20738

Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение

Доклад

Математика и математический анализ

Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.

Русский

2013-07-31

147 KB

17 чел.

Алгебра

10. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.

Определение: Пусть V – линейное пространство над F. Отображение

 f: VV       называется линейным отображением(оператором) пространства V в себя    если:


Из определения следует, что
f является гомоморфизмом, т. к. условия 1 и 2 –это условия сохранения операций.

Пример: Пусть V – линейное пространство действительных  функций, дифференцируемых любое число раз. Оператор дифференцирования, который ставит в соответствие функции её производную, является линейным.

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. Ядром линейного оператора называется

Образом линейного оператора называется

Ядро                                    Образ

Теорема. Пусть f: VV  и f- линейный оператор.

V-конечномерное пространство.

Определение: Пусть  f: VV  и f- линейный оператор. Рассмотрим произвольный базис пространства V:

-образ bi-базисного вектора. Каждый вектор  разложим по базису B:

Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.

Лемма

Пусть  f: VV  и f- линейный оператор

-базис V1B(f)-матрица линейного оператора.

, -образ х.

,

,  тогда

Доказательство:

(2)

Воспользуемся тем, что разложение по базисным векторам единственно и из (1) и (2) получаем систему:

- система скалярных равенств равносильна векторным равенствам.

…….

-это доказывает лемму.

Определение: V- линейное пространство размерности

-«старый базис»

- «новый базис»

…..                               –система, разложение новых базисных векторов относительно  

 старых базисов

Матрица:-матрица перехода от «старого» базиса к «новому».

Столбцы матрицы перехода являются координатными столбцами «новых» базисных векторов относительно «старого» базиса.

Теорема.

Матрица перехода - обратима. (без доказательства).

Определение: Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство. Ненулевой вектор  называется собственным, если: (поле) собственное значение f.

Теорема.

Пусть f: VV  и f- линейный оператор. V-линейное пространство

-базис пространства V. АB(f)-матрица линейного оператора. -собственное значение f, тогда х - собственный вектора оператора f когда координатный столбец удовлетворяет системе:

(1)

Доказательство

х- собств. векторкогда тождественный вектор, т. е. ,если раскрыть матрицу xB-удовл-рит систему (1).

Замечание

Чтобы найти ненулевые решения однородной системы (1) необходимо чтобы главный определитель равнялся 0.Чтобы существовал собственный вектор надо чтобы определитель системы равнялся 0.

Правило нахождения собственных значений  линейного оператора.

1. Фиксируем базис и выписываем матрицу линейного оператора АВ(f)

2.Составляем определитель и приравниваем его к 0.

=0 – Уравнение относительно переменной ,называется характеристическим. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени над полем F. Вопрос о существовании решений характеристического уравнения связан с теорией алгебраических уравнений.

Определение:

Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если число различных собственных значений совпадает с размерностью пространства, то оператор называется оператором с простым спектром.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45591. Семиотический подход к коммуникациям 47.5 KB
  Выделяет понятие знака. Сформирован под воздейст.семиотики (научн.дисциплина, изуч.природу, виды и ф-ции знаков, зн.системы, зн.деят-сть чел.с целью построения общей теории знаков. Знак определся как чувственно-воспринимаемое явление (изображение, письмо,звук), которое представ.или замещает в соц.-комм.процессах др.явление или св-во или отношение (знак-заместитель)
45592. Информационно-коммуникативное общество: сущность, подходы, основные характеристики 33 KB
  Происходящая в современном мире глобальная трансформацияиндустриального общества в информационнокоммуникативное обществосопровождается не только проникновением коммуникации во все сферыжизнедеятельности общества возникновением и развитием качественно нового типакоммуникативных структур и процессов но и глубоким переосмыслениемкоммуникативной природы социальной реальности. Сегодня представления Никласа Лумана о коммуникации как о сущностнойхарактеристике самого общества его утверждения о том что человеческиеотношения да и сама...
45593. Норма современного русского литературного языка. Словари современного русского языка 52.5 KB
  Словари современного русского языка. Литературный язык форма общенародного языка понимаемая говорящими как образцовая. Возникает как необходимость существования единого общеупотребительного общераспространенного языка на территории единого государства.
45594. Научный стиль 39.5 KB
  Образные средства используются не для создания образности выразительности образа а для разъяснения авторской идеи. часто используются в значении мн. Часто используются субъективированные прилагательные переход из одной ч. Используются как средство конкретизации понятий: цепная реакция равномерное движение.
45595. Лексико-грамматические особенности деловой речи 44 KB
  Официально деловой стиль это разновидность литературного языка который функционирует в сфере административно правовой общественной деятельности. Активно используются эти модели и с отрицательной частицей НЕ Преобладание имен над глаголами Существительные обозначающие должности и употребляющиеся в официально деловом стиле в мужском роде: декан почтальон продавец Использование существительных в ед. для обозначения множества: журналист обязан Использование существительных обозначающих лицо по признаку обусловленному...
45596. Публицистический стиль 41.5 KB
  Использованием местоимения мы вместо я. Для публицистического стиля характерно использование следующих языковых средств: Лексические языковые средства: широкое употребление общественно-политической экономической общекультурной лексики; использование торжественной лексики мерило воззрение источать несравненно часто в сочетании с разговорной; использование образных средств: эпитетов сравнений метафор фразеологизмов и крылатых выражений; акцентирование авторского я личной оценки ситуации; частая языковая игра...
45597. Стилистика аудиовизуальных СМИ 59 KB
  Чтобы понять что такое телевизионная речь и в чем ее специфика необходимо прежде всего выяснить кому эта речь предназначена кто ее адресат и чего он ждет от телевизионных текстов. Телевизионная речь как и речь радио адресована массовой аудитории. Телеречь таким образом адресована всем.ТЕЛЕВИЗИОННАЯ РЕЧЬТелевизионная речь это литературная устная речь тут вряд ли могут быть какието разночтения.
45598. Речевые особенности информационных жанров 67.5 KB
  Основная роль принадлежит авторской причем непрямой речи К информационным жанрам относятся: Хроникальная информация заметка корреспонденция отчет интервью путевые заметки блицопрос вопросответ репортаж некролог Хроникальная информация Наиболее простой вид информации. власти настроения силы позиции частое употребление предлога по работы по расширению Синтаксис: относительно сложный строй предложения изза тяги к деловому языку множество оборотов прозрачность и ясность синтаксического строя...
45599. Речевые особенности аналитических жанров 54 KB
  Действительность в ее сущностных проявлениях Формирование универсальных представлений практически приложимых в условиях практического разрешения любой проблемной ситуации Методы теоретического и эмпирического анализа Редакционная статья Решения Формирование читательских представлений о редакционной политике Научные методы анализ синтез индукция дедукция аналогия сравнение и т. Комментарий Позиции Прямое объяснение событий поступка документа с определенной идейнополитической позиции Научные методы анализ синтез индукция...