20735

Группа движений. Классификация

Доклад

Математика и математический анализ

Классификация Движение такое преобразование плоскости которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это определение отличается от определений поворота симметрии и переноса тем что не является конструктивным нельзя определить как выполнять движение. Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера и существует движение переводящее так что ориентация сохраняется. Если оба репера ориентированы одинаково то движение не изменяет ориентацию фигур иначе меняет на противоположную.

Русский

2013-07-31

115.5 KB

45 чел.

9 Группа движений. Классификация

Движение - такое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если , то .

Это определение отличается от определений поворота, симметрии и переноса тем, что не является конструктивным (нельзя определить, как выполнять движение).

Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера,  и , существует движение, переводящее  так, что ориентация сохраняется.

Эта теорема делает определение движения конструктивным. Если оба репера ориентированы одинаково, то движение не изменяет ориентацию фигур, иначе меняет на противоположную.

Пусть имеется некоторое движение :и , . Для установления связи между координатами точки  и ее образа точки  в том же репере поступим так: координаты  известны в двух системах координат (- в старой,  и - в новой). Применим формулы перехода от одной с.к. к другой. Выразим координаты в старой системе через координаты в новой системе.

. Если реперы ориентированы одинаково, то , иначе .

Таким образом, получено уравнение движения .

Движения плоскости подразделяются на движения 1 рода (не меняют ориентацию фигуры) и движения 2 рода (изменяют ориентацию на противоположную). Ориентация – обход фигуры в определенном направлении (+ против часовой стрелке, иначе -). С реперами аналогично.

Для классификации движений плоскости будем искать их неподвижные точки.

Теорема Шаля: всякое движение первого рода является либо параллельным переносом, либо поворотом (в частности центральной симметрией), либо тождественное преобразование).

Для неподвижных точек:. Подставим в

, , . Так как  это движение 1 рода, то  и .

Возможны случаи. 1) Если , то система имеет единственное решение (одну неподвижную точку),  (смотри  ). Если поместить начальные координаты в эту точку, то формулы  упростятся, так как должны будут удовлетворять условиям:

. Это будет  уравнение поворота: .
2) . Тогда уравнения :. Это параллельный перенос. Если параллельный перенос осуществлять на вектор , то это тождественное преобразование.

Теорема: всякое движение можно представить как композицию не более трех осевых симметрий.

Если это движение 1-го рода, то, как показано выше, его можно представить в виде не более двух осевых симметрий. Если же это движение второго рода, как то осевая или скользящая симметрия, то, выполнив одну осевую симметрию фигуры, мы изменим ее ориентацию на противоположную, и тогда еще двумя осевыми симметриями выполним движение 1 рода, чтобы перевести данную фигуру в преобразованную.

Множество всех движений плоскости образуют группу (аксиомы группы выполняются). Подгруппой группы всех движений плоскости является движение 1 рода.

Следствием того, что множество всех движений  плоскости образуют группу, является свойство равенства фигур. Две фигуры называются равными, если есть движение, переводящее одну из них в другую. Эти свойства вытекают из того, что среди движений есть тождественные, обратные  и композиционные преобразования.

  1.  Рефлексивность: каждая фигура равна самой себе.
  2.  Симметричность: .
  3.  Транзитивность: .

Применение к решению задач:

Обходчику нужно выйти (из А) на железную дорогу (х) и дойти затем к почте (В) так, чтобы его путь был минимален.

Пунктиром обозначен произвольный путь (если точку х передвигать вдоль прямой). Если точку  осевой симметрией (через ось) перевести в точку, то  будет минимальным. Таким образом точка должна стремиться в  . Путь  - самый короткий.

     Пункты А и В находятся по разные стороны реки. Нужно построить мост через реку так, чтобы суммарное расстояние от пунктов А и В до моста было минимальное.

