20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

98 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17303. Засоби адаптивного управління інформаційною безпекою. Система виявлення уразливостей захисту 119.5 KB
  Лекція 13. Засоби адаптивного управління інформаційною безпекою. Система виявлення уразливостей захисту Основні рішення В умовах обмежених ресурсів використання засобів SAFEsuite є проблематичним ізза їх високої ціни. Основною задачею є пошук безкоштовних засобів адап...
17304. Технологія захисту інформації на базі захищених віртуальних приватних мереж 336 KB
  Лекція 15. Технологія захисту інформації на базі захищених віртуальних приватних мереж Концепція побудови захищених віртуальних приватних мереж VPN У основі концепції побудови захищених віртуальних приватних мереж VPN лежить достатньо проста ідея: якщо в глобальній ...
17305. Класифікація і рішення для побудови віртуальних приватних мереж VPN 216 KB
  Лекція 16. Класифікація і рішення для побудови віртуальних приватних мереж VPN Класифікація VPN Різні автори порізному проводять класифікацію VPN. Найчастіше використовуються три наступні ознаки класифікації: робочий рівень моделі OSI; конфігурація структурного ...
17306. Основи захисту периметру корпоративних мереж Засоби захисту периметру 530 KB
  Лекція 23. Основи захисту периметру корпоративних мереж Засоби захисту периметру Периметр це укріплена границя корпоративної мережі що може включати: маршрутизатори routers; брандмауери firewalls; проксісервери; proxyservers систему виявлення вторгнень IDS; ...
17307. Захист Windows Server. Механізми зміцнення безпеки Windows Server 123 KB
  Лекція 18. Захист Windows Server Механізми зміцнення безпеки Windows Server Операційна система Windows Server містить майстер настройки безпеки засіб заснований на використанні ролей що дозволяє забезпечити додаткову безпеку серверів. При використанні спільно з об'єктами групової п...
17308. Захист SQL Server 143 KB
  Лекція 19. Захист SQL Server Загальні положення Система управління базами даних Microsoft SQL Server має різноманітні засоби забезпечення захисту даних. Якщо база даних призначена для використання більш ніж однією людиною необхідно поклопотатися про розмежування прав доступу. В ...
17309. Захист web-серверів 139 KB
  Лекція 20. Захист webсерверів Правила забезпечення захисту Публічні вебсервери продовжують залишатися об'єктами атак хакерів які хочуть за допомогою цих атак нанести dтрату репутації організації або добитися якихнебудь політичних цілей. Хороші заходи захисту можуть...
17310. Захист поштових серверів Exchange Server 201 KB
  Лекція 21. Захист поштових серверів Exchange Server Основні рекомендації для забезпечення безпеки Хоча існує величезна кількість різних складних і сучасних засобів які можна використовувати для посилення безпеки структури сервера Exchange не варто недооцінювати наступні осн
17311. ЗАХИСТ ЛОКАЛЬНИХ МЕРЕЖ ВІД ВИТОКІВ КОНФІДЕНЦІЙНОЇ ІНФОРМАЦІЇ 161 KB
  Лекція 22. Захист локальних мереж від витоків конфіденційної інформації Основні характеристики систем запобігання витокам інформації З розвитком ІТ секрети стали уразливі як ніколи. У епоху паперових документів співробітникові було скрутно непомітно винести докум