20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

99 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81040. Внешняя политика США 2000-2011 годах 41.12 KB
  Власть Буша пришла к власти в тот период когда в американском истэблишменте и обществе утвердилось мнение о мировом лидерстве США. Основным внешнеполитическим тезисом американских политиков стало утверждение о том что беспрецедентная мощь Соединенных Штатов...
81041. Проблема мировой политики (Международная безопасность и ее военные аспекты, Проблемы конфликтов, Проблема права в МО) 44.98 KB
  Проблема мирового права. Наличие международного права позволяет уменьшить неопределенность в межгосударственных отношениях стабилизирует их. Источниками международного права стали следующие: Международный обычай признанный как норма цивилизационных отношений.
81042. Внешняя политика РФ в 1990-е годы 39.71 KB
  Предстояло добиться признания России в качестве правопреемницы бывшего Советского Союза в ООН а также помощи западных стран в проведении курса реформ. Важная роль отводилась внешней торговле России с зарубежными странами. началось дипломатическое признание России.
81043. Внешняя политика РФ в начале 21-го века 39.4 KB
  Изменение ситуации в мире приводит к возникновению нескольких исторических вызовов России что диктует необходимость скорректировать ее политику. Там где позволяют условия в Белоруссии и возможно в Армении России следует содействовать относительно безболезненной смене правящих режимов предоставляя при этом соответствующие гарантии. Что делать Требовать включения в НАТО самой России Это наверное малореалистично к тому же может препятствовать необходимому усилению азиатского вектора отечественной политики. Несмотря на все имеющиеся...
81044. Образование СНГ. Становление отношений РФ со странами СНГ 43.13 KB
  Становление отношений РФ со странами СНГ Содру́жество Незави́симых Госуда́рств СНГ региональная международная организация международный договор призванная регулировать отношения сотрудничества между странами ранее входившими в состав СССР. СНГ не является надгосударственным образованием и функционирует на добровольной основе. СНГ было основано главами БССР РСФСР и Украины путём подписания 8 декабря 1991 года в Вискулях Беловежская пуща под Брестом Беларусь Соглашения о создании Содружества Независимых Государств известно в СМИ...
81045. Интеграционные процессы в странах СНГ 44.53 KB
  После получения независимости страны СНГ при наличии разности видения перспектив и возможностей строят рыночную экономику и демократические государства. Национальная идея как основа государственности получила закрепление в преамбуле многих конституций стран СНГ. В процессе жизнедеятельности страны СНГ прошли сложный путь само индетификации определения целей прерогатив развития.
81046. Этапы эволюции ЕС. Правовая основа ЕС 48.21 KB
  Хартию основных социальных прав трудящихся призванную сделать более гармоничными индивидуальные и коллективные права трудящихся и закрепить уже завоеванные права. Европейское право является самостоятельной правовой системой находящейся на стыке национального права государств-членов ЕС и права международного. К функциональным принципам относятся принцип верховенства права и принцип прямого действия. Принцип верховенства права ЕС означает приоритет норм права ЕС над нормами национального...
81047. Взаимоотношения ЕС и России. Зоны противоречий ЕС-РФ 49.13 KB
  В практическом плане это должно было вылиться в сближение экономик России и Евросоюза углубление совместного сотрудничества в борьбе с организованной преступностью терроризмом незаконной миграцией а в перспективе и в отмену визового режима. По статистике на Евросоюз приходится половина объёма внешней торговли России а государстваучастники этой организации являются крупнейшими прямыми инвесторами в российскую экономику. ЕС главный для России источник современных технологий.
81048. Азиатско-тихоокеанский регион в международной системе 52.02 KB
  Развитие права норм и механизмов регулирования международных отношений в АТР как и в других регионах мира связано с такими организациями как: Ассоциация государств ЮгоВосточной Азии АСЕАН АзиатскоТихоокеанское экономическое сотрудничество АТЭС Асеановский региональный форум АРФ Шанхайская организация сотрудничества ШОС и др. Роль США в АТР АТР объединяет около 25 стран бассейна Тихого океана. Факторы повлиявшие на выделение АТР в особую зону мирового развития: передел мира после 2 ой мировой войны США становится лидером;...