20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43137. Какова сущность, функции и структура морали 35.5 KB
  Всем известно, что человек — это индивид, умеющий себя ограничивать. Все мы живем в мире сплошных ограничений. Можно с уверенностью сказать, что человек и человеческое общество возникли тогда, когда научились себя ограничивать. Так, например первыми законами были законы, запрещающие браки между родственниками.
43138. Методика викладання теми “Основні поняття алгоритмізації” у 8 класах 2.21 MB
  У житті ми постійно складаємо опис деякої послідовності дій для досягнення бажаного результату, тому поняття алгоритму не є для нас чимось новим і незвичайним. Кожен із нас використовує сотні різних алгоритмів. Але рішення завдання на комп'ютері неможливо без створення алгоритму. Вміння виконувати завдання, розробляти стратегію її вирішення, висувати і доводити гіпотези досвідченим шляхом, прогнозувати результати своєї діяльності, аналізувати і знаходити раціональні способи вирішення завдання шляхом оптимізації, деталізації створеного алгоритму дозволяють судити про рівень розвитку алгоритмічного мислення школярів. Тому необхідно особливу увагу приділяти алгоритмічному мисленню підростаючого покоління.
43139. Програмування. Методичні вказівки 206 KB
  Тема першого завдання – використання візуальних компонентів із вкладок компонентів Stndrt System dditionl при роботі з масивами даних. Оброблений масив список даних вивести в таблицю MS Word створену за допомогою Delphi. Друге завдання – створення баз даних та обробка інформації з них. База даних створюється за допомогою утілити Dtbse Desktop або за допомогою інших програм створення баз даних наприклад MS ccess.
43140. Синтез автомата по заданому алгоритму роботи 1.49 MB
  Система з чотирьох перемикальніх функцій задана таблицею 2.1 – таблиця істиності заданих функцій Необхідно виконати сумісну мінімізацію функцій f1 f2 f3. Отримати операторні представлення для реалізації системи функцій на програмувальних логічних матрицях. 4 Етапи проектування і терміни їх виконання 1 Розмітка станів автомата 2 Формування вхідного та вихідного алфавітів 3 Побудова графа автомата 4 Побудова таблиці переходів 5 Побудова структурної таблиці автомата 6 Синтез комбинаційних схем для функцій збудження тригерів і вихідних...
43141. Туристский потенциал Вологодской области 108 KB
  Эмпирическую базу курсовой работы составили российские правовые акты; нормативные документы; отчетность и аналитические материалы региональных органов власти (Департамента развития муниципальных образований Вологодской области, Департамента культуры и охраны культурного наследия Вологодской области, Департамента международных, межрегиональных связей и туризма Вологодской области); официальные статистические данные в сфере туризма.
43142. Топонимика как наука о географических названиях 260 KB
  Топонимика как наука о географических названиях В современном русском языке существуют сотни тысяч нарицательных слов обозначающих предметы и их свойства явления природы и другие реалии нашей жизни. Кроме них существует и другой особый мир слов выполняющих функцию выделения индивидуализации и представляющих собой разнообразные имена и названия. Географические названия окружают человека всюду. Таким образом географические названия отражают не только историю природные условия данной местности языковые особенности народа но и могут...
43143. Функциональное зонирование городских земель и анализ негативных процессов на них 9.58 MB
  Функциональное зонирование городских земель и анализ негативных процессов на них. Функциональное зонирование городских земель. Выделение состава городских земель и расчет их баланса.
43144. Создание автоматизированной системы управления персоналом для предприятия ОАО «КЗПК» 189 KB
  С появлением первых средств автоматизации были разработаны и первые программы учета и управления персоналом, число которых как в России, так и в других странах мира исчисляется сейчас сотнями. Если говорить о России, то каждое уважающее себя предприятие или организация, имевшие собственный отдел АСУ, еще в 1980-е гг. пользовались программами учета персонала собственной разработки. Эти программы опирались на различные аппаратные платформы (начиная от мэйнфреймов и заканчивая ПК) и инструментальные средства (начиная от PL-1 и заканчивая Clipper и FoxPro).
43145. Разработка пакета автоматизации делопроизводства предприятия 36 KB
  Создать шаблон включающий: логотип рисунок надпись MS Wordrt. В шаблоне создать и или модифицировать стили не менее 5. Создать базу данных в которой реализован автоматизированный учет продаж оказания услуг аналогично тому который реализован в книге Учет MS Excel. Создать таблицы схему данных обеспечить подстановку.