20735

Группа движений. Классификация

Доклад

Математика и математический анализ

Классификация Движение такое преобразование плоскости которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это определение отличается от определений поворота симметрии и переноса тем что не является конструктивным нельзя определить как выполнять движение. Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера и существует движение переводящее так что ориентация сохраняется. Если оба репера ориентированы одинаково то движение не изменяет ориентацию фигур иначе меняет на противоположную.

Русский

2013-07-31

115.5 KB

56 чел.

9 Группа движений. Классификация

Движение - такое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если , то .

Это определение отличается от определений поворота, симметрии и переноса тем, что не является конструктивным (нельзя определить, как выполнять движение).

Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера,  и , существует движение, переводящее  так, что ориентация сохраняется.

Эта теорема делает определение движения конструктивным. Если оба репера ориентированы одинаково, то движение не изменяет ориентацию фигур, иначе меняет на противоположную.

Пусть имеется некоторое движение :и , . Для установления связи между координатами точки  и ее образа точки  в том же репере поступим так: координаты  известны в двух системах координат (- в старой,  и - в новой). Применим формулы перехода от одной с.к. к другой. Выразим координаты в старой системе через координаты в новой системе.

. Если реперы ориентированы одинаково, то , иначе .

Таким образом, получено уравнение движения .

Движения плоскости подразделяются на движения 1 рода (не меняют ориентацию фигуры) и движения 2 рода (изменяют ориентацию на противоположную). Ориентация – обход фигуры в определенном направлении (+ против часовой стрелке, иначе -). С реперами аналогично.

Для классификации движений плоскости будем искать их неподвижные точки.

Теорема Шаля: всякое движение первого рода является либо параллельным переносом, либо поворотом (в частности центральной симметрией), либо тождественное преобразование).

Для неподвижных точек:. Подставим в

, , . Так как  это движение 1 рода, то  и .

Возможны случаи. 1) Если , то система имеет единственное решение (одну неподвижную точку),  (смотри  ). Если поместить начальные координаты в эту точку, то формулы  упростятся, так как должны будут удовлетворять условиям:

. Это будет  уравнение поворота: .
2) . Тогда уравнения :. Это параллельный перенос. Если параллельный перенос осуществлять на вектор , то это тождественное преобразование.

Теорема: всякое движение можно представить как композицию не более трех осевых симметрий.

Если это движение 1-го рода, то, как показано выше, его можно представить в виде не более двух осевых симметрий. Если же это движение второго рода, как то осевая или скользящая симметрия, то, выполнив одну осевую симметрию фигуры, мы изменим ее ориентацию на противоположную, и тогда еще двумя осевыми симметриями выполним движение 1 рода, чтобы перевести данную фигуру в преобразованную.

Множество всех движений плоскости образуют группу (аксиомы группы выполняются). Подгруппой группы всех движений плоскости является движение 1 рода.

Следствием того, что множество всех движений  плоскости образуют группу, является свойство равенства фигур. Две фигуры называются равными, если есть движение, переводящее одну из них в другую. Эти свойства вытекают из того, что среди движений есть тождественные, обратные  и композиционные преобразования.

  1.  Рефлексивность: каждая фигура равна самой себе.
  2.  Симметричность: .
  3.  Транзитивность: .

Применение к решению задач:

Обходчику нужно выйти (из А) на железную дорогу (х) и дойти затем к почте (В) так, чтобы его путь был минимален.

Пунктиром обозначен произвольный путь (если точку х передвигать вдоль прямой). Если точку  осевой симметрией (через ось) перевести в точку, то  будет минимальным. Таким образом точка должна стремиться в  . Путь  - самый короткий.

     Пункты А и В находятся по разные стороны реки. Нужно построить мост через реку так, чтобы суммарное расстояние от пунктов А и В до моста было минимальное.

Пунктиром обозначен произвольный путь (он изменяется при движении точки О вдоль прямой ). АВ – минимальное расстояние между А и В. Стрелками от А и В указан минимальный путь до мостов. Точка О должна стремиться к точке . Путь  к мосту от А и В минимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

86264. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КУРСА ЕВРО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЙРОСЕТИ 227 KB
  Искусственный интеллект - это раздел информатики посвященный моделированию интеллектуальной деятельности человека. Нейронные сети дают дополнительные возможности в моделировании нелинейных явлений и распознавании их хаотического поведения.
86265. Физико-географические и климатические особенности трассы «Берлин-Воронеж» 1.51 MB
  В курсовой работе требуется оценить имеющий важное значение для обеспечения безопасности и повышения экономичности полетов многолетний режим температуры на высотах над заданными участками воздушной трассы и возможные пределы изменения практического потолка и предельно допустимой высоты полета...
86266. Оценка влияния температурного режима на предельно допустимую высоту и максимально допустимую скорость полёта по маршруту Воронеж - Пермь 632.5 KB
  В курсовой работе требуется оценить значимость многолетнего режима температуры на высотах над участками воздушной трассы, указанной в индивидуальном задании на курсовую работу, для обеспечения безопасности и повышения экономичности полетов, рассчитать возможные пределы изменения практического потолка...
86267. ПУТИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ БЕЗРАБОТИЦЫ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ 176.5 KB
  Проблема безработицы тревожит умы людей с давних времен, и ныне является крайне острой. Как бы не было сложно осознавать, но каждого, прямо или косвенно, касалась эта поистине глобальная проблема. Не думаю, что найдется человек с положительными воспоминаниями о сеем факте.
86268. Расчёт трёхфазного силового масляного двухобмоточного трансформатора 7.69 MB
  Трансформаторы малой мощности различного назначения используются в устройствах радиотехники, автоматики, сигнализации, связи и тому подобное, а также для питания бытовых электроприборов. Назначение силовых трансформаторов – преобразование электрической энергии в электрических сетях...
86269. Проектирование организации ремонтных работ в ремонтно механических мастерских ГГЭ№30 1.21 MB
  Рост технического уровня горных и буровых машин предъявляет повышение требования к их ремонту, диктует необходимость получения высоких точностей и классов чистоты восстанавливаемых поверхностей, применение новых технологических процессов и материалов, в том числе синтетических, основание защитных покрытий. Усложнение конструкции геологоразведочного оборудования, широкое использование гидравлики ставит перед ремонтными предприятиями более сложные технические задачи.
86270. Привод конвейера: «Цилиндрический одноступенчатый прямозубый редуктор с плоскоременной передачей и цепной муфтой» 883 KB
  Определяем асинхронную частоту вращения вала электродвигателя: где коэффициент скольжения; Уточняем общее передаточное число привода: Разбиваем общее передаточное число по ступеням привода: где: передаточное число зубчатой передачи передаточное число ременной передачи...
86271. Синтез цифрового устройства управления (ЦУУ) в базисах мультиплексоров 2.96 MB
  Произвести синтез цифрового устройства управления (ЦУУ) в базисах мультиплексоров, логических элементов Шеффера и Пирса в соответствии с заданным вариантом логической функции и управляющих переменных. На основе двух- и трехвходовых логических элементов Пирса.
86272. Сайт – портфолио 547.94 KB
  Сайт начинается с цели. В данном случае цель прорекламировать себя и создать портфолио для своих работ. Зная свою цель, мы можем определить, что нам нужно – маленький сайт-портфолио. Сайт-портфолио — небольшой сайт, как правило, состоящий из нескольких веб-страниц, и содержащий основную информацию об компании...