20733

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия . Как и для движения можно доказать теорему которая делает определение подобия конструктивным: Как и для движений можно показать что и Из этих формул следует что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения . Теорема: множество преобразований подобия на плоскости образуют группу.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

24 чел.

7. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Приложение преобразований к решению задач

Подобием называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в раз: .

При условии это движение.

Гомотетия с коэффициентом  также является частным случаем подобия .

Как и для движения можно доказать теорему, которая делает определение подобия конструктивным:

Как и для движений можно показать, что  и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из этой теоремы сразу следует, что

  1.  прямые переходят в прямые,
  2.  углы между линиями сохраняются,
  3.  все расстояния изменяются в раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия  называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в  раз, где .

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Предварительные соображения (смотри рисунок).

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия .

Построение:

  1.  Строим треугольник, у которого:
    •  основание равно нашему периметру,
    •  углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);  

2. Можно определить новый периметр , исходный периметр и сторона .

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем.

3. Откладываем от точки   и получаем , аналогично от точки  и получаем . Строим углы  и получаем нужный нам треугольник .

Примечание: этот же треугольник можно построить по сторонам , и углу

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41835. ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СХЕМЫ 238.57 KB
  Данная работа посвящена изучению простейших комбинационных логических устройств реализующих логические функции сложения умножения и отрицания. В результате функции отображающие информацию принимают в каждый момент времени только значения 0 или 1. Такие функции называют логическими а сигналы входные и выходные переменные – двоичными бинарными. Рассматривая входные сигналы х1 х2 хп в качестве аргументов можно соответствующие выходные сигналы представлять в виде функции уi = fх0 х1 х2 хп с помощью...
41836. Изучение и анализ конструкций сцеплений транспортных автомобилей 78.68 KB
  Контрольные вопросы дайте классификацию сцеплений назначение устройство и принцип работы фрикционного однодискового гидравлического и электромагнитного сцеплений конструктивные особенности различных видов сцеплений их преимущества и недостатки применяемые материалы для изготовления элементов и узлов сцеплений какие приводы используются для управления сцеплением опишите их устройство и дайте им характеристику опишите устройство и работу центробежного сцепления какие существуют способы передачи крутящего момента от маховика двигателя к...
41837. Разработка комплекта конструкторской документации на кодовый замок 763 KB
  Наиболее интересными для обывателя являются, правда, другие замки, устанавливающиеся прямо в дверное полотно. Они имеют огромный плюс – им не нужна замочная скважина, а значит, сторонний наблюдатель просто не будет знать о его присутствии
41838. Система питания дизельных двигателей 177.92 KB
  Николаева Лабораторная работа № 9 Система питания дизельного двигателя Сделал студент группы 2151 Гуськов К.Е Система питания дизельных двигателей Общая информация При работе дизельного двигателя в его цилиндры всасывается наружный воздух который сжимается до высокого давления. Система подачи воздуха Главными особенностями конструкции впускного воздушного тракта рассматриваемого в настоящем Руководстве дизельного двигателя являются использование в нем турбокомпрессора приводимого во вращение потоком отработавших газов и отсутствие...
41839. Создание отчетов и экранных форм в среде MS Access 171.48 KB
  Вид отчета представлен на Рисунке 1.01 Идентификационный код Фамилия Имя Отчество Телефон Группа фамилий начинающихся на букву А 1545678990 Архипов Сергей Иванович нет Количество в группе 1 Группа фамилий начинающихся на букву Б 2314743296 Бородулин Андрей Васильевич 271412 1955443781 Безродный Владимир Михайлович 323214 2055894321 Бронзов Станислав Иванович 231070 Количество в группе 3 Группа фамилий начинающихся на букву К...
41840. Исследование конструкции системы отопления пассажирского вагона 588.5 KB
  Цель занятия: Исследовать конструкцию основных элементов системы отопления пассажирского вагона. Котел системы отопления. Схемы систем отопления.
41841. Поиск информации в сети Internet 344.59 KB
  В дополнение к этому существует ряд альтернативных средств поиска способных вам пригодиться включая утилиты которые работая совместно с браузером добывают информацию из Web и так называемые экспертные узлы где с вашими запросами работают живые люди. Поисковые машины и каталоги При всем изобилии методов поиска в Internet наиболее распространенными средствами нахождения информации попрежнему остаются поисковые машины и каталоги. Поисковые машины – это комплекс специальных программ для поиска в сети. Хранит ссылки на страницы словарь...
41842. Основные характеристики и испытание интегральных преобразователей кодов (дешифратора, шифратора, демультиплексора и мультиплексора) 457.22 KB
  На одном из m выходов дешифратора появляется логическая 1 а именно на том номер которого соответствует поданному на вход двоичному коду. На всех остальных выходах дешифратора выходные сигналы равны нулю. Условное изображение дешифратора 4х16 читаемого четыре в шестнадцать на схемах дано на рис.
41843. Изучение и анализ конструкций коробок передач транспортных автомобилей 81.94 KB
  Контрольные вопросы дайте классификацию коробкам передач назначение устройство и принцип работы двух и трехвальной механической коробки передач устройство и работа гидромеханической коробки передач конструктивные особенности различных видов коробок передач их преимущества и недостатки применяемые материалы для изготовления элементов и узлов коробок передач назначение устройство и работа синхронизаторов автомобилей ВАЗ и ЗиЛ каким образом предотвращают произвольное выключение передач каким образом предотвращают...