20739

Ранг матрицы

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

Русский

2013-07-31

107.5 KB

2 чел.

ГАК. Алгебра.

Вопрос №11

Ранг матрицы.

Критерий совместности систем линейных уравнений

Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида

 

где * - какие элементы дальше не важно, … - пропуск соответствующих точек.

В данной матрице первые n строк ненулевые, а остальные нулевые.

Теорема. Элементарными преобразованиями строк и столбцов можно произвольную матрицу привести к виду

где  (основная матрица).

Опр. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов.

 Опр. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы.

 Замечание. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы, не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

 Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после ее приведения к ступенчатому виду.

 

Критерий совместности СЛАУ.

        

:  ……                                                 (1)

        

- расширенная матрица

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Теорема. Кронекера –Капелли

Система совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

  1.  Система m линейных уравнений с n неизвестными  имеет решение в том случае, если матрицы

,

(- матрица системы и расширенная матрица  системы)

имеют один и тот же ранг. В противном случае уравнения несовместны.

Единственное решение (если определитель не равен 0) существует, если . Если обе матрицы имеют ранг , то уравнения

линейно независимы и линейно зависимы при .

В случае  некоторые уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных уравнений (независимых), и им удовлетворяют решения этих уравнений.

2) Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными. В частности, система n однородных линейных уравнений с n неизвестными имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения в том случае, если (определитель).

В этом случае существует точно линейно независимых решений, где - ранг матрицы.

Доказательство.

; ;  

Система  (1) можно переписать в векторной форме:

(2)

а) (1)-совместна

Из того, что (1) совместна следует существование - решение (1). Следовательно выполняется (2).

В – является линейной комбинацией векторов

Б)  следовательно (1)-совместна

(сущ. Базис системы столбцов)

В-линейная комбинация В -линейная комбинация векторов

выполняется (2)

(1) совместна.

Доказали пункт б) при условии существования базиса системы столбцов матрицы А. Если базис системы столбцов матрицы не существует, то

(1) - совместна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38229. Теория бухгалтерского учета. Понятие об учете, виды учета, их взаимосвязь 487 KB
  Понятие об учете виды учета их взаимосвязь. Предмет и объекты бухгалтерского учета. Метод бухгалтерского учета. Обобщение данных текущего бухгалтерского учета.
38230. Глобализация конкуренции и конкурентные преимущества стран 39.08 KB
  Один из основных детерминантов национального конкурентного преимущества в какойлибо отрасли это спрос на внутреннем рынке на товары или услуги предлагаемые этой отраслью. Взаимосвязанные отрасли Для многих отраслей самым главным ресурсом остается наличие связанных и вспомогательных отраслей. Стратегия структура и соперничество фирм Еще одним важным детерминантом определяющим конкурентоспособность отрасли является тот факт что фирма создается организуется и управляется в зависимости от характера конкуренции на внутреннем рынке.
38231. Маркетинг. Ответы на экзаменационные вопросы 111 KB
  Сущность и эволюция маркетинга. Изучение маркетинга позволяет сделать максимально правильный выбор целевого рынка. Самой главной целью маркетинга является: поставить производимый товар или услугу вне конкуренции. Без маркетинга работа предприятия практически невозможна.
38232. Теория маркетинга. Сбытовая политика предприятия 394.5 KB
  Рынок – совокупность существующих и потенциальных покупателей товара. Анализ маркетинговой среды: определение ёмкости рынка прогнозирование величины спроса проведение маркетинговых исследований выбор целевого сегмента и определение его профиля позиционирование товара и фирмы в целом. Разработка товарной политики: разработка новых товаров управление товарным ассортиментом разработка дизайна и качественных характеристик товара разработка упаковки и товарной марки определение комплекса дополнительных услуг. Применяется когда реальные...
38233. Организация маркетинга на предприятии, организационный механизм 62.5 KB
  Организационный механизм – маркетинговое подразделение предприятия а управленческий – разрабатываемый им план маркетинга который является составной частью бизнес-плана. Функциональная служба маркетинга включает в себя отделы где сотрудники специализируются на выполнении одной определённой функции маркетинга. Товарная служба маркетинга характеризуется те что служба состоит из отдела которая осуществляет деятельность по определённому товару группе товаров.
38234. Анализ маркетинговой среды 109.5 KB
  Видовые конкуренты – это прочие разновидности того же товара способные удовлетворить конкретное желание покупателя. Конкуренты марки – это разные марки одного и того же товара способные удовлетворить его желание. В данном случае разновидностями товара будут трех пяти и десятискоростные велосипеды. расположите по определённым характеристикам характеристики товара при его покупке.
38235. Товарная политика предприятия 82 KB
  Товары в зависимости от цели покупки и категории покупателя разделяют на потребительские и промышленные. Потребительские товары – товары которые покупаются физическими лицами для личного некоммерческого потребления. Товары произведенотехнического назначения промышленные – товары которые приобретаются предприятиями и организациями для промышленного потребления т. Потребительские товары делятся на группы виды в зависимости от покупательского поведения при их покупке: 1.