20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

27 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72684. Вскрытие и промышленная разработка Тишинского месторождения 688.54 KB
  При выборе методики разведки Тишинского месторождения особенно на первых этапах изучения – до 1964 года наряду с геологическими особенностями решающее влияние имел фактор времени необходимость быстрейшего ввода его в эксплуатацию и геоморфологические условия.
72686. Структурный синтез логического преобразователя УА 275.05 KB
  Потребность в вычислениях возникла у людей на самых ранних стадиях развития человеческого общества. Причем с самого начала для облегчения счета люди использовали различные приспособления ( счеты, арифмометры). Многие из них были весьма интересными и остроумными по принципу действия...
72688. РАЗРАБОТКА ЭКСПЕРТНОЙ СИСТЕМЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ РЕЛЯЦИОННОГО ПОДХОДА СУБД ACCESS И С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ VISUAL PROLOG 2.09 MB
  Систему, которую намерены построить мы, относится к классу идентификационных (или диагностических) систем. Системы этого класса решают задачу определения, т.е. идентификации, объекта по его признакам.
72690. ЛАБОРАТОРНАЯ ДИАГНОСТИКА НАРУШЕНИЙ ГЕМОСТАЗА 10.55 MB
  Оценка состояния свертывающей системы крови одна из самых сложных диагностических задач. В настоящем пособии этот вопрос рассматривается с различных точек зрения: общих биологических закономерностей функционирования многокомпонентных систем организма патофизиологических механизмов...
72692. Перевірка рівня сформованості основних навичок роботи з електронними таблицями 104 KB
  Права частина служить для переміщення по таблиці вправо уліво а ліва частина що містить ярлички аркушів дозволяє переміщатися між аркушами. Створення таблиці Створіть заготівлі таблиці самостійно застосовуючи наступні операції: запуск Excel; форматування рядка заголовка.