20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68149. ЛЮТЕРАНСТВО В КОНТЕКСТІ ЗАГАЛЬНОЄВРОПЕЙСЬКОГО ДУХОВНОГО РОЗВИТКУ: ОСОБЛИВОСТІ РЕЛІГІЙНО-КУЛЬТУРНИХ ВІДНОСИН 175 KB
  Науковий інтерес щодо вивчення лютеранства є досить закономірним що пояснюється недостатнім рівнем його висвітлення в нашій країні протягом тривалого часу а також наявністю певних тенденцій відродження духовного потенціалу України на засадах толерантності діалогічності та плюралізму.
68150. Драма-діалог Лесі Українки та діалогічна традиція в європейських літературах 204.5 KB
  Драматичні твори Лесі Українки завдяки своєрідності поєднання в жанрі філософського контексту й драматичної форми дозволяють виділити в них діалогізм філософськоестетичний спосіб мислення та діалогічність здатність до комунікації і окреслити їх поняттям драмадіалог. Творчі пошуки Лесі Українки...
68151. ТРУБНО-ПЕРИТОНЕАЛЬНА БЕЗПЛІДНІСТЬ ТА ДИСГОРМОНАЛЬНІ ЗАХВОРЮВАННЯ МОЛОЧНИХ ЗАЛОЗ 456.5 KB
  Відновлення репродуктивної функції жінок які страждають на безплідність частота якої коливається у межах від 10 до 20 є актуальною медичною та соціальною проблемою В. Тому дисгормональні захворювання молочних залоз ДЗМЗ являють значний інтерес з одного боку як можливий фон для виникнення злоякісного процесу...
68152. ОСНОВОПОЛОЖНІ ПРИНЦИПИ ПРАВА ЯК ІНТЕГРУЮЧИЙ ЕЛЕМЕНТ ПРАВОВОЇ СИСТЕМИ УКРАЇНИ 152 KB
  Протягом багатьох років принципи права є однією з центральних тем у теорії держави і права. В юридичній літературі слушно зазначається, що на підставі та з урахуванням принципів формується вся система права, приймаються юридичні акти, здійснюється правозастосування і тлумачення права.
68153. ЗАХОДИ АДМІНІСТРАТИВНОГО ВПЛИВУ, ЩО ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ ДО НЕПОВНОЛІТНІХ 150 KB
  Така загрозлива тенденція зумовила у свою чергу необхідність пошуку оптимальних шляхів до покращання ситуації зокрема вжиття ефективних заходів адміністративного впливу спрямованих як на виховання так і на попередження адміністративних проступків серед молоді. Так до заходів адміністративної...
68154. ПРАГМАТИКО-ФУНКЦІОНАЛЬНІ ОСОБЛИВОСТІ ПОЛІТИЧНОГО ДИСКУРСУ США ТА УКРАЇНИ ХХІ СТОЛІТТЯ 948 KB
  Метою дисертаційної роботи є виявлення лексико-семантичних та синтактико-стилістичних типологічних особливостей сучасного українського й американського політичного дискурсу що зумовлює вирішення таких завдань: структурувати дефініції термінів політичний...
68155. КОНЦЕПТУАЛЬНА МЕТАФОРА У КЛІШЕ АНГЛОМОВНОГО НАУКОВОГО ТЕКСТУ 204.5 KB
  Для досягнення цієї мети в роботі вирішуються такі конкретні завдання: зясування ролі метафори у формуванні змісту наукового тексту а також ролі клішеметафор як стилістичного засобу мови науки; визначення основних положень теорії концептуальної метафори у їх взаємозвязку з положеннями попередніх...
68156. ПСИХОЛОГІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ВІКОВОЇ ДИНАМІКИ СТРАХІВ У НАВЧАЛЬНІЙ ДІЯЛЬНОСТІ ШКОЛЯРІВ 240 KB
  Динамічний розвиток сучасного суспільства висуває до людини все більш високі вимоги. Для того, щоб бути активним учасником подій, людина має мобілізувати усі сили, як розумові, так і фізичні, що передбачає високий рівень психологічного напруження. Не секрет, що шкільне навчання часто супроводжується виникненням страхів.
68157. ОСНОВИ ТЕХНОЛОГІЧНОЇ ПІДГОТОВКИ АВІАЦІЙНОГО ВИРОБНИЦТВА СКЛАДНОПРОФІЛЬНИХ ВИРОБІВ НА БАЗІ АНАЛІТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕСУ ФОРМОУТВОРЕННЯ 13.91 MB
  Виникає необхідність у зміненні підходів до теорії формоутворення. Процеси формоутворення при цьому багато в чому визначаються керівними програмами аналітичними залежностями інтерполяційних функцій законами розгону й гальмування робочих органів обладнання. Крім того шляхом застосування аналітичних моделей...