20736

Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач

Доклад

Математика и математический анализ

Скалярное векторное и смешанное произведение векторов. Основные отношения сумма векторов скалярное произведение умножение вектора на число. Аксиомы: аксиомы линейных векторов аксиома размерности аксиомы скалярного произведения. Линейное векторное пространство называется евклидовым если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α называемое скалярным произведением этих векторов.

Русский

2013-07-31

55.5 KB

97 чел.

Геометрия

10. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложение к решению задач.

В отличие от аффинного пространства в трехмерном евклидовом пространстве присутствуют такие фундаментальные понятия как: длина отрезка, длина вектора, угол между векторами, перпендикулярность и т. д.

Основными объектами являются векторы.

Основные отношения - сумма векторов, скалярное произведение, умножение вектора на число.

Аксиомы: аксиомы линейных векторов, аксиома размерности, аксиомы скалярного произведения.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если каждым двум векторам a и b этого пространства поставлено в соответствие число α, называемое скалярным произведением этих векторов.

Скалярное произведение двух векторов: число равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: =ab. Оно удовлетворяет следующим аксиомам:

V1 Для любых векторов a и b имеет место равенство: ab=ba

V2 Для любых векторов a,b и c имеет место равенство: a(b+c)=ab+ac

V3 Для любых векторов a,b и любого числа α имеет место равенство: (a)b= (ab)

V4 Если а≠0, то aa>0

Обозначение векторного евклидового пространства: En

Число -действительное. Это число называется  модулем вектора a и обозначается:

Если, а≠0 то aa>0, поэтому ≠0. Вектор a называется единичным, если =1.

Следствия из аксиом:

  1.  Если, а=0, то =0, если,  а≠0, то ≠0
  2.  Если ba, то

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор p, определяемый следующими условиями:

а) модуль вектора p равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

б) вектор p перпендикулярен как к вектору a, так и к вектору b.

в) если векторы a и b не коллинеарны, то вектор p направлен так, что тройка упорядоченных векторов abp имеет правую ориентацию. Обозначение: .

Теорема.

Для того чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Если а≠0 и b≠0, то Векторное произведение векторов, в отличии от скалярного является вектором. Условие а) определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)- направление этого вектора. Вообще говоря, ≠

Свойства векторного произведения:

Для произвольных векторов a, b и c  и произвольного числа α имеют место св-ва:

1) = -

2)

3)

Если =0,где a и b –не равны нулю, то такие вектора - коллинеарны.

Тройным или смешанным произведением векторов x,y,z ориентированного пространства называется значение функции объема для векторов x,y,z, т. е. число f(x,y,z)

Обозначение: xyz

Свойства: a,b,c,d- произвольные вектора, - произвольное число

а)abc=bca=cab

б)abc= - bac,abc= -cba,abc= -acb;

в) (a)bc=(abc),a(b)c=(abc),ab(c)= (abc);

г)(a+b)cd=acd+bcd,a(b+c)d=abd+acd, ab(c+d)=abc+abd

Следствия из свойств:

1) (a)(b)(c)=( )abc

2)Для любых векторов a1,a2,...ak:

(a1+a2+...+ak)bc= a1bc+ a2bc+...+ akbc

3)Если a,b,c – произвольные векторы, а  p,b,c- компланарны, то (a+p)bc=abc.

Чтобы векторы a{1,2,3}, b{1,2,3},c{1,2,3}-были компланарны, необходимо и достаточно чтобы:=0

Теорема

Смешанное произведение abc есть объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, если a,b,c не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного на этих же векторах, если они компланарны.

Приложение: на основе этой теории решаются множество задач на рассмотрение свойств пространственных многоугольников,(тетраэдр, параллелепипед..) В частности с помощью смешанного произведения доказывается теорема синусов. Нахождение углов между плоскостями, вычисление объемов и т. д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80063. Презентація проекту «Стежками рідного краю» 77.5 KB
  Мета: активізувати і поширити набуті під час екскурсій знання учнів про рідний край; розвивати інтелект та творчу уяву; формувати громадянські, комунікативні, історико-культурні та соціокультурні компетентності. Обладнання: мультимедійний екран, комп’ютер, мольберти, ватмани.
80064. Ритмічна вправа. Музичні ігри 121.5 KB
  Розвивати координацію рухів; відчуття ритму і такту; увагу, пам’ять; гнучкість і пластичність. Виховувати естетичні почуття, прищеплювати любов до всього красивого, витонченого. Обладнання: магнітофон, касетний запис з дитячими піснями, м’ячі.
80065. Погано одному (урок–спілкування). Вступ: Поняття про риторику як науку 98 KB
  Ознайомити учнів з поняттям «спілкування»; пояснити, що мовлення є найважнішим засобом спілкування, обміну думками і почуттями між людьми. Дати уявлення про риторику, як науку. Розвивати мовлення учнів, формувати вміння висловлювати власну думку.
80066. Перевір себе. Чого ми навчились? Чого навчає наука риторика? 86.5 KB
  Привітання гостей Учитель: Діти сьогодні до нас на урок завітали гості. Поверніться будь ласка обличчям до гостей щоб привітатися віршове привітання Учитель: Треба всім нам привітатись Учні: Добрий день Учитель: Дружно весело сказати Учні: Добрий день Учитель: Вліво вправо повернулись...
80067. Демосфенові поради 38 KB
  Мета. Познайомити дітей з новим навчальним предметом - риторикою, з історією виникнення риторики, порадами Демосфена, розвивати усне мовлення учнів, виховувати почуття ввічливості. Обладнання: малюнок із зображенням Риторинки на Демосфена, лялька - Риторинка, посібник «Риторика», зошит.
80068. Різдвяні зустрічі 94 KB
  Мета: на кращих зразках творів світової літератури, музики та народної творчості вчити учнів читати мовою оригіналу; розвивати навики виразного читання, акторські здібності, вміння працювати в команді; виховувати любов до мистецтва, гарний смак.
80069. Від Різдва до Водохреща 69.5 KB
  Мета: знайомити учнів з традиціями, звичаями та обрядами українського народу, що пов’язані Різдвяно-новорічними святами; розвивати акторські здібності учнів, уміння виразно читати поетичні та прозові твори; виховувати повагу до традицій нашого народу, милосердя, почуття прекрасного.
80070. ROAD SAFETY 49 KB
  It is a traffic-light. You can see it at the cross-roads in the big cities. Look. It has three colours: red, yellow and green. If you see a red colour you must stop. If you see a yellow colour you must wait. If you see a green colour you can cross the street.
80071. Классный час «Я – ребенок, я – личность» 49.5 KB
  Не скучайте не зевайте ничего не упускайте ученик в костюме скомороха Добрый день уважаемые гости Собрались мы сегодня поговорить о личности. Каждому из нас шестиклассников очень хорошо знакомо чувство обиды. Иногда кажется что тебя не понимают с твоим мнением не считаются забывают что ты личность