20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77750. РОЛЬ МЕТОДОЛОГИИ В ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 64 KB
  Методология это логическая организация деятельности человека состоящая в определении цели и предмета исследования подходов и ориентиров в его проведении выборе средств и методов определяющих наилучший результат. Цель исследования заключается в поиске наиболее эффективных вариантов построения системы управления и организации ее функционирования и развития. На практике проведение исследования преследует разные цели например: мониторинг качества управления формирование атмосферы творчества и инноваций в...
77751. ПРАКТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДИАЛЕКТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ УПРАВЛЕНИЯ 31.5 KB
  Подходы к исследованию: Механистический подход признающий только причинноследственные связи явлений; Метафизический подход который отдает приоритет связям движения но движения в виде превращения одного движения в другое с последующим возвращением к исходному; Организмический подход акцентирующий те связи которые действуют в живых организмах это главным образом связи функциональные; Диалектический подход основанный на связях рождаемых противоречием. Аспектный подход. Многоаспектный подход.
77752. ОБЩЕНАУЧНЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 81.5 KB
  Но успех исследования в значительной мере зависит от того каким образом по каким критериям мы выбираем методы для проведения конкретного исследования и в какой комбинации мы используем эти методы. Всю совокупность методов исследования можно разделить на две группы: Эмпирические методы построены на осмыслении практической деятельности сути и особенностей событий и ситуаций. Методы наблюдений исследования с минимальным вмешательством в исследуемые события и ситуации.
77753. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД В ИСУ 36.5 KB
  Система управления совокупность звеньев и связей между ними осуществляющих управление. Звенья системы управления выделяются: по специфике объему и масштабу полномочий трудоемкости работы равномерности распределения нагрузки квалификационным требованиям к персоналу информационному обеспечению возможностям территориального размещения сотрудников. Звенья составляющие систему управления отличаются главным образом комбинацией функций и полномочий управления. Звенья системы управления...
77754. СПЕЦИФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИСУ 56.5 KB
  Наиболее важными из них являются методы: исследования документов эксперимент социологические исследования тестирование коллективный анализ социометрические оценки деловые и инновационные игры имитационное моделирование. Одним из критериев выбора методов исследования является степень определенности ситуации или проблемы. Эффективность исследования по документам зависит от: состава документов их содержания формы информационной классификации.
77755. ДИВЕРСИФИЦИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ ИСУ 82 KB
  Наблюдаются ли процессы диверсификации в области исследования? В чем они проявляются? Почему возникает потребность в диверсифицированных методах исследования? Что собой представляют диверсифицированные методы исследования? Что дают диверсифицированные методы, в чем их сильные и слабые стороны?
77756. МЕТОД СИНЕКТИКИ В ИСУ 79.5 KB
  Как мобилизовать и мотивировать творческий потенциал исследователя? Какую роль формирование группы играет в мобилизации творчества исследователя? Как социально-психологические факторы совместной деятельности исследователей влияют на результат?
77757. МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНЦЕПЦИЙ 46 KB
  Методы дивергенции Дивергенция это прием расширения границ предмета исследования которое необходимо для обеспечения достаточного пространства поиска эффективного решения. К методам дивергенции можно отнести методы: обобщения литературы визуализации проблемы обсуждения анализа формулировок накопления и систематизации информации инвентаризации точек зрения и подходов анкетирования анализа ограничений. Методы трансформации Это следующий этап исследования.
77758. МЕТОД МЭТЧЕТА В ИСУ 37 KB
  Это приемы изменения как бы режимов мышления для его сознательного приспособления к целям исследования. Режимы исследования Первый режим мышления мышление по основным элементам. Течтемы средства осознания исследователем разнообразия действий которые он может предпринять на каждом из этапов исследования. потребность в исследовании; ключевая категория исследования; предварительная гипотеза; подход парадигма исследования; переключение.