20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35711. Рекомендації щодо виконання творчого проекту та оформлення портфоліо (пояснювальної записки) 26.5 KB
  Втуп де потрібно обґрунтувати вибір теми проекту та вказати мету яку плануєте досягнути. Організаційно-підготовчий етап: а короткі історичні відомості про об’єкт проектування або техніку оздоблення чи виготовлення виробу; б проаналізувати виробианалоги мінімум 3 об’єкти; в визначити основні характеристики та встановити вимоги до власного виробу; 5.Конструкторський етап: а виконання клаузури якщо це можливо або робочих рисунків для проекту; б визначення найвдалішого варіанту виробу і виконання його...
35712. Диванная подушка. Творческий проект 1.82 MB
  Для лоскутного шитья нужна красивая ткань которая подходила бы к интерьеру моей комнаты. Перевести рисунок на кальку; перевести рисунок с кальки на ткань; подобрать нитки нужных цветов; натянуть ткань на пяльцы; вышить мелкие детали двойной гладью; вышить крупные детали двойной гладью; выстирать вышитый рисунок; проутюжить вышивку с изнаночной стороны через ткань; вырезать детали наволочки; сшить наволочку; обметать швы; пришить молнию; проутюжить работу. Ситец Бархат...
35713. Элемент декора жилой комнаты. Творческий проект 2.67 MB
  ткань Ткань независимо от выбранной вами техники должна быть из натуральных волокон. Эти виды шелка могут быть использованы для нанесения воска или для набивки уплотненных красок однако при условии что разъединяющий материал достаточно хорошо проникает в ткань. Рамы для росписи Первые небольшие работы можно делать и на больших пяльцах для вышивания или закрепив ткань на деревянном подрамнике который художники используют для натягивания холста. Для выполнения картины Журавли вам понадобиться: ткань 5070 см.
35714. ЧУДО СВОИМИ РУКАМИ. ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЕКТ 2.42 MB
  В древние времена когда ткань только стала распространяться игольницы изготавливались при помощи любой ткани и бумаги которые перекладывались между собой. Позднее игольницы изготавливались из дерева или слоновой кости и между ними располагалась бархатная материя где хранились булавки иголки. Игольницыподушечки Игольницыподушечки часто создаются рукодельницами в декоративных целях. Игольницы украшают вышивкой аппликацией вместо ткани может использоваться вязка.
35715. Декоративная роспись по стеклу. Творческий проект 95.5 KB
  Такой находкой оказалась декоративная роспись по стеклу. Новизна этого проекта в том что техника росписи по стеклу до недавнего времени мало использовалась в украшении интерьера. Любовь к живописи по стеклу в частности увлечение изделиями в стиле модерн пришло ко мне недавно.
35716. Изготовление мягкой игрушки в технике вязания спицами или крючком. Вязаные котята 897.5 KB
  Спицы Спицы это основной инструмент вязальщицы. В зависимости от того из какого материала они выполнены спицы могут быть аллюминиевые стальные деревянные костяные пластмассовые и др. Спицы должны быть абсолютно гладкими чтобы петли по ним могли легко скользить и иметь удобный для работы конец не слишком тупой и не слишком острый. Поэтому если для работы вам нужны тонкие спицы отдайте предпочтение стальным т.
35717. Изготовление и дизайн предметов интерьера. (техника лепки из солёного теста) 98.5 KB
  За основу взята проектная идея: Изготовление декоративного панно для украшения домашнего интерьера. Цель проекта: Выполнить панно для жилого или офисного помещения в соответствии с его стилем. Панно выполненное своими руками замечательно дополнит интерьер любой комнаты и пополнит коллекцию творческих работ воспитанников. Ранее учащиеся коллектива Хлебная сказка уже изготавливали картины из соленого теста на различную тематику поэтому данное панно будет гармонировать с остальными.
35718. Изготовить жилет и аксессуары к нему. Творческий проект 2.27 MB
  Подготовка нитей. Особо изысканные кружева плелись из золотых нитей и применялись для отделки одежды знатных вельмож. Пояса 456 – плетутся с добавлением разноцветных нитей это мне не подходит. Материал: 10 мотков капроновых ниток средней толщины 35 мм в диаметре; Нарезка нитей: для полочки – 20 нитей по 4 м 50 см; 10 нитей по 3 м 50 см; 4 нити основы по 020м 1 нить основы 015 м; 7 нитей основы по 025 м.