20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

24 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73673. Механізми пересування 351.5 KB
  У вантажопідйомних машинах загального призначення механізми пересування по конструктивній ознаці розрізняють: а механізми пересування з ручним приводом б механізми пересування з машинним приводом електричний і ДВС. По конструкції опорноходової частини механізми пересування підрозділяються: а на рейкові б на без рейкові. За принципом роботи механізми пересування підрозділяються на дві принципові схеми: а механізми у яких переміщення здійснюється за рахунок сил зчеплення приводних ходових коліс з рейкою або грунтом б механізми у...
73674. Вимоги до антен по параметрах електромагнітної сумісності 370 KB
  Вимоги до антен по параметрах електромагнітної сумісності Розвиток супутникових систем звязку супроводжується зростаючим завантаженням діапазонів радіочастот. Передумови для рішення проблеми ЭМС створюють відомі просторова й частотна вибірковості антен. При аналізі діаграми спрямованості апертурних антен широко застосовуваних у супутниковому...
73675. Розрахунок механізму пересування з тяговим елементом 242 KB
  Ходові колеса кранів і рейки У вантажопідйомних машинах загального призначення залежно від типу машини призначення а також величини навантаження і швидкості пересування ходові колеса виготовляються сталевими і чавунними з циліндровим і конічним ободом. Як рейки у вантажопідйомних машинах застосовується квадратна або смугова сталь а також залізничні рейки
73676. Механізми повороту 471.5 KB
  Конструкція механізмів повороту визначається призначенням і конструкцією вантажопідйомної машини умовами експлуатації діючими навантаженнями і іншими особливостями крана. У вантажопідйомних машинах залежно від конструктивного виконання механізму повороту крана можуть бути дві принципово відмінні схеми приводу механізму повороту. По першій схемі прівод механізму повороту розташовується на неповоротній частині вантажопідйомної машини мал.
73677. Механізми зміни вильоту стріли 249.5 KB
  В цьому випадку приймають середню вантажопідйомність крана з перевантаженнямпо перекидаючому моменту в межах 1520 На практиці зміна вильоту стріли виробляється в двох випадках: Настановна зміна вильоту стріли. Маневрова зміна вильоту стріли. Зміна вильоту стріли виробляється в процесі роботи крана для горизонтального радіального переміщення оброблюваного вантажу.
73678. Стаціонарні поворотні крани 426 KB
  Верхня опора зміцнюється в стіні будівлі або в колоні іноді встановлюється на гнучких розтяжках при повороті крана на 360 градусів. Противага служить для зменшення перекидаючого моменту отже для полегшення опорних елементів крана зменшення ваги і розмірів фундаменту а також колони крана. Залежно від розташування наполегливого підшипника можливі дві схеми навантаження колони крана мал. Якщо ферма крана спирається на верхню шпильку колони в якій встановлений наполегливий підшипник то верхня опора сприймає не тільки горизонтальні...
73679. Двоопорні крани із змінним вильотом 325 KB
  Кран закріплюється на фундаменті, він звичайно виконується повноповоротним. В цьому випадку верхня опора зміцнюється на чотирьох розтяжках. Кран складається з двох симетричних ферм
73680. Мостові крани 527 KB
  До вантажопідйомних машин з подовжньо-поступальною ходою без поворотної відносяться мостові крани, козлині і консольні крани. У вітчизняній промисловості широко застосовуються вантажопідйомні машини мостового типу
73681. Козлові крани 488.5 KB
  Козлині крани загального призначення застосовуються для обслуговування відкритих складів, електростанцій, монтажу промислових і цивільних споруд.