20739

Ранг матрицы

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

Русский

2013-07-31

107.5 KB

2 чел.

ГАК. Алгебра.

Вопрос №11

Ранг матрицы.

Критерий совместности систем линейных уравнений

Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида

 

где * - какие элементы дальше не важно, … - пропуск соответствующих точек.

В данной матрице первые n строк ненулевые, а остальные нулевые.

Теорема. Элементарными преобразованиями строк и столбцов можно произвольную матрицу привести к виду

где  (основная матрица).

Опр. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов.

 Опр. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы.

 Замечание. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы, не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

 Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после ее приведения к ступенчатому виду.

 

Критерий совместности СЛАУ.

        

:  ……                                                 (1)

        

- расширенная матрица

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Теорема. Кронекера –Капелли

Система совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

  1.  Система m линейных уравнений с n неизвестными  имеет решение в том случае, если матрицы

,

(- матрица системы и расширенная матрица  системы)

имеют один и тот же ранг. В противном случае уравнения несовместны.

Единственное решение (если определитель не равен 0) существует, если . Если обе матрицы имеют ранг , то уравнения

линейно независимы и линейно зависимы при .

В случае  некоторые уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных уравнений (независимых), и им удовлетворяют решения этих уравнений.

2) Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными. В частности, система n однородных линейных уравнений с n неизвестными имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения в том случае, если (определитель).

В этом случае существует точно линейно независимых решений, где - ранг матрицы.

Доказательство.

; ;  

Система  (1) можно переписать в векторной форме:

(2)

а) (1)-совместна

Из того, что (1) совместна следует существование - решение (1). Следовательно выполняется (2).

В – является линейной комбинацией векторов

Б)  следовательно (1)-совместна

(сущ. Базис системы столбцов)

В-линейная комбинация В -линейная комбинация векторов

выполняется (2)

(1) совместна.

Доказали пункт б) при условии существования базиса системы столбцов матрицы А. Если базис системы столбцов матрицы не существует, то

(1) - совместна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72599. Антимонопольный орган и его правовое положение. Функции антимонопольного органа. Полномочия антимонопольного органа 20.98 KB
  Федеральная антимонопольная служба является уполномоченным федеральным органом исполнительной власти осуществляющим функции по принятию нормативных правовых актов и контролю за соблюдением антимонопольного законодательства законодательства в сфере деятельности субъектов естественных...
72600. Правовые средства и формы регулирования, применяемые антимонопольными органами. Акты антимонопольных органов 16.44 KB
  Действующее антимонопольное законодательство предусматривает достаточно широкий спектр правовых средств антимонопольного регулирования применяемых компетентным государственным органом в строго определенных случаях и в определенном порядке. Формой антимонопольного реагирования чаще всего является предписание.
72601. Права работников антимонопольного органа при проведении проверок соблюдения антимонопольного законодательства. Обязанность представления информации в антимонопольный орган 12.97 KB
  При осуществлении контроля за соблюдением антимонопольного законодательства работники антимонопольного органа в соответствии с возложенными на них полномочиями при предъявлении ими служебных удостоверений и приказа руководителя антимонопольного органа о проведении проверки соблюдения...
72602. Сущность монополии. Монополия и юридическое лицо 17.61 KB
  Господство в экономике служит основой того влияния которое монополии оказывают на все сферы жизни страны. Следовательно главным признаком монопольного образования монополии является занятие монопольного положения.
72603. Сочетание монополии и конкуренции. Основные типы монополий 16.5 KB
  Монополией называют чаще всего крупную корпорацию, которая сосредоточивает в своих руках значительную долю производства и сбыта товаров и господствует на рынке с целью извлечения высокой прибыли. В данном случае речь идет о хозяйственной монополии.
72604. Понятие и виды монополистической деятельности. Монополистическая деятельность и свобода предпринимательства 16.23 KB
  Понятие и виды монополистической деятельности на товарном рынке Под монополистической деятельностью понимаются противоречащие антимонопольному законодательству действия бездействие хозяйствующих субъектов или федеральных органов исполнительной власти органов исполнительной власти субъектов...
72605. Запрет на ограничивающие конкуренцию соглашения или согласованные действия хозяйствующих субъектов 19 KB
  Речь идет о положениях ч. 1 комментируемой статьи, согласно которым запрещаются соглашения между хозяйствующими субъектами или согласованные действия хозяйствующих субъектов на товарном рынке, если такие соглашения или согласованные действия приводят или могут привести к: установлению или поддержанию цен...
72606. Допустимость «вертикальных» соглашений 13.05 KB
  Допускаются вертикальные соглашения в письменной форме за исключением вертикальных соглашений между финансовыми организациями если эти соглашения являются договорами коммерческой концессии. Допускаются вертикальные соглашения между хозяйствующими субъектами за исключением вертикальных...
72607. Комиссия по рассмотрению дел о нарушении антимонопольного законодательства. Акты, принимаемые комиссией 14.22 KB
  Состав комиссии и ее председатель утверждаются антимонопольным органом. Председателем комиссии может быть руководитель антимонопольного органа или его заместитель. Количество членов комиссии не должно быть менее чем три человека. Замена члена комиссии осуществляется на основании мотивированного...