20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

36 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53463. Оптимизация процедуры Shell_sort, особенности 26.29 KB
  Сортировка Шелла — алгоритм сортировки, являющийся усовершенствованным вариантом сортировки вставками. Идея метода Шелла состоит в сравнении элементов, стоящих не только рядом, но и на определённом расстоянии друг от друга.
53464. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРАКТИВНОЙ ДОСКИ НА УРОКАХ ФИЗИКИ В ФОРМИРОВАНИИ ИКТ КОМПЕТЕНТНОСТИ 30.23 KB
  Использование интерактивной доски один из самых перспективных и востребованных. Также с помощью различных программ учитель может создать компьютерную модель урока с которой затем можно работать с помощью интерактивной доски. Из практики обучения я могу предложить следующие формы работы с интерактивной доской PenBord: Активные презентации.
53465. Разработка конспекта обобщающего урока математики в 4 классе по теме Дроби 91.5 KB
  Познавательная деятельность учащихся через использование мультимедийных технологий. Разумное использование в учебном процессе наглядных средств обучения играет важную роль в развитии наблюдательности внимания речи мышления учащихся. В отличие от обычных технических средств обучения ИКТ позволяют не только насытить обучающегося большим количеством готовых строго отобранных соответствующим образом организованных знаний но и развивать интеллектуальные творческие способности учащихся. задействованы все каналы восприятия учащихся ...
53467. Использование приемов технологии РКМЧП на уроках истории 1012 KB
  На этом этапе не допускается критика ваших сочинений мы просто попытаемся определить что вы уже знаете в конце урока вы сами определите какие ошибки были вами допущены. Обычно в начале урока предлагаю обучающимся выделить из предложенных мной утверждений верные и неверные.
53468. Использование проектной игры на уроках ИЯ 28 KB
  Методы есть совокупность способов и приемов совместной согласованной деятельности учителя и учащихся а также учащихся друг с другом в процессе которой последними достигается определенный уровень владения ИЯ и оказывается существенное развивающее воздействие на личность обучаемого на его способности и готовность пользоваться изучаемым языком как средством социального взаимодействия и взаимопонимания с представителями иной культуры средства познания последней. Учащиеся самно или под руководством учителя занимаются поиском разрешения...
53469. Использование ролевых игр на уроках иностранного языка 33.5 KB
  Иногда ролевая игра носит характер уподобления т. Объектом данного исследования послужила ролевая игра как форма взаимодействия учащихся на уроке иностранного языка. Ролевая игра это речевая игровая и учебная деятельность одновременно. Таким образом можно сформулировать важнейшее для теории ролевой игры положение: ролевая игра возникает в ходе исторического развития общества в результате изменения места ребенка в системе общественных отношений.
53470. Подарок ко Дню 8 Марта 48.5 KB
  И сегодня мы будем с вами делать цветок на 8 Марта. Но цветок будет необычный а с помощью гофрирования. Сейчас мы с вами попробуем с помощью гофрирования сделать вот такой цветок. Один отложим в сторону а на другом будет наш цветок.
53471. Простудные заболевания 37.5 KB
  Познавательные: Сформировать понятия: симптом, патогенные микроорганизмы (вирусы; микробы: бактерии, грибы), респираторный. Воспитательные: Формирование сознательного, ответственного отношения к своему здоровью.