20735

Группа движений. Классификация

Доклад

Математика и математический анализ

Классификация Движение такое преобразование плоскости которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это определение отличается от определений поворота симметрии и переноса тем что не является конструктивным нельзя определить как выполнять движение. Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера и существует движение переводящее так что ориентация сохраняется. Если оба репера ориентированы одинаково то движение не изменяет ориентацию фигур иначе меняет на противоположную.

Русский

2013-07-31

115.5 KB

44 чел.

9 Группа движений. Классификация

Движение - такое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если , то .

Это определение отличается от определений поворота, симметрии и переноса тем, что не является конструктивным (нельзя определить, как выполнять движение).

Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера,  и , существует движение, переводящее  так, что ориентация сохраняется.

Эта теорема делает определение движения конструктивным. Если оба репера ориентированы одинаково, то движение не изменяет ориентацию фигур, иначе меняет на противоположную.

Пусть имеется некоторое движение :и , . Для установления связи между координатами точки  и ее образа точки  в том же репере поступим так: координаты  известны в двух системах координат (- в старой,  и - в новой). Применим формулы перехода от одной с.к. к другой. Выразим координаты в старой системе через координаты в новой системе.

. Если реперы ориентированы одинаково, то , иначе .

Таким образом, получено уравнение движения .

Движения плоскости подразделяются на движения 1 рода (не меняют ориентацию фигуры) и движения 2 рода (изменяют ориентацию на противоположную). Ориентация – обход фигуры в определенном направлении (+ против часовой стрелке, иначе -). С реперами аналогично.

Для классификации движений плоскости будем искать их неподвижные точки.

Теорема Шаля: всякое движение первого рода является либо параллельным переносом, либо поворотом (в частности центральной симметрией), либо тождественное преобразование).

Для неподвижных точек:. Подставим в

, , . Так как  это движение 1 рода, то  и .

Возможны случаи. 1) Если , то система имеет единственное решение (одну неподвижную точку),  (смотри  ). Если поместить начальные координаты в эту точку, то формулы  упростятся, так как должны будут удовлетворять условиям:

. Это будет  уравнение поворота: .
2) . Тогда уравнения :. Это параллельный перенос. Если параллельный перенос осуществлять на вектор , то это тождественное преобразование.

Теорема: всякое движение можно представить как композицию не более трех осевых симметрий.

Если это движение 1-го рода, то, как показано выше, его можно представить в виде не более двух осевых симметрий. Если же это движение второго рода, как то осевая или скользящая симметрия, то, выполнив одну осевую симметрию фигуры, мы изменим ее ориентацию на противоположную, и тогда еще двумя осевыми симметриями выполним движение 1 рода, чтобы перевести данную фигуру в преобразованную.

Множество всех движений плоскости образуют группу (аксиомы группы выполняются). Подгруппой группы всех движений плоскости является движение 1 рода.

Следствием того, что множество всех движений  плоскости образуют группу, является свойство равенства фигур. Две фигуры называются равными, если есть движение, переводящее одну из них в другую. Эти свойства вытекают из того, что среди движений есть тождественные, обратные  и композиционные преобразования.

  1.  Рефлексивность: каждая фигура равна самой себе.
  2.  Симметричность: .
  3.  Транзитивность: .

Применение к решению задач:

Обходчику нужно выйти (из А) на железную дорогу (х) и дойти затем к почте (В) так, чтобы его путь был минимален.

Пунктиром обозначен произвольный путь (если точку х передвигать вдоль прямой). Если точку  осевой симметрией (через ось) перевести в точку, то  будет минимальным. Таким образом точка должна стремиться в  . Путь  - самый короткий.

     Пункты А и В находятся по разные стороны реки. Нужно построить мост через реку так, чтобы суммарное расстояние от пунктов А и В до моста было минимальное.

