20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

89 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16710. АКЦИОНЕРНЫЕ ОБЩЕСТВА ПО ГРАЖДАНСКОМУ ПРАВУ НИДЕРЛАНДОВ 45.5 KB
  Томас Кейзер АКЦИОНЕРНЫЕ ОБЩЕСТВА ПО ГРАЖДАНСКОМУ ПРАВУ НИДЕРЛАНДОВ Место акционерных обществ в системе юридических лиц Правовое положение юридических лиц в Нидерландах определено в части 2 Гражданского кодекса. Кроме того часть 7а Гражданского кодекс...
16711. ГРАЖДАНСКИЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ И ГРАЖДАНСКОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО 71.5 KB
  В. С. ЯКУШЕВ ГРАЖДАНСКИЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ И ГРАЖДАНСКОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО Опыт работы Федерального Собрания РФ показывает что главное направление в формировании новой системы права России кодификация принятие не отдельных законов а кодексов которым и ...
16712. Абсорбшен-костинг: учет, калькулирование и принятие решений 59.5 KB
  Абсорбшенкостинг: учет калькулирование и принятие решений Определение себестоимости производства единицы продукции – одна из основных учетных задач так как себестоимость служит базой для установления цены и информация о ней се лежит в основе управлен...
16713. Антиинфляционные подгузники, или Wealth management 64.5 KB
  Антиинфляционные подгузники или Wealth management Экономика и жизнь № 29 2008 С. Суранов Как сберечь свои капиталы в условиях высокой инфляции в России ЭЖ при помощи экспертов финансового рынка предлагает некоторые возможные варианты инвестир
16714. Антикризисные услуги Отечественному бизнесу не нужен аутсорсинг 54 KB
  Антикризисные услуги Отечественному бизнесу не нужен аутсорсинг Отечественный рынок рекрутинга развивается по своим правилам. Просто применить западные технологии на нем не получится. Российские заказчи
16715. ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕХОДА ОТ ФИНАНСОВОГО КОНТРОЛЯ К АУДИТУ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДОЛГОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ 77.7 KB
  Л. Брагинская ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕХОДА ОТ ФИНАНСОВОГО КОНТРОЛЯ К АУДИТУ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДОЛГОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ. В стратегических документах Правительства Российской Федерации определяющих долговую политику страны говорится о том что в целях повышения эффективности долг...
16716. Economics in China 21.96 KB
  Economics in China. The official support of a marketbased economy that came from Deng Xiao Ping in 1992 has resulted in a more open system of trade for China and subsequently a huge growth spurt in China's economy. The economic reforms which Deng instigated culminated in a socialist market economy a term which was actually incorporated into the Chinese constitution during the National People's Congress in March 1993. Since that time China's economy has experienced a substantial boost in...
16717. Planned economy 41.9 KB
  Planned economy This article is about an economic system controlled or directed by the state. For proposed economic systems that employs participatory or democratic planning Planned economy or command economy is an economic system in which the state directs the economy.[1] It is an economic system in which the central government controls industry such that it makes major decisions...
16718. ДОБЫЧА ЗОЛОТА МЕТОДАМИ ГЕОТЕХНОЛОГИИ 109.5 KB
  Геотехнология определяется как метод добычи цветных, редких и благородных металлов путем их избирательного растворения химическими реагентами на месте залегания и последующего извлечения образованных в зоне реакций