20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

98 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1056. Процесс стратегического управления компании ТОО Зерде-Фито 486.5 KB
  Теоретические основы стратегического управления. Сущность стратегического управления и его ключевые понятия. Порядок разработки и реализации стратегии развития предприятия. Анализ факторного воздействия внешнего окружения на организацию. Выбор и разработка стратегии развития организации.
1057. Життя і творчість В.Ф. Войно-Ясенецького 128.09 KB
  Вихідною методологічною установкою даного дослідження є метод цілісного філософського аналізу творчості та світогляду мислителя, оскільки спосіб мислення і спосіб життя В.Ф. Войно-Ясенецького, постають в органічній єдності. Такий підхід дає можливість аналізу етичних поглядів В.Ф. Войно-Ясенецького як систематичного, цілісного релігійно-морального світогляду
1058. Политология Белоруссии 459 KB
  Политическая мысль в эпоху Возрождения. Общественно-политическая мысль Беларуси периода ВКЛ, РП, РИ. Политические идеи мыслителей Беларуси, ее периодизация и первые памятники. Власть как социальное явление, ее функции, структура. Государство в политической системе общества. Роль СМИ в политике. Либерализм и неолиберализ. Формы государственного устройства.
1059. Методика аудиторской проверки расчетов с бюджетом (на примере НОУ СПО Учебный центр, Омск 443 KB
  Процесс планирования аудиторской проверки учета расчетов с бюджетом по налогам и сборам. Экономическая характеристика объекта исследования. Организация бухгалтерского и налогового учета расчетов с бюджетом. Аудиторская проверка учета расчетов с бюджетом по единому социальному налогу в НОУ СПО Учебный центр.
1060. Обработка статистической информации о надежности линии привода 3-го формирующего ролика 1-й моталки 265 KB
  Упорядочение исходной выборки наработок до отказа. Проверка статистической гипотезы о соответствии экспоненциальному распределению. Проверка статистической гипотезы о соответствии нормальному или логарифмически нормальному распределению. Графическое оценивание параметров распределений.
1061. Расчет и выбор конструкции кожухотрубного теплообменного аппарата 267 KB
  Тепловой расчет и выбор конструкции теплообменного аппарата. Устройство, передающее теплоту от одного теплоносителя к другому. Проверочный тепловой расчет теплообменного аппарата. Гидравлический расчет теплообменного аппарата. Расчет падения давления теплоносителей в трубном и межтрубном пространстве ТА.
1062. Учет финансовой отчетности в процессе управления предприятием ООО Стиль 411 KB
  Финансовая отчетность и ее роль в информационном обеспечении управления предприятием. Методы анализа устойчивости финансового состояния в процессе управления предприятием. Составление и анализ финансовой отчетности в процессе управления предприятием (на материалах ООО Стиль). Анализ устойчивости финансового состояния по данным финансовой отчетности.
1063. Створення таблиць і форм мовою html 528 KB
  Створення форм і таблиць, вивчення синтаксису і тегів цих елементів, набуття навиків у використанні цих елементів при розробці власних сторінок.
1064. Теоретичні засади державного пенсійного страхування та перспективи його розвитку 569 KB
  Теоретичні засади дослідження системи пенсійного страхування в Україні. Особливості розвитку системи державного пенсійного страхування в країнах світу. Принципи загальнодержавного пенсійного страхування в Україні. Правова основа державного пенсійного страхування в Україні. Тенденції розвитку державного пенсійного страхування в Україні.