20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

27 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82225. Земля на зернятці стоїть 2.5 MB
  Господар: Хліб -– це те що завжди було турботою і радістю людини чому вона віддавала свій труд і талант. Хліб для кожного з нас звичний як сонячне світло чи дихання і таке ж необхідне. Без хліба не можна уявити ні степової далі ні світанку ні рідного дому.
82226. НЕДОСПІВАНА ПІСНЯ ВОЛОДИМИРА ІВАСЮКА 87 KB
  Сцена приміщення у тематичному оформленні: на заднику - портрет Володимира Івасюка, знизу – напис – 62; на античних колонах – квіткові композиції, на передньому плані – мольберт, на якому знаходиться скрипка, біля неї - дві червоні троянди, перев’язані чорною стрічкою, збоку – журнальний столик...
82227. Что гибель нам! Мы даже смерти выше! 44.5 KB
  Нет ей не страшно было разносить листовки и участвовать в поджоге биржи потому что рядом были её друзья а ещё его Любовь: Наши войска были ещё далеко. Всюду слышалась немецкая речь и это ещё сильнее теребило душу. Наверное ещё и потому что героическое в жизни порой выглядело просто буднично.
82229. Калинове свято 122.5 KB
  Підготовка: намалювати малюнки вишити серветки та рушники з калиною знайти і вивчити загадки прислів’я прикмети пов’язані з калиною протягом тижня перед святом на столі тарілка з кетягами калини і діти смакують соковиті ягоди...
82230. Формування правильної постави засобами фізичних вправ 49.5 KB
  Мета уроку: укріпити здоров’я учнів, формувати правильну поставу, сприяти профілактиці плоскостопості; вироблення гарної ходи, вміння правильно сидіти за партою. Тип уроку: вивчення та узагальнення знань. Час:45 хв. Інвентар: гімнастичні килимки, мішечки з піском, магнітофон, музичні диски.
82231. Щоб навчання було цікавим. Нестандартні уроки 69 KB
  Нестандартні уроки більше подобаються учням ніж буденні навчальні заняття. Нестандартний урок –- це прогрес педагогічної думки правильний крок у напрямку демократизації школи. Мойсеюк Нестандартний урок -– це імпровізоване навчальне заняття що має нестандартну структуру.
82232. Тільки пам’ять не сивіє... До річниці Великої Перемоги 213 KB
  Що закарбувалося в нашій пам’яті пам’яті наших батьків дідів і прадідів Революції політ людини в космос Чорнобильська катастрофа Друга світова війна і проголошення незалежності України І радісні і сумні події. Але однією з найбільших трагедій була є і залишається війна.
82233. Вода – основа жизни 55 KB
  Развивать логическое мышление умение делать вводы. Храни природу человек Жизнь в озере и в океане Покой прудов течение рек Глоток воды в своем стакане 3 ведущий В декабре 1922 года Генеральная Ассамблея ООН объявила 22 марта Всемирным днем водных ресурсов.