20735

Группа движений. Классификация

Доклад

Математика и математический анализ

Классификация Движение такое преобразование плоскости которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это определение отличается от определений поворота симметрии и переноса тем что не является конструктивным нельзя определить как выполнять движение. Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера и существует движение переводящее так что ориентация сохраняется. Если оба репера ориентированы одинаково то движение не изменяет ориентацию фигур иначе меняет на противоположную.

Русский

2013-07-31

115.5 KB

45 чел.

9 Группа движений. Классификация

Движение - такое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если , то .

Это определение отличается от определений поворота, симметрии и переноса тем, что не является конструктивным (нельзя определить, как выполнять движение).

Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера,  и , существует движение, переводящее  так, что ориентация сохраняется.

Эта теорема делает определение движения конструктивным. Если оба репера ориентированы одинаково, то движение не изменяет ориентацию фигур, иначе меняет на противоположную.

Пусть имеется некоторое движение :и , . Для установления связи между координатами точки  и ее образа точки  в том же репере поступим так: координаты  известны в двух системах координат (- в старой,  и - в новой). Применим формулы перехода от одной с.к. к другой. Выразим координаты в старой системе через координаты в новой системе.

. Если реперы ориентированы одинаково, то , иначе .

Таким образом, получено уравнение движения .

Движения плоскости подразделяются на движения 1 рода (не меняют ориентацию фигуры) и движения 2 рода (изменяют ориентацию на противоположную). Ориентация – обход фигуры в определенном направлении (+ против часовой стрелке, иначе -). С реперами аналогично.

Для классификации движений плоскости будем искать их неподвижные точки.

Теорема Шаля: всякое движение первого рода является либо параллельным переносом, либо поворотом (в частности центральной симметрией), либо тождественное преобразование).

Для неподвижных точек:. Подставим в

, , . Так как  это движение 1 рода, то  и .

Возможны случаи. 1) Если , то система имеет единственное решение (одну неподвижную точку),  (смотри  ). Если поместить начальные координаты в эту точку, то формулы  упростятся, так как должны будут удовлетворять условиям:

. Это будет  уравнение поворота: .
2) . Тогда уравнения :. Это параллельный перенос. Если параллельный перенос осуществлять на вектор , то это тождественное преобразование.

Теорема: всякое движение можно представить как композицию не более трех осевых симметрий.

Если это движение 1-го рода, то, как показано выше, его можно представить в виде не более двух осевых симметрий. Если же это движение второго рода, как то осевая или скользящая симметрия, то, выполнив одну осевую симметрию фигуры, мы изменим ее ориентацию на противоположную, и тогда еще двумя осевыми симметриями выполним движение 1 рода, чтобы перевести данную фигуру в преобразованную.

Множество всех движений плоскости образуют группу (аксиомы группы выполняются). Подгруппой группы всех движений плоскости является движение 1 рода.

Следствием того, что множество всех движений  плоскости образуют группу, является свойство равенства фигур. Две фигуры называются равными, если есть движение, переводящее одну из них в другую. Эти свойства вытекают из того, что среди движений есть тождественные, обратные  и композиционные преобразования.

  1.  Рефлексивность: каждая фигура равна самой себе.
  2.  Симметричность: .
  3.  Транзитивность: .

Применение к решению задач:

Обходчику нужно выйти (из А) на железную дорогу (х) и дойти затем к почте (В) так, чтобы его путь был минимален.

Пунктиром обозначен произвольный путь (если точку х передвигать вдоль прямой). Если точку  осевой симметрией (через ось) перевести в точку, то  будет минимальным. Таким образом точка должна стремиться в  . Путь  - самый короткий.

     Пункты А и В находятся по разные стороны реки. Нужно построить мост через реку так, чтобы суммарное расстояние от пунктов А и В до моста было минимальное.

Пунктиром обозначен произвольный путь (он изменяется при движении точки О вдоль прямой ). АВ – минимальное расстояние между А и В. Стрелками от А и В указан минимальный путь до мостов. Точка О должна стремиться к точке . Путь  к мосту от А и В минимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72015. Розв’язування прикладів і задач на вивчені арифметичні дії 82 KB
  Мета. Закріпити навички додавання і віднімання в межах 10, навички розв’язування задач. Розвивати швидкі та точні обчислювальні навички; розвивати логічне мислення, кругозір учнів, інтерес до уроків математики шляхом поєднання математичного матеріалу з казковим.
72016. Узагальнення і систематизація знань з теми «Натуральні числа 1 – 10 і число 0» 37.5 KB
  Закріпити узагальнити і систематизувати вивчений матеріал; перевірити знання учнями чисел першого десятка і удосконалювати вміння та навички додавання і віднімати у межах 10 розвязувати задачі і удосконалювати навички письма вивчених цифр...
72017. Число і цифра 8. Урок-подорож до Країни Чисел і Цифр 45 KB
  Мета: ознайомити дітей з числом 8, його утворенням і записом, вчити групувати предмети, сприймати число 8; закріплювати нумерацію чисел у межах 8; вміння розрізняти цифри і числа; сприяти розвитку логічного мовлення, уваги та уяви, виховувати інтерес до цікавої математики.
72018. Повторення складу числа 10. Складання прикладів за малюнками предметів та монет. Розпізнавання геометричних фігур 29 KB
  Будемо допомагати героям виконувати різні завдання. Діти отже послухайте які ж завдання нашого уроку: сьогодні ми повторимо склад числа 10; формуватимемо навички складати й розв’язувати приклади на додавання за малюнками предметів та монет; розпізнаватимем геометричні фігури...
72019. Цикл нестандартних уроків з використанням мультімедійних технологій. Математика, 1 клас 240.5 KB
  Робота вчителя початкових класів дуже складна та відповідальна, і складність її полягає у тому, що необхідно викликати в учнів інтерес до знань, не згасити цей вогник допитливості, навчити кожного з них вчитися, запевнити у своїх силах.
72020. ВПРАВИ ЗАДАЧІ І НА ЗАСВОЄННЯ ТАБЛИЦЬ ДОДДВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ЧИСЛА 3. РОЗ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ЗНАХОДЖЕННЯ СУМИ. ВИМІРЮВАННЯ ДОВЖИНИ ВІДРІЗКА 49 KB
  Подивіться на малюнок які пташки першими прилетіли до годівнички Синиці Скільки їх А які ще птахи прилетіли Снігурі Скільки їх Нам потрібно знайти скільки всього пташок стало Якою дією ми можемо дізнатися скільки всього пташок прилетіло до годівнички...
72022. Языком математики о природе и здоровье. Решение примеров на сложение и вычитание в пределах 10 29.5 KB
  Цели: Упражняться в решении примеров и задач; развивать речь и гибкость ума; закреплять знания о живой природе о значении растений в жизни человека об их лечебных свойствах; о птицах о пользе воспитывать любовь к математике. Оборудование: Карточки с решением примеров...
72023. Складання таблиці додавання і віднімання числа 4. Розв’язування задач на знаходження суми й різниці (1 клас) 32.5 KB
  Мета: Розкрити принципи укладання таблиць додавання і віднімання числа 4. Формувати вміння додавати число частинами порівнювати значення виразів з даними числами. Формувати знання таблиць додавання і віднімання числа 4.