаниеОбычный Курсив Полужир