20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

99 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1423. Управление пассивом баланса методом 233.55 KB
  В исследованиях, приведенных в статье, предложена методика определения необходимых значений величин собственного капитала, долгосрочных и краткосрочных обязательств предприятий, позволяющих рационализировать структуру их баланса так, чтобы обеспечить его удовлетворительность и принимать обоснованные решения по управлению денежными потоками предприятия.
1424. Теория реального ветряка 226.36 KB
  Работа элементарных лопастей ветроколеса. Первое уравнение связи. План скоростей воздушного потока при набегании его на элемент лопасти. Момент и мощность всего ветряка. Потери ветряных двигателей.
1425. Судовые турбинные установки 229 KB
  Определяем давление пара Р0' перед сопловым аппаратом турбины. Определение теоретической и действительной скорости истечения пара из сопел. Определение оптимального отношения (U/C1)опт одноступенчатой турбины графоаналитическим путем. Определение утечки пара через переднее лабиринтовое уплотнение турбины.
1426. Калибровка и термостабилизации 56.5 KB
  Основные этапы настройки системы термостабилизации прибора. Настройка системы термостабилизации. Калибровка шкалы прибора по показателю преломления. Основные этапы калибровки шкалы по показателю преломления.
1427. Будова та використання бурових установок 213 KB
  Прилад СНЗ призначений для визначення статичного допустимого напруження зсуву глинистих розчинів, прилад снз призначення. Для роботи в умовах промислових лабораторій. Обладнання для очистки БР. Обладнання для промивки свердловин.
1428. Вирощування молодняка великої рогатої худоби 507.5 KB
  Закономірності росту органів і тканин у різні вікові періоди тварин і використання їх при вирощуванні ремонтного молодняку. Проектування технології вирощування ремонтного молодняку. Розрахунок потреби в скотомісцях і засобах механізації розміщення поголів'я.
1429. Реконструкция станции технического обслуживания 330 KB
  Наличие подвижного состава на АТП. Подвижной состав АТП с распределением годами выпуска. Технологический процесс ТО и ТР. Управление производством ТО и ремонта в системе ЦУП с использованием элементов АСУ. Характеристика объекта реконструкции (зоны ТР). Общий технологический процесс ТО и ремонта на объекте реконструкции.
1430. Строительство канализационных очистных сооружений производительностью 25 м3/сутки для промплощадки Мокроусского ЛПУМГ ООО Югтрансгаз 129.5 KB
  Цель работы – проектирование канализационных очистных сооружений производительностью 25м3/сутки для промплощадки Мокроусского ЛПУМГ ООО Югтрансгаз ОАО Газпром.
1431. Система управления и контроля радиоприемным устройством 1.07 MB
  Обеспечение функционирования вычислительного комплекса, обнаружения сбоев и отказов модулей и горячего восстановления. Требования к организации и оборудованию рабочих мест с ПЭВМ для взрослых пользователей. Команды буфера интерфейсной информации.