20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

36 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46773. Реконструкція будівель 29.5 KB
  Реконструкцію слід проводити у чіткій відповідності до проекту виконання робіт у якому розроблено методи і терміни їх виконання. Низька культура виробництва та зволікання зі строками робіт досить часто призводять до того що ще міцні будівлі у період реконструкції або після її закінчення потребують додаткового підсилення несівних конструкцій мають тріщини у стінах та інших конструкціях чи підвищену їхню вологість. Відомо два організаційнотехнологічних прийоми реконструкції: 1 виконання всіх робіт із розбирання старих конструкцій а...
46774. Расчет многофункционального контроллера МФК3000 4.46 MB
  Контроллер предназначен для измерения, контроля, регулирования, диагностики и управления производственными процессами, технологическими линиями и агрегатами средней и высокой сложности, в том числе для применения в системах противоаварийной защиты (ПАЗ).
46775. Л.С.Выготский «Проблема умственной отсталости» 29.5 KB
  Воля этот рычаг всех действий всех способностей отсутствует у умственно отсталого ребенка. Новая теория соглашается признать только две особенности отличающие интеллект слабоумного от интеллекта нормального ребенка. Тугоподвижность психических систем у отсталого ребенка при известных обстоятельствах может привести к тому что заместительная функция будет обнаруживаться не слабее а сильнее чем у нормального ребенка. Слабоумный ребенок не обнаруживает тех ступенчатых связных...
46776. The United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland 30 KB
  The United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland is situated on the British Isles. It consists of four parts: England, Wales, Scotland and Northern Ireland
46777. Информация и структура отраслевого рынка 32.03 KB
  Он рассматривает четыре группы автомобилей: новые и бывшие в употреблении хорошие и плохие или лимоны. Рассматривая рынок подержанных автомобилей Акерлоф предполагает что после использования машины в течение какого то периода у владельца складывается четкое мнение о ее качестве т. Материалыих классифяоценка и отраже в учете их движения. мат.
46778. Влияние дорожных условий на безопасность движения 29.95 KB
  Влияние дорожных условий на безопасность движения Большую роль в обеспечении безопасности движения играют основные техникоэксплуатационные показатели АД. полотна ширина и состояние обочин ровность и шероховатость покрытий видимость на кривых в плане и продольном профиле освещённость участков дороги в ночное время суток наличие разметки на проезжей части качество инженерного обустройства наличие средств регулирования в соответствии с фактической интенсивностью движения. условий на безопасность движения закладывается в процессе...
46779. Индустриализация и коллективизация 30.17 KB
  Объясняла кризис просчетами партийно-государственного руководства неверной налоговой ценовой инвестиционной политикой выступала против применения чрезвычайных мер весной 1929 года за стабилизацию положения в сельском хозяйстве на основе рыночных методов постепенное развертывание крупных коллективных зерновых хозяйств сравнительно умеренные темпы индустриализации на основе сбалансированного подъема тяжелой и легкой промышленности маневрирование и др. считали кризис неизбежным результатом ускоренной индустриализации при отсутствии...
46780. Государственное регулирование рыночной экономики 32.09 KB
  Многовековой опыт рыночного хозяйствования развитых стран мира многими интерпретируется как последовательное воплощение принципа свободы предпринимательства. И как аксиома предполагается предпочтительность экономического порядка