20737

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Вопрос №11 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость Пусть трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел а непустое множество элементы которого называются точками. Предполагается также что дано множество отображений каждое из которых является отображением вида . Множество называется трехмерным вещественным евклидовым пространством если выполнены следующие аксиомы. Множество является множеством положительноопределенных билинейных форм таких что если то где .

Русский

2013-07-31

101 KB

118 чел.

ГАК. Геометрия

Вопрос №11

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

и ее непротиворечивость

Пусть -трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел, а  - непустое множество, элементы которого называются точками. Предположим, что задано отображение  , и вектор   обозначим через  . Предполагается также, что дано множество отображений, каждое из которых является отображением вида .

Множество  называется трехмерным вещественным евклидовым пространством , если выполнены следующие аксиомы.

  1.  Для каждой из точек А и Е и произвольного вектора  из  существует одно и только одна точка Х, такая что .
  2.  Для любых точек А, В и С выполняется равенство .
  3.  Множество  является множеством положительно-определенных билинейных форм, таких, что если , то , где . Другими словами, в пространстве  дана положительно-определенная билинейная форма с точностью до положительного числового множителя.

Аксиомы 1-2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства  (с пространством переносов ).

Т.о., базовой структуры евклидова пространства  служит тройка множеств , ,, где  -множество точек, - трехмерное векторное пространство над полем , а - поле вещественных чисел.

Следовательно,  структура  определяется всего лишь тремя аксиомами Вейля 1-3. Эту систему обозначают через .

Докажем, что система  непротиворечива. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество  действительных чисел.

Вектором назовем любой столбец вида , где  - произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение векторов определяется как сумма столбцов и умножение столбца на действительное число:

  и   

Множество g положительно – определенных билинейных форм определим так. Введем в рассмотрение билинейную форму , где  и , и рассмотрим множество , где  - любое действительное число. Очевидно, что при этом выполняется аксиома 3 Вейля.

Точкой назовем любую строчку вида , где - произвольные действительные числа.

Отображение  определим так .

Убедимся в том, что в построенной интерпретации выполняются аксиомы 1 – 2 Вейля.

Аксиома1.  Пусть   - произвольная точка,  - произвольный вектор. Мы должны доказать, что существует одна и только одна точка  , такая что , или в терминах нашей интерпретации . Ясно, что существует одна и только одна тройка чисел  удовлетворяющая этим равенствам, поэтому в построенной интерпретации выполнена аксиома 1.

Аксиома 2. Пусть  , ,  - произвольные точки. Тогда имеем: , ,

Простым подсчетом убеждаемся в том что  .

Итак доказана следующая теорема.

Система аксиом 1 – 3 Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30113. Генетика пола, Искусственная регуляция пола 42.68 KB
  Генетика пола Пол это совокупность признаков и свойств организма определяющих его участие в размножении. Пол особи может определяться: а до оплодотворения яйцеклетки сперматозоидом прогамное определение пола; б в момент оплодотворения сингамное определение пола; в после оплодотворения эпигамное определение пола. У морского кольчатого червя бонеллия определение пола происходит в процессе онтогенеза: если личинка садится на дно из нее развивается самка а если...
30114. Цитоплазматическое наследование 12.96 KB
  Цитоплазматическое наследование: Для того чтобы та или иная структура могла выполнять роль материального носителя наследственности и обеспечивать количественные закономерности наследования как уже было сказано она должна обладать тремя основными свойствами: выполнять жизненно важные функции в метаболизме клетки обладать способностью к самовоспроизведению точно распределяться в дочерние клетки при делении. Так центриоли участвуют в образовании веретена при делении клетки пластиды обеспечивают некоторые синтетические процессы митохондрии...
30115. Взаимодействие генов 14.76 KB
  Полное доминирование заключается в том что в гетерозиготе полученной при скрещивании представителей чистых линий различающихся по одной пара альтернативных признаков один из двух аллелей не проявляет своего действия. В фенотипе 3 частей проявился доминантный признак а у 1 части – рецессивный. При неполном доминировании гибриды первого поколения имеют фенотип укладывающийся в рамки проявления признака между исходными родителями и никогда их не достигающий т. признак может быть любым но не как у представителей чистых линий: меньше...
30116. Инструментальные материалы. Упрочняющая обработка 220 KB
  Инструментальными являются материалы, основное назначение которых - оснащение рабочей части инструментов. К ним относятся инструментальные углеродистые, легированные и быстрорежущие стали, твердые сплавы, минералокерамика, сверхтвердые материалы.
30117. Генные мутации 33.8 KB
  Генные мутации. По последствиям генных мутаций их классифицируют на нейтральные регуляторные и динамические а также на миссенс и нонсенсмутации. Нейтральная мутации молчащая мутация мутация не имеет фенотипического выражения например в результате вырожденности генетического кода. Динамические мутации мутации обусловленные увеличением числа тринуклеотидных повторов в функционально значимых частях гена.
30118. Хромосомные мутации и геномные мутации 16.53 KB
  Хромосомные мутации и геномные мутации. Различают два основных типа хромосомных мутаций: численные хромосомные мутации и структурные хромосомные мутации. В свою очередь численные мутации делятся на анэуплоидии когда мутации выражаются в утрате или появлении дополнительной одной либо нескольких хромосом и полиплоидии когда увеличивается число гаплоидных наборов хромосом. Потерю одной из хромосом называют моносомией а возникновение дополнительной хромосомы у любой пары хромосом трисомией.
30119. Модификационная (фенотипическая) изменчивость 16.63 KB
  Характеристика: обратимость изменения исчезают при смене специфических условий окружающей среды спровоцировавших их групповой характер изменения в фенотипе не наследуются наследуется норма реакции генотипа статистическая закономерность вариационных рядов затрагивает фенотип при этом не затрагивая сам генотип.По размаху нормы реакции узкая более характерна для качественных признаков широкая более характерна для количественных признаков 3.По длительности: есть лишь у особи или группы особей которые подверглись влиянию...
30120. Генетика популяций. Генетическая структура популяций и идеальная популяция 37.55 KB
  При описании систем скрещивания в идеальной популяции широко используется понятие панмиксии – случайного свободного скрещивания при котором вероятность встречи гамет не зависит ни от генотипа ни от возраста скрещивающихся особей. Если исключить половой отбор то к панмиктической популяции применима концепция гаметного резервуара согласно которой в популяции в период размножения формируется гаметный резервуар генный пул включающий банк женских гамети банк...
30121. Наследственные и врожденные болезни 15.44 KB
  Наследственные и врожденные болезни: НАСЛЕ́ДСТВЕННЫЕ БОЛЕ́ЗНИ патологические состояния организма обусловленные изменениями генетического материала мутациями. В широком смысле термин наследственные болезни включает не только хромосомные и генные болезни вызываемые соответствующими мутациями но и мультифакториальные болезни развитие которых связано с взаимодействием нормальных полиморфных генов формирующих предрасположенность к заболеванию с факторами внешней среды. Условно к наследственным болезням можно также отнести болезни...