20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

34 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64908. АДМІНІСТРАТИВНІ ПРОЦЕДУРИ ПРОХОДЖЕННЯ СЛУЖБИ В ОРГАНАХ ВНУТРІШНІХ СПРАВ 178 KB
  Становлення правової держави в Україні вимагає реального утвердження принципу верховенства права, зміцнення законності та правопорядку в країні, забезпечення прав і свобод громадян. Вирішення цього завдання, з одного боку, потребує посилення правоохоронної функції держави...
64909. АДМІНІСТРАТИВНО-ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ У СФЕРІ ЖИТЛОВО-КОМУНАЛЬНОГО ГОСПОДАРСТВА УКРАЇНИ В СУЧАСНИХ УМОВАХ 136 KB
  Розбудова правової держави в Україні та формування ринкових відносин потребують удосконалення роботи усіх державних органів в тому числі й тих що діють у сфері житловокомунального господарства ЖКГ. Наразі в Україні здійснюється велика робота щодо створення сучасної системи управління...
64910. Теоретико-методологічні засади адміністративно-територіальної організації України 452.5 KB
  Адміністративно-територіальний устрій безпосередньо впливає на результативність та ефективність державного управління територіальними системами. Зокрема це стосується обґрунтування класифікації адміністративно-територіальних структур за еволюційними формами поділ устрій та організація оскільки демократизація...
64911. СТРАТЕГІЇ ФОРМУВАННЯ ІМІДЖУ ПОЛІТИЧНОГО ЛІДЕРА: РЕГІОНАЛЬНИЙ ВИМІР 139 KB
  Дослідження проблеми формування іміджу політичного лідера регіонального рівня складає одне із найбільш актуальних та важливих завдань сучасної політичної теорії та практики. У сучасних умовах регіональне політичне лідерство стає одним із головних чинників політичного розвитку справжньої демократизації політичних відносин.
64912. МЕТАФОРА І МЕТОНІМІЯ ЯК ЧИННИКИ ТВОРЕННЯ ТА РОЗВИТКУ УКРАЇНСЬКОЇ ТЕХНІЧНОЇ ТЕРМІНОЛОГІЇ 180.5 KB
  Актуальність дослідження зумовлена: 1 відсутністю в українському мовознавстві монографічних досліджень метафори й метонімії як чинників творення та розвитку сучасних українських технічних термінів; 2 потребою виявити та схарактеризувати семантичні процеси в сучасній технічній термінології української мови...
64913. Мікроплазмове напилення з використанням дротових матеріалів 1.85 MB
  Таким чином створення способу МПН з використанням дроту що забезпечує можливість уникнути зазначених недоліків є актуальним і являє собою наступний етап розвитку цієї технології. Технологічний процес розпилення дроту плазмовим струменем з метою отримання сфероідізованих порошків металу почав...
64914. Сухі будівельні суміші та жаро-корозійностійкі мурувальні розчини на їх основі 1.94 MB
  Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити такі задачі: визначити ефективність використання ШЛЦ в розчинах за критеріями стійкості в умовах сумісного впливу високої температури та агресивного сульфатного середовища; визначити оптимальний склад комплексної добавки що забезпечує ефекти...
64915. Організаційно-економічні аспекти формування і управління логістичною системою товароруху підприємств АПК 256.5 KB
  Актуальність розвитку функцій логістичного управління товарорухом АПК багаторазово зросла в умовах переходу до ринкових відносин. Це пов'язано з інтенсифікацією і розширенням товарногрошових відносин з динамічним збільшенням...
64916. Становлення та розвиток сільськогосподарської дослідної справи на Поділлі (кінець ХІХ – початок ХХ ст.) 197.5 KB
  Бурхливий розвиток українських територій поступова трансформація економіки до утвердження капіталістичних відносин в усіх її сферах зміни у внутрішній політиці науці й освіті зокрема аграрній усе це сприяло становленню вітчизняної сільськогосподарської дослідної справи.