Пунктиром обозначен произвольный путь (он изменяется при движении точки О вдоль прямой ). АВ – минимальное расстояние между А и В. Стрелками от А и В указан минимальный путь до мостов. Точка О должна стремиться к точке . Путь  к мосту от А и В минимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73976. ВЕЛИКОМОРАВСЬКА ДЕРЖАВА 1.87 MB
  У процесі переселення племен родоплемінні звязки порушувались, і на нових місцях виникали територіальні обєднання, а не родові общини.
73977. НФЧС та визначення шляхів розвитку ЧСР (1945-1948) 224 KB
  При цьому КПЧ мала такий сильний додатковий аргумент як активна підтримка її з боку СРСР який багато зробив для відновлення ЧСР в довоєнних кордонах. Це викликало в керівництві КПЧ побоювання саботажу з його боку та спричиняло дії з реорганізації Міністерства внутрішніх справ держбезпеки та інших. Проте ступінь впливу КПЧ в армії не був однозначним.
73978. Югославія в роки Другої світової війни 117 KB
  У Югославії пожвавилася діяльність різних націоналістичних угруповань: сербського Збору хорватських усташів македонського ВМРО німецького культурбунду та ін. ускладнила становище Югославії що спонукало врештірешт уряд Д. Гітлер віддав командуванню німецької армії наказ підготувати й завдати удару по Югославії. в Белграді був підписаний акт про капітуляцію Югославії.
73979. МУРАВЬЁВА Т.В. МИФЫ СЛАВЯН И НАРОДОВ СЕВЕРА 471.5 KB
  Король желая еще хоть раз увидеть незабвенную супругу послал за паном Твардовским и повелел ему силою своего волшебства вызвать тень покойной королевы. Король простер к ней руки и рванулся из магического крута. Однако чешские короли правившие в IX XIV веках называли себя Пржемысловичами и возводили свой род к легендарному Пржемыслу В XI веке король Вратислав П в зале своего дворца в Вышеграде выставил для всеобщего обозрения лапти Пржемысла. Король Ячменек Правил некогда в Чехии король Святопулк человек жестокий и нечестивый.
73981. Режим «народної демократії» в Польщі (1945-1948) 258.5 KB
  Зі створенням ПОРП у країні фактично розпочався процес формування тоталітарного політичного режиму. Узявши за взірець сталінську модель соціалізму керівництво ПОРП намагалося силовими методами в надзвичайно стислі строки здійснити перебудову польського суспільства.
73982. ПОЛЬСЬКА ДЕРЖАВА В ПЕРІОД ПРАВЛІННЯ ДИНАСТІЇ ЯГЕЛЛОНІВ (КІНЕЦЬ ХIV-ХVІ ст.) 519 KB
  Політичний розвиток Польщі наприкінці XIV в першій половині XV ст. Боротьба з німецькою експансією Формування становопредставницької монархії Соціальноекономічний розвиток Польщі Польськолитовські відносини. Польська культура ПОЛІТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПОЛЬЩІ НАПРИКІНЦІ XIV В ПЕРШІЙ ПОЛОВИНІ ХV СТ. З метою зміцнення позицій нової королівської династії у Великій Польщі Ельжбета здійснила ряд нововведень: заснувала спеціальні суди які розглядали справи щодо повернення шляхті конфіскованих у неї маєтків; надала привілеї деяким...
73983. Національно-визвольний рух у польських землях наприкінці ХVІІІ–в 60-х роках ХІХст 222 KB
  Відсутність власної держави відчули на собі всі верстви польського суспільства. Шляхту було позбавлено громадянських і політичних прав, якими вона користувалася протягом кількох століть, зокрема можливості брати участь у законотворчості і встановленні розміру податків
73984. Річ Посполита XVII - наприкінці XVIII століттях 247 KB
  Нову династію в Речі Посполитій започаткували вибори на польський престол у 1587 р., на яких обрали фактично двох королів. Примас (глава католицької церкви) Станіслав Карнковський проголосив королем шведського принца Сигіз-мунда. РІЧ ПОСПОЛИТА В XVII - НАПРИКІНЦІ XVIII століттях