20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

24 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15623. Бог был для мира не сим одним 109.5 KB
  Бог был для мира не сим одним Бог был для мира не сим одним – не причиною только бытия но сотворил как благий – полезное как премудрый – прекраснейшее как могущественный – величайшее Василий Великий. Беседы на Шестоднев.1 Всё дальнейшее будет попыткой комментария...
15624. Время событий и событие времени 43.5 KB
  Время событий и событие времени На последней странице Онтологии времени значится учебное издание. Я бы даже сказал учебное пособие. Для меня это учебное пособие по истории философии настоящее и одно из лучших и немногих при наличии кучи учебников плохих и хор...
15625. Принцип verum/factum: его богословские предпосылки У Николая Кузанского 99.5 KB
  Принцип verum/factum: его богословские предпосылки У Николая Кузанского Фактичность истины сегодня нечто само собой разумеющееся. О сделанности истины о том что она какимто образом производится речь идёт с тех пор как на заре философии было выяснено что хотя ист
15626. Cogito как практика себя 85 KB
  Cogito как практика себя Более или менее общим местом историкофилософского дискурса является интерпретация учения Декарта как некой поворотной точки punctum cartesianum в истории западной метафизики с которой начинается новый – собственно новоевропейский её период период...
15627. Техники себя и Просвещение 29 KB
  Техники себя и Просвещение Я решил поговорить о техниках себя в связи с Просвещением потому что мне кажется что обсуждение такой темы будет небесполезным для понимания того и что такое техники себя описываемые и разбираемые в Герменевтике субъекта и что такое
15628. Искусство себя в эпоху Просвещения, или Духовные практики и трансцендентальный аргумент 61.5 KB
  Искусство себя в эпоху Просвещения или Духовные практики и трансцендентальный аргумент Выступление моё – скептическое в том смысле что я не столько буду пытаться решать вопросы сколько попробую их поставить. Правильно корректно фундаментально поставленный воп...
15629. Das Prinzip verum factum: seine theologische Prämissen bei Nikolaus von Kues 75.5 KB
  Das Prinzip €œverum/factum€: seine theologische Prämissen bei Nikolaus von Kues Die Tatsaechlichkeit der Wahrheit ist heutzutage etwas das von sich selbst verständlich ist. Dass die Wahrheit gewissermaßen erzeugt wird sagt man seitdem als am Morgen der Philosophie klargestellt war dass obgleich die Wahrheit von sich selbst existiert ihre Stellung doch in der Sprache in dem Urteil von der Wahrheit ist. Das bei uns vom Latein ankommende €œFaktum€ hat vor langer Zeit der ...
15630. Средневековая эстетика 195 KB
  Средневековая эстетика Начиная разговор об эстетике Средневековья следует ещё раз напомнить о том что использование слова эстетика применительно к добаумгартеновским временам некоторый анахронизм поскольку таковой науки занимающейся проблемами искусст
15631. Мера мира и невидимый показ 69 KB
  Мера мира и невидимый показ Насколько не повезло Канту в России настолько повезло Николаю Кузанскому. Если первый олицетворял собой западноевропейскую чертовщину см. классическую работу А.В.Ахутина София и черт. Кант перед лицом русской религиозной метафизики1 т