20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

31 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29626. Обработка данных социометрического опроса: социограммы 26.5 KB
  Графическое изображение связей внутри коллектива устанавливаемых на основании выбора называется социограммой. Его выделение важно при изучении функциональных связей рабочего коллектива или эмоциональнопсихологических связей симпатий внутри коллектива. Связь между двумя элементами Диада структура очень часто наблюдаемая в небольших коллективах например в форме совместной деятельности а также как дружеские и доверительные связи между двумя людьми. В круговых социограммах все члены коллектива располагаются по окружности внутри...
29627. Метод тестов в социологическом исследовании. Назначение, опыт использования 23.5 KB
  Родоночальник Кендал Тесты :1 гомогенные отдельные св ва личности система заданий в которых чел должен выбрать конкретный вариант поведения 2 гетерогенные оценивают совокупность личностных свв в соответствии с теорией. Изменения в тесты не рекомендуется делать. Проективная методика и тесты это совть методик основ. На результатов интерпретации Могут делиться на ряд групп: А Ассоциативные тесты анализ ситуации Методика незаконченных предложений Методика симантический дифференциал Б интерпретационные тесты тест ТАД истолкование...
29628. Обработка данных социологического исследования: метод группировки 24.5 KB
  Простая группировка это классификация или упорядочение данных по одному признаку. Перекрестная группировка это связывание данных предвари тельно упорядоченных по двум признакам свойствам показате лям с целью: а обнаружить какието взаимозависимости; б осуществить взаимоконтроль показателей сформировать новый составной показатель определить направление связей влияния одного явления на другое. Анализ эмпирических данных согласно теоретической типологии предпо лагает вопервых определение частот распределения по каждому типу;...
29629. Подготовка отчета по результатам исследования. Требования к отчету 33.5 KB
  Административнофинансовое: по отчету определяются объем сроки содержание уровень качество выполненных работ затраты эффективность используемых средств Типы отчетов: По типу исследования По отношению к объему выполненных работ По автору По функциональному назначению Отчет о результатах фундаментального исследования Отчет о результатах прикладного исследования Итоговый Этапный промежуточный Отчет по направлению разделу Отчет по выполненному виду работ Монографический коллективный Итоговый полный Краткий резюме По целевому...
29630. Выборочный метод в социологическом исследовании. Основные понятия выборочного метода 27 KB
  Одной из задач которые стоят перед социологом при проведении исследования является сбор необходимых эмпирических данных об объекте исследования. Множество элементов составляющих объект исследования называют генеральной совокупностью ГС. Основная идея выборочного метода заключается в том чтобы закономерности полученные при изучении относительно небольшой группы людей ВС распространить на весь объект исследования ГС. Выборочный метод позволяет не только сократить временные и материальные затраты на...
29631. Объем выборки, факторы, влияющие на объем выборочной совокупности 21 KB
  Существует способы математического определения для объёма выборки. Опытным путём установлено что объём выборки колеблется от 3961000 1200 человек. Чем более дробный мы предполагаем сделать анализ тем при прочих равных условиях мы должны брать большой объём выборки.
29632. Класс строго вероятностных способов формирования выборочной совокупности. Механический отбор 26.5 KB
  Способы построения выборки делятся на 2 крупных класса: Случайные вероятностные это такие способы отбора когда каждый элемент генеральной совокупности имеет известную чаще всего равную вероятность быть выбранным. Для реализации случайного отбора необходимо иметь основу выборки списки элементов генеральной совокупности. Строго говоря лишь вероятностные выборки являются репрезентативными следовательно только для них может быть рассчитана статистическая погрешность. Механический отбор где элементы генеральной совокупности...
29633. Класс строго вероятностных способов формирования выборочной совокупности. Гнездовой отбор 52 KB
  Гнездовой отбор. Способы построения выборки делятся на 2 крупных класса: Случайные вероятностные это такие способы отбора когда каждый элемент генеральной совокупности имеет известную чаще всего равную вероятность быть выбранным. Неслучайные все остальные способы отбора. Для реализации случайного отбора необходимо иметь основу выборки списки элементов генеральной совокупности.
29634. Квотная выборка в социологическом исследовании 24 KB
  Способы построения выборки делятся на 2 крупных класса: Случайные вероятностные это такие способы отбора когда каждый элемент генеральной совокупности имеет известную чаще всего равную вероятность быть выбранным. Неслучайные все остальные способы отбора. Для реализации случайного отбора необходимо иметь основу выборки списки элементов генеральной совокупности. К вероятностным способам отбора относят: Простой случайный отбор в рамках которого элементы отбираются либо с помощью таблицы случайных чисел либо с помощью...