20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

86 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52244. MASTERS AND MASTERPIECES 141.5 KB
  Objectives: to develop communictive skills bsed on the usge of the keywords which the lerner hs chosen on the given tsks; to cultivte students` good tste; to fcilitte free speking; to prctice their skills in nlyticl reding nd writing; to revise grmmr; to develop cretive thinking. Do you gree with Hippocrtes Wht is rt One of the definitions of the word rt is the study or cretion of beutiful things. Wht things do you ssocite with the word rt 2. Presenttion of the topic.
52245. Beim Arzt (у лікаря) 62 KB
  sicherlichнапевно der Hustentropfсироп від кашлю glubenсподіватися mir ist schwindligу мене запаморочення furchtbrжахливо ds tut mir leidмені шкода der Kopfschmerzголовний біль der Hlsschmerzболить горло ds Fieberтемпература ich fuhle mich unwohlя почуваю себе погано ІІ.Wenden Sie sich n den rzt wenn Sie krnk fühlen Jich wende mich n den rzt.Wie fühlen Sie sich wenn Sie Grippe oder ngin hben Ich fuhle mich unwohl.Wnn bekommen Sie Schnupfen und Husten Wenn ich krnk bin.
52246. АССЕМБЛЕР. КОМПОНОВЩИК. ЗАГРУЗЧИК. МАКРОГЕНЕРАТОР 237 KB
  LST; на трансляцию нашей программы то ОС считывает ассемблер из внешней памяти из файла MSM. Что делать Для решения проблемы со ссылками вперед ассемблер просматривает текст программы дважды. Полный просмотр текста транслируемой программы принято называть проходом транслятора поэтому ассемблер который делает два прохода называется двухпроходным. они попросту встроены в ассемблер а другие ассемблер строит в процессе трансляции конкретной программы.
52247. Теория вероятностей и математическая статистика 1.94 MB
  Определение: Вероятностью случайного события А называется отношение числа m исходов благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных исходов испытания составляющих полную группу несовместных событий. Найти вероятность того что в случайно выбранном четырехзначном числе все цифры различны и оно образованно из цифр 2 4 6 8 9. Найти вероятность того что книги по какой либо тематике окажутся рядом. Найти вероятность того что среди выбранных окажется 6 мужчин.
52248. Греция во II – 1-й пол. I тыс. до н.э. 449.5 KB
  Учитель истории КУ Луганская СОШ IIII ступеней № 48Г. Учитель готовит наглядность объясняет правила игры контролирует ход подготовки команд. План проведения урока Учитель. Учитель.
52249. Развитие силовой выносливости 76 KB
  Повторим мышцы человека и их функцию. Мышцы шеи наклоняют голову поворачивают в стороны. Мышцы предплечья сгибают и разгибают пальцы. Мышцы задней поверхности бедра сгибают ногу в коленном суставе.
52250. Обобщающий урок по теме «Атмосфера» 37 KB
  Мельчайшие капельки воды образовавшиеся в приземном слое атмосферы из насыщенного водяным паром воздуха при его охлаждении туман Вся вода выпавшая из атмосферы на земную поверхность осадки. Разность между наибольшим и наименьшим значениями температуры воздуха в течение суток месяца или года амплитуда. Движение воздуха в горизонтальном направлении из областей высокого давления к областям низкого давления ветер. Атмосферный вихрь с низким давлением в центре и движением воздуха от краев к центру циклон.
52251. Урок-узагальнення знань з теми «Атмосфера» 62.5 KB
  Обладнання: мультимедійна презентація Вид хмар плакат Космічний простір Ракети демонстраційні картки до конкурсів атласи мультимедійний проектор таблиці: Чисте повітря – запорука здоров’я. Запитання команді Восток Повітряна оболонка нашої планети. у Температура повітря залежить від Кута падіння сонячних променів Прилад для вимірювання напряму і сили вітру. Флюгер Наука що вивчає зміни показників стану повітря.