20739

Ранг матрицы

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

Русский

2013-07-31

107.5 KB

2 чел.

ГАК. Алгебра.

Вопрос №11

Ранг матрицы.

Критерий совместности систем линейных уравнений

Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида

 

где * - какие элементы дальше не важно, … - пропуск соответствующих точек.

В данной матрице первые n строк ненулевые, а остальные нулевые.

Теорема. Элементарными преобразованиями строк и столбцов можно произвольную матрицу привести к виду

где  (основная матрица).

Опр. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов.

 Опр. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы.

 Замечание. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы, не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

 Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после ее приведения к ступенчатому виду.

 

Критерий совместности СЛАУ.

        

:  ……                                                 (1)

        

- расширенная матрица

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Теорема. Кронекера –Капелли

Система совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

  1.  Система m линейных уравнений с n неизвестными  имеет решение в том случае, если матрицы

,

(- матрица системы и расширенная матрица  системы)

имеют один и тот же ранг. В противном случае уравнения несовместны.

Единственное решение (если определитель не равен 0) существует, если . Если обе матрицы имеют ранг , то уравнения

линейно независимы и линейно зависимы при .

В случае  некоторые уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных уравнений (независимых), и им удовлетворяют решения этих уравнений.

2) Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными. В частности, система n однородных линейных уравнений с n неизвестными имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения в том случае, если (определитель).

В этом случае существует точно линейно независимых решений, где - ранг матрицы.

Доказательство.

; ;  

Система  (1) можно переписать в векторной форме:

(2)

а) (1)-совместна

Из того, что (1) совместна следует существование - решение (1). Следовательно выполняется (2).

В – является линейной комбинацией векторов

Б)  следовательно (1)-совместна

(сущ. Базис системы столбцов)

В-линейная комбинация В -линейная комбинация векторов

выполняется (2)

(1) совместна.

Доказали пункт б) при условии существования базиса системы столбцов матрицы А. Если базис системы столбцов матрицы не существует, то

(1) - совместна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47127. Система работы с персоналом. Структура персонала 150.5 KB
  Профессиональная карьера — рост знаний, умений, навыков. Профессиональная карьера может идти по линии специализации (углубление в одной, выбранной в начале профессионального пути, линии движения) или транспрофессионализации (овладение другими областями человеческого опыта, связанное, скорее, с расширением инструментария и областей деятельности).
47128. Базы данных и СУБД 69.78 KB
  Базы данных и СУБД. Под базой данных понимается множество взаимосвязанных элементарных групп данных информации которые могут обрабатываться одной или несколькими прикладными системами. Трехуровневая архитектура базы данных. Внутренний уровень – это уровень определяющий физический вид базы данных наиболее близкий к физическому хранению и связан со способами сохранения информации на физических устройствах хранения.
47129. Информация. Информационные сообщения 61.07 KB
  Информационным объемом сообщения называется количество битов в этом сообщении. В современной вычислительной технике принято объединять биты в восьмерки, называемые байтами: 1 байт = 8 бит. Наряду с битами и байтами используются и более крупные единицы измерения информационного объема сообщения
47130. Проектні пропозиції щодо покращення стану озеленення та благоустрою території парку «Юність» у Святошинському районі м. Києва 2.27 MB
  Парки, сквери є місцями активного й пасивного відпочинку населення. Особливо великою є роль парків культури і відпочинку. Окрім них у містах влаштовують сквери, бульвари, дитячі парки, міські сади, ботанічні сади, вуличні зелені насадження уздовж тротуарів, прибудинкові зелені насадження, палісадники, зелені насадження на промислових підприємствах, в лікарнях, школах і т. ін.
47133. Транснациональные корпорации 62.66 KB
  Так стороны Конвенции о транснациональных корпорациях признают под понятием транснациональная корпорация юридическое лицо совокупность юридических лиц: имеющее в собственности хозяйственном ведении или оперативном управлении обособленное имущество на территориях двух и более сторон; образованное юридическими лицами двух и более сторон; зарегистрированное в качестве корпорации в соответствии с Конвенцией.С развитием и совершенствованием правового регулирования деликтных отношений такое единообразие в подходе было дополнено...
47134. ФОРМЫ И ФУНКЦИИ ПОДРАЖАНИЯ В ДЕТСТВЕ (По Обуховой) 63.5 KB
  Ими было установлено что подражание или имитация такая форма поведения которая находится в непрерывном изменении и вносит важный вклад в формирование интеллекта личности ребенка помогает ему в освоении норм социальной жизни. Связь подражания ребенка определенного возраста со специфической социальной ситуацией его развития; установили функции отдельных видов подражания; выявили его родство с ориентировочноисследовательской деятельностью. Опираясь на идеи Эльконина и его концепцию периодизации психического развития и Гальперина и его...