20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

24 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46473. Концепция социальной ответственности 16.71 KB
  Концепция социальной ответственности основана на идее что компании могут достигнуть более высоких эффективности и качества благодаря повышению степени доверия к ним со стороны общества и его членов. В практике ведения бизнеса в своем социальном видении компании выделяют четыре основных аспекта социальной ответственности: 1. Поэтому частью миссии компании является обогащение жизни общества. Чтобы судить о степени приверженности бизнеса к КСО очень важна система измерителей позволяющих судить об эффективности и...
46474. НАЗНАЧЕНИЕ ТЕХНОЛИГИЧЕОНИХ БАЗ 16.74 KB
  От правильности решения вопроса о технологических базах в значительной степени зависят: фактическая точность выполнения линейных размеров заданных конструктором; правильность взаимного расположения обрабатываемых поверхностей; точность обработки которую должен выдержать рабочий при выполнении запроектированной технологической операции; степень сложности и конструкция необходимых приспособлений режущих и мерительных инструментов; общая производительность обработки заготовок. При автоматизации производства развитии гидрокопировальных...
46475. Культура России XIX века 16.75 KB
  Русская культура первой половины XIX в. Начало XIX века время культурного и духовного подъёма России. В первой половине XIX века в России было образовано семь университетов.
46476. Объектное обобщение 16.81 KB
  Организация объектного обобщения: clss С1 { int x y z; public: void D1 { . clss Shpe { public: virtul void In = 0; ввод данных virtul void Out = 0; вывод данных virtul double re = 0; площадь }; Наследование механизм объектноориентированного программирования позволяющий описать новый класс на основе уже существующего родительского при этом свойства и функциональность родительского класса заимствуются новым классом. Наследование: Cинтаксис в языке C Наследование: Синтаксис в языке C clss { clss {...
46477. Рак легкого. Формы периферического рака легкого. Дифференциальная диагностика с доброкачественными заболеваниями легких. Методы хирургического лечени 16.82 KB
  Распространение повсеместно. Вызывается заболевание эхинококкус гранулезус. Окончательный хозяин –собака, волк. Промежуточный –копытные. Содержимое кисты жид-ть, сколексы и дочерние пузыри. Оболочки: герминативная (зародышевая), кутикулярная (хитиновая), фиброзная капсула
46478. Становление новой российской государственности (1993-1999 гг.) 16.87 KB
  После распада СССР началась ликвидация прежних структур власти и управления. Отсутствие четкого разграничения полномочий между ними вызывало острое противостояние двух ветвей государственной власти законодательной и исполнительной. под давлением законодательной власти ушло в отставку правительство Е. Противостояние ветвей власти усилилось осенью 1993 г.
46479. Психология человека при ЧС и профилактические меры 16.93 KB
  Реакция людей попавших в зону ЧС может быть как индивидуальной так и коллективной. Индивидуальные реакции людей при этом возможны положительного или отрицательного вида. Отрицательные реакции у людей проявляются в виде тревоги беспокойства неуверенности в себе обострения чувства самосохранения страха острой борьбы мотивов долга и личной безопасности растерянности непонимания происходящего деавтоматизации навыков допущения ошибок в работе недостаточной мобилизованности утраты самоконтроля панических действий острых психозов и...
46480. Понятие социализации в психоанализе и в теории Ж. Пиаже 17.07 KB
  Она рассматривает детское развитие как процесс постепенной социализации ребенка подчиняющийся закону перехода от принципа удовольствия к принципу реальности. Фрейду усиливается влияние на ребенка внешнего мира З. Фрейд защита от элементов детской жизни таких как жадность корысть ревность пожелание смерти которые толкают ребенка в направлении десоциализации. Продвижение ребенка от принципа удовольствия к принципу реальности наступает когда различные функции Я достигают определенной ступени развития.
46481. Государственный заказ 17.1 KB
  Субъекты системы госзакупок: госзаказчики формирующие и размещающие госзаказ на поставку продукции заключающие контракты и получающие продукцию непосредственные потребители товаров работ и услуг поставщики продукции участвующие в процедурах размещения гозакупок заключающие контракты на поставку продукции и поставляющие ее координатор уполномоченный орган исполнительной власти осуществляющий планирование координацию контроль и методическое руководство процессом формирования и размещения госзаказа специализированные...