20732

Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Зададим на плоскости два аффинных репера аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек ОA1A2 этой плоскости не лежащих на одной прямой. Пишут:R={ОA1A2} R={O1 2 } R={O 1 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M=fM в репере R равны соответствующим координатам х у точки М в репере R.

Русский

2013-07-31

105 KB

61 чел.

  1.  Вопрос № 6 Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Приложения аффинных преобразований к решению задач.

Зададим на плоскости два аффинных репера (аф.репером R на плоскости наз. Упорядоченная тройка точек О,A1,A2 этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Пишут:R={О,A1,A2}) R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} и рассмотрим отображение f плоскости в себя по закону: координаты точки M’=f(M) в репере R’ равны соответствующим координатам х, у точки М  в репере R.Данное отображение является преобразованием плоскости; его наз-т аффинным преобразованием. Очевидно, R’=f(R).

Если взять репер R ортонормированным, а репере R’ таким, что ’1 2  и |’1|=|’2|=k, то аф.преобразование f|R’=f(R) становится подобием плоскости с коэффициентом подобия k. Итак, преобразование подобия плоскости является частным случаем аффинного преобразования.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2}, где ’11, ’22. В аф.преобразовании f|f(R)=R’ для точек M и M’=f(M) имеем:

      =x1+y2, = x1+y2

Отсюда  =k* И, значит, f является гомотетией с цениром О и коэффициентом k. Следовательно, гомотетия является преобразованием аффинным.

 Если аф.преоб. f определяется аффинными реперами R и R’ с различными началами OO’ и одними и теми же координатными векторами 1,2, то

          = x1+y2,          = x1+y2

И, значит,  Но          =        +

Поэтому MM’=OO’ . Следовательно, аффинное преобразование f является переносом с вектором переноса OO’ . Таким образом, перенос- преобразование аффинное.

Возьмём два аф.репера  R={O,1, 2 }, R’={O’, ’1, 2} с общим началом О,таких, что  ’1=1, ’22 (α≠1).

Упорядоченная пара реперов {R,R’} определяет аффинное преобразование f|f(R)=R’, в котором точки М и M’=f(M) имеют одинаковые координаты относительно реперов R и R’ соответственно:  

 OM= x1+y2          OM’= x’1+y’2= x1+λy2 

Отсюда следует, что в репере R точки М и M’ имеют координаты:M(x,y), M(xy). Значит, точки прямой а(Oa, 1||a) неподвижны. Пусть Ма, тогда вектор MM’=y(λ-1) 2 параллелен прямой b(Ob, 2||b). Обозначим P=(MM’)a. Находим: MP=-y2,  PM’=λ2           MP = -(1/ λ)PM’         PM’= λPM’.

Следовательно, рассмотренное аффинное преобразование f обладает свойствами:

  1.  каждая точка прямой а неподвижна
  2.  каждая точка Ма переходит в такую точку M’, что:

а) прямая (MM’) параллельна прямой и, пересекающей а

б) каждая точка P=(MM’)а делит отрезок [MM’] в одном и том же отношении (равном –(1/λ).

Аффинное преобразование плоскости, обладающее указанными свойствами, называют косым сжатием плоскости, прямую а- осью сжатия, направление прямой b-направлением сжатия, λ-коэффициентом сжатия.

Обозначим через А множество всех аффинных преобразований плоскости. Пусть f, gA и R-какой-либо аффинный репер, f(R)=R’, g(R’)=R”→(gf)(R)=R”.

Если х, у-координаты т.М в репере R’ и точка M”=g(M’) в репере R”.

Произведение gf преобразований f и g переводит точку М(с координатами х, у в репере R) в точку M” (с теми же координатами х,у в репере R”). Следовательно, gf-аффинное преобразование плоскости; оно определяется упорядоченной парой реперов {R,R”}.

Точно так же, если аффинное преобразование f переводит репер R в R’, то аффинное преобразование, переводящее R’ в R, будет преобразованием f-1, обратным к преобразованию f. Мы показали, что f, gAgfA и fAf-1A.

Следовательно, множество А-группа;она наз.группой аффинных преобразований плоскости. Группа Г подобия плоскости- подгруппа группы А. Всякое аффинное преобразование сохраняет отношение трёх точек прямой. Это основной инвариант группы А.

Задача Доказать, что для произвольной трапеции ABCD точка М пересечения диагоналей, середины E, F оснований и т.S пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

Аффинным преобразованием f переведём треуг. ABS в равнобедренный треуг. ABS:SA=SB’(например, косым сжатием, определяемым осью (SA) и точками B,B’, где B’(AB), [SB’][SA]. Трапеция ABCD перейдёт в равнобeдренную трапецию ABCD и прямая (SM)- в ось симметрии (SM’) этой трапеции. Так как аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек, то прообраз (SM) прямой (SM’) проходит через середины E,F оснований данной трапеции ABCD. Утверждение доказано.


ОМ
 

ОМ'

ОМ

ОМ=ОМ

ОМ

ОМ

О'М

MМ

MO

ОO’

О'М

B’

B

F’

F

A

C’

D

S

E

E’

C

M

 M’


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55134. Эффективность денежно-кредитной политики. Проблема сочетания денежно-кредитной и фискальной политик 18.94 KB
  Опыт проведения кредитно-денежной политики в различных странах позволил выявить ее сильные и слабые стороны, а также факторы повышения ее эффективности.
55135. Механизм денежно-кредитной политики и ее воздействие на макроэкономические цели 19.34 KB
  Денежно-кредитная (монетарная) политика — это политика государства, воздействующая на количество денег в обращении с целью обеспечения стабильности цен, полной занятости населения и роста реального объема производства. Осуществляет монетарную политику Центральный банк.
55136. Денежно-кредитная политика. Виды денежно-кредитной политики 22.44 KB
  Денежно-кредитная политика – совокупность мероприятий в области денежного обращения и кредита, направленных на регулирование экономического роста, сдерживание инфляции, обеспечение занятости и выравнивание платежного баланса. Она служит одним из важнейших методов вмешательства государства в процесс воспроизводства.
55137. Порівняння стилів програмування 114 KB
  Стиль Олмана llmn Названий за іменем Еріка Олмана хакера з Берклі який написав у такому стилі багато утиліт для BSD. Стиль GNU Використовується у вихідних кодах проекту по розробці вільного програмного забезпечення GNU.
55138. Основні напрями регулювання ринку праці, зайнятості та умов праці. Законодавчо-нормативна база в галузі працевлаштування випускників вищих навчальних закладів 82 KB
  Сутність основних понять розмір середньої заробітньої плати; розмір допомоги по безробіттю; який вітсоток людей працює в малому бізнесі на Україні і яка ця статистика за кордоном; які галузі мають місце в малому бізнесі і яка максимальна можлива чисельність на нах працівникі...
55140. Технологія роботи з операційною системою Windows 216.5 KB
  Мета: Формування умінь та навичок по завантаженню ОС Windows користування мишею керування вікнами. Постановка загальної проблеми: Як запускати користуватися мишею керувати вікнами в операційній системі Windows І. Короткі теоретичні відомості Windows.
55141. Культура фахового спілкування 41.5 KB
  Яку роль виконує наголос у слові Як правильно наголошувати іменники на ання читання завдання Як правильно наголошувати слово ненависть і похідні: ненавидіти ненависник ненависництво ненависницький Як наголошуються префіксальні іменники задум припис розвідка...
55142. Экономический рост: сущность, типы, факторы 20.13 KB
  Под экономическим ростом понимаются долговременные изменения реального объема национального производства, связанные с развитием производительных сил в долгосрочном временном интервале.