20739

Ранг матрицы

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

Русский

2013-07-31

107.5 KB

2 чел.

ГАК. Алгебра.

Вопрос №11

Ранг матрицы.

Критерий совместности систем линейных уравнений

Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида

 

где * - какие элементы дальше не важно, … - пропуск соответствующих точек.

В данной матрице первые n строк ненулевые, а остальные нулевые.

Теорема. Элементарными преобразованиями строк и столбцов можно произвольную матрицу привести к виду

где  (основная матрица).

Опр. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов.

 Опр. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы.

 Замечание. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы, не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

 Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после ее приведения к ступенчатому виду.

 

Критерий совместности СЛАУ.

        

:  ……                                                 (1)

        

- расширенная матрица

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Теорема. Кронекера –Капелли

Система совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

  1.  Система m линейных уравнений с n неизвестными  имеет решение в том случае, если матрицы

,

(- матрица системы и расширенная матрица  системы)

имеют один и тот же ранг. В противном случае уравнения несовместны.

Единственное решение (если определитель не равен 0) существует, если . Если обе матрицы имеют ранг , то уравнения

линейно независимы и линейно зависимы при .

В случае  некоторые уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных уравнений (независимых), и им удовлетворяют решения этих уравнений.

2) Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными. В частности, система n однородных линейных уравнений с n неизвестными имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения в том случае, если (определитель).

В этом случае существует точно линейно независимых решений, где - ранг матрицы.

Доказательство.

; ;  

Система  (1) можно переписать в векторной форме:

(2)

а) (1)-совместна

Из того, что (1) совместна следует существование - решение (1). Следовательно выполняется (2).

В – является линейной комбинацией векторов

Б)  следовательно (1)-совместна

(сущ. Базис системы столбцов)

В-линейная комбинация В -линейная комбинация векторов

выполняется (2)

(1) совместна.

Доказали пункт б) при условии существования базиса системы столбцов матрицы А. Если базис системы столбцов матрицы не существует, то

(1) - совместна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42160. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ДИА- И ПАРАМАГНЕТИКОВ 84 KB
  4 Тогда вектор результирующей магнитной индукции будет определяться с учетом 3 и 4: 5 где 0 = 4 107 Гн м магнитная постоянная  = 1  относительная магнитная проницаемость вещества показывающая во сколько раз изменяется магнитное поле в веществе по сравнению с магнитным полем в вакууме: ....
42161. ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОНТУРЕ 115.5 KB
  Простейшими колебаниями являются гармоничные колебания происходящие по закону синуса или косинуса:    Сos t или  =  Sin t  где  мгновенное значение колеблющейся величины отклонение наблюдаемой величины от положения равновесия в момент времени t  амплитуда колебания наибольшее отклонение колеблющейся величины от её равновесного значения;  циклическая или круговая частота колебаний  начальная при t = 0 фаза колебаний. Гармонические колебания являются...
42162. ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОНТУРЕ 134 KB
  Явление резонанса в колебательном контуре. 6 Графики зависимости I0 = f  при различных значениях сопротивления R называемые резонансными кривыми колебательного контура представлены на рис. Эта амплитуда как видно из 5 будет максимальна при частоте отвечающей условию и называемой резонансной частотой РЕЗ. Выражая отсюда РЕЗ получаем .
42163. Эффект Холла в полупроводниках 97 KB
  Изучить эффект Холла в полупроводниках с электронном n тип типом проводимости In Sb а также сделать оценочный расчет некоторых параметров этого полупроводника. Эффект Холла наблюдается при одновременном воздействии на вещество металл или полупроводник электрического и магнитного полей. Эффект Холла несет информацию о таких важнейших характеристиках проводника как концентрация и знак носителей тока.
42164. НЕОБРАТИМЫЙ МАГНИТОУПРУГИЙ ЭФФЕКТ ФЕРРОМАГНЕТИКА ПРИ УДАРЕ. ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ УДАРА 81 KB
  У магнитотвердых материалов таких как кобальтовые стали альнико бариевые ферриты SmCo5 NdFeB и другие из которых делаются постоянные магниты требующие огромные поля чтобы междоменные границы начали двигаться. Под действием магнитного поля весь каркас границ приходит в движение и в результате домены с намагниченностью ориентированной вдоль поля увеличиваются в размерах за счет антипараллельных или поперечных доменов. В больших полях МДГ исчезают и материал намагничивается до насыщения. Зависимость намагниченности I от поля для...
42165. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ 118.5 KB
  ls logy c x1 x2 x3 x4 x5 Логарифмическое уравнение . ls y c logx1 logx2 logx3 logx4 logx5 Гиперболическое уравнение . ls logy c logx1 logx2 logx3 logx4 logx5 Показательное уравнение βi 0 βi≠1. ls logy=c1logc2x1logc3x2logc4x3 Примечание: Переменные содержащие в наблюдениях значения 0 нельзя логарифмировать и брать обратную величину.
42166. ВЫБОР РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ 242.5 KB
  Ранее предполагалось что мы имеем дело с правильной спецификацией модели то есть считалось что зависимая переменная y регрессоры X и оцениваемые параметры β связаны соотношением y = Xβ ε и выполняются условия ГауссаМаркова. Рассматривается два основных случая: В оцениваемой модели отсутствует часть независимых переменных имеющихся в истинной модели исключение существенных переменных: истинная модель: y = Xβ Zγ ε длинная регрессия; оцениваемая модель: y = Xβ ε короткая регрессия. В оцениваемой модели присутствуют...
42167. ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ 137 KB
  Знайти і видати на екран і в файл значення: сум модулів елементів кожного стовпчика матриці А, середнього арифметичного найменших елементів кожного рядка матриці А; обчислити матрицю В, яка визначається за формулами і видати на екран; в матриці А поміняти місцями найбільший за модулем елемент останнього рядка і найменший за модулем елемент першого стовпчика і видати на екран.
42168. Тригери. Опис тригерів на мові VHDL 225.5 KB
  Хід роботи Отримати у викладача завдання на лабораторну роботу відповідно до номера свого варіанту.3 Примітиви тригерів які використовуються пакетом Qurtus II № варіанта dff jkffe Виписати з довідника параметри мікросхем які використовувались при створенні схеми таблиці дійсності та часові діаграми роботи тригерів. Допуском до виконання лабораторної роботи є розроблена електрична принципова схема та часові діаграми її роботи побудовані з врахуванням затримок. При побудові часових діаграм проглянути всі режими роботи схеми.