20739

Ранг матрицы

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

Русский

2013-07-31

107.5 KB

2 чел.

ГАК. Алгебра.

Вопрос №11

Ранг матрицы.

Критерий совместности систем линейных уравнений

Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида

 

где * - какие элементы дальше не важно, … - пропуск соответствующих точек.

В данной матрице первые n строк ненулевые, а остальные нулевые.

Теорема. Элементарными преобразованиями строк и столбцов можно произвольную матрицу привести к виду

где  (основная матрица).

Опр. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов.

 Опр. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы.

 Замечание. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы, не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

 Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после ее приведения к ступенчатому виду.

 

Критерий совместности СЛАУ.

        

:  ……                                                 (1)

        

- расширенная матрица

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Теорема. Кронекера –Капелли

Система совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

  1.  Система m линейных уравнений с n неизвестными  имеет решение в том случае, если матрицы

,

(- матрица системы и расширенная матрица  системы)

имеют один и тот же ранг. В противном случае уравнения несовместны.

Единственное решение (если определитель не равен 0) существует, если . Если обе матрицы имеют ранг , то уравнения

линейно независимы и линейно зависимы при .

В случае  некоторые уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных уравнений (независимых), и им удовлетворяют решения этих уравнений.

2) Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными. В частности, система n однородных линейных уравнений с n неизвестными имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения в том случае, если (определитель).

В этом случае существует точно линейно независимых решений, где - ранг матрицы.

Доказательство.

; ;  

Система  (1) можно переписать в векторной форме:

(2)

а) (1)-совместна

Из того, что (1) совместна следует существование - решение (1). Следовательно выполняется (2).

В – является линейной комбинацией векторов

Б)  следовательно (1)-совместна

(сущ. Базис системы столбцов)

В-линейная комбинация В -линейная комбинация векторов

выполняется (2)

(1) совместна.

Доказали пункт б) при условии существования базиса системы столбцов матрицы А. Если базис системы столбцов матрицы не существует, то

(1) - совместна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16097. Уголовный сыск России в X - начале XX веках 627 KB
  Уголовный розыск является одним из важнейших элементов российской правоохранительной системы, которая сегодня переживает трудный период и нуждается в существенном реформировании в связи с появлением новых ориентиров и сложившимися реалиями, связанными с процессами демократизации российского общества
16098. Право социального обеспечения в Украине 1.48 MB
  Право социального обеспечения в Украине На основе текста учебника автора И. М. Сирота 2000. Раздел I ОБЩАЯ ЧАСТЬ Глава I ПОНЯТИЕ ПРЕДМЕТ И СИСТЕМА ПРАВА СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ 1. Теоретические основы социального обеспечения или социальной защиты нетру
16099. Загальнотеоретичні проблеми адвокатології 1.05 MB
  Навчальний курс Адвокатура України є необхідною складовою частиною вивчення загальнотеоретичних дисциплін для формування особистості майбутнього юриста. Мета вивчення ціп дисципліни - формування системи знань зі специфіки адвокатської діяльності як прикладної галузі юридичної спеціальності. Але у вітчизняній навчальній юридичній літературі підходи у дослідженні теорії адвокатології ще не відповідають сучасним умовам і відстають від правових реалій
16100. Адвокатура України 587 KB
  Глава І Поняття та сутність інституту адвокатури Слово адвокатура походить від латинського кореня advocare advocatus закликати запрошений1. На перших ступенях юридичного розвитку людського суспільства адвокатура в тому вигляді у якому вона існує сьогодні у єв
16102. Разработка специализированных средств человеко-компьютерного интерфейса. Обучение навыкам работы на компьютере с использованием прототипа данного интерфейса 5.69 MB
  В интерактивных (особенно визуальных) системах потребителем (визуальной) информации является, прежде всего, другой человек. Компьютер же при использовании визуальных методов представления вводимой информации в любом случае получает простые команды на выполнение той или иной операции.
16103. Органи державної влади України 3.44 MB
  Найбільша увага приділяється проблемам органів законодавчої влади в механізмі здійснення державної влади та проблемам органів виконавчої і судової влади, їх структури, функцій та форм діяльності, здійсненню парламентської, адміністративної і судової реформ.
16104. Право соціального забезпечення 2.21 MB
  У навчальному посібнику на основі чинного законодавства України та відповідно до програми курсу «Право соціального забезпечення» розглядаються питання правового регулювання соціального захисту громадян в Україні.
16105. Виявлення та ліквідація підпільних лабораторій з виготовлення наркотичних засобів та психотропних речовин 168 KB
  Г. В. Пасічник М С. Хруппа В. М. Жмінько та ін. Виявлення та ліквідація підпільних лабораторій з виготовлення наркотичних засобів та психотропних речовин: Метод. рекомендації. К.: РВВ МВС України 2000. 35 с. У методичних рекомендациях дано кримінолопчне визначення понят