20735

Группа движений. Классификация

Доклад

Математика и математический анализ

Классификация Движение такое преобразование плоскости которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это определение отличается от определений поворота симметрии и переноса тем что не является конструктивным нельзя определить как выполнять движение. Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера и существует движение переводящее так что ориентация сохраняется. Если оба репера ориентированы одинаково то движение не изменяет ориентацию фигур иначе меняет на противоположную.

Русский

2013-07-31

115.5 KB

39 чел.

9 Группа движений. Классификация

Движение - такое преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если , то .

Это определение отличается от определений поворота, симметрии и переноса тем, что не является конструктивным (нельзя определить, как выполнять движение).

Теорема: каковы бы ни были два прямоугольных декартовых репера,  и , существует движение, переводящее  так, что ориентация сохраняется.

Эта теорема делает определение движения конструктивным. Если оба репера ориентированы одинаково, то движение не изменяет ориентацию фигур, иначе меняет на противоположную.

Пусть имеется некоторое движение :и , . Для установления связи между координатами точки  и ее образа точки  в том же репере поступим так: координаты  известны в двух системах координат (- в старой,  и - в новой). Применим формулы перехода от одной с.к. к другой. Выразим координаты в старой системе через координаты в новой системе.

. Если реперы ориентированы одинаково, то , иначе .

Таким образом, получено уравнение движения .

Движения плоскости подразделяются на движения 1 рода (не меняют ориентацию фигуры) и движения 2 рода (изменяют ориентацию на противоположную). Ориентация – обход фигуры в определенном направлении (+ против часовой стрелке, иначе -). С реперами аналогично.

Для классификации движений плоскости будем искать их неподвижные точки.

Теорема Шаля: всякое движение первого рода является либо параллельным переносом, либо поворотом (в частности центральной симметрией), либо тождественное преобразование).

Для неподвижных точек:. Подставим в

, , . Так как  это движение 1 рода, то  и .

Возможны случаи. 1) Если , то система имеет единственное решение (одну неподвижную точку),  (смотри  ). Если поместить начальные координаты в эту точку, то формулы  упростятся, так как должны будут удовлетворять условиям:

. Это будет  уравнение поворота: .
2) . Тогда уравнения :. Это параллельный перенос. Если параллельный перенос осуществлять на вектор , то это тождественное преобразование.

Теорема: всякое движение можно представить как композицию не более трех осевых симметрий.

Если это движение 1-го рода, то, как показано выше, его можно представить в виде не более двух осевых симметрий. Если же это движение второго рода, как то осевая или скользящая симметрия, то, выполнив одну осевую симметрию фигуры, мы изменим ее ориентацию на противоположную, и тогда еще двумя осевыми симметриями выполним движение 1 рода, чтобы перевести данную фигуру в преобразованную.

Множество всех движений плоскости образуют группу (аксиомы группы выполняются). Подгруппой группы всех движений плоскости является движение 1 рода.

Следствием того, что множество всех движений  плоскости образуют группу, является свойство равенства фигур. Две фигуры называются равными, если есть движение, переводящее одну из них в другую. Эти свойства вытекают из того, что среди движений есть тождественные, обратные  и композиционные преобразования.

  1.  Рефлексивность: каждая фигура равна самой себе.
  2.  Симметричность: .
  3.  Транзитивность: .

Применение к решению задач:

Обходчику нужно выйти (из А) на железную дорогу (х) и дойти затем к почте (В) так, чтобы его путь был минимален.

Пунктиром обозначен произвольный путь (если точку х передвигать вдоль прямой). Если точку  осевой симметрией (через ось) перевести в точку, то  будет минимальным. Таким образом точка должна стремиться в  . Путь  - самый короткий.

     Пункты А и В находятся по разные стороны реки. Нужно построить мост через реку так, чтобы суммарное расстояние от пунктов А и В до моста было минимальное.

Пунктиром обозначен произвольный путь (он изменяется при движении точки О вдоль прямой ). АВ – минимальное расстояние между А и В. Стрелками от А и В указан минимальный путь до мостов. Точка О должна стремиться к точке . Путь  к мосту от А и В минимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47580. Экологичность проекта 320 KB
  РАСЧЕТ ПЛАТЫ ЗА ВЫБРОСЫ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В АТМОСФЕРУ ОТ ПЕРЕДВИЖНЫХ ИСТОЧНИКОВ Плата за допустимые выбросы загрязняющих веществ в атмосферу Пн руб. определяется по формуле Пн = Biнбн 19 где Bi количество iгo вида топлива израсходованного транспортными средствами за отчетный период т; Нбн базовый норматив платы за выбросы загрязняющих веществ в размерах не превышающих допустимые...
47582. АРХИТЕКТУРА АППАРАТНЫХ СРЕДСТВ 133.5 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АРХИТЕКТУРА АППАРАТНЫХ СРЕДСТВ для специальности 230111 Компьютерные сети Владивосток 2013 Методические указание по выполнению курсовой работы по дисциплине Архитектура аппаратных средств разработаны на основе федерального государственного образовательного стандарта ФГОС и рабочей программы 2013г. Указания предназначены в помощь студентам при написании и оформлении курсовой работы. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Курсовая работа является одной из форм...
47585. Методичні вказівки. Менеджмент організацій 721.5 KB
  Весь процес підготовки виконання та захисту дипломної роботи складається з таких етапів: Вибір теми дипломної роботи. Затвердження теми дипломної роботи і закріплення керівника проекту. Визначення плану дипломної роботи та календарного графіка її виконання. Аналіз літературних джерел та систематизація фактичного матеріалу підприємства за темою дипломної роботи.
47586. Методическое пособие по выполнению практических работ в среде ОС Unix 185.74 KB
  Организация взаимодействия между устройствами и программами в сети является сложной задачей. Сеть объединяет разное оборудование, различные операционные системы и программы — их успешное взаимодействие было бы невозможно без принятия общепринятых правил, стандартов
47587. Методические указания. Менеджмент организации 240.5 KB
  Цели и задачи дипломной работы. Выбор и утверждение темы руководителя и консультанта дипломной работы Организация выполнения дипломной работы Структура и содержание дипломной работы Требования к оформлению дипломной работы Подготовка к защите и защита дипломной работы в ГАК.