20737

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Вопрос №11 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость Пусть трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел а непустое множество элементы которого называются точками. Предполагается также что дано множество отображений каждое из которых является отображением вида . Множество называется трехмерным вещественным евклидовым пространством если выполнены следующие аксиомы. Множество является множеством положительноопределенных билинейных форм таких что если то где .

Русский

2013-07-31

101 KB

119 чел.

ГАК. Геометрия

Вопрос №11

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

и ее непротиворечивость

Пусть -трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел, а  - непустое множество, элементы которого называются точками. Предположим, что задано отображение  , и вектор   обозначим через  . Предполагается также, что дано множество отображений, каждое из которых является отображением вида .

Множество  называется трехмерным вещественным евклидовым пространством , если выполнены следующие аксиомы.

  1.  Для каждой из точек А и Е и произвольного вектора  из  существует одно и только одна точка Х, такая что .
  2.  Для любых точек А, В и С выполняется равенство .
  3.  Множество  является множеством положительно-определенных билинейных форм, таких, что если , то , где . Другими словами, в пространстве  дана положительно-определенная билинейная форма с точностью до положительного числового множителя.

Аксиомы 1-2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства  (с пространством переносов ).

Т.о., базовой структуры евклидова пространства  служит тройка множеств , ,, где  -множество точек, - трехмерное векторное пространство над полем , а - поле вещественных чисел.

Следовательно,  структура  определяется всего лишь тремя аксиомами Вейля 1-3. Эту систему обозначают через .

Докажем, что система  непротиворечива. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество  действительных чисел.

Вектором назовем любой столбец вида , где  - произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение векторов определяется как сумма столбцов и умножение столбца на действительное число:

  и   

Множество g положительно – определенных билинейных форм определим так. Введем в рассмотрение билинейную форму , где  и , и рассмотрим множество , где  - любое действительное число. Очевидно, что при этом выполняется аксиома 3 Вейля.

Точкой назовем любую строчку вида , где - произвольные действительные числа.

Отображение  определим так .

Убедимся в том, что в построенной интерпретации выполняются аксиомы 1 – 2 Вейля.

Аксиома1.  Пусть   - произвольная точка,  - произвольный вектор. Мы должны доказать, что существует одна и только одна точка  , такая что , или в терминах нашей интерпретации . Ясно, что существует одна и только одна тройка чисел  удовлетворяющая этим равенствам, поэтому в построенной интерпретации выполнена аксиома 1.

Аксиома 2. Пусть  , ,  - произвольные точки. Тогда имеем: , ,

Простым подсчетом убеждаемся в том что  .

Итак доказана следующая теорема.

Система аксиом 1 – 3 Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.