20737

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Вопрос №11 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость Пусть трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел а непустое множество элементы которого называются точками. Предполагается также что дано множество отображений каждое из которых является отображением вида . Множество называется трехмерным вещественным евклидовым пространством если выполнены следующие аксиомы. Множество является множеством положительноопределенных билинейных форм таких что если то где .

Русский

2013-07-31

101 KB

126 чел.

ГАК. Геометрия

Вопрос №11

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

и ее непротиворечивость

Пусть -трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел, а  - непустое множество, элементы которого называются точками. Предположим, что задано отображение  , и вектор   обозначим через  . Предполагается также, что дано множество отображений, каждое из которых является отображением вида .

Множество  называется трехмерным вещественным евклидовым пространством , если выполнены следующие аксиомы.

  1.  Для каждой из точек А и Е и произвольного вектора  из  существует одно и только одна точка Х, такая что .
  2.  Для любых точек А, В и С выполняется равенство .
  3.  Множество  является множеством положительно-определенных билинейных форм, таких, что если , то , где . Другими словами, в пространстве  дана положительно-определенная билинейная форма с точностью до положительного числового множителя.

Аксиомы 1-2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства  (с пространством переносов ).

Т.о., базовой структуры евклидова пространства  служит тройка множеств , ,, где  -множество точек, - трехмерное векторное пространство над полем , а - поле вещественных чисел.

Следовательно,  структура  определяется всего лишь тремя аксиомами Вейля 1-3. Эту систему обозначают через .

Докажем, что система  непротиворечива. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество  действительных чисел.

Вектором назовем любой столбец вида , где  - произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение векторов определяется как сумма столбцов и умножение столбца на действительное число:

  и   

Множество g положительно – определенных билинейных форм определим так. Введем в рассмотрение билинейную форму , где  и , и рассмотрим множество , где  - любое действительное число. Очевидно, что при этом выполняется аксиома 3 Вейля.

Точкой назовем любую строчку вида , где - произвольные действительные числа.

Отображение  определим так .

Убедимся в том, что в построенной интерпретации выполняются аксиомы 1 – 2 Вейля.

Аксиома1.  Пусть   - произвольная точка,  - произвольный вектор. Мы должны доказать, что существует одна и только одна точка  , такая что , или в терминах нашей интерпретации . Ясно, что существует одна и только одна тройка чисел  удовлетворяющая этим равенствам, поэтому в построенной интерпретации выполнена аксиома 1.

Аксиома 2. Пусть  , ,  - произвольные точки. Тогда имеем: , ,

Простым подсчетом убеждаемся в том что  .

Итак доказана следующая теорема.

