20735

Группа движений. Классификация

Доклад

Математика и математический анализ

Классификация Движение такое преобразование плоскости которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это определение отличается от определений поворота симметрии и переноса тем что не является конструктивным нельзя определить как выполнять движение. Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера и существует движение переводящее так что ориентация сохраняется. Если оба репера ориентированы одинаково то движение не изменяет ориентацию фигур иначе меняет на противоположную.

Русский

2013-07-31

115.5 KB

40 чел.

9 Группа движений. Классификация

Движение - такое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если , то .

Это определение отличается от определений поворота, симметрии и переноса тем, что не является конструктивным (нельзя определить, как выполнять движение).

Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера,  и , существует движение, переводящее  так, что ориентация сохраняется.

Эта теорема делает определение движения конструктивным. Если оба репера ориентированы одинаково, то движение не изменяет ориентацию фигур, иначе меняет на противоположную.

Пусть имеется некоторое движение :и , . Для установления связи между координатами точки  и ее образа точки  в том же репере поступим так: координаты  известны в двух системах координат (- в старой,  и - в новой). Применим формулы перехода от одной с.к. к другой. Выразим координаты в старой системе через координаты в новой системе.

. Если реперы ориентированы одинаково, то , иначе .

Таким образом, получено уравнение движения .

Движения плоскости подразделяются на движения 1 рода (не меняют ориентацию фигуры) и движения 2 рода (изменяют ориентацию на противоположную). Ориентация – обход фигуры в определенном направлении (+ против часовой стрелке, иначе -). С реперами аналогично.

Для классификации движений плоскости будем искать их неподвижные точки.

Теорема Шаля: всякое движение первого рода является либо параллельным переносом, либо поворотом (в частности центральной симметрией), либо тождественное преобразование).

Для неподвижных точек:. Подставим в

, , . Так как  это движение 1 рода, то  и .

Возможны случаи. 1) Если , то система имеет единственное решение (одну неподвижную точку),  (смотри  ). Если поместить начальные координаты в эту точку, то формулы  упростятся, так как должны будут удовлетворять условиям:

. Это будет  уравнение поворота: .
2) . Тогда уравнения :. Это параллельный перенос. Если параллельный перенос осуществлять на вектор , то это тождественное преобразование.

Теорема: всякое движение можно представить как композицию не более трех осевых симметрий.

Если это движение 1-го рода, то, как показано выше, его можно представить в виде не более двух осевых симметрий. Если же это движение второго рода, как то осевая или скользящая симметрия, то, выполнив одну осевую симметрию фигуры, мы изменим ее ориентацию на противоположную, и тогда еще двумя осевыми симметриями выполним движение 1 рода, чтобы перевести данную фигуру в преобразованную.

Множество всех движений плоскости образуют группу (аксиомы группы выполняются). Подгруппой группы всех движений плоскости является движение 1 рода.

Следствием того, что множество всех движений  плоскости образуют группу, является свойство равенства фигур. Две фигуры называются равными, если есть движение, переводящее одну из них в другую. Эти свойства вытекают из того, что среди движений есть тождественные, обратные  и композиционные преобразования.

  1.  Рефлексивность: каждая фигура равна самой себе.
  2.  Симметричность: .
  3.  Транзитивность: .

Применение к решению задач:

Обходчику нужно выйти (из А) на железную дорогу (х) и дойти затем к почте (В) так, чтобы его путь был минимален.

Пунктиром обозначен произвольный путь (если точку х передвигать вдоль прямой). Если точку  осевой симметрией (через ось) перевести в точку, то  будет минимальным. Таким образом точка должна стремиться в  . Путь  - самый короткий.

     Пункты А и В находятся по разные стороны реки. Нужно построить мост через реку так, чтобы суммарное расстояние от пунктов А и В до моста было минимальное.

Пунктиром обозначен произвольный путь (он изменяется при движении точки О вдоль прямой ). АВ – минимальное расстояние между А и В. Стрелками от А и В указан минимальный путь до мостов. Точка О должна стремиться к точке . Путь  к мосту от А и В минимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47798. Основи екології. Курс лекцій 688.5 KB
  Науковотехнічний прогрес швидкість якого на декілька порядків перевищує швидкість адаптування організмів до змінених людиною умов існування породжує нові джерела збурення тиску на біосферу її забруднення знищення природних ресурсів катастрофічне зменшення біорозманіття. Трансграничні забруднення та локальні поліпшення стану довкілля за рахунок руйнування екосистем інших регіонів лише призведуть до подальшої деградації глобальної екосистеми та посилення небезпеки для всієї планети. Екологи України зробили вагомий внесок у розробку...
47800. Учёт и анализ расчётов с персоналом по оплате труда 421.5 KB
  Заработная плата представляет собой выраженную в денежной форме часть общественного продукта, которая выплачивается наёмному работнику исходя из количества и качества выполненного им труда, и максимальным пределом не ограничивается.
47801. Проект редуктора привода ленточного транспортера для перемещения багажа в аэропорту 1.15 MB
  Материалы для шестерни и зубчатого колеса выбираем по таблице «Механические характеристики сталей» При этом твердость поверхности НВ1 для материала шестерни устанавливаем на 20/25 единиц выше твердости поверхности НВ2.
47802. КУЛЬТУРОЛОГІЯ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 2.5 MB
  Особистість у світі культури. Феномен української культури. Тенденції розвитку сучасної української культури. В загальній спрямованості сучасного гуманітарного знання до ствердження пріоритету індивідуальноособистісних сенсожиттєвих орієнтацій проблема всебічного осмислення культури постає однією з найактуальніших і безпосередньо пов’язується з виявленням найглибших світоглядних засад людського буття.
47803. Мікроекономіка. Навчальний посібник 2.26 MB
  Значна увага приділяється теорії виробництва та механізму вибору його обсягів які максимізують прибуток виробника в умовах різних моделей ринку. При аналізі теорії виробництва особлива увага приділяється формуванню затрат і залежності динаміки продукту від динаміки затрат факторів виробництва. Проаналізовано також закономірності формування витрат виробництва в короткотерміновому та довготерміновому періодах. Чотири теми що їх включає в себе цей розділ присвячені відповідно прийняттю фірмою рішення про ціни та обсяги виробництва в умовах...
47804. Вікова фізіологія. Опорний конспект лекцій 10.52 MB
  Навпаки в наркоманів та алкоголіків біологічний годинник набагато випереджає хронологічний: зовні вони виглядають на 10 років старшими за свій вік мають мляву мускулатуру опущені плечі ледве пересуваються; пам’ять та інші розумові процеси сповільнені емоції знебарвлені. На відміну від паспортного віку де міжвіковий інтервал дорівнює одному рокові біологічний або анатомофізіологічний вік обіймає ряд років життя людини протягом яких відбуваються певні біологічні зміни. Формування людського організму продовжується після...
47806. Українська мова. Тексти лекцій 2.87 MB
  У них систематизовано наукові знання про мову професійного спілкування; норми літературної мови; стилістичну систему сучасної української літературної мови; види типи і форми фахового спілкування; види публічного мовлення як важливого способу комунікації; вимоги до складання текстів документів; науковий стиль і його засоби у професійній діяльності; проблеми перекладу й редагування наукових текстів тощо. ЗАКОНОДАВЧІ ТА НОРМАТИВНОСТИЛЬОВІ ОСНОВИ ПРОФЕСІЙНОГО СПІЛКУВАННЯ Лекція 1. Державна мова – мова професійного спілкування План Мета...