20735

Группа движений. Классификация

Доклад

Математика и математический анализ

Классификация Движение такое преобразование плоскости которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это определение отличается от определений поворота симметрии и переноса тем что не является конструктивным нельзя определить как выполнять движение. Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера и существует движение переводящее так что ориентация сохраняется. Если оба репера ориентированы одинаково то движение не изменяет ориентацию фигур иначе меняет на противоположную.

Русский

2013-07-31

115.5 KB

55 чел.

9 Группа движений. Классификация

Движение - такое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если , то .

Это определение отличается от определений поворота, симметрии и переноса тем, что не является конструктивным (нельзя определить, как выполнять движение).

Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера,  и , существует движение, переводящее  так, что ориентация сохраняется.

Эта теорема делает определение движения конструктивным. Если оба репера ориентированы одинаково, то движение не изменяет ориентацию фигур, иначе меняет на противоположную.

Пусть имеется некоторое движение :и , . Для установления связи между координатами точки  и ее образа точки  в том же репере поступим так: координаты  известны в двух системах координат (- в старой,  и - в новой). Применим формулы перехода от одной с.к. к другой. Выразим координаты в старой системе через координаты в новой системе.

. Если реперы ориентированы одинаково, то , иначе .

Таким образом, получено уравнение движения .

Движения плоскости подразделяются на движения 1 рода (не меняют ориентацию фигуры) и движения 2 рода (изменяют ориентацию на противоположную). Ориентация – обход фигуры в определенном направлении (+ против часовой стрелке, иначе -). С реперами аналогично.

Для классификации движений плоскости будем искать их неподвижные точки.

Теорема Шаля: всякое движение первого рода является либо параллельным переносом, либо поворотом (в частности центральной симметрией), либо тождественное преобразование).

Для неподвижных точек:. Подставим в

, , . Так как  это движение 1 рода, то  и .

Возможны случаи. 1) Если , то система имеет единственное решение (одну неподвижную точку),  (смотри  ). Если поместить начальные координаты в эту точку, то формулы  упростятся, так как должны будут удовлетворять условиям:

. Это будет  уравнение поворота: .
2) . Тогда уравнения :. Это параллельный перенос. Если параллельный перенос осуществлять на вектор , то это тождественное преобразование.

Теорема: всякое движение можно представить как композицию не более трех осевых симметрий.

Если это движение 1-го рода, то, как показано выше, его можно представить в виде не более двух осевых симметрий. Если же это движение второго рода, как то осевая или скользящая симметрия, то, выполнив одну осевую симметрию фигуры, мы изменим ее ориентацию на противоположную, и тогда еще двумя осевыми симметриями выполним движение 1 рода, чтобы перевести данную фигуру в преобразованную.

Множество всех движений плоскости образуют группу (аксиомы группы выполняются). Подгруппой группы всех движений плоскости является движение 1 рода.

Следствием того, что множество всех движений  плоскости образуют группу, является свойство равенства фигур. Две фигуры называются равными, если есть движение, переводящее одну из них в другую. Эти свойства вытекают из того, что среди движений есть тождественные, обратные  и композиционные преобразования.

  1.  Рефлексивность: каждая фигура равна самой себе.
  2.  Симметричность: .
  3.  Транзитивность: .

Применение к решению задач:

Обходчику нужно выйти (из А) на железную дорогу (х) и дойти затем к почте (В) так, чтобы его путь был минимален.

Пунктиром обозначен произвольный путь (если точку х передвигать вдоль прямой). Если точку  осевой симметрией (через ось) перевести в точку, то  будет минимальным. Таким образом точка должна стремиться в  . Путь  - самый короткий.

     Пункты А и В находятся по разные стороны реки. Нужно построить мост через реку так, чтобы суммарное расстояние от пунктов А и В до моста было минимальное.

