20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

32 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78446. Гасіння пожеж у торгових та складських приміщеннях 73 KB
  Гасіння пожеж у торгових та складських приміщеннях. Вимоги безпеки праці під час гасіння. Гасіння пожеж у торгових та складських приміщеннях.
78447. Гасіння пожеж на об’єктах зберігання і переробки деревини 94 KB
  Обстановка на пожежі. Під час пожежі постраждав один робітник 1982 року народження з опіками різного ступеня тяжкості його доставили до лікарні невідкладної допомоги. Газозварювальник нехтуючи елементарними правилами пожежної безпеки не підготував місце проведення робіт не вилучив спалимі матеріали що призвело до виникнення пожежі в цеху. Пожежі було надано підвищеного номеру виклику.
78448. Порядок розрахунку необхідної кількості сил та засобів для організації підвезення води 284 KB
  Способи організації підвезення води. Послідовність та методика розрахунку кількості пожежних автомобілів для підвезення води. Справочник руководителя тушения пожара.
78449. Гасіння пожеж в резервуарних парках зберігання легкозаймистих та горючих рідин 99.5 KB
  Склади нафти i нафтопродуктiв (СНН) - це самостiйнi пiдприємства (або цехи в складі нафтових, промислових, сільськогосподарських, транспортних i енергетичних підприємств), якi призначенi для приймання, зберiгання i реалiзацiї нафти (нафтопродуктiв) з резервуарним парком
78450. Оперативно-тактична характеристика тваринницьких комплексів 56.5 KB
  Тваринницькі комплекси це ряд будинків та споруд що розташовані на окремій території і об`єднані технологічним процесом виробництва тваринницької продукції та системами енергозабезпечення. До складу комплексів крім приміщень для розташування тварин можуть входити ветеринарносанітарні адміністративно-побутові та допоміжні приміщення споруди для зберігання та приготування кормів інженерні мережі транспортні шляхи споруди для утилізації відходів виробництва та ін. Розрізняють такі основні види будівель для розміщення тварин:...
78451. Гасіння пожеж у підвалах будівель 85 KB
  Гасіння пожеж у підвалах будівель. Вимоги безпеки праці під час гасіння пожеж. Цивільні будівлі як правило складаються з підвалів поверхів та горищ розвиток та гасіння пожеж в яких мають свої характерні особливості.
78452. Гасіння пожеж на поверхах і горищах будівель 70 KB
  Особливості розвитку пожеж на поверхах і горищах будівель. Гасіння пожеж на поверхах і горищах будівель. Особливості розвитку пожеж на поверхах і горищах будівель.
78453. Тема: Особливості гасіння пожеж в будівлях підвищеної поверховості П л а н л е к ц і ї: 1. 921.5 KB
  Особливості обстановки при виникненні пожеж у будівлях підвищеної поверховості. Гасіння пожеж у будівлях підвищеної поверховості. На сьогодні в Україні експлуатується 4094 житлових будинків підвищеної поверховості більшість з яких знаходяться в незадовільному протипожежному стані внаслідок чого щорічно в них виникає понад 1000 пожеж.
78454. Диффузные интерстициальные заболевания легких (ДИЗЛ): современная классификация ДИЗЛ: клинико-морфологическая характеристика альвеолитов 155.5 KB
  Диффузные интерстициальные заболевания легких ДИЗЛ общий термин для гетерогенной группы заболеваний различной этиологии обусловленных иммунологическими реакциями различных структур легкого и характеризующихся диффузной воспалительной инфильтрацией и фиброзом мелких бронхов и альвеол. Сосудистые нарушения: артериолит; венозная окклюзия; жировая эмболия; тромбоэболия и идиопатическая легочная гипертензия; Встречаются следующие типы иммунопатологических реакций: Немедленная гиперчувствительность IgE опосредованная деградация...