20737

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Вопрос №11 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость Пусть трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел а непустое множество элементы которого называются точками. Предполагается также что дано множество отображений каждое из которых является отображением вида . Множество называется трехмерным вещественным евклидовым пространством если выполнены следующие аксиомы. Множество является множеством положительноопределенных билинейных форм таких что если то где .

Русский

2013-07-31

101 KB

118 чел.

ГАК. Геометрия

Вопрос №11

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

и ее непротиворечивость

Пусть -трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел, а  - непустое множество, элементы которого называются точками. Предположим, что задано отображение  , и вектор   обозначим через  . Предполагается также, что дано множество отображений, каждое из которых является отображением вида .

Множество  называется трехмерным вещественным евклидовым пространством , если выполнены следующие аксиомы.

  1.  Для каждой из точек А и Е и произвольного вектора  из  существует одно и только одна точка Х, такая что .
  2.  Для любых точек А, В и С выполняется равенство .
  3.  Множество  является множеством положительно-определенных билинейных форм, таких, что если , то , где . Другими словами, в пространстве  дана положительно-определенная билинейная форма с точностью до положительного числового множителя.

Аксиомы 1-2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства  (с пространством переносов ).

Т.о., базовой структуры евклидова пространства  служит тройка множеств , ,, где  -множество точек, - трехмерное векторное пространство над полем , а - поле вещественных чисел.

Следовательно,  структура  определяется всего лишь тремя аксиомами Вейля 1-3. Эту систему обозначают через .

Докажем, что система  непротиворечива. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество  действительных чисел.

Вектором назовем любой столбец вида , где  - произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение векторов определяется как сумма столбцов и умножение столбца на действительное число:

  и   

Множество g положительно – определенных билинейных форм определим так. Введем в рассмотрение билинейную форму , где  и , и рассмотрим множество , где  - любое действительное число. Очевидно, что при этом выполняется аксиома 3 Вейля.

Точкой назовем любую строчку вида , где - произвольные действительные числа.

Отображение  определим так .

Убедимся в том, что в построенной интерпретации выполняются аксиомы 1 – 2 Вейля.

Аксиома1.  Пусть   - произвольная точка,  - произвольный вектор. Мы должны доказать, что существует одна и только одна точка  , такая что , или в терминах нашей интерпретации . Ясно, что существует одна и только одна тройка чисел  удовлетворяющая этим равенствам, поэтому в построенной интерпретации выполнена аксиома 1.

Аксиома 2. Пусть  , ,  - произвольные точки. Тогда имеем: , ,

Простым подсчетом убеждаемся в том что  .

Итак доказана следующая теорема.

Система аксиом 1 – 3 Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64792. ВЗАЄМНА ДИФУЗІЯ ТА ЕВОЛЮЦІЯ СТРУКТУРИ В ЛОКАЛЬНО-НЕОДНОРІДНИХ ПОТРІЙНИХ СПЛАВАХ 4.04 MB
  Виділення найраціональнішого методу визначення матриці коефіцієнтів дифузії для потрійних систем який значно спрощує експеримент є досить актуальною проблемою теорії дифузії. Тому оцінка точності методик визначення матриці коефіцієнтів дифузії для потрійних систем...
64793. БІОТЕХНІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ПІДРОЩУВАННЯ ЛИЧИНОК КОРОПОВИХ РИБ ЗА ОБМЕЖЕНОГО ВОДОПОСТАЧАННЯ (НА ПРИКЛАДІ ВАТ “СКВИРАСІЛЬРИБГОСП”) 498.5 KB
  В цьому випадку вирощувальні стави наповнюються водою ранньою весною і не забезпечують необхідних технологічних умов для ефективного вирощування рибопосадкового матеріалу безпосередньо від €œзаводських личинок тому що до цього моменту у вирощувальних ставах вже накопичується...
64794. Організаційно-економічний механізм оцінки ділової репутації промислового підприємства 335.5 KB
  Процеси приватизації, вторинного перерозподілу власності, утворення нових і переформування крупних корпоративних структур, що відбуваються в Україні, зумовлюють необхідність врахування вартості ділової репутації під час оцінки вартості підприємств як цілісних майнових комплексів.
64795. ПОЛІТИЧНІ ПАРТІЇ ЯК СУБ’ЄКТИ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ В СУЧАСНІЙ УКРАЇНІ 355.5 KB
  Дослідження влади та управління неможливе без аналізу діяльності політичних партій у владних структурах. Тому аналіз впливу інституту політичних партій на державну політику та управління важливий для підвищення їх результативності.
64796. АЛГОРИТМИ АРХІВАЦІЇ НА ОСНОВІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ШТЕРНА-БРОКО 18.8 MB
  Для зберігання великих обсягів інформації для прискорення передачі файлів по мережі а також при не значних об’ємах носіїв даних використовуються алгоритми попереднього стиснення з подальшою можливістю відновлення і обробки.
64797. Імунологічні і гормональні дисфункції у хворих з хронічними механічними травмами слизової оболонки порожнини рота та їх корекція в комплексному лікуванні 285.5 KB
  Це диктує необхідність вивчення характеру дисфункції локальної імунної системи у хворих на хронічну механічну травму СОПР що дозволить предметніше з’ясувати порушення місцевого імунологічного бар’єру. Тому представляється актуальним визначення характеру змін статевих гормонів...
64798. УДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДІВ ВИЗНАЧЕННЯ ГЛИБИН НА ШЕЛЬФІ 376 KB
  Одним з істотних аспектів проблеми безаварійного судноводіння є забезпечення необхідного рівня точності вимірювання глибин при плаванні судна в стислих умовах. Оскільки заходи направлені на зниження аварійності судноводіння є актуальним і перспективним...
64799. ПОЛІПШЕННЯ ТЕХНІЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕКЦІЙНОГО ВАГОНУ-ПЛАТФОРМИ ШЛЯХОМ ВДОСКОНАЛЕННЯ КОНСТРУКЦІЇ 3.64 MB
  Мета даної роботи поліпшення технічних характеристик секційного вагонуплатформи за рахунок удосконалення конструкції з урахуванням зниження металоємності. Для досягнення поставленої мети необхідно: провести огляд існуючих конструкцій спеціалізованих вагонівплатформ...
64800. ДЕРЖАВНИЙ АНТИМОНОПОЛЬНИЙ КОНТРОЛЬ ПРОЦЕСІВ ЕКОНОМІЧНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ 240 KB
  Основою державного контролю економічної концентрації є такі принципи як єдність економічного простору вільне переміщення товарів послуг і фінансових засобів підтримка конкуренції недопущення економічної діяльності спрямованої на монополізацію і несумлінну конкуренцію.