20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31776. Системы управленческого учета, их класиификация 28 KB
  Функции управления: планирование Организация деятельности мотивация контроль Класиификация систем управленческого учета: Широта охвата информации систематический учет финансовый учет затрат на производство и регламентацию по составу затрат способам регистрации идентификации и группировки представления отчетности проблемный учет формируется информация об экономической технологической конструкторской и организационной подготовке производства: о ценах реализации ГП управление производственными запасами рационализации расходов...
31777. Сущность системы «директ-костинг» и оценка операционного левириджа 29 KB
  Основа –деление затрат ресурсов на постоянные и переменные части и исчисление сокращеной себестоимости. Систему запретили в 90 гг в РФ Виды системы: классический себестоимостьосновные прямые производственные затраты система переменных затрат в огранич себестоимость включаются все затраты имеющие перменный характер по отнош. К изменению объемов производства и продажи развитая себестоимость=переменные затратычасть постоянных затрат расчитанных на коэффициент использования производственной мощности Достоинства сисемы: выявление...
31778. Роль и значение Международных стандартов учета и финансовой отчетности (МСУ ФО) 40 KB
  Международные стандарты финансовой отчетности МСФО это документы определяющие общий подход к составлению финансовой отчетности и предлагающие варианты оценки и учета активов обязательств и операций по их изменению. В МСФО обобщена практика учета наиболее развитых национальных учетных систем. Каждый стандарт содержит следующие элементы: номер стандарта его название цели сферы применения порядок учета основные определения раскрытие информации дату вступления в силу.
31779. СРО аудиторов 38 KB
  Саморегулируемая организация СРО аудиторов это некоммерческая организация созданная на условиях членства в целях обеспечения условий осуществления аудиторской деятельности. Некоммерческая организация приобретает статус саморегулируемой организации СРО аудиторов с момента ее включения в государственный реестр саморегулируемых организаций аудиторов. Некоммерческая организация включается в государственный реестр саморегулируемых организаций СРО аудиторов при условии соответствия ее следующим требованиям: Объединение в составе...
31780. Объединение аудиторов 37.5 KB
  Саморегулируемая организация аудиторов должна быть создана в форме некоммерческой организации объединять в качестве своих членов не менее 700 физических лиц или не менее 500 коммерческих фирм а также состоять в государственном реестре саморегулируемых организаций аудиторов. Причем в течение этого года уже существующие профессиональные аудиторские объединения аккредитованные при Минфине России могли провести процедуры приведения своих учредительных документов в соответствии с новыми требованиями и подать заявление в Минфин России о...
31781. Роль и значение федеральных стандартов аудиторской деятельности 42 KB
  В России где в настоящее время происходит переход от жестко регулируемой континентальной системы бухгалтерского учета к англоамериканской разработка аудиторских правил стандартов ведется самостоятельно с учетом положений международных стандартов аудита. Федеральные правила стандарты базируются на международных стандартах аудита. Правила стандарты аудиторской деятельности это как отмечается в законе об аудиторской деятельности в Российской Федерации единые требования к порядку осуществления аудиторской деятельности оформлению и...
31782. Роль МСА 30 KB
  Национальный стандарт существует в Англии Канаде США Швеции по требованию МСА в этих странах все таки принимаются к сведению в практической деятельности. Правила стандарты аудиторской деятельности единые требования к порядку осуществления аудиторской деятельности оформлению и оценке качества аудита и сопутствующих ему услуг а также к порядку подготовки аудиторов и оценке их квалификации. Стандарты аудиторской деятельности подразделяются на: федеральные правила стандарты аудиторской деятельности; внутренние стандарты аудиторской...
31783. Роль финансового анализа в аудиторской деятельности 29 KB
  Значимость аудиторской проверки с точки зрения собственника инвестора заключается не только в получении информации о достоверности финансовых результатов предприятия и соответствии учетной политики действующему законодательству но и в овладении следующей аналитической информацией для обоснованности принятия решения по управлению инвестициями: динамика предприятия рост стабильность спад; структура капитала предприятия: предполагает ли данная структура риск для вложенного капитала; место предприятия среди других предприятий данной отрасли...
31784. Рынок: сущность, условия и причины возникновения, субъекты, структура, инфраструктура, функции 43 KB
  Существует обыденное и экономическое понятие рынка. В сфере обмена рынка выступают два собственника собственник товара и собственник денег. При этом реализуются две основные стороны рынка: удовлетворение платежеспособного спроса потребителей и возмещение в денежной форме стоимости произведенной и доставленной на рынок продукции. Поэтому экономическое определение рынка Самуэльсон характеризует так: Рынок это упорядоченная структура посредство которой взаимодействуют продавцы и покупатели товара чтобы определить его цену и...