Пунктиром обозначен произвольный путь (он изменяется при движении точки О вдоль прямой ). АВ – минимальное расстояние между А и В. Стрелками от А и В указан минимальный путь до мостов. Точка О должна стремиться к точке . Путь  к мосту от А и В минимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30507. Процессы и потоки. Объекты межпроцессорной синхронизации. Понятие гонок и взаимной блокировки 24.85 KB
  Несколько потоков выполнения могут существовать в рамках одного и того же процесса и совместно использовать ресурсы такие как память тогда как процессы не разделяют этих ресурсов. dedlock ситуация в многозадачной среде или СУБД при которой несколько процессов находятся в состоянии бесконечного ожидания ресурсов занятых самими этими процессами. Процессы в текущий момент удерживают полученные ранее ресурсы могут делать запросы на получение новых ресурсов. Условие отсутствия принудительного освобождения ресурсов англ.
30508. Сравнение компонентно-объектной модели, среды .NET и Java. Их преимущества и недостатки 25.5 KB
  Идеология .NET заключается в максимально полном использовании ресурсов платформы, на которой работает среда выполнения .NET. В результате возможности Java ограничены усредненным набором функций API виртуальной машины, и программистам на Java недоступны все функции той или иной платформы, на которой выполняются приложения
30510. Определение иерархической и реляционной модели, их достоинства и недостатки. Основные операции реляционной алгебры. Общий процесс преобразования ER-диаграммы в реляционную схему 87.94 KB
  Пример табличной формы представления отношения Номер зачетной книжки Дисциплина Оценка C12298 Программирование 5 C1229891 Дискретная математика 4 C14407 Программирование 3 . Элементы отношения называют кортежами или записями. Каждый кортеж отношения соответствует одному экземпляру сущности определённого типа. Операции реляционной алгебры ВЫБОРКАНа входе используется одно отношение результат новое отношение построенное по той же схеме содержащее подмножество кортежей исходного отношения удовлетворяющих условию выборки.
30511. Структурированный язык запросов SQL. История создания языка SQL. Подмножество SQL - Data Definition Language (DDL). Модификация схем базы данных . Стандартные типы данных. Вычисляемые столбцы. Подмножество SQL - Data Query Language (DQL) 65.5 KB
  Модификация схем базы данных . Стандартные типы данных. Доска то что выделено курсивом устно Язык SQL имеет два основных компонента: язык DDL Dt Definition Lnguge предназначенный для определения структур базы данных; язык DML Dt Mnipultion Lnguge предназначенный для выборки и обновления данных. Для определения данных символьного типа используется следующий формат: CHRCTER [VRYING] [length] Битовые данные тип bit Битовый тип данных используется для определения битовых строк т.
30512. Синтаксис оператора SELECT. Обзор его подразделов (списка выборки, секций FROM, WHERE, GROUP BY, HAVING, OREDER BY).. Способы упорядочивания итогового набора в секции OREDER BY 23.79 KB
  SELECT селект оператор DML языка SQL возвращающий набор данных выборку из базы данных удовлетворяющих заданному условию. При формировании запроса SELECT пользователь описывает ожидаемый набор данных: его вид набор столбцов и его содержимое критерий попадания записи в набор группировка значений порядок вывода записей и т. Синтаксис оператора SELECT SELECT column_list FROM tble_nme [WHERE условие] [GROUP BY условие] [HVING условие] [ORDER BY условие] SELECT Ключевое слово которое сообщает базе данных о том что оператор является...
30513. Разделение ресурса 68.3 KB
  Способы решения проблемы гонок: Локальная копия Синхронизация Метод блокирующей переменной Метод строгого чередования Алгоритм Деккера Алгоритм Петерсона Комбинированный способ Локальная копия Самый простой способ решения копирование переменной x в локальную переменную. В общем виде алгоритм выглядит следующим образом: Поток: while stop { synchronizedSomeObject { {criticl_section} } } Метод блокирующей переменной Суть метода состоит в том что если значение этой переменной равно например 1 то ресурс занят другим...
30515. Средства синхронизации потоков в ОС Windows. Функции и объекты ожидания. Критические секции 25.71 KB
  При создании многопоточных приложений необходимо контролировать взаимодействие отдельных потоков. Большинство ошибок при работе с потоками возникает из-за того, что во время работы приложения различные потоки пытаются обратиться к одним и тем же данным. Для предотвращения подобной ситуации в ОС Windows (как впрочем и в других операционных системах) существуют средства синхронизации, которые позволяют контролировать доступ к разделяемым ресурсам.