20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.