20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

86 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80895. Стратегическое планирование в Муниципальном Образовании 44.44 KB
  Недостаток опыта стратегического планирования комплексного подхода к определению целей и приоритетов перспективного развития муниципальных образований приводит к тому что разработанные концепции и стратегические планы иногда носят декларативный характер отсутствуют механизмы их реализации. В зависимости от стоящих задач концепции и стратегические планы бывают среднесрочные 3 5 лет и долгосрочные до 10 15 лет. Основные этапы разработки концепции комплексного социальноэкономического развития муниципального образования...
80896. Основные направления по противодействию коррупции государственных и муниципальных органах власти 45.12 KB
  Коррупция - злоупотребление служебным положением, дача взятки, получение взятки, злоупотребление полномочиями, коммерческий подкуп либо иное незаконное использование физическим лицом своего должностного положения вопреки законным интересам общества и государства в целях получения выгоды в виде денег, ценностей, иного имущества или услуг имущественного характера, иных имущественных прав для себя или для третьих лиц либо незаконное предоставление такой выгоды указанному лицу другими физическими лицами;
80897. Информационное обеспечение муниципального управления 45.52 KB
  Распоряжения главы администрации и его заместителей протоколы заседаний коллегии ведомости учета изданных мун. Население выражает свое отношение к дти мун. Общественные объединения граждан выражают отношение к деятельности мун.
80898. Сущность и содержание муниципального управления 43.04 KB
  Местное самоуправление в РФ форма осуществления народом своей власти обеспечивающая в пределах установленных Конституцией РФ федеральными законами а в случаях установленных федеральными законами законами субъектов РФ самостоятельное и под свою ответственность решение населением непосредственно и или через органы местного самоуправления вопросов местного значения исходя из интересов населения с учетом исторических и иных местных традиций . Дана характеристика основных признаков местного самоуправления отличающих его от...
80899. Система муниципальных правовых актов (МПА), Устав муниципального образования 43.13 KB
  РФ федеральным конституционным законам ФЗ №131ФЗ другим федеральным законам и иным нормативным правовым актам РФ а также конституциям уставам законам иным нормативным правовым актам субъектов РФ. В систему МПА входят: 1 устав МО правовые акты принятые на местном референдуме сходе граждан; 2 нормативные и иные правовые акты ПО МО; 3 правовые акты главы МО постановления и распоряжения главы местной администрации иных ОМС и должностных лиц МС предусмотренных уставом МО. Устав МО и оформленные в виде правовых актов решения...
80900. ПОНЯТИЕ, ОСОБЕННОСТИ, ФУНКЦИИ И ЗАКОНЫ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 44.44 KB
  В основе социального управления лежит приоритет человеческого фактора над всеми иными. Функции управления не являются универсальными так как зависят от вида рассматриваемой организации. Законы управления.
80901. МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА 44.37 KB
  Под моделью управления следует понимать теоретически выстроенную целостную совокупность представлений о том как выглядит и как должна выглядеть система управления как она воздействует и как должна воздействовать на объект управления как она адаптируется и как должна адаптироваться к изменениям во внешней среде чтобы управляемая организация могла добиваться поставленных целей устойчиво развиваться и обеспечивать свою жизнеспособность. Модель управления включает в себя базовые принципы управления стратегическое видение целевые установки и...
80902. ХАРАКТЕРИСТИКА СРЕДЫ УПРАВЛЕНИЯ. БЛАГОПРИЯТНАЯ, НЕЙТРАЛЬНАЯ, АГРЕССИВНАЯ СРЕДА УПРАВЛЕНИЯ 43.99 KB
  Среда управления это совокупность внутренних и внешних субъектов сил активно влияющих на положение и перспективы организации на эффективность деятельности менеджеров. Типы среды: микросреда мезосреда макросреда. Микросреда внутр среда организации ее собственный персонал и взаимодействие человека с условиями жизни в личном окружении; Мезосреда среда непосредственного окружения партнеры поставщики потребители или социокультурная среда и сфера труда; Макросреда среда...
80903. ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В УПРАВЛЕНИИ 44.22 KB
  Об информации информационных технологиях и о защите информации ИТ – процессы методы поиска сбора хранения обработки предоставления распространения информации и способы осуществления таких процессов и методов. Информационная технология ИТ процесс использующий совокупность методов и средств реализации операций сбора регистрации передачи накопления и обработки информации на базе программноаппаратного обеспечения для решения управленческих задач экономического объекта. Особенности ИТ: цель процесса – получение информации; предмет...