20739

Ранг матрицы

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

Русский

2013-07-31

107.5 KB

2 чел.

ГАК. Алгебра.

Вопрос №11

Ранг матрицы.

Критерий совместности систем линейных уравнений

Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида

 

где * - какие элементы дальше не важно, … - пропуск соответствующих точек.

В данной матрице первые n строк ненулевые, а остальные нулевые.

Теорема. Элементарными преобразованиями строк и столбцов можно произвольную матрицу привести к виду

где  (основная матрица).

Опр. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов.

 Опр. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы.

 Замечание. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы, не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

 Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после ее приведения к ступенчатому виду.

 

Критерий совместности СЛАУ.

        

:  ……                                                 (1)

        

- расширенная матрица

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Теорема. Кронекера –Капелли

Система совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

  1.  Система m линейных уравнений с n неизвестными  имеет решение в том случае, если матрицы

,

(- матрица системы и расширенная матрица  системы)

имеют один и тот же ранг. В противном случае уравнения несовместны.

Единственное решение (если определитель не равен 0) существует, если . Если обе матрицы имеют ранг , то уравнения

линейно независимы и линейно зависимы при .

В случае  некоторые уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных уравнений (независимых), и им удовлетворяют решения этих уравнений.

2) Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными. В частности, система n однородных линейных уравнений с n неизвестными имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения в том случае, если (определитель).

В этом случае существует точно линейно независимых решений, где - ранг матрицы.

Доказательство.

; ;  

Система  (1) можно переписать в векторной форме:

(2)

а) (1)-совместна

Из того, что (1) совместна следует существование - решение (1). Следовательно выполняется (2).

В – является линейной комбинацией векторов

Б)  следовательно (1)-совместна

(сущ. Базис системы столбцов)

В-линейная комбинация В -линейная комбинация векторов

выполняется (2)

(1) совместна.

Доказали пункт б) при условии существования базиса системы столбцов матрицы А. Если базис системы столбцов матрицы не существует, то

(1) - совместна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39599. ДВУХЛУЧЕВОЙ ОСЦИЛЛОГРАФ НА БАЗЕ ПЕРСОНАЛЬНОГО КОМПЬЮТЕРА 129.5 KB
  Торайгырова было разработано программное обеспечение далее – ПО СПЕКТРПК 1 которое позволяет решать измерительные задачи практически любой сложности: просмотр записанного сигнала на мониторе; проведение измерение основных параметров сигнала: амплитуды длительности частоты; увеличение масштаба отображения интересующей части сигнала; математическое преобразование сигнала выпрямление однопериодное выпрямление добавление постоянной составляющей интегрирование и т.; проведение спектрального анализа различными методами...
39600. Нейронные сети 545.86 KB
  Рост популярности обучающихся алгоритмов обусловлен тем что для подавляющего большинства практических проблем невозможно определить строгую конечную последовательность действий которая бы привела к оптимальному решению поставленных задач. Искусственные нейронные сети ИНС – это математические модели а также их программные или аппаратные реализации построенные по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей – сетей нервных клеток живого организма. В виду большого разнообразия типов ИНС приведенных в [Хайкин] для...
39602. Система видеонаблюдения пространственно разнесенных объектов 2.27 MB
  Цель работы – спроектировать линейную часть системы видеонаблюдения пространственно разнесённых объектов. Проанализированы различные сетевые модели систем видеонаблюдения разработана структурная схема системы видеонаблюдения пространственно разнесенных объектов рассчитаны основные параметры разработанной системы. В дипломном проекте приводится техникоэкономическое обоснование разработки системы видеонаблюдения пространственно разнесенных объектов. Рассчитана цена разработки и внедрения системы определена смета работ.
39603. Изменения установок под воздействием убеждающих вербальных сообщений 691 KB
  Проблему изменения установок с помощью убеждающих сообщений приходится решать практически во всех областях деятельности начиная с управления для более эффективной работы персонала часто приходится изменять установки заканчивая медициной в медицине эффективность лечения во многом зависит от установок пациента. В практической части мы на практике рассмотрели каким образом убеждающее сообщение может изменить установки а так же произведем анализ ряда прикладных проблем и проверим...
39605. ФОРМИРОВАНИЕ СТРУКТУР КРЕМНИЙ-НА-ИЗОЛЯТОРЕ 3.21 MB
  Цель работы исследование существующих методов формирования структру КремнийНаИзоляторе а так же оптимизация режимов формирования КНИ пластин с целью уменьшения дефектов рабочего слоя кремния и уменьшения дозы имплантируемых ионов. Нами были выполнены работы по отработке и развитию технологии изготовления КНИ пластин по мотивам метода SmartCut.5 ВВЕДЕНИЕ В КНИ СТРУКТУРЫ Основные преимущества КНИ структур .6 Структура КНИ пластины.
39606. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Информационное моделирование» 558.5 KB
  Выделение и описание сущностей Целью данной работы является умение использовать метод моделирования сущностьсвязь на практике на шаге работы с сущностями умение доказательно выделять все сущности из конкретного описания предметной области. Из выполненного описания предметной области выделить все сущности. Необходимо доказать что в данной предметной области описаны именно выделенные студентом сущности. Основные концепции модели сущностьсвязь русское название метода ERдиаграмм включают понятие типа сущности или сущность.
39607. Информационно-справочная система «Путеводитель по торговым объектам Гродненской области» на языке программирования C# 2.6 MB
  Всё это обусловлено тем, что не все учебные пособия отражают ту специфику, все те необходимые аспекты, которые зависят от предметной области и требований преподавателя. К тому же постоянно возникают новые задачи