Пунктиром обозначен произвольный путь (он изменяется при движении точки О вдоль прямой ). АВ – минимальное расстояние между А и В. Стрелками от А и В указан минимальный путь до мостов. Точка О должна стремиться к точке . Путь  к мосту от А и В минимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37700. Критерій Стьюдента 74.92 KB
  Щільність розподілу Графік щільності розподілу Стьюдента за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно повільніше спадають до осі t якщо особливо за малих значень n Складено таблиці розподілу Стюдента здебільшого виду для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кількість ступенів волі більша то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією. Щільність цього розподілу подається формулою: Щільність розподілу Фішера має графік зображений на Для розподілу Фішера...
37701. Ознайомлення з середовищем програмування. Структура програми. Програмування лінійних та розгалужених алгоритмів 1.24 MB
  Тема: ознайомлення з середовищем програмування. Структура програми. Програмування лінійних та розгалужених алгоритмів. Мета: навчитись програмувати лінійні та розгалужені алгоритми мовою програмування С.
37702. Моделювання і розробка ІС 691 KB
  У рамках Rtionl Rose використовуються наступні графічні діаграми UML: Діаграма варіантів використання дозволяє здійснити аналіз функцій системи. Діаграма класів дозволяє описати структуру інформаційних обєктів ІС. Діаграма станів дозволяє відобразити зміни станів окремого об'єкта чи субєкта ІС представляючи його у вигляді спеціального орієнтованого графа. Діаграма діяльності використовуються для опису інформаційних процесів; Діаграма послідовності служить для моделювання характеристик взаємодії передачі і прийому...
37703. Побудова локальної комп’ютерної мережі 1.95 MB
  2 Завдання: Навчитись встановлювати драйвери мережних адаптерів в середовищі операційних систем Windows 2000 XP; дослідити схеми підключення мережних пристроїв в локальній компютерній мережі топології âзіркаâ та âієрархічна зіркаâ; навчитись налаштовувати адресацію компютерів в локальній компютерній мережі; дослідити способи перевірки працездатності компютерної мережі за допомогою діагностичних утиліт. ІРАДРЕС МАСКУ ПОДСЕТИ ШЛЮЗ...
37705. Оцінка розміру та вартості проекту за моделлю COCOMO 64.5 KB
  Тема: Оцінка розміру та вартості проекту за моделлю COCOMO Мета: набуття навиків у прогнозуванні характеристик проектів ПЗ з використанням конструктивної моделі вартості CОnstructive CОst MОdel. Короткі теоретичні відомості COCOMO це множина моделей яка дозволяє обчислити вартість проекту ПЗ на основі одиниці виміру кількість рядків коду LOC. COCOMO включає наступні моделі: базова COCOMO застосовується у фазі специфікування вимог; проміжна COCOMO застосовується у фазах розробки множин вхідних умов проекту наприклад ...
37706. Введение в экономическую теорию. Основные проблемы экономики: структура экономики, эффективность и благосостояние 123.5 KB
  Экономическая теория - одна из наук об обществе. Термин экономия впервые предложен древнегреческим мыслителем Ксенофонтом. Встречается он и работах Аристотеля (IV в. до н. э.), которого иногда называют \"отцом\" экономической науки.
37707. Однофакторний аналіз 34.27 KB
  Найбільш прості розрахунки виходять при рівній кількості дослідів на кожному рівні фактора А табл. Таблиця 1 Вихідні дані для однофакторного дисперсійного аналізу з рівним числом паралельних дослідів Рівні фактора Номер досліду 1 2 . Суму квадратів всіх дослідів ; 2 3. Суму квадратів сум по стовпцях поділену на число дослідів в стовпцю ; 3 4.
37708. Глобальна культура сучасного світу 197.5 KB
  Одне за другим виникали поняття індустріального, постіндустріального, інформаційного суспільств, що с доказом прискореного загального розвитку, і водночас песимістичні прогнози щодо глобальних викликів: екологічного