20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78546. Учимся жить дружно 45.5 KB
  Цель классного часа - формирование добрых отношений между детьми в классе, развитие стремления быть терпимым в обществе людей, воспитания уважения к одноклассникам.
78547. Знай, люби, бережи природу рідного краю 4.85 MB
  Змістові питання Розкрити цінності природи для людини Показати різноманітність кімнатних рослин Скласти правила догляду за кімнатними рослинами Визначити рослини в народній творчості Визначити групи птахів за способом живлення та місцем проживання...
78548. Жива природа 184.5 KB
  Когнітивні рівні Конкретизовані навчальні цілі Перелік завдань запитань які забезпечують досягнення конкретних цілей Навчальне методичне забезпечення Знання формулює визначення поняття природа; знає що таке жива і нежива природа; називає основні 5 царств живої природи...
78549. Гриби та дроб’янки 2.61 MB
  Формування предметних компетентностей: формувати в учнів поняття: гриби дробянки бактерії зясувати чому це окремі царства живої природи; знайомити дітей із найпоширенішими видами їстівних та отруйних грибів; прослідкувати вплив корисних та хвороботворних бактерій на довкілля...
78550. Формы земной поверхности Украины 116 KB
  Сегодня нас ждут наверно не зря: Холмы и равнины овраги и горы Чтобы больше о них узнать Надо карту уметь читать Быть внимательным уметь наблюдать. Горы обладают удивительным свойством настраивать человека на особый торжественный лад.
78551. Посвята в першокласники 137.5 KB
  Я всміхаюсь сонечку: Здрастуй золоте Я всміхаюсь квіточці: Хай вона росте Я всміхаюсь дощику: Лийся мов з відра Усміхаюсь людям Зичу їм добра Вчитель: Дітки Першого вересня ви переступили поріг школи. Ви прийшли до школи щоб навчитись читати й писати рахувати а також бути хорошими людьми.
78552. МОЇ ПРИХОВАНІ ПОТЕНЦІАЛИ — МОЯ ІНДИВІДУАЛЬНІСТЬ 204.5 KB
  Якщо ви хочете бути задоволені вашою роботою вам також необхідно зрозуміти що ви за особистість. Можна задатися питанням чи так вже необхідно визначати особові параметри. З свого досвіду ми знаємо що на короткий проміжок часу ми можемо поступати так як нам не властиво.
78553. Як досягти поваги в колективі? 65.5 KB
  Мета: навчити правильно поводити себе в колективі; виховувати самоповагу і повагу до інших; сприяти зміцненню класного колективу; розвивати словниковий запас учнів; вчити висловлювати свою думку і прислухатися до думки інших.