20737

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Вопрос №11 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость Пусть трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел а непустое множество элементы которого называются точками. Предполагается также что дано множество отображений каждое из которых является отображением вида . Множество называется трехмерным вещественным евклидовым пространством если выполнены следующие аксиомы. Множество является множеством положительноопределенных билинейных форм таких что если то где .

Русский

2013-07-31

101 KB

118 чел.

ГАК. Геометрия

Вопрос №11

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

и ее непротиворечивость

Пусть -трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел, а  - непустое множество, элементы которого называются точками. Предположим, что задано отображение  , и вектор   обозначим через  . Предполагается также, что дано множество отображений, каждое из которых является отображением вида .

Множество  называется трехмерным вещественным евклидовым пространством , если выполнены следующие аксиомы.

  1.  Для каждой из точек А и Е и произвольного вектора  из  существует одно и только одна точка Х, такая что .
  2.  Для любых точек А, В и С выполняется равенство .
  3.  Множество  является множеством положительно-определенных билинейных форм, таких, что если , то , где . Другими словами, в пространстве  дана положительно-определенная билинейная форма с точностью до положительного числового множителя.

Аксиомы 1-2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства  (с пространством переносов ).

Т.о., базовой структуры евклидова пространства  служит тройка множеств , ,, где  -множество точек, - трехмерное векторное пространство над полем , а - поле вещественных чисел.

Следовательно,  структура  определяется всего лишь тремя аксиомами Вейля 1-3. Эту систему обозначают через .

Докажем, что система  непротиворечива. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество  действительных чисел.

Вектором назовем любой столбец вида , где  - произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение векторов определяется как сумма столбцов и умножение столбца на действительное число:

  и   

Множество g положительно – определенных билинейных форм определим так. Введем в рассмотрение билинейную форму , где  и , и рассмотрим множество , где  - любое действительное число. Очевидно, что при этом выполняется аксиома 3 Вейля.

Точкой назовем любую строчку вида , где - произвольные действительные числа.

Отображение  определим так .

Убедимся в том, что в построенной интерпретации выполняются аксиомы 1 – 2 Вейля.

Аксиома1.  Пусть   - произвольная точка,  - произвольный вектор. Мы должны доказать, что существует одна и только одна точка  , такая что , или в терминах нашей интерпретации . Ясно, что существует одна и только одна тройка чисел  удовлетворяющая этим равенствам, поэтому в построенной интерпретации выполнена аксиома 1.

Аксиома 2. Пусть  , ,  - произвольные точки. Тогда имеем: , ,

Простым подсчетом убеждаемся в том что  .

Итак доказана следующая теорема.

Система аксиом 1 – 3 Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82069. ОБЕРИ ЖИТТЯ 330 KB
  Рецепти та традиції що склали основу козацької медицини були обумовлені світоглядом і способом життя козаків. Наші предкизапорожці були невтомливими воїнами: життя козака проходило у воєнних походах і відчайдушних битвах з недругами. Ми навіть не знаємо що за вікном ті самі пігулки ліки мікстури...
82070. Школа: від витоків до сьогодення 444.5 KB
  Але хто сьогодні пояснить сенс тієї важкої кривавої виснажливої війни що тривала цілих десять років забрала десятки тисяч життів й покалічила ще більше душ Навіщо лідерам Країни Рад знадобилося провести ціле покоління крізь справжнє пекло На екран статистика Афганська війна принесла...
82071. Бабий Яр 101.5 KB
  Одновременно через дворников и управдомов распространялась дезинформация о намерении провести перепись и переселение евреев. Большинство из пришедших составляли женщины дети и старики взрослое мужское население было призвано в армию кроме евреев были представители других национальностей из...
82072. Морський бій 585.5 KB
  Ви будете не просто стріляти по квадратах і намагатися потопити кораблі суперників а будете відповідати на запитання з інформатики та математики і за правильну відповідь отримувати бали. Зробивши постріл команда повинна відповісти на запитання з відповідного предмета що криється в цьому квадраті.
82073. Прощавай Букварику! 83 KB
  На стінах розвішені плакати Спасибі Букварику Ласкаво просимо на свято Букваря Вчитель Сьогодні свято це для вас Лунає музика для вас В садках бузок зацвів для вас І сонця промінь теж для вас Мої малята дружний клас Ми всі чекаємо на вас. Буквар взяли ми в перший раз Як зайшли у перший клас.
82074. Дзвони Чорнобиля 38 KB
  Осмислити та усвідомити масштаби трагічних подій, розбудити почуття відповідальності перед наступним поколінням, виховувати глибоку повагу до людей, які віддали своє життя в ім’я майбутнього життя людства, розвивати почуття гордості за свій народ, прищеплювати любов до рідного краю.
82075. Донецьк — одне з міст-господарів Євро-2012 322 KB
  Актуалізувати знання учнів про місто Донецьк як про історичний і культурний центр Донбасу. Ознайомити учнів з пам’ятниками і парками міста Донецька, культурними та спортивними пам’ятками міста. Засвоїти поняття «туристичний центр». Розвивати пам’ять, увагу, інтелектуально-творчі здібності учнів....
82076. Цветочный карнавал 351.5 KB
  Дорогие друзья, сегодня мы собрались в студии, чтобы поговорить о цветах. Нет ничего на Земле прекраснее и нежнее цветов. Для человека цветы всегда были символом совершенства. Цветы давно и прочно вошли в наш быт. Подарить цветы – выразить человеку свои искренние чувства любви, почтения, уважения.
82077. Україна та її історія на уроках зарубіжної літератури 123 KB
  Мета: Поглибити знання учнів про життя і творчість зарубіжних письменників, пов’язаних з Україною, її історією та культурою; сприяти творчо – асоціативній діяльності, розвивати дослідницькі та комунікативні навички.