20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

85 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76633. Внешняя политика СССР 1945-1985 годах 43 KB
  Победа в Великой Отечественной войне решающая роль во Второй мировой войне существенно укрепили авторитет СССР его влияние на международной арене. СССР стал одним из создателей Организации Объединенных Наций постоянным членом Совета Безопасности. Столкновение внешнеполитических интересов СССР с одной стороны и его партнеров по антигитлеровской коалиции США Великобритания с другой в сущности было неизбежным.
76634. СССР послевоенный период 1945-1953 годах 30.5 KB
  Мир разделился на два блока один из которых возглавил СССР. Верховный Совет СССР принял план реконструкции и восстановления народного хозяйства. валовая продукция сельского хозяйства СССР составляла 60 довоенного уровня. началась разработка проекта новой Конституции СССР.
76635. СССР в 1953-1964 гг. Н.С. Хрущев 40.5 KB
  Центральным аппаратом управления народным хозяйством становились СНХ СССР ВСНХ СССР. СССР выступал с предложениями о сокращении вооружения и прекращении ядерных испытаний. Для осуществления противовеса этому союзу а также для военного сотрудничества социалистических стран и СССР в мае 1955 г . была создана Организация Варшавского Договора СССР Польша Чехословакия ГДР Венгрия Румыния Болгария Албания и смотря на консолидацию внутри социалистического лагеря наблюдались противоречия вылившиеся в антисоветские выступления...
76636. СССР в 1960-1980 гг. Л.И. Брежнев, Ю.В. Андропов, К.У. Черненко 54 KB
  Андропов 1914–-1984 – председатель КГБ СССР; К. Громыко 1909–1989 – министр иностранных дел СССР; Д. Устинов 1908–1984 – министр обороны СССР и др. Подгорный ушёл в отставку а Брежнев совместил должности Генерального секретаря ЦК КПСС и Председателя Президиума Верховного Совета СССР первый в истории СССР случай объединения высшего партийного и президентского постов.
76637. Перестройка в СССР . М.С. Горбачев 43.5 KB
  Горбачев Перестройка официальный курс развития страны провозглашенный правящей верхушкой СССР во главе с М. Предполагалось что принятие решительных мер по преодолению обозначившегося снижения темпов экономического роста отставания таких отраслей промышленности как машиностроение от мирового уровня в относительно короткие сроки позволит вывести народное хозяйство СССР на новые рубежи что в свою очередь активизирует социальную политику и приведет к заметному улучшению благосостояния граждан страны. советская экономика затрещала по швам...
76638. Россия в конце 20-в начале 21 века. Глобальные проблемы человечества 71 KB
  Первым Президентом России еще в составе СССР 12 июня 1991 г. На 5 съезде Верховного Совета России председателем этого органа власти был избран Р. С кровавой войны в России началась новая эра эра президентского правления. По итогам выборов состав Государственной думы сложился следующим образом: из 450 мест наибольшее число депутатских мандатов получили представители пропрезидентского блока Выбор России Е.
76639. История в системе социально-гуманитарных наук. Основы методологии исторической науки. Факторы самобытности российской истории 35 KB
  История наука о развитии человеческого общества во всем его многообразии. История общества представляет собой совокупность конкретных и многообразных действий и поступков отдельных людей человеческих сообществ находящихся в определенной взаимосвязи составляющих все человечество. В системе социально-гуманитарных дисциплин история может играть роль всеобщей базы которая постепенно накапливается.
76640. Восточные славяне в древности 32.5 KB
  Однако историки сходятся во мнении что реальными предшественниками русских людей были восточные славяне принадлежащие к группе индоевропейских народов. В результате разгрома сарматами славяне продвигаются на север в лесную зону ассимилируя литовско-латышские и финно-угорские племена. Главными действующими лицами в нем были германцы и славяне.
76641. Особенности становления государственности в России и в мире. Киевская Русь 32.5 KB
  Центром этого государства был Киев. Название этого государства неизвестно. Иногда его называют Каганат русов поскольку глава этого государства по аналогии с соседним хазарским носил титул Кагана. На эти сведения опирается так называемая норманская теория происхождения русского государства.