20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76786. Мимические мышцы 181.98 KB
  В процессе развития мимические мышцы совершают большие миграции но сохраняют иннервацию от лицевого нерва. Лицевые мышцы сокращаясь формируют выражение лица мимику участвуют в регуляции дыхания артикуляции речи жевании. Мышцы свода черепа Надчерепная мышца состоит из трех частей: лобной затылочной и сухожильного шлема между ними который образует апоневроз затылочнолобной мышцы.
76787. Жевательные мышцы 184.17 KB
  Из промежуточной части – с началом от внутренней поверхности скуловой дуги и суставного бугорка височной кости и прикреплением к наружной поверхности ветви нижней челюсти ниже ее вырезки. Из глубокой части начинающейся от внутренней поверхности скуловой дуги и прикрепляющейся к наружной поверхности мыщелкового отростка и сухожилию височной мышцы. Височная мышца заполняет веерообразно височную яму и состоит: из поверхностного слоя начинающегося от верхней височной линии теменной кости височной фасции и прикрепляющегося к наружной...
76788. Мышцы и фасции плечевого пояса 183 KB
  Под мышцей в области большого плечевого бугра располагается поддельтовидная синовиальная сумка. Кровоснабжение – из торакоакромиальной пекторальной задней огибающей артерий которые анастомозируют в области плечевого сустава с артериями надлопаточной из подключичной окружающей лопатку из подмышечной образуя артериальную сеть. Дельтовидный мускул иннервируется от подмышечного нерва плечевого сплетения.
76789. Мышцы и фасции плеча 180.63 KB
  Функция: сгибание и приведение плеча поворот кнаружи. Двуглавая мышца плеча с короткой и длинной головками начало короткой от клювовидного отростка длинной – от надсуставного лопаточного бугорка. Обе головки на средине плеча сливаются в единое брюшко переходящее в сухожилие с прикреплением к бугристости лучевой кости.
76790. Мышцы и фасции предплечья 184.67 KB
  Плечелучевая мышца с началом от латерального надмыщелкового гребня плеча и латеральной межмышечной перегородки и с прикреплением длинного плоского сухожилия на латеральной поверхности дистального конца лучевой кости. Кровоснабжается лучевой артерией и ее возвратной ветвью коллатеральной лучевой артерией иннервируется лучевым нервом. Круглый пронатор с началом от медиального надмыщелка и медиальной межмышечной перегородки плеча фасции предплечья и от венечного отростка локтевой кости – с прикреплением к середине диафиза лучевой кости....
76791. Мышцы кисти 183.03 KB
  В запястье под кожей располагаются две мощные связки спереди – удерживатель сгибателей а сзади удерживатель разгибателей которые браслетом охватывают кости и сухожилия. Сухожилия сгибателей предплечья и кисти проходят в области запястья под удерживателем который вместе с костями и бороздой запястья формирует карпальный канал. В запястном канале образуется общее синовиальное влагалище вмещающее восемь сухожилий поверхностного и глубокого сгибателей пальцев и одно сухожилие локтевого сгибателя запястья. Такое же длинное синовиальное...
76792. Подмышечная ямка 184.1 KB
  Подкрыльцовая впадина подмышечная ямка – пространство между боковым отделом грудной клетки и плечом. Стенки впадины Передняя стенка образована подключичной большой и малой грудной мышцами покрытыми грудиноключичной фасцией. Верхний ключичногрудной находится между ключицей и верхним краем малой грудной мышцы. Средний грудной соответствует малой грудной мышце с началом от IIIY ребер и прикреплением к клювовидному отростку лопатки.
76793. Венозные сплетения и анастомозы 179.96 KB
  Во многих органах возникают органные венозные сплетения: глоточное щитовидное мочепузырное прямокишечное и другие Три крупных вены: верхняя нижняя полые и воротная образуют каждая свою венозную систему. Венозные соединения между ветвями одной вены то есть пределах одной системы считаются внутрисистемными. Кавакавальные анастомозы в передней брюшной стенке образуются притоками верхней полой вены: верхней надчревной грудонадчревной венами и притоками нижней полой вены: надчревной нижней и надчревной поверхностной. В задней стенке груди...
76794. Плацентарное кровообращение 180.17 KB
  umbiliclis достигает ворот печени и делится на портальную ветвь впадающую в воротную вену и более крупный венозный проток – ductus venosus вливающийся в печеночную или нижнюю полую вену. Поэтому малая часть крови проходит через всю систему воротной вены печени как плодного органа кроветворения и вливается в нижнюю полую через печеночные вены. Пупочная вена после перевязки зарастает в пупке и находится в круглой связке печени впадая в воротную вену что используется для введения через нее лекарственных и диагностических средств при...