20739

Ранг матрицы

Доклад

Математика и математический анализ

Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

Русский

2013-07-31

107.5 KB

2 чел.

ГАК. Алгебра.

Вопрос №11

Ранг матрицы.

Критерий совместности систем линейных уравнений

Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида

 

где * - какие элементы дальше не важно, … - пропуск соответствующих точек.

В данной матрице первые n строк ненулевые, а остальные нулевые.

Теорема. Элементарными преобразованиями строк и столбцов можно произвольную матрицу привести к виду

где  (основная матрица).

Опр. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов.

 Опр. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы.

 Замечание. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы, не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.

 Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после ее приведения к ступенчатому виду.

 

Критерий совместности СЛАУ.

        

:  ……                                                 (1)

        

- расширенная матрица

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Теорема. Кронекера –Капелли

Система совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

  1.  Система m линейных уравнений с n неизвестными  имеет решение в том случае, если матрицы

,

(- матрица системы и расширенная матрица  системы)

имеют один и тот же ранг. В противном случае уравнения несовместны.

Единственное решение (если определитель не равен 0) существует, если . Если обе матрицы имеют ранг , то уравнения

линейно независимы и линейно зависимы при .

В случае  некоторые уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных уравнений (независимых), и им удовлетворяют решения этих уравнений.

2) Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными. В частности, система n однородных линейных уравнений с n неизвестными имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения в том случае, если (определитель).

В этом случае существует точно линейно независимых решений, где - ранг матрицы.

Доказательство.

; ;  

Система  (1) можно переписать в векторной форме:

(2)

а) (1)-совместна

Из того, что (1) совместна следует существование - решение (1). Следовательно выполняется (2).

В – является линейной комбинацией векторов

Б)  следовательно (1)-совместна

(сущ. Базис системы столбцов)

В-линейная комбинация В -линейная комбинация векторов

выполняется (2)

(1) совместна.

Доказали пункт б) при условии существования базиса системы столбцов матрицы А. Если базис системы столбцов матрицы не существует, то

(1) - совместна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30266. Характерологический уровень текста. Способы психологической характеристики персонажа: портретная, речевая характеристика 23.5 KB
  Способы психологической характеристики персонажа: портретная речевая характеристика ПОРТРЕТ в литературе описание внешнего облика персонажа лица фигуры мимики одежды один из способов его характеристики. Место портрета в произведении равно как и способы его создания менялось. В фольклоре в античной и средневековой литературе где индивидуальное начало было выражено довольно слабо портретные характеристики либо вовсе отсутствовали либо сводились к предельно обобщённым описаниям и устойчивым эпитетам которые прямо соответствовали...
30267. Характерологический уровень текста. Способы психологической характеристики персонажа: характеристика через биографию, через художественную деталь, через точку зрения других персонажей и др 23 KB
  Образ героя художественного произведения складывается из множества факторов это и характер и внешность и профессия и увлечения и круг знакомств и отношение к себе и окружающим. Один из главных речь персонажа в полной мере раскрывающая и внутренний мир и образ жизни.Характеризующая чтобы лучше раскрыть образ героя его индивидуальность подчеркнуть какието черты характера или принадлежность к определенной группе профессиональной этнической социальной особенности воспитания.Выделительная чтобы сделать образ запоминающимся...
30268. Сюжетно-композиционный уровень текста. Сюжет. Мотив. Фабула 35.5 KB
  Сюжет. Фабула Сюжет то что происходит в произведении; система основных событий и конфликтов система событий художественного произведения раскрывающая характеры героев и способствующая наиболее полному выражению идейного содержания. Система событий единство развивающееся во времени а движущей силой сюжета является конфликт. Сюжет может излагаться: в прямой хронологической последовательности событий; с отступлениями в прошлое ретроспективами и экскурсами в будущее; в преднамеренно измененной последовательности.
30269. Пространственно-временной уровень текста. Способы организации художественного пространства 24.5 KB
  Понятие о хронотопе М. Виды хронотопов: Пространственновременная организация литературного произведения хронотоп. Под хронотопом М. По Бахтину хронотоп в первую очередь принадлежность романа.
30270. Пространственно-временной уровень текста. Способы организации художественного времени 37 KB
  В нем всегда так или иначе присутствуют время и пространство. Важно понимать что художественное время и пространство это не абстракции и даже не физические категории хотя и современная физика очень неоднозначно отвечает на вопрос что же такое время и пространство. Лессинг о чем мы уже говорили во второй главе а теоретики последних двух столетий особенно ХХ века доказали что художественное время и пространство не только значимый но зачастую определяющий компонент литературного произведения. В литературе время и пространство являются...
30271. Идейно-философский уровень текста. Понятия темы и идеи художественного произведения 35 KB
  Идейнотематический анализ выделяет в произведении основную центральную смысловую организацию материала под понятиями тема и идея. Если анализ действия пьесы изучает взаимосвязь событий и форму протекания действия то идейнотематический определяет смысл который наполняет эти действия; отвечает на вопрос почему это происходит. Он занимается поиском мотивов но мотивы если говорить более точно суть абстрактные и универсальные понятия по определению Пави а темы в отличие от них есть конкретизированные и индивидуализированные мотивы...
30272. Понятие метода литературоведения. Метод, методика, методология 33.5 KB
  Понятие метода литературоведения. Метод методика методология Все методы сформировались достаточно поздно в 19в.явля применяя методы определяемые как материалами исследования так и задачами стоящими перед исследователем. лит явления рассматривались как производные от соцх процессов ж психологический зформальный метод разработанный отечественными литературоведами Ю.
30273. Основные методы (школы) литературоведения. Общая характеристика 103 KB
  В Европе первые концепции искусства и литературы разработаны античными мыслителями. Платон в русле объективного идеализма обосновал собственно эстетические проблемы в том числе проблему прекрасного рассмотрел гносеологическую природу и воспитательную функцию искусства а также дал главные сведения по теории искусства и литературы прежде всего деление на роды эпос лирику и драму. В сочинениях Аристотеля Об искусстве поэзии Риторика и Метафизика при сохранении общеэстетического аспекта подхода к искусству происходит уже формирование...
30274. Основные методы (школы) литературоведения. Культурно-исторический метод 59 KB
  Основные методы школы литературоведения. Виднейший литературовед промышленной буржуазии Ипполит Тэн не случайно оказался связанным с целым рядом теоретиков работавших в самых различных областях науки. Автор Истории английской литры не отрицал огромного влияния на него социолога Бокля История английской цивилизации с его теорией расы и физической среды. Но больше всего на взглядах Тэна отразилось учение о происхождении видов Дарвина английского естествоиспытателя крого Тэн сочувственно цитировал в введении к указанному выше труду...