Система аксиом 1 – 3 Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32858. ФИЛОСОФИЯ МАРКСА И ЭНГЕЛЬСА 36.68 KB
  ФИЛОСОФИЯ МАРКСА И ЭНГЕЛЬСА. Созданная Карлом Марксом 1818-1883 в содружестве с Фридрихом Энгельсом 1820-1895 марксистская философия явилась своеобразным порождением немецкой классической философии: перевернутый объективный идеализм Гегеля здесь превратился в материализм а перевернутый антропологизм Фейербаха превратился хотя и не сразу в социологизм. Другая ее особенность в том что философия у Маркса и Энгельса оказалась тесно связанной с политэкономией и теорией социализма на основе переосмысления классической английской...
32859. РУССКАЯ ФИЛОСОФИЯ: КИРЕЕВСКИЙ, ХОМЯКОВ, ГЕРЦЕН, ЧЕРНЫШЕВСКИЙ, ЛЕОНТЬЕВ, ДАНИЛЕВСКИЙ, ЛЕНИН, ФЛОРЕНСКИЙ 45.31 KB
  Ее феноменальность заключается в том что русская философия развивалась исключительно автономно самостоятельно независимо от европейской и мировой философии не находилась под влиянием многочисленных философских направлений Запада эмпиризма рационализма идеализма и др. Характерными чертами русской философии являются: сильная подверженность религиозному влиянию особенно православию и язычеству; специфическая форма выражения философских мыслей художественное творчество литературная критика публицистика искусство эзопов язык что...
32860. МАТЕРИАЛИЗМ И ИДЕАЛИЗМ. АГНОСТИЦИЗМ. МАТЕРИЯ И ДВИЖЕНИЕ. ИЗМЕНЕНИЕ И ПОКОЙ. (ОПРЕДЕЛЕНИЯ.) ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА. ДИАЛЕКТИКА И МЕТАФИЗИКА 35.77 KB
  В истории философии М. появляются вместе с возникновением философии в рабовладельческих обвах древн. Выступая в качестве идеологов прогрессивной в то время буржуазии материалисты вели борьбу со средневековой схоластикой и церковными авторитетами обращались к опыту как учителю и к природе как объекту философии. этой эпохи было стремление к анализу к разделению природы на более или менее обособленные не связанные друг с другом области и объекты исследования и рассмотрение их вне развития среди представителей материалистической философии...
32861. ПРОБЛЕМА ПОЗНАНИЯ. СТУПЕНИ ПОЗНАНИЯ: ЧУВСТВЕННОЕ И РАЦИОНАЛЬНОЕ, ЭМПИРИЧЕСКОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ. СЕНСУАЛИЗМ И РАЦИОНАЛИЗМ. ПРОБЛЕМА ИСТИНЫ. АГНОСТИЦИЗМ 23.5 KB
  ПРОБЛЕМА ИСТИНЫ. Таким образом лишь в единстве чувственного отражения и рационального познания эмпирического и теоретического познания реальный путь к постижению истины. Проблема истины в познании Следующая важнейшая проблема в познании это проблема истины. Такое понимание истины было продолжено и материалистами Нового времени.
32862. СОЗНАНИЕ И ЧЕЛОВЕК. ГИЛОЗОИЗМ, ПАНПСИХИЗМ. РЕДУКЦИОНИЗМ, ФИЗИКАЛИЗМ, МЕХАНИЦИЗМ 23.23 KB
  Проблема сознания в философии Признание в материализме материи в качестве субстанции сразу же ставит проблему объяснения сознания его происхождения и сущности. Но в дальнейшем было осознано качественное отличие явлений сознания от материальных вещей. Это отличие состоит в невещественности идеальности сознания. Как же решается проблема сознания Уже в древности существовало представление о самостоятельном существовании души.
32863. ГЕОГРАФИЧЕСКАЯ СРЕДА В РАЗВИТИИ ОБЩЕСТВА. ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ В ОБЩЕСТВОВЕДЕНИИ 48.5 KB
  Это положение правильно до возникновения экологического кризиса: в нем противопоставление природы и общества превращающее общественный организм только в социальный. Биосфера это часть природы оболочка Земли в которую входят живые организмы жизнь и неживое вещество преобразуемое потребляемое и охватываемое жизнью. Географическая среда обществ это часть природы с которой данное общество взаимодействует. Единство и борьба природы и человечества сопровождается с одной стороны воздействием природы на общество а с другой стороны ...
32864. МАТЕРИАЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВО. ТРУД. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫЕ СИЛЫ. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ ТРУДА. ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ В ОБЩЕСТВОВЕДЕНИИ 81 KB
  Ключевым при изучении экономической жизни общества является анализ материального производства ибо общество не может существовать без производства необходимых для жизни людей материальных благ. Говоря о материальном производстве необходимо учитывать следующие моменты: Нередко в философской и экономической литературе понятие материального производства отождествляется с понятием общественного производства. Поскольку материальное производство является не только важнейшей но и определяющей сферой совокупного общественного производства то в...
32865. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ. СОЦИАЛЬНАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ. ФАТАЛИЗМ И ВОЛЮНТАРИЗМ 51.5 KB
  ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ. Производственные отношения совокупность материальных экономических отношений между людьми в процессе общественного производства и движения общественного продукта от производства до потребления. Производственные отношения являются необходимой стороной общественного производства. В производстве люди вступают в отношения не только к природе.
32866. ОБЩЕСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ФОРМАЦИЯ И ЦИВИЛИЗАЦИЯ 46.5 KB
  Такое понимание цивилизации мы встречаем у Л. В этом смысле говорят об античной цивилизации цивилизации инков и т. Для того чтобы определиться с понятием цивилизации необходимо очевидно предварительно проанализировать ее наиболее существенные черты. Разумеется речь идет не об инфраструктуре свойственной современной волне цивилизации но к концу варварства прыжок от родоплеменной изолированности уже был